7.3空間角（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一線線角【例1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D【一隅三反】1．（2022·新疆·三模（理））在正方體中，E為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則直線即為交線，又，則即為l與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，又，所以，所以，則，，，所以，即l與所成角的余弦值為.故選：D.2．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接交于，若是的中點(diǎn)，連接，由為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：是的中點(diǎn)，所以，故直線與直線夾角，即為與的夾角或補(bǔ)角，若，則，，面，面，則，而，又，面，故面，又面，所以.所以，，在△中.故選：C3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.考點(diǎn)二線面角【例2-1】（2022·黑龍江）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求證：平面平面；(2)若，，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，所以平面平?得證.(2)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為坐標(biāo)軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得平面的法向量為，設(shè)直線PB與平面ADP所成角為，則.直線PB與平面ADP所成角的正弦值為.【例2-2】（2022·云南）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段上，且，則AP與平面ABCD所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，因?yàn)樵谄矫鍭BCD上的投影為，故作于，且平面，連接，則AP與平面ABCD所成角為.因?yàn)?，故，且，?所以AP與平面ABCD所成角的正切值為故選：D【例2-3】．（2022·河南安陽(yáng)）如圖，在圓錐中，為圓錐的底面直徑，為等腰直角三角形，B為底面圓周上一點(diǎn)，且，M為上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故為直線與平面所成的角，在中，越小，越大，越大，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最大，∵為等腰直角三角形，又，在中，,在中，，則,在等腰直角三角形中，，在中，,,則，故選：C.【一隅三反】1．（2022·河南安陽(yáng)）如圖，在四面體ABCD中，，，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn).(1)求證：平面平面BDF；(2)若，，，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】(1)在四面體ABCD中，，E為BD的中點(diǎn)，則，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.(2)依題意不妨設(shè)，，則，又，則，．在中，，所，則，．由（1）得，，因，即，則．設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)B到平面ACD的距離為.設(shè)直線BF與平面ACD所成角為，所以．因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，最短，此時(shí)，正弦值最大為．2．（2022·北京）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，E為線段中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】(1)取中點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O，連接，由，且梯形，有且，故平行四邊形，又，故為菱形，所以為的中點(diǎn)，故.又因?yàn)?，故，因?yàn)?，面，故面，又面，故?2)解析1：幾何法在中，，故，因?yàn)?，故，由，即，即，故面，又，故面，面，故面面，作，面面，面，故面，在中，，因?yàn)?，故B到面距離等于，設(shè)與平面所成角為，，故，故與平面所成角的正弦值為．解析2：向量法在中，，故，因?yàn)?，故，由，即，即，故面，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，故，故，設(shè)面的法向量為，則，令，故，所以，故與平面所成角的正弦值為．考點(diǎn)三二面角【例3-1】（2022·云南師大附中）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】(1)連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)過(guò)點(diǎn)作，連接，與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn).因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以，是平面與平面的交線.由是等邊三角形，是的重心，知點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn).平面，平面，所以，又，平面，，則平面，所以平面，又平面，于是，，為平面與平面所成二面角的平面角.由等邊三角形的邊長(zhǎng)為，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.【例3-2】（2022·青?！ず|市第一中學(xué)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面平面ABCD，為等邊三角形，，，M是棱上一點(diǎn)，且.(1)求證：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)連接AC，記AC與BD的交點(diǎn)為H，連接MH.由，得，，又，則，∴，又平面MBD，平面MBD，∴平面MBD.(2)記O為CD的中點(diǎn)，連接PO，BO.∵為等邊三角形，∴，∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝CD，∴平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則，，，，，，.設(shè)平面BDM的法向量，則，取x＝1得，平面BCD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角M－BD－C的平面角為θ，則.∴二面角M－BD－C的余弦值為.【一隅三反】1．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.（2）解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3）解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.2．（2022·江西）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，D為上靠近A的三等分點(diǎn)．(1)若，求證：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，，又，所以，從而．因?yàn)?，，所以．又因?yàn)镈為上靠近A的三等分點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得．因此，所以．因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面．解：由題意當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，有平面平面．取的中點(diǎn)O，連接，，則，平面平面，平面，從而平面，又，為的中點(diǎn)，所以；以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，從而，，，設(shè)平面的法向量為，則從而，取，則．設(shè)平面的法向量為，則從而，取，則．，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．3．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直三棱柱中，D，E別是棱、上的點(diǎn)，，．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面ABC所成的角為，且，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，AB中點(diǎn)O，連交于F，連，，則，∵，∴，∴是平行四邊形，∴，∵，∴．又在直三棱柱中，平面，平面，∴，平面，結(jié)合，∴平面，∴平面，又平面，∴平面平面．由（1）知，OC、OB、兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取上一點(diǎn)M，使，連AM，則，又平面ABC，與平面ABC所成角為，∴，∴，不妨設(shè)，則，，，，∴，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，，取，得，平面的一個(gè)法向量，，∴二面角的平面角的正弦值為．考點(diǎn)四空間角的綜合運(yùn)用【例4】（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)）（多選）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)Q的軌跡為線段B．與CD所成角的范圍為C．的最小值為D．二面角的正切值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取點(diǎn),，使得，，連接,，如圖，由線段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，，所以平面平面，故當(dāng)點(diǎn)時(shí)，總有面，所以點(diǎn)Q的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于B，由知與CD所成角即為與NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，異面直線所成的角小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，二面角即平面與底面所成的銳角，連接相交于，連接，取點(diǎn)H，使得，連接MH，過(guò)H作于G，連接，如圖，由正四棱錐可知，面，由，知，，由可得，，面，，又，，平面，，即為二面角的平面角，，故D正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，，