第七章多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法7.1概述一、多目標(biāo)優(yōu)化及數(shù)學(xué)模型單目標(biāo)最優(yōu)化方法多目標(biāo)最優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化的實例：物美價廉設(shè)計車床齒輪變速箱時，要求：

7.1概述（續(xù)）

各齒輪體積總和盡可能小降低成本各傳動軸間的中心距總和使變速箱結(jié)構(gòu)緊湊。

合理選用材料使總成本盡可能小。盡可能小。盡可能小傳動效率盡可能高機械耗損率

在優(yōu)化設(shè)計中同時要求幾項指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的問題稱為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。7.1概述（續(xù)）例如，在機械加工時，對于用單刀在一次走刀中將零件車削成形，為選擇合適的切削速度和每轉(zhuǎn)給進(jìn)量，提出以下目標(biāo)：

機械加工成本最低；生產(chǎn)率最高；刀具壽命最長。還應(yīng)滿足的約束條件是：

進(jìn)給量小于毛坯所留最大加工余量

刀具強度等7.1概述（續(xù)）對于一個具有L個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式可寫為：求：向量形式的目標(biāo)函數(shù)設(shè)計變量應(yīng)滿足的所有約束條件n維歐氏空間的一個向量7.1概述（續(xù)）二、幾個基本概念設(shè)1、最優(yōu)解(D為可行域），若對于任意，恒使成立，則稱X*為多目標(biāo)優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解，簡稱最優(yōu)解。若干個最優(yōu)解組成的集合稱為絕對最優(yōu)解集,用表示。只有當(dāng)F(X)的各個子目標(biāo)fi(X)的最優(yōu)點都存在，并且全部重疊于同一點時，才存在有絕對最優(yōu)解。7.1概述（續(xù)）設(shè)2、有效解（非劣解）(D為可行域），若不存在，使成立，則稱X*為多目標(biāo)優(yōu)化問題的非劣解或有效解。若干個有效解組成的集合稱為有效解集,用表示。7.1概述（續(xù)）設(shè)3、弱有效解（弱非劣解）若不存在,使成立，則稱X*為多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱非劣解或弱有效解。所有弱有效解組成的集合稱為弱有效解集,用表示。三者之間關(guān)系：在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，如果一個解使每個分目標(biāo)函數(shù)值都比另一個解為劣，則這個解稱為劣解。三、多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點及解法7.1概述（續(xù)）多目標(biāo)優(yōu)化是向量函數(shù)的優(yōu)化（單目標(biāo)函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)的優(yōu)化）；對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，任何兩個解不一定能比較其優(yōu)劣；多目標(biāo)優(yōu)化問題得到的可能只是非劣解（有效解），而非劣解往往不止一個，需要在多個非劣解中找出一個最優(yōu)解。1、特點7.1概述（續(xù)）2、解法：直接求出非劣解，然后再選擇較好的解間接法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題三、多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點及解法（續(xù))線性加權(quán)和法、主要目標(biāo)函數(shù)法、理想點法、平方和加權(quán)法、子目標(biāo)乘除法、功效系數(shù)法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問題分層序列法、寬容分層序列法直接法：7.2統(tǒng)一目標(biāo)函函數(shù)法（綜綜合目標(biāo)法法）一、基本思思想統(tǒng)一目標(biāo)函函數(shù)法就是是設(shè)法將各各分目標(biāo)函函數(shù)f1(X),f2(X),…,fl(X)統(tǒng)一到一一個新構(gòu)成成的總的目目標(biāo)函數(shù)f(X),這樣就把原原來的多目目標(biāo)問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個個具有統(tǒng)——目標(biāo)函數(shù)數(shù)的單目標(biāo)標(biāo)問題來求求解．即：D為可行域，，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)為各個子目目標(biāo)函數(shù)。。7.2統(tǒng)統(tǒng)一目標(biāo)函函數(shù)法（續(xù)續(xù)）二、統(tǒng)一目目標(biāo)函數(shù)的的構(gòu)造方法法1、線線性加加權(quán)和和法（（線性性加權(quán)權(quán)組合合法））根據(jù)各各子目目標(biāo)的的重要要程度度給予予相應(yīng)應(yīng)的權(quán)權(quán)數(shù)，，然后后用各各子目目標(biāo)分分別乘乘以他他們各各自的的權(quán)數(shù)數(shù)，再再相加加即構(gòu)構(gòu)成統(tǒng)統(tǒng)一目目標(biāo)函函數(shù)。。即評價價函數(shù)數(shù)為：：應(yīng)滿足足歸一一性和和非負(fù)負(fù)性條條件——各各子目目標(biāo)函函數(shù)——權(quán)權(quán)數(shù)優(yōu)化的的數(shù)學(xué)學(xué)模型型為注意：：1、建建立這這樣的的評價價函數(shù)數(shù)時，，各子子目標(biāo)標(biāo)的單單位已已經(jīng)脫脫離了了通常常的概概念。。2、權(quán)權(quán)數(shù)（（加權(quán)權(quán)因子子）的的大小小代表表相應(yīng)應(yīng)目標(biāo)標(biāo)函數(shù)數(shù)在優(yōu)優(yōu)化模模型中中的重重要程程度，，目標(biāo)標(biāo)越重重要，，權(quán)數(shù)數(shù)越大大。權(quán)因子的的確定方方法：在確定權(quán)權(quán)因子前前，應(yīng)先先將各子子目標(biāo)函函數(shù)進(jìn)行行無量綱綱化，處處理的方方法是：：是多目標(biāo)標(biāo)問題中中某個帶帶量綱的的子目標(biāo)標(biāo)；是作了無無量綱處處理后的的第i個子目標(biāo)標(biāo)函數(shù)(1)專專家評評判法（（老手法法）憑經(jīng)驗評評估，并并結(jié)合統(tǒng)統(tǒng)計處理理來確定定權(quán)數(shù)的的方法。。特點：：方法實實用，但但要求專專家人數(shù)數(shù)不能太太少。（2）容容限法若已知子子目標(biāo)函函數(shù)fi(X)的變動動范圍為為：則稱為該目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的的容限這時權(quán)數(shù)數(shù)可取為為：目的：在在評價函函數(shù)中使使各子目目標(biāo)在數(shù)數(shù)量級上上達(dá)到統(tǒng)統(tǒng)一平衡衡。（3）加加權(quán)因子子分解法法本征權(quán)因因子，反反應(yīng)第i個目標(biāo)標(biāo)的相對對重要程程度。校正權(quán)因因子，用用于調(diào)整整各目標(biāo)標(biāo)在量級級方面差差異的影影響。目的：使使目標(biāo)變變化快慢慢不一致致的趨于于一致。。7.2統(tǒng)統(tǒng)一目目標(biāo)函數(shù)數(shù)法（續(xù)續(xù)）2、理想想點法基本思想想：使各各個目標(biāo)標(biāo)盡可能能接近各各自的最最優(yōu)值，，從而求求出多目目標(biāo)函數(shù)數(shù)的較好好的非劣劣解。二、統(tǒng)一一目標(biāo)函函數(shù)的構(gòu)構(gòu)造方法法（續(xù)））步驟：先先用單目目標(biāo)優(yōu)化化方法求求得各子子目標(biāo)的的約束最最優(yōu)值和和相應(yīng)的的最優(yōu)點點，然后后構(gòu)造評評價函數(shù)數(shù)。評價函數(shù)數(shù)：7.2統(tǒng)統(tǒng)一目目標(biāo)函數(shù)數(shù)法（續(xù)續(xù)）3、、平平方方和和加加權(quán)權(quán)法法基本本思思想想：：在在理理想想點點法法的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上引引入入權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)二、、統(tǒng)統(tǒng)一一目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)的的構(gòu)構(gòu)造造方方法法（（續(xù)續(xù)））評價價函函數(shù)數(shù)：：構(gòu)造造評評價價函函數(shù)數(shù)。。滿足足歸歸一一性性和和非非負(fù)負(fù)性性條條件件7.3主要要目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)法法基本本思思想想：：從所所有有L個子子目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)中中選選出出一一個個設(shè)設(shè)計計者者認(rèn)認(rèn)為為最最重重要要的的作作為為主主要要目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)，，而而將將其其余余L-1個個子子目目標(biāo)標(biāo)限限制制在在一一定定的的范范圍圍內(nèi)內(nèi)，，并并轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為新新的的約約束束條條件件，，將將多多目目標(biāo)標(biāo)優(yōu)優(yōu)化化問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為單單目目標(biāo)標(biāo)優(yōu)優(yōu)化化問問題題。。設(shè)f2(X)為主要目標(biāo)標(biāo)函數(shù)，則則優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：——原問題題第t個目標(biāo)函數(shù)數(shù)的上限值值。7.4功功效系數(shù)法法基本思想：：先按各子目目標(biāo)值的““優(yōu)”或““劣”（即即“功效””）分別求求出與其對對應(yīng)的功效效函數(shù)，然然后再由各各個功效函函數(shù)構(gòu)造出出問題的評評價函數(shù)進(jìn)進(jìn)行求解。。目的是將多目標(biāo)標(biāo)優(yōu)化問題題轉(zhuǎn)化為單單目標(biāo)優(yōu)化化問題7.4功功效系數(shù)法法一、功效系系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化化設(shè)計中，，各子目標(biāo)標(biāo)的要求不不同極小值極大值一個合適的的數(shù)值每個子目標(biāo)標(biāo)都用一個個功效函數(shù)數(shù)di表示——其值為為功效系數(shù)數(shù)功效函數(shù)的的范圍[0,1]fi(X)的值滿意時時，di=1fi(X)的值不滿意意時，di=0二、評價函函數(shù)7.4功功效系數(shù)法法（續(xù)）用所有子目目標(biāo)的功效效系數(shù)的幾幾何平均值值作為評價價函數(shù)f(X)的值越大，，設(shè)計方案案越好；反反之越差；；f(X)=1時，表示取取得最滿意意的設(shè)計方方案f(X)=0時，表示此設(shè)設(shè)計方案不能能接受該評價函數(shù)不不會使某一個個目標(biāo)最不滿滿意——功效效系數(shù)法的特特點三、功效函數(shù)數(shù)的確定(a)目標(biāo)函函數(shù)越大越好(b)目標(biāo)函函數(shù)越小越好(c)目標(biāo)函函數(shù)過大大過小都不不好對于一個具有有L個目標(biāo)函數(shù)和和若干個約束束條件的多目目標(biāo)優(yōu)化問題題，若有S個子目標(biāo)函數(shù)數(shù)為求極小，，而其余L-S個子目標(biāo)函數(shù)數(shù)為求極大時時，各子目標(biāo)標(biāo)對應(yīng)的功效效函數(shù)的求法法：7.4功效效系數(shù)法（續(xù)續(xù)）三、功效函數(shù)數(shù)的確定（續(xù)續(xù)）1、在可行域域D中求出各子目目標(biāo)函數(shù)的最最小值和最大大值7.4功效效系數(shù)法（續(xù)續(xù)）三、功效函數(shù)數(shù)的確定（續(xù)續(xù)）2、對于前S個要求極小化化的子目標(biāo)函函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應(yīng)應(yīng)的功效函數(shù)數(shù)滿足則可得線性功功效函數(shù)為7.4功效效系數(shù)法（續(xù)續(xù)）三、功效函數(shù)數(shù)的確定（續(xù)續(xù)）3、對于后面L-S個要求極大化化的子目標(biāo)函函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應(yīng)應(yīng)的功效函數(shù)數(shù)滿足則可得功效函函數(shù)為7.4功效效系數(shù)法（續(xù)續(xù)）三、功效函數(shù)數(shù)的確定（續(xù)續(xù)）4、對于L個子目標(biāo)函數(shù)數(shù)對應(yīng)的功效效函數(shù)為5、優(yōu)化問題題的數(shù)學(xué)模型型為：評價函數(shù)：五、功效系數(shù)數(shù)法的特點1、直接按要要求的性能指指標(biāo)來評價函函數(shù)，直觀，，且初步試算算后，調(diào)整方方便；2、無論各子子目標(biāo)的量級級和量綱如何何，最終都轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為在[0,1]區(qū)間間取值，而且且一旦有一個個子目標(biāo)達(dá)不不到要求，則則其相應(yīng)的功功效系數(shù)為0，從而使評評價函數(shù)也為為0，表明不不能接受所得得設(shè)計方案；；3、可以處理理既非越大越越好，也非越越小越好的目目標(biāo)函數(shù)；4、對難以事事先確定目標(biāo)標(biāo)函數(shù)取值范范圍的情況不不適用。7.5分層序列法及及寬容分層序序列法將多目標(biāo)優(yōu)化化問題轉(zhuǎn)化為為一系列單目目標(biāo)優(yōu)化問題題的求解方法法：分層序列法寬容分層序列列法7.5分層層序列法及寬寬容分層序列列法（續(xù)）一、分層序列列法1、基本思想想將多目標(biāo)優(yōu)化化問題中的l個目標(biāo)函數(shù)分分清主次，按按照其重要程程度逐一排除除，然后依次次對各個目標(biāo)標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)優(yōu)解，只是后后一目標(biāo)應(yīng)在在前一目標(biāo)最最優(yōu)解的集合合域內(nèi)尋優(yōu)。。2、基本步步驟設(shè)最重要，其次，

再其次，….。首先對第一個目標(biāo)函數(shù)求解，得最優(yōu)值在第一個目目標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)解集集合域內(nèi)，，求第二個個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，，也就是將將第一個目目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為輔助約約束。即求求的最優(yōu)值，，記作然后再在第第一、第二二個目標(biāo)函函數(shù)的最優(yōu)優(yōu)解集合域域內(nèi)，求第三個目目標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)值，，此時，第第一、第二二個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為為輔助約束束，即求：：最優(yōu)值，記記作一、分層序序列法(續(xù)續(xù)）最優(yōu)值是一、分層序序列法(續(xù)續(xù)）以此類推，，最后求第第目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，，即,對應(yīng)的最最優(yōu)點是3、分層序序列法的優(yōu)優(yōu)缺點：在求解過程程中可能會會出現(xiàn)中斷斷現(xiàn)象，使使求解過程程無法繼續(xù)進(jìn)行下下去。當(dāng)求解到第第k個目標(biāo)函數(shù)數(shù)的最優(yōu)解解是唯一時時，則再往往后求第（k+1），(k+2)，…….，l個目標(biāo)函數(shù)數(shù)的解就完完全沒有意義了。。尤其是當(dāng)當(dāng)求得的第第一個目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的最最優(yōu)解是唯一時，則則失去了多多目標(biāo)優(yōu)化化的意義了了。二、寬容分分層序列法法1、基本思思想這種方法是是對各目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的最最優(yōu)值放寬寬要求，可可以對各目目標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)值取取給定的寬寬容值，即即ε1>0，ε2>0,…。。這樣，在求求后一個目目標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)值時時，對前一一目標(biāo)函數(shù)數(shù)不嚴(yán)格限限制在最優(yōu)優(yōu)解內(nèi)，而而是在前一一目標(biāo)函數(shù)數(shù)最優(yōu)值附附近的某一一范圍內(nèi)進(jìn)進(jìn)行優(yōu)化，，因而避免免了計算過過程的中斷斷。……二、寬容分分層序列法法（續(xù)）其中，最后求得最最優(yōu)解兩目標(biāo)優(yōu)化化問題用寬寬容分層序序列法求最最優(yōu)解的情情況如圖。。二、、寬寬容容分分層層序序列列法法（（續(xù)續(xù)））二、、寬寬容容分分層層序序列列法法（（續(xù)續(xù)））例題題：：用用寬寬容容分分層層序序列列法法求求解解式中中解：：按按重重要要程程度度將將目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)排排隊隊為為：：f1(x)，，f2(x)首先先求求解解，得得最最優(yōu)優(yōu)點點x(1)=2對應(yīng)的最最優(yōu)值為為設(shè)給定的的寬容值值ε1=0.052，則可得得：然后求解解最優(yōu)解解即求：求得最優(yōu)優(yōu)解為：：x(2)=1.9這就是該該兩目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)點x*,對應(yīng)應(yīng)的最優(yōu)優(yōu)值為優(yōu)化方法主要目標(biāo)法統(tǒng)一目標(biāo)方法分層序列法及寬容分層序列法線性加權(quán)和法理想點法與平方和加權(quán)法功效系數(shù)法-幾何平均法方法特點1、找出主要顧及其余；2、分析出正確的主要目標(biāo)函數(shù)至關(guān)重要；3、對決策者專業(yè)知識要求較高。1、可綜合考慮各分目標(biāo)函數(shù)的影響2、按各分目標(biāo)函數(shù)的重要程度綜合考慮了各分目標(biāo)函數(shù)的影響。希望能達(dá)到各分目標(biāo)都為最優(yōu)化，盡量向該理點去靠近?？蓪Ω鞣帜繕?biāo)函數(shù)求極大，求極小，及求逼近某一合適值的各分目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)?？蓪Χ嗄繕?biāo)優(yōu)化中優(yōu)化優(yōu)先次序等級有區(qū)別的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化?；舅悸愤x出對問題影響最重要的函數(shù)作為主要目標(biāo)函數(shù)，其余目標(biāo)函數(shù)作為約束條件建立起單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解各分目標(biāo)函數(shù)以加權(quán)系數(shù)的形式體現(xiàn)了他們的重要程度，組成線性加權(quán)和作為綜合目標(biāo)函數(shù)。以各分目標(biāo)各自優(yōu)化解作為理想點，盡量向該點逼近。求各分目標(biāo)的功效系數(shù)；以功效系數(shù)的幾何平均值作為評價函數(shù)求優(yōu)。先對最重要的目標(biāo)函數(shù)，再對次要目標(biāo)函數(shù)分層進(jìn)行優(yōu)化，對后者優(yōu)化時必須保持前者在允許范圍內(nèi)變化。多目標(biāo)優(yōu)優(yōu)化方法法的比較較主要步驟1、將多目標(biāo)優(yōu)化問題中選出主要目標(biāo)作為單目標(biāo)，其余目標(biāo)以約束形式出現(xiàn)，保證其不致太差。2、用單目標(biāo)優(yōu)化方法求解，得出原多目標(biāo)問題的近似優(yōu)化解。1、確定各分目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；2、各分目標(biāo)函數(shù)乘以權(quán)系數(shù)后相加組成綜合目標(biāo)函數(shù)；3、以此轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題求解作為其優(yōu)化解。1、找出各分目標(biāo)函數(shù)的各自優(yōu)化解；2、構(gòu)造出各分目標(biāo)函數(shù)離各自優(yōu)化解的距離相對值，作為單一目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)作為原問題的優(yōu)化解。以功效系數(shù)的幾何平均值組成綜合目標(biāo)函數(shù)，對它用單目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)，作為原問題優(yōu)化解。1、按重要程度分清主次進(jìn)行排序。2、先對第一重要目標(biāo)函數(shù)按單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化；3、再對第二重要目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，此時應(yīng)保證前者不變壞，或在允許范圍之內(nèi)。4、重復(fù)上述步驟直至最終分目標(biāo)優(yōu)化解止作為原問題優(yōu)化解。9、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。09:03:0209:03:0209:0312/23/20229:03:02AM11、以我獨獨沈久，，愧君相相見頻。。。12月-2209:03:0309:03Dec-2223-Dec-2212、故人江海別別，幾度隔山山川。。09:03:0309:03:0309:03Friday,December23,202213、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。12月-2212月-2209:03:0309:03:03December23,202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國見青青山。。23十二月月20229:03:03上午09:03:0312月-2215、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。十二月月229:03上上午午12月月-2209:03December23,202216、行動出成果果，工作出財財富。。2022/12/239:03:0309:03:0323December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點的射線線向前。。9:03:03上午9:03上上午09:03:0312月-229、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多多事情情努力力了未未必有有結(jié)果果，但但是不不努力力卻什什么改改變也也沒有有。。。09:03:0309:03:0309:0312/23/20229:03:03AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。12月月-2209:03:0309:03Dec-2223-Dec-2212、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對對圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。09:03:0309:03:0309:03Friday,December23,202213、不知香積寺寺，數(shù)里入云云峰。。12月-2212月-2209:03:0409:03:04December23,202214、意志堅強的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。23十二月月20229:03:04上午09:03:0412月-2215、楚塞三湘湘接，荊門門九派通。。。。十二月229:03上上午12月-2209:03December23,202216、少年十五二二十時，步行行奪得胡馬騎騎。。2022/12/239:03:0409:03:0423December202217、空山新雨后后，天氣晚來來秋。。9:03:04上午9:03上上午09:03:0412月-229、楊柳柳散和和風(fēng)，，青山山澹吾吾慮。。。12月月-2212