§3用坐標(biāo)表示向量重點(diǎn)1、直線三種方程（尤其兩點(diǎn)式）及相互轉(zhuǎn)換一、直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程2、兩個(gè)直線的相互關(guān)系的確定幾何空間的直線L就是1維的線性流行，即3、直線與平面的相互關(guān)系的確定假設(shè)是1維線向量空間W的基向量，§3用坐標(biāo)表示向量重點(diǎn)1、直線三種方程（尤其兩點(diǎn)式）及1或等價(jià)的表示成稱上述方程是直線的參數(shù)方程，則L上的點(diǎn)滿足其中是稱為直線的方向向量。或等價(jià)的表示成稱上述方程是直線的參數(shù)方程，則L上的點(diǎn)2上述參數(shù)方程也可消去t得到直線的標(biāo)準(zhǔn)方程顯然，因此，如果直線過兩點(diǎn)直線是由其上一點(diǎn)和方向向量唯一確定的。則直線的方向向量為從而得到直線的兩點(diǎn)式方程上述參數(shù)方程也可消去t得到直線的標(biāo)準(zhǔn)方程顯然，因此，如果直線3注釋1上面直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互顯然，任意直線都可看成是某兩個(gè)平面的交線。轉(zhuǎn)化方法是顯然的。在求解與直線有關(guān)的交點(diǎn)問題時(shí)直線的參數(shù)方程是簡單有用的。二、直線的一般方程因此，任意直線都是2個(gè)3元線性方程組的解集：上面方程稱為直線的一般式方程。注釋1上面直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互顯然，任意直線都可看4直線的標(biāo)準(zhǔn)（包括兩點(diǎn)式）方程向一般式轉(zhuǎn)化是由標(biāo)準(zhǔn)方程定義，簡單的（見教材解釋，兩個(gè)特殊平面的交線）。事實(shí)上，下面看如何把直線的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。需找直線的一點(diǎn)和方向向量。如果直線的一般式方程為容易得到直線上一點(diǎn)，上節(jié)例2.1已經(jīng)知道直線的方向向量為比如取z=0直線的標(biāo)準(zhǔn)（包括兩點(diǎn)式）方程向一般式轉(zhuǎn)化是由標(biāo)準(zhǔn)方程定義，簡5因此，直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題3.1如果直線的一般式方程為則直線的一個(gè)方向向量為因此，直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題3.1如果直線的一般式方程為則直線6兩個(gè)直線的相關(guān)位置比兩個(gè)平面的關(guān)系復(fù)雜得多。三、兩條直線的相關(guān)位置命題3.2假設(shè)有兩個(gè)直線注意到直線是由其上一點(diǎn)和方向向量唯一確定的，且直線的標(biāo)準(zhǔn)方程也是由其一點(diǎn)和方向向量刻劃，因此下面只對標(biāo)準(zhǔn)方程討論即可。兩個(gè)直線的相關(guān)位置比兩個(gè)平面的關(guān)系復(fù)雜得多。三、兩條直線的相7則兩條直線的相關(guān)位置由三個(gè)向量確定。即（1）兩條直線異面的充要條件是三個(gè)向量異面（不共面），即以三個(gè)向量為棱的平行六面體體積不等于0向量組的秩為3則兩條直線的相關(guān)位置由三個(gè)向量確定。即（1）兩條直線異面的充8（2）兩條直線相交的充要條件是三個(gè)向量共面（線性相關(guān)），且不平行（線性無關(guān)）.（3）兩條直線平行的充要條件是三個(gè)向量滿足（3）兩條直線重合的充要條件是三個(gè)向量滿足證明根據(jù)圖形討論即可（見教材）。向量組的秩為2，無關(guān)向量組的秩為2，相關(guān)向量組的秩為1（2）兩條直線相交的充要條件是三個(gè)向量共面（線性相關(guān)），且9四、直線與平面的相關(guān)位置命題3.3假設(shè)一條直線和平面的方程是則（1）直線L平行平面II的充要條件是四、直線與平面的相關(guān)位置命題3.3假設(shè)一條直線和平面的方程是10（2）直線L在平面II上的充要條件是（3）直線L與平面II相交的充要條件是（2）直線L在平面II上的充要條件是（3）直線L與平面II相11例3.1問參數(shù)a和b滿足什么條件時(shí)，兩個(gè)直線共面、相交?解兩個(gè)直線共面的充要條件是例3.1問參數(shù)a和b滿足什么條件時(shí)，兩個(gè)直線共面、相交?解兩12因?yàn)閮芍本€的方向向量對任意的a和b都不平行，所以量直線相交的條件就是兩直線共面的條件，即例3.2求直線過點(diǎn)則由直線平設(shè)直線的方向向量為由于兩個(gè)平面相交，于是兩個(gè)平面方程的一次項(xiàng)系數(shù)不成比例，即線性方程組系數(shù)矩陣的秩為2，解行平面的條件得平行因?yàn)閮芍本€的方向向量對任意的a和b都不平行，所以量直線相交的13如解出一個(gè)于是直線方程為例3.3如何使由命題3.1知直線的方向向量為解

從而齊次線性方程組一定又非零解,落在xoz平面內(nèi)如解出一個(gè)于是直線方程為例3.3如何使由命題3.1知直線的方14于是由命題3.3（2）直線在xoz面的條件是xoz面的方程是且方程組有無窮解。于是由命題3.3（2）直線在xoz面的條件是xoz面的方程是15這等價(jià)于且方程組有無窮解。因此所求條件為作業(yè)：P216Ex2,3,6,7,8(2)這等價(jià)于且方程組有無窮解。因此所求條件為作業(yè)：P216E16§3用坐標(biāo)表示向量重點(diǎn)1、直線三種方程（尤其兩點(diǎn)式）及相互轉(zhuǎn)換一、直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程2、兩個(gè)直線的相互關(guān)系的確定幾何空間的直線L就是1維的線性流行，即3、直線與平面的相互關(guān)系的確定假設(shè)是1維線向量空間W的基向量，§3用坐標(biāo)表示向量重點(diǎn)1、直線三種方程（尤其兩點(diǎn)式）及17或等價(jià)的表示成稱上述方程是直線的參數(shù)方程，則L上的點(diǎn)滿足其中是稱為直線的方向向量?；虻葍r(jià)的表示成稱上述方程是直線的參數(shù)方程，則L上的點(diǎn)18上述參數(shù)方程也可消去t得到直線的標(biāo)準(zhǔn)方程顯然，因此，如果直線過兩點(diǎn)直線是由其上一點(diǎn)和方向向量唯一確定的。則直線的方向向量為從而得到直線的兩點(diǎn)式方程上述參數(shù)方程也可消去t得到直線的標(biāo)準(zhǔn)方程顯然，因此，如果直線19注釋1上面直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互顯然，任意直線都可看成是某兩個(gè)平面的交線。轉(zhuǎn)化方法是顯然的。在求解與直線有關(guān)的交點(diǎn)問題時(shí)直線的參數(shù)方程是簡單有用的。二、直線的一般方程因此，任意直線都是2個(gè)3元線性方程組的解集：上面方程稱為直線的一般式方程。注釋1上面直線的參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互顯然，任意直線都可看20直線的標(biāo)準(zhǔn)（包括兩點(diǎn)式）方程向一般式轉(zhuǎn)化是由標(biāo)準(zhǔn)方程定義，簡單的（見教材解釋，兩個(gè)特殊平面的交線）。事實(shí)上，下面看如何把直線的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。需找直線的一點(diǎn)和方向向量。如果直線的一般式方程為容易得到直線上一點(diǎn)，上節(jié)例2.1已經(jīng)知道直線的方向向量為比如取z=0直線的標(biāo)準(zhǔn)（包括兩點(diǎn)式）方程向一般式轉(zhuǎn)化是由標(biāo)準(zhǔn)方程定義，簡21因此，直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題3.1如果直線的一般式方程為則直線的一個(gè)方向向量為因此，直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題3.1如果直線的一般式方程為則直線22兩個(gè)直線的相關(guān)位置比兩個(gè)平面的關(guān)系復(fù)雜得多。三、兩條直線的相關(guān)位置命題3.2假設(shè)有兩個(gè)直線注意到直線是由其上一點(diǎn)和方向向量唯一確定的，且直線的標(biāo)準(zhǔn)方程也是由其一點(diǎn)和方向向量刻劃，因此下面只對標(biāo)準(zhǔn)方程討論即可。兩個(gè)直線的相關(guān)位置比兩個(gè)平面的關(guān)系復(fù)雜得多。三、兩條直線的相23則兩條直線的相關(guān)位置由三個(gè)向量確定。即（1）兩條直線異面的充要條件是三個(gè)向量異面（不共面），即以三個(gè)向量為棱的平行六面體體積不等于0向量組的秩為3則兩條直線的相關(guān)位置由三個(gè)向量確定。即（1）兩條直線異面的充24（2）兩條直線相交的充要條件是三個(gè)向量共面（線性相關(guān)），且不平行（線性無關(guān)）.（3）兩條直線平行的充要條件是三個(gè)向量滿足（3）兩條直線重合的充要條件是三個(gè)向量滿足證明根據(jù)圖形討論即可（見教材）。向量組的秩為2，無關(guān)向量組的秩為2，相關(guān)向量組的秩為1（2）兩條直線相交的充要條件是三個(gè)向量共面（線性相關(guān)），且25四、直線與平面的相關(guān)位置命題3.3假設(shè)一條直線和平面的方程是則（1）直線L平行平面II的充要條件是四、直線與平面的相關(guān)位置命題3.3假設(shè)一條直線和平面的方程是26（2）直線L在平面II上的充要條件是（3）直線L與平面II相交的充要條件是（2）直線L在平面II上的充要條件是（3）直線L與平面II相27例3.1問參數(shù)a和b滿足什么條件時(shí)，兩個(gè)直線共面、相交?解兩個(gè)直線共面的充要條件是例3.1問參數(shù)a和b滿足什么條件時(shí)，兩個(gè)直線共面、相交?解兩28因?yàn)閮芍本€的方向向量對任意的a和b都不平行，所以量直線相交的條件就是兩直線共面的條件，即例3.2求直線過點(diǎn)則由直線平設(shè)直線的方向向量為由于兩個(gè)平面相交，于是兩個(gè)平面方程的一次項(xiàng)系數(shù)不成比例，即線性方程組系數(shù)矩陣的秩為2，解行平面的條件得平行因?yàn)閮芍本€的方向向量對任意的a和b都不平行，所以量直線相交的29如解出一個(gè)于是直線方程為例3.3如何使由命題3.1知直線的方向向量為解

從而齊次線性方程組一定又非零解,落在xoz平面內(nèi)如