學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3萬有引力定律的應(yīng)用［學習目標］1。了解萬有引力定律在天文學上的重要應(yīng)用.2.理解“計算天體質(zhì)量”的基本思路.3。了解地球?qū)Φ孛嫖矬w的萬有引力與重力的區(qū)別和聯(lián)系。一、預言彗星回歸和未知星體1.預言彗星回歸（1）哈雷根據(jù)牛頓的引力理論對彗星軌道進行計算，預言彗星將于1758年再次出現(xiàn)。（2)克雷洛預言由于受木星和土星的影響,彗星推遲于1759年經(jīng)過近日點，且得到證實。2.預言未知星體根據(jù)天王星的運動軌道與由萬有引力定律計算出來的軌道存在的明顯偏差，英國的亞當斯和法國的勒維耶預言了天王星軌道外的一顆行星的存在,并計算出了這顆未知行星的質(zhì)量、軌道和位置.伽勒于1846年9月23日在預定區(qū)域發(fā)現(xiàn)了海王星，繼而1930年湯姆博夫又發(fā)現(xiàn)了冥王星.二、計算天體的質(zhì)量1.稱量地球的質(zhì)量(1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。（2)關(guān)系式：mg＝Geq\f(Mm,R2）.（3）結(jié)果:M＝eq\f(gR2，G），只要知道g、R、G的值,就可計算出地球的質(zhì)量。2。太陽質(zhì)量的計算(1)思路:質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時,行星與太陽間的萬有引力充當向心力。（2)關(guān)系式：eq\f（GMm，r2)＝meq\f(4π2，T2）r。（3）結(jié)論：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道行星繞太陽運動的周期T和軌道半徑r就可以計算出太陽的質(zhì)量。(4）推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r,可計算行星的質(zhì)量M。[即學即用］1。判斷下列說法的正誤。（1）天王星是依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的。（×）（2）牛頓根據(jù)萬有引力定律計算出了海王星的軌道.(×)(3)海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性.(√)（4)地球表面的物體的重力必然等于地球?qū)λ娜f有引力。（×)（5)若只知道某行星繞太陽做圓周運動的半徑，則可以求出太陽的質(zhì)量。(×）（6）已知地球繞太陽轉(zhuǎn)動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質(zhì)量。（×）2.已知引力常量G＝6。67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則可知地球的質(zhì)量約為（)A。2×1018kg B。2×1020kgC。6×1022kg D。6×1024kg答案D一、天體質(zhì)量和密度的計算[導學探究]1.卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球質(zhì)量的人”.(1)他測量的依據(jù)是什么？（2)若還已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，求地球的質(zhì)量和密度.答案（1)若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力.（2)由mg＝Geq\f（Mm,R2)，得：M＝eq\f(gR2,G)ρ＝eq\f(M，V)＝eq\f(M,\f（4，3)πR3)＝eq\f（3g,4πGR）.2。如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質(zhì)量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？答案由eq\f(Gm地M太，r2）＝eq\f（4π2,T2)m地r知M太＝eq\f(4π2r3,GT2).由密度公式ρ＝eq\f（M太,\f(4，3)πR\o\al（

3,太)）可知,若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑。［知識深化]天體質(zhì)量和密度的計算方法“自力更生法"“借助外援法”情景已知天體（如地球)的半徑R和天體（如地球)表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動思路物體的重力近似等于天體(如地球）與物體間的萬有引力：mg＝Geq\f（Mm，R2）行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當向心力：Geq\f（Mm,r2)＝m（eq\f(2π，T）)2r（或Geq\f（Mm,r2)＝meq\f(v2，r））(或Geq\f(Mm，r2）＝mω2r)天體質(zhì)量天體（如地球)質(zhì)量：M＝eq\f(gR2，G)中心天體質(zhì)量：M＝eq\f（4π2r3,GT2)（M＝eq\f（rv2，G）或M＝eq\f（r3ω2,G)）天體密度ρ＝eq\f（M，\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)ρ＝eq\f(M,\f（4，3)πR3）＝eq\f(3πr3，GT2R3）(以T為例）說明利用mg＝eq\f（GMm,R2)求M是忽略了天體自轉(zhuǎn)，且g為天體表面的重力加速度由F引＝F向求M,求得的是中心天體的質(zhì)量，而不是做圓周運動的天體質(zhì)量例1假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星。若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1，已知萬有引力常量為G。（1)則該天體的密度是多少?(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為T2，則該天體的密度又是多少?答案(1)eq\f(3π,GT\o\al（

2,1））(2)eq\f(3πR＋h3，GT\o\al(

2，2）R3)解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.（1）衛(wèi)星貼近天體表面運動時有Geq\f（Mm,R2)＝meq\f（4π2，T\o\al(

2,1))R，M＝eq\f(4π2R3，GT\o\al(

2，1))根據(jù)數(shù)學知識可知天體的體積為V＝eq\f(4，3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f（M,V）＝eq\f（4π2R3，GT\o\al（

2,1）·\f（4，3)πR3）＝eq\f（3π，GT\o\al（

2,1）).(2)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，忽略自轉(zhuǎn)有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(

2，2)）（R＋h）M＝eq\f（4π2R＋h3，GT\o\al（

2，2））ρ＝eq\f（M，V）＝eq\f（4π2R＋h3,GT\o\al（

2，2)·\f(4,3)πR3）＝eq\f（3πR＋h3，GT\o\al(

2，2）R3）注意區(qū)分R、r、h的意義：一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑,h指衛(wèi)星距離星球表面的高度，r＝R＋h.針對訓練過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天,軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20).該中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值約為()A。eq\f(1，10） B.1C。5 D。10答案B解析由Geq\f（Mm,r2)＝meq\f(4π2，T2)r得M∝eq\f(r3，T2）已知eq\f（r51,r地）＝eq\f(1，20），eq\f(T51，T地)＝eq\f（4,365），則eq\f（M51,M地)＝(eq\f（1，20）)3×（eq\f(365，4））2≈1，B項正確。例2有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求:(1）星球半徑與地球半徑之比；(2)星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比。答案（1)4∶1（2）64∶1解析（1)由eq\f(GMm,R2)＝mg得M＝eq\f（gR2，G)，所以ρ＝eq\f(M，V)＝eq\f（\f(gR2,G)，\f（4,3）πR3)＝eq\f（3g，4πGR)，R＝eq\f(3g，4πGρ)，eq\f（R,R地）＝eq\f（3g，4πGρ)·eq\f(4πGρ地，3g地)＝eq\f（g，g地)＝eq\f（4,1).（2)由（1）可知該星球半徑是地球半徑的4倍。根據(jù)M＝eq\f(gR2,G）得eq\f(M,M地)＝eq\f(gR2,G)·eq\f(G,g地R\o\al(

2,地）)＝eq\f（64,1）。二、物體所受地球的引力與重力的關(guān)系1.物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系:地球在不停地自轉(zhuǎn)，地球上的物體隨著地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動，做圓周運動需要一個向心力，所以重力不直接等于萬有引力而近似等于萬有引力，如圖1，萬有引力為F引，重力為G，自轉(zhuǎn)向心力為F′.當然，真實情況不會有這么大偏差。(1）物體在一般位置時F′＝mrω2，F(xiàn)′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引圖1方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm，R2）.(2）當物體在赤道上時,F′達到最大值Fmax′，F(xiàn)max′＝mRω2,此時重力最??；Gmin＝F引－Fmax′＝Geq\f(Mm，r2）－mRω2。(3）當物體在兩極時F′＝0G＝F引，重力達最大值Gmax＝Geq\f（Mm，r2）。可見只有在兩極處重力等于萬有引力，其他位置重力小于萬有引力（4)由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，自轉(zhuǎn)所需向心力很小，一般情況下認為重力近似等于萬有引力，mg≈Geq\f(Mm,R2），g為地球表面的重力加速度。2.重力與高度的關(guān)系:若距離地面的高度為h,則mg′＝Geq\f（Mm，R＋h2)（R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度）。所以在同一緯度距地面越高,物體的重力加速度越小,則物體所受的重力也越小.例3我國航天技術(shù)飛速發(fā)展，設(shè)想數(shù)年后宇航員登上了某星球表面。宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球,測得小球做平拋運動的水平距離為L,已知該星球的半徑為R，引力常量為G。求：(1)該星球表面的重力加速度；(2）該星球的平均密度。答案（1)eq\f（2hv2,L2）（2)eq\f（3hv2,2πGRL2)解析(1）小球在星球表面做平拋運動，有L＝vt，h＝eq\f（1，2）gt2，解得g＝eq\f(2hv2，L2)。（2)在星球表面滿足Geq\f（Mm，R2）＝mg又M＝ρ·eq\f（4，3)πR3，解得ρ＝eq\f（3hv2，2πGRL2）.1。（天體質(zhì)量的計算）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有（）A。月球的質(zhì)量 B。地球的質(zhì)量C。地球的半徑 D.地球的密度答案B解析由天體運動規(guī)律知Geq\f(Mm，R2）＝meq\f（4π2,T2）R可得地球質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3，GT2），由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確.2。（天體的質(zhì)量和密度的計算）一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要()A.測定飛船的運行周期 B。測定飛船的環(huán)繞半徑C.測定行星的體積 D。測定飛船的運行速度答案A解析取飛船為研究對象，由Geq\f(Mm，R2）＝mReq\f（4π2,T2）及M＝eq\f(4,3)πR3ρ，知ρ＝eq\f(3π，GT2),故選A。3。（地球表面的萬有引力與重力的關(guān)系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有()A.物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處,而重力小于兩極處B。赤道處的角速度比南緯30°大C。地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大D。地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力答案A解析由F＝Geq\f(Mm,R2)可知，若地球看成球形,則物體在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的兩個分力一個是物體的重力,另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小,A對.地球各處的角速度均等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，B錯.地球上只有赤道上的物體向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C錯。地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力與地面支持力的合力,D錯.4。（物體的運動與萬有引力的結(jié)合）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處;若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處.（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計）（1)求該星球表面附近的重力加速度g星的大小；（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為eq\f（R星,R地）＝eq\f（1,4），求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比eq\f（M星，M地）.答案(1）2m/s2(2)eq\f(1，80)解析（1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處,根據(jù)運動學公式可有t＝eq\f（2v0，g)。同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,經(jīng)過時間5t小球落回原處，則5t＝eq\f（2v0，g星)根據(jù)以上兩式,解得g星＝eq\f(1，5)g＝2m/s2(2）在天體表面時，物體的重力近似等于萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，所以M＝eq\f（gR2,G）由此可得,eq\f（M星，M地)＝eq\f(g星,g）·eq\f(R\o\al（

2，星），R\o\al（

2，地）)＝eq\f(1,5）×eq\f(1,42)＝eq\f（1，80).課時作業(yè)一、選擇題（1～9為單選題，10～11為多選題）1。關(guān)于萬有引力定律應(yīng)用于天文學研究的歷史事實,下列說法中正確的是（）A.天王星、海王星和冥王星，都是運用萬有引力定律、經(jīng)過大量計算后發(fā)現(xiàn)的B。在18世紀已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的7個行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七個行星-—天王星的運動軌道總是同根據(jù)萬有引力定律計算出來的結(jié)果有比較大的偏差,于是有人推測，在天王星軌道外還有一個行星，是它的存在引起了上述偏差C。海王星是牛頓運用自己發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律，經(jīng)大量計算而發(fā)現(xiàn)的D。冥王星是英國劍橋大學的學生亞當斯和勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的答案B解析天王星是通過觀察發(fā)現(xiàn)的，選項A錯誤，B正確；海王星是英國劍橋大學的學生亞當斯和勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的,選項C、D錯誤.2。地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為eq\f(g,2)，則該處距地球表面的高度為（）A。(eq\r（2)－1)RB.RC。eq\r(2)RD。2R答案A解析萬有引力近似等于重力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m,物體距地面的高度為h,分別列式eq\f(GMm,R2）＝mg，Geq\f(Mm，R＋h2）＝meq\f（g，2），聯(lián)立得2R2＝（R＋h)2，解得h＝（eq\r(2）－1）R,選項A正確.3。據(jù)報道,最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居"行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍,一個在地球表面重量為600N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60N.由此可推知,該行星的半徑與地球半徑的比值為（）A.0.5B。2C.3.2D。4答案B解析若地球質(zhì)量為M0，則“宜居”行星質(zhì)量為M＝6。4M0,由mg＝Geq\f(Mm，r2)得eq\f（m0g，m0g′)＝eq\f(M0,r\o\al(

2，0）)·eq\f(r2,M)＝eq\f（600，960)，所以eq\f（r,r0）＝eq\r(\f（600M，960M0))＝eq\r(\f（600×6.4M0，960M0))＝2，選項B正確。4。地球表面的平均重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為()A.eq\f(3g,4πRG）B.eq\f（3g，4πR2G)C.eq\f(g，RG）D。eq\f（g,RG2)答案A解析忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對處于地球表面的物體，有mg＝Geq\f(Mm，R2)，又地球質(zhì)量M＝ρV＝eq\f(4，3)πR3ρ。代入上式化簡可得地球的平均密度ρ＝eq\f（3g，4πRG)。5.火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f（1，2)，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為()A.0。2gB.0。4gC。2。5gD.5g答案B解析在星球表面有mg＝eq\f(GMm,R2）,設(shè)火星表面的重力加速度為g火,則eq\f(g火，g）＝eq\f（M火R\o\al(

2，地),M地R\o\al(

2,火)）＝0。4，故B正確.6.2015年7月23日，美國宇航局通過開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了迄今“最接近另一個地球”的系外行星開普勒－452b,開普勒－452b圍繞一顆類似太陽的恒星做勻速圓周運動，公轉(zhuǎn)周期約為385天(約3。3×107s）,軌道半徑約為1.5×1011m,已知引力常量G＝6。67×10－11N·m2/kg2，利用以上數(shù)據(jù)可以估算類似太陽的恒星的質(zhì)量約為（)A.1.8×1030kg B.1.8×1027kgC。1。8×1024kg D。1。8×1021kg答案A解析根據(jù)萬有引力充當向心力,有Geq\f(mM，r2)＝mreq\f（4π2，T2),則中心天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2）≈eq\f（4×3.142×1.5×10113，6.67×10－11×3.3×1072）kg≈1。8×1030kg，故A正確.7。若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r,則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為()A.eq\f(R3t2,r3T2）B.eq\f（R3T2,r3t2)C。eq\f(R3t2，r2T3）D.eq\f（R2T3，r2t3)答案A解析無論地球繞太陽公轉(zhuǎn),還是月球繞地球公轉(zhuǎn)，統(tǒng)一的公式為eq\f(GMm，R\o\al（

2，0））＝meq\f（4π2R0，T\o\al（

2,0））,即M∝eq\f（R\o\al（

3，0)，T\o\al(

2,0))，所以eq\f(M日,M地)＝eq\f(R3t2,r3T2）。8?！版隙鹑枴钡沫h(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號"在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時間t通過的弧長為l,該弧長對應(yīng)的圓心角為θ(弧度）,如圖1所示。已知引力常量為G，由此可推導出月球的質(zhì)量為()圖1A.eq\f（l3,Gθt2)B.eq\f(l3θ，Gt2）C。eq\f（l,Gθt2)D.eq\f(l2,Gθt2)答案A解析根據(jù)弧長及對應(yīng)的圓心角,可得“嫦娥三號”的軌道半徑r＝eq\f（l,θ），根據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和時間,可得ω＝eq\f（θ,t），由于月球?qū)Α版隙鹑?的萬有引力提供“嫦娥三號”做圓周運動的向心力，可得Geq\f(Mm，r2）＝mω2r,由以上三式可得M＝eq\f(l3,Gθt2）.9.假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體.一礦井深度為d（礦井寬度很?。?已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A.1－eq\f(d，R)B。1＋eq\f(d，R）C.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R）））2D。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(R，R－d）))2答案A解析設(shè)地球的密度為ρ，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM，R2)。地球質(zhì)量可表示為M＝eq\f（4,3）πR3ρ.質(zhì)量分布均勻的球殼對球殼內(nèi)物體的引力為零,礦井下以（R－d）為半徑的地球的質(zhì)量為M′＝eq\f（4,3)π（R－d)3ρ，解得M′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(R－d,R)))3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝eq\f（GM′，R－