7.4空間距離（精練）（提升版）題組一題組一點線距1.（2022·福建）在空間直角坐標系中，點，則到直線的距離為___．【答案】【解析】依題意得，則到直線的距離為故答案為：2（2022·北京·二模）如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點P到直線的距離的最小值為【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，設，則，∴動點P到直線的距離為，當時取等號，即線段上的動點P到直線的距離的最小值為.3．（2022·廣東）如圖，在棱長為4的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，點Р到直線的距離的最小值為_______.【答案】【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點P在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取“=”，所以點Р到直線的距離的最小值為.故答案為：題組二題組二點面距1．（2022·江蘇）將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則點到平面的距離為___．【答案】【解析】記AC與BD的交點為O，圖1中，由正方形性質可知，所以在圖2中，，所以，即如圖建立空間直角坐標系，易知則則設為平面ABC的法向量，則，取，得所以點到平面的距離故答案為：2．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2).【解析】（1）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則,設面的一個法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點到平面的距離為.3．（2022·河北邯鄲）在直三棱柱中，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若，，，求點到平面的距離.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）連結交于點，連結，因為點分別是的中點，所以，且，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因為，則,,，所以，所以，,因為，且，，所以平面，因為，所以點到平面的距離為1，，根據(jù)等體積轉化可知，即，解得：，所以點到平面的距離為.4．（2022·四川成都）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，．(1)求證：平面PCD；(2)若，，求點D到平面EFP的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：如圖，取的中點，連接，．在中，點，分別為，的中點，∴且．在矩形中，點為的中點，∴且，∴且．∴.四邊形是平行四邊形，∴．又∵平面，平面，∴平面．(2)解：∵四邊形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，，，平面.∴平面，即就是點到平面的距離．∵，平面，平面，所以平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離．又∵，∴．同理可證平面，即，且，，平面，∴平面.∴，即．∴，

∴點到平面的距離為．5．（2022·云南保山）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：連接交于點，連接，底面為正方形，為中點，點是的中點，，平面，平面，平面．(2)解：因為平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又點是的中點，，，所以，，，，所以，設點到平面的距離為，則，即，即，解得，即點到平面的距離為.題組三題組三線線距1．（2022·全國·課時練習）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是______．【答案】【解析】以為坐標原點，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,,,,∴,,設是，的公垂線方向上的單位向量，則，即①，，即②，易知③，聯(lián)立解得，，或，，；不妨取，又∵,則異面直線與的距離，故答案為：.2．（2022·福建）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為______.【答案】【解析】以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，易知，，設同時垂直于，由，令，得，又，則異面直線，EN間的距離為.故答案為：.3．（2022·浙江）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：，，，，，可得：設，且則有：，可得：則有：故則當且僅當時，故答案為：4．（2022·湖北）如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點，M是棱CC1上的點，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.【答案】【解析】正方體的棱長為1，如圖，以D為坐標原點，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.設直線BM與B1N的公垂線方向上的向量，由，，得，令x=2，則z=6，y=-7，∴，設直線BM與B1N之間的距離為d，則d===.故答案為：.題組四題組四線面距1．（2022·山東濱州）在棱長為的正方體中，直線BD到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,平面,平面,因此平面,故直線BD到平面的距離即為點到平面的距離；為邊長為2的等邊三角形，故，,設點到平面的距離為，由等體積法可得,即,故選:B2．（2022·山西）如圖，在正方體中，為的中點．(1)證明：平面AD1E(2)求直線到平面的距離；【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1），，四邊形為平行四邊形，，面，面，平面．（2）如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，，，，，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離，所以，，，設平面的一個法向量為，則，取，得，，直線到平面的距離為.3．（2022·云南·會澤縣實驗高級中學校）如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點F在AD上，且．(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．【答案】(1)；(2).【解析】(1)連接AC，因為平面ABCD，又平面ABCD，∴PA⊥CF，又，，∴平面PAC，又平面PFC，∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，過點A作AH⊥PC于H，則AH⊥平面PFC，故AH即為所求，∵在梯形ABCD中，，，，，∴，∴在中，，∴，即點A到平面PCF的距離為；(2)∵，平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，過點A作AE⊥PB于E，又因為平面ABCD，則BC，又AB⊥BC，，∴BC⊥平面PBA，則BC⊥AE，又∴AE⊥平面PBC，即AE的長為AD到平面PBC的距離，在等腰直角三角形PAB中，，∴，故AD到平面PBC的距離為.題組五題組五面面距1．（2022·江蘇）已知正方體的棱長為，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正方體的性質，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉化為點B到平面的距離．以D為坐標原點，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，．連接，由，，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離．故選：C2．（2022·云南）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，則A1B1到平面D1EF的距離是________．【答案】【解析】因為，且面，所以，面，則A1B1到平面D1EF的距離為到面的距離，且明顯可見，面，對于三棱錐，有，設到面的距離為，由題意得，，，，在中，得到，，所以，，化簡得，進而可得，故答案為：3．（2022·上海）如圖，在棱長為a的正方體中，E、F分別是、的中點．則點A和點的距離為______，點到棱BC的距離為______，點E到平面的距離為______，到平面AEFD的距離為______．【答案】

a

【解析】連接,連接，在正方體中，平面，又平面所以，即為點到棱BC的距離取的中點，連接，則平面所以為點E到平面的距離E、F分別是、的中點，則又，則又平面AEFD,平面AEFD，所以平面AEFD，則點到平面AEFD的距離等于直線到平面AEFD的距離.由平面,則平面,又平面，所以平面平面，且平面平面則過點作交直線于點，則平面即為直線到平面AEFD的距離.由,則故答案為：；；；4．（2022·廣東）在棱長為的正方體中，、、、分別為、、、的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：因為、分別為、的中點，則．又因為平面，平面，所以平面．因為，，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以，平面．又因為，所以平面平面．(2)解：連接分別交、于點、，則為的中點，且，因為平面，平面，，又因為，，平面，因為平面平面，所以，平面，所以線段的長度等于平面與平面之間的距離，因為、分別為、的中點，則且，且有，則，因為正方體的棱長為，所以，即平面與平面之間的距離為．5．（2022·天津河北）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】(1)證明：在直三棱柱中，為的中點，，，故，因為，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)證明：取的中點，連接，則為的中點，因為，，分別為，，的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因為，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；(3)設，因為平