舊知回顧對(duì)稱圖形有什么特點(diǎn)？舊知回顧對(duì)稱圖形有什么特點(diǎn)？1導(dǎo)入新課思考一

在一張紙（平面）上畫一個(gè)等腰△ABC,在它的底邊的垂直平分線AD處放一面“雙面鏡”,并使鏡面與紙面垂直,在鏡面的反射下,△ABC被映射成了什么圖形？這個(gè)圖形與△ABC有什么關(guān)系？AB(C)C(B)D導(dǎo)入新課思考一在一張紙（平面）上畫一個(gè)等腰△2思考二

一個(gè)正方形ABCD繞它的中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后,變成了什么圖形？得到的圖形與原來的圖形有什么關(guān)系？A(C)D(B)B(D)C(A)180°思考二一個(gè)正方形ABCD繞它的中心O逆時(shí)針旋31.1平面剛體運(yùn)動(dòng)1.1平面剛體運(yùn)動(dòng)4教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力】了解平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義,區(qū)分它與對(duì)稱定義的區(qū)別和聯(lián)系．掌握平面剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、性質(zhì)．學(xué)會(huì)尋找不動(dòng)點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】5

【過程與方法】通過豐富的實(shí)例,讓學(xué)生合作探討,老師分析點(diǎn)評(píng),與前面所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).經(jīng)過對(duì)比掌握平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義和性質(zhì).

結(jié)合課本所給的例子,進(jìn)行簡紹．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件【過程與方法】高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)6

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過前后知識(shí)的對(duì)比,得出平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì),學(xué)習(xí)各種變換的特點(diǎn),使同學(xué)們體會(huì)到,探索在某種變換下的不變量或不變關(guān)系,是數(shù)學(xué)研究的重要問題．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件【情感態(tài)度與價(jià)值觀】高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體7教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)

難點(diǎn)平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)高中8平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義

我們現(xiàn)在用整個(gè)平面來代替思考一當(dāng)中的等腰三角形,來考察整個(gè)平面關(guān)于“雙鏡面”的反射．

我們知道,一個(gè)平面可以看成是點(diǎn)的集合,就像我們把直線看成點(diǎn)的集合一樣．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義我們現(xiàn)在用整個(gè)平面來代替思9

設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合,l是這個(gè)平面內(nèi)的一條直線,定義點(diǎn)集α（平面）到其自身的一個(gè)映射

r：

P→P′

,

r

把平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P映到點(diǎn)P關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)P′,我們把這個(gè)映射稱為平面α關(guān)于直線l的反射.數(shù)學(xué)上,把這樣定義的反射稱為平面α的一個(gè)反射變換．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合,l是這個(gè)10lPP′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件lPP′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)11

可以知道,在反射變換r

的作用下,平面α

內(nèi)的點(diǎn),平面α內(nèi)的圖形被映到了與它全等的圖形．

這時(shí),如果一個(gè)平面圖形在映射r

的作用下仍與原來的圖形重合,我們就稱這個(gè)圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．lPP′QQ′ABCA′B′C′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件可以知道,在反射變換r的作用下,平面α內(nèi)12

按照這個(gè)定義,引言中的等腰梯形、正五邊形都是軸對(duì)稱圖形?這個(gè)定義與引言中的定義1是等價(jià)的嗎？高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件按照這個(gè)定義,引言中的等腰梯形、正五邊形都是13現(xiàn)在,我們考慮整個(gè)平面內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn),準(zhǔn)確地說,設(shè)α是一個(gè)平面內(nèi)所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,O是平面α內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn),定義點(diǎn)集（平面）α到其自身的一個(gè)映射

ρ:P→P′把平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后映到點(diǎn)P′,這個(gè)映射稱為以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件現(xiàn)在,我們考慮整個(gè)平面內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)114180°OPP′180°OPP′15在看一下正方形的旋轉(zhuǎn),取正方形ABCD的中心O為固定點(diǎn),設(shè)ρ是以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)．那么在ρ的作用下,正方形上任意一點(diǎn)P被映到了正方形上另一點(diǎn)P′,正方形的頂點(diǎn)A,B,C,D依次被映到點(diǎn)C,D,A,B,正方形ABCD被映到正方形CDAB,顯然這兩個(gè)正方形重合．在看一下正方形的旋轉(zhuǎn),取正方形ABCD的中心O為固定點(diǎn),16A(C)D(B)B(D)C(A)PP′O

若沒有特別說明,旋轉(zhuǎn)的方向都是指逆時(shí)針方向．注意A(C)D(B)B(D)C(A)PP′O若沒17一般地,如果一個(gè)平面圖形在影射ρ（以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍與原來的圖形重合,我們就稱這個(gè)平面圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．

按照這個(gè)定義,引言中的平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對(duì)稱圖形嗎？這個(gè)定義與引言中的定義2是等價(jià)的嗎？一般地,如果一個(gè)平面圖形在影射ρ（以點(diǎn)O為中18

我們可以對(duì)以O(shè)為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣,把旋轉(zhuǎn)180°改為任意角度,這樣我們就可以定義一個(gè)映射,來表示平面以一個(gè)固定點(diǎn)P為中心轉(zhuǎn)任意給定角度的旋轉(zhuǎn).這樣定義的映射在數(shù)學(xué)上稱為旋轉(zhuǎn)變換.我們可以對(duì)以O(shè)為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣19

特別地,旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換是把平面上的所有點(diǎn)映射到它自身,這個(gè)映射使整個(gè)平面上的每個(gè)點(diǎn)都保持不動(dòng),所以稱為恒等變換．探究

設(shè)P,Q是平面內(nèi)的任意兩點(diǎn),在旋轉(zhuǎn)（或反射）變換的作用下,它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P′,Q′.P′到Q′的距離與P到Q的距離有什么關(guān)系？特別地,旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換是把平面上20結(jié)論

可以發(fā)現(xiàn),反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個(gè)共同的特點(diǎn),即所謂的“保距性”.也就是說,對(duì)于平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P和Q,在反射（或旋轉(zhuǎn)）變換的作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P′和Q′,那么P′到Q′的距離等于P到Q的距離．結(jié)論可以發(fā)現(xiàn),反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個(gè)共同21定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射

m：平面α

→平面α是一個(gè)一一映射,若m保持平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變,則稱m是一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)．定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射22下面我們對(duì)上述定義作一個(gè)簡單的解釋。任意一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面α

→平面α,都滿足下面四條：

（1）對(duì)于平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P,在平面α

內(nèi)存在唯一的一點(diǎn)P′與之對(duì)應(yīng),記作P′=m(P),P′叫做P在m作用下的象；（2）任取平面α內(nèi)的一點(diǎn)P′,存在平面α

內(nèi)的點(diǎn)P,使得P′是P在變換m作用下的象；下面我們對(duì)上述定義作一個(gè)簡單的解釋。任意一個(gè)23（3）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P1,P2,如果P1≠P2,那么它們的象也是不同的,即m(P1)≠m(P2);（4）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q,使它們?cè)趍下的象是P′,Q′即

P′=m(P),Q′=m(Q),那么|P′Q′|=|PQ|,即點(diǎn)P′,Q′之間的距離與點(diǎn)P,Q之間的距離相等．（3）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P1,P2,如果P1≠P2,那么它們24想一想你能舉出一些平面剛體運(yùn)動(dòng)的例子嗎？

實(shí)際上,我們?cè)谶^去的學(xué)習(xí)中碰到過許多平面剛體運(yùn)動(dòng)．例如,我們熟悉的平移就是一平面剛體運(yùn)動(dòng)．想一想你能舉出一些平面剛體運(yùn)動(dòng)的例子嗎？實(shí)際25

設(shè)α是一個(gè)平面,點(diǎn)O是α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),v是一個(gè)以O(shè)為起點(diǎn)的定向量,平移是指平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的映射

t：P→P′,t把平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P映射到點(diǎn)P′,且滿足設(shè)α是一個(gè)平面,點(diǎn)O是α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),v是一26OPvP′

這個(gè)映射在數(shù)學(xué)上稱為平移變換.在平移變換t的作用下,平面內(nèi)的所有點(diǎn)沿著定向量v的方向,移動(dòng)了距離|v|．OPvP′這個(gè)映射在數(shù)學(xué)上稱為平移變換.在27平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面→平面有哪些性質(zhì)呢？保持距離不變是m的一個(gè)很強(qiáng)的性質(zhì)．可以證明,只要知道不共線的3個(gè)點(diǎn)A,B,C在m下的象A,B,C,m就完全確定下來了．平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面→28命題平面剛體運(yùn)動(dòng)

m：平面α

→平面α

將平面α內(nèi)的直線映成直線,射線映成射線,線段映成等長的線段．命題平面剛體運(yùn)動(dòng)29證明：令l是平面α內(nèi)的任意一條直線,設(shè)m把l上所有的點(diǎn)映到點(diǎn)集l′.

在l上任取兩點(diǎn)A,B,設(shè)m把它們分別映到A′,B′.下面我們來證明l′是過點(diǎn)A′,B′的直線．

在AB上任取一點(diǎn)C,設(shè)m把點(diǎn)C映射到點(diǎn)C′.證明：令l是平面α內(nèi)的任意一條直線,設(shè)m把l上所有的點(diǎn)映到點(diǎn)30

（1）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí),由平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義得

|A′C′|+|C′B′|=|AC|+|CB|

=|AB|=|A′B′|

所以點(diǎn)C′在線段A′B′上．ABClA′B′C′l′↓m（1）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí),由平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義31

（2）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),我們有

|A′B′|+|B′C′|=|AB|+|BC|

=|AC|=|A′C′|

所以點(diǎn)B′在線段A′C′上,即點(diǎn)C′在線段A′B′的延長線上．ABClA′B′C′l′↓m（2）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),我們有

32

同理可證,當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長線上時(shí),點(diǎn)C′在線段B′A′的延長線上．由點(diǎn)A,B,C的任意性可知,l′是一條直線．

如何證明平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面α

→平面α將平面α上的射線映成射線,線段映成等長的線段？同理可證,當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長線上時(shí),點(diǎn)C′在33

下面,我們說明三角形在平面剛體運(yùn)動(dòng)的作用下,形狀和大小都保持不變．

如下圖,設(shè)△ABC是平面α內(nèi)的任意一個(gè)三角形,由已證命題可知,平面剛體運(yùn)動(dòng)

m：平面α

→平面α

把線段AB,BC,AC依次映成線段A′B′,B′C′,A′C′.下面,我們說明三角形在平面剛體運(yùn)動(dòng)的作用下,34而且AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.ABCmA′B′C′而且AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.ABCm35由于AB+BC>AC,故A′B′+B′C′>A′C′,

所以A′B′,B′C′,C′A′構(gòu)成了一個(gè)以A′,B′,C′為頂點(diǎn)的三角形,而且△ABC與△A′B′C′是全等的．由于AB+BC>AC,故A′B′+B′C′>A′C′,36

最后,我們討論一類特殊的平面剛體運(yùn)動(dòng).設(shè)

m：平面α

→平面α

是一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng),若在平面α內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)O,點(diǎn)O在m的作用下保持不動(dòng),即m(O)=O,我們稱m為有不動(dòng)點(diǎn)的平面剛體運(yùn)動(dòng)．最后,我們討論一類特殊的平面剛體運(yùn)動(dòng).設(shè)37課堂小結(jié)1.平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射

m：平面α

→平面α

是一個(gè)一一映射,若m保持平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變,則稱m是一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)．課堂小結(jié)1.平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射382.平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)平面剛體運(yùn)動(dòng)

m：平面α

→平面α

將平面α內(nèi)的直線映成直線,射線映成射線,線段映成等長的線段．2.平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)平面剛體運(yùn)動(dòng)39高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)課件40舊知回顧對(duì)稱圖形有什么特點(diǎn)？舊知回顧對(duì)稱圖形有什么特點(diǎn)？41導(dǎo)入新課思考一

在一張紙（平面）上畫一個(gè)等腰△ABC,在它的底邊的垂直平分線AD處放一面“雙面鏡”,并使鏡面與紙面垂直,在鏡面的反射下,△ABC被映射成了什么圖形？這個(gè)圖形與△ABC有什么關(guān)系？AB(C)C(B)D導(dǎo)入新課思考一在一張紙（平面）上畫一個(gè)等腰△42思考二

一個(gè)正方形ABCD繞它的中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后,變成了什么圖形？得到的圖形與原來的圖形有什么關(guān)系？A(C)D(B)B(D)C(A)180°思考二一個(gè)正方形ABCD繞它的中心O逆時(shí)針旋431.1平面剛體運(yùn)動(dòng)1.1平面剛體運(yùn)動(dòng)44教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力】了解平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義,區(qū)分它與對(duì)稱定義的區(qū)別和聯(lián)系．掌握平面剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、性質(zhì)．學(xué)會(huì)尋找不動(dòng)點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】45

【過程與方法】通過豐富的實(shí)例,讓學(xué)生合作探討,老師分析點(diǎn)評(píng),與前面所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).經(jīng)過對(duì)比掌握平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義和性質(zhì).

結(jié)合課本所給的例子,進(jìn)行簡紹．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件【過程與方法】高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)46

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過前后知識(shí)的對(duì)比,得出平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì),學(xué)習(xí)各種變換的特點(diǎn),使同學(xué)們體會(huì)到,探索在某種變換下的不變量或不變關(guān)系,是數(shù)學(xué)研究的重要問題．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件【情感態(tài)度與價(jià)值觀】高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體47教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)

難點(diǎn)平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)高中48平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義

我們現(xiàn)在用整個(gè)平面來代替思考一當(dāng)中的等腰三角形,來考察整個(gè)平面關(guān)于“雙鏡面”的反射．

我們知道,一個(gè)平面可以看成是點(diǎn)的集合,就像我們把直線看成點(diǎn)的集合一樣．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義我們現(xiàn)在用整個(gè)平面來代替思49

設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合,l是這個(gè)平面內(nèi)的一條直線,定義點(diǎn)集α（平面）到其自身的一個(gè)映射

r：

P→P′

,

r

把平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P映到點(diǎn)P關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)P′,我們把這個(gè)映射稱為平面α關(guān)于直線l的反射.數(shù)學(xué)上,把這樣定義的反射稱為平面α的一個(gè)反射變換．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合,l是這個(gè)50lPP′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件lPP′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)51

可以知道,在反射變換r

的作用下,平面α

內(nèi)的點(diǎn),平面α內(nèi)的圖形被映到了與它全等的圖形．

這時(shí),如果一個(gè)平面圖形在映射r

的作用下仍與原來的圖形重合,我們就稱這個(gè)圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．lPP′QQ′ABCA′B′C′高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件可以知道,在反射變換r的作用下,平面α內(nèi)52

按照這個(gè)定義,引言中的等腰梯形、正五邊形都是軸對(duì)稱圖形?這個(gè)定義與引言中的定義1是等價(jià)的嗎？高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件按照這個(gè)定義,引言中的等腰梯形、正五邊形都是53現(xiàn)在,我們考慮整個(gè)平面內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn),準(zhǔn)確地說,設(shè)α是一個(gè)平面內(nèi)所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,O是平面α內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn),定義點(diǎn)集（平面）α到其自身的一個(gè)映射

ρ:P→P′把平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后映到點(diǎn)P′,這個(gè)映射稱為以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)．高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件高中數(shù)學(xué)人教A版選修34平面剛體運(yùn)動(dòng)PPT課件現(xiàn)在,我們考慮整個(gè)平面內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)154180°OPP′180°OPP′55在看一下正方形的旋轉(zhuǎn),取正方形ABCD的中心O為固定點(diǎn),設(shè)ρ是以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)．那么在ρ的作用下,正方形上任意一點(diǎn)P被映到了正方形上另一點(diǎn)P′,正方形的頂點(diǎn)A,B,C,D依次被映到點(diǎn)C,D,A,B,正方形ABCD被映到正方形CDAB,顯然這兩個(gè)正方形重合．在看一下正方形的旋轉(zhuǎn),取正方形ABCD的中心O為固定點(diǎn),56A(C)D(B)B(D)C(A)PP′O

若沒有特別說明,旋轉(zhuǎn)的方向都是指逆時(shí)針方向．注意A(C)D(B)B(D)C(A)PP′O若沒57一般地,如果一個(gè)平面圖形在影射ρ（以點(diǎn)O為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍與原來的圖形重合,我們就稱這個(gè)平面圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．

按照這個(gè)定義,引言中的平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對(duì)稱圖形嗎？這個(gè)定義與引言中的定義2是等價(jià)的嗎？一般地,如果一個(gè)平面圖形在影射ρ（以點(diǎn)O為中58

我們可以對(duì)以O(shè)為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣,把旋轉(zhuǎn)180°改為任意角度,這樣我們就可以定義一個(gè)映射,來表示平面以一個(gè)固定點(diǎn)P為中心轉(zhuǎn)任意給定角度的旋轉(zhuǎn).這樣定義的映射在數(shù)學(xué)上稱為旋轉(zhuǎn)變換.我們可以對(duì)以O(shè)為中心轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣59

特別地,旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換是把平面上的所有點(diǎn)映射到它自身,這個(gè)映射使整個(gè)平面上的每個(gè)點(diǎn)都保持不動(dòng),所以稱為恒等變換．探究

設(shè)P,Q是平面內(nèi)的任意兩點(diǎn),在旋轉(zhuǎn)（或反射）變換的作用下,它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P′,Q′.P′到Q′的距離與P到Q的距離有什么關(guān)系？特別地,旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換是把平面上60結(jié)論

可以發(fā)現(xiàn),反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個(gè)共同的特點(diǎn),即所謂的“保距性”.也就是說,對(duì)于平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P和Q,在反射（或旋轉(zhuǎn)）變換的作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P′和Q′,那么P′到Q′的距離等于P到Q的距離．結(jié)論可以發(fā)現(xiàn),反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個(gè)共同61定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射

m：平面α

→平面α是一個(gè)一一映射,若m保持平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變,則稱m是一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)．定義設(shè)α是一個(gè)平面,映射62下面我們對(duì)上述定義作一個(gè)簡單的解釋。任意一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面α

→平面α,都滿足下面四條：

（1）對(duì)于平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P,在平面α

內(nèi)存在唯一的一點(diǎn)P′與之對(duì)應(yīng),記作P′=m(P),P′叫做P在m作用下的象；（2）任取平面α內(nèi)的一點(diǎn)P′,存在平面α

內(nèi)的點(diǎn)P,使得P′是P在變換m作用下的象；下面我們對(duì)上述定義作一個(gè)簡單的解釋。任意一個(gè)63（3）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P1,P2,如果P1≠P2,那么它們的象也是不同的,即m(P1)≠m(P2);（4）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q,使它們?cè)趍下的象是P′,Q′即

P′=m(P),Q′=m(Q),那么|P′Q′|=|PQ|,即點(diǎn)P′,Q′之間的距離與點(diǎn)P,Q之間的距離相等．（3）任取平面α內(nèi)的兩點(diǎn)P1,P2,如果P1≠P2,那么它們64想一想你能舉出一些平面剛體運(yùn)動(dòng)的例子嗎？

實(shí)際上,我們?cè)谶^去的學(xué)習(xí)中碰到過許多平面剛體運(yùn)動(dòng)．例如,我們熟悉的平移就是一平面剛體運(yùn)動(dòng)．想一想你能舉出一些平面剛體運(yùn)動(dòng)的例子嗎？實(shí)際65

設(shè)α是一個(gè)平面,點(diǎn)O是α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),v是一個(gè)以O(shè)為起點(diǎn)的定向量,平移是指平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的映射

t：P→P′,t把平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P映射到點(diǎn)P′,且滿足設(shè)α是一個(gè)平面,點(diǎn)O是α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),v是一66OPvP′

這個(gè)映射在數(shù)學(xué)上稱為平移變換.在平移變換t的作用下,平面內(nèi)的所有點(diǎn)沿著定向量v的方向,移動(dòng)了距離|v|．OPvP′這個(gè)映射在數(shù)學(xué)上稱為平移變換.在67平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面→平面有哪些性質(zhì)呢？保持距離不變是m的一個(gè)很強(qiáng)的性質(zhì)．可以證明,只要知道不共線的3個(gè)點(diǎn)A,B,C在m下的象A,B,C,m就完全確定下來了．平面剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)平面剛體運(yùn)動(dòng)m：平面→68命題平面剛體運(yùn)動(dòng)

m：平面α

→平面α

將平面α內(nèi)的直線映成直線,射線映成射線,線段映成等長的線段．命題平面剛體運(yùn)動(dòng)69證明：令l是平面α內(nèi)的任意一條直線,設(shè)m把l上所有的點(diǎn)映到點(diǎn)集l′.

在l上任取兩點(diǎn)A,B,設(shè)m把它們分別映到A′,B′.下面我們來證明l′是過點(diǎn)A′,B′的直線．

在AB上任取一點(diǎn)C,設(shè)m把點(diǎn)C映射到點(diǎn)C′.證明：令l是平面α內(nèi)的任意一條直線,設(shè)m把l上所有的點(diǎn)映到點(diǎn)70

（1）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí),由平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義得

|A′C′|+|C′B′|=|AC|+|CB|

=|AB|=|A′B′|

所以點(diǎn)C′在線段A′B′上．ABClA′B′C′l′↓m（1）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí),由平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義71

（2）如下圖,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),我們有

|A′B′|+|B′C′|=|AB|+|BC|

=|AC|=