PAGEPAGE17§6-1引言系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)R(s)與激勵(lì)E(s)之間的比值：電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的分類激勵(lì)響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)輸入函數(shù)電壓電流輸入導(dǎo)納：電流電壓輸入阻抗：轉(zhuǎn)移函數(shù)傳輸函數(shù)電流電壓轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)：電壓電流轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)：電流電流電流傳輸函數(shù)：電壓電壓電壓傳輸函數(shù)：三、、、、之間關(guān)系1、與形式相同，含義不同；2、中當(dāng)時(shí)，就得到了系統(tǒng)特性在頻域中的表達(dá)形式；3、H(s)是的像函數(shù)，是H(s)的原函數(shù)。所以，得到了H(s)以后，就可以得到、和。通過(guò)H(s)可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合和分析?！?-2系統(tǒng)函數(shù)的表示法系統(tǒng)函數(shù)可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)，也可以用圖示的方法表達(dá)。前者比較簡(jiǎn)單，但是無(wú)法直接看出系統(tǒng)的特性。后者可以直接表示出系統(tǒng)的特性，便于對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行深入研究。常用的圖示法有三種：頻率特性，復(fù)軌跡，極零圖。一、頻率特性正如第四章中所見(jiàn)，系統(tǒng)特性可以用反映幅度特性隨頻率變化規(guī)律的幅頻特性曲線和反映相位特性隨頻率變化規(guī)律的相頻特性曲線描述。頻率特性主要用于研究系統(tǒng)的頻率特性分析。對(duì)于，沒(méi)有必要研究其隨任意復(fù)頻率變化的規(guī)律，只需要令，得到，研究沿s平面虛軸變化的規(guī)律。對(duì)于一般的（電）系統(tǒng)，為s的有理函數(shù)，其幅頻特性為的偶函數(shù)，相頻特性為的奇函數(shù)。所以，只要畫(huà)出部分即可。頻率特性曲線有時(shí)也在對(duì)數(shù)尺度的坐標(biāo)系中作出，稱為波特圖。見(jiàn)§6-4。對(duì)于因果系統(tǒng)而言，的實(shí)部和虛部相互聯(lián)系，知道其中一個(gè)，就可以推導(dǎo)出另一個(gè)。證明：對(duì)于因果系統(tǒng)，有：根據(jù)上面兩個(gè)的公式，可以從計(jì)算出或反之。二、復(fù)軌跡定義：對(duì)于每一個(gè)值，函數(shù)都是一個(gè)復(fù)數(shù)，都可以用復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)表示。令從變化到，在復(fù)平面上的點(diǎn)將隨之運(yùn)動(dòng)，其在復(fù)平面上所產(chǎn)生的軌跡稱為復(fù)軌跡。例：的根軌跡和頻率特性曲線。見(jiàn)e6_2.m由于相頻特性為的奇函數(shù)。在處的相位一定為零，一定是實(shí)數(shù),落在實(shí)軸上。，或，——>復(fù)軌跡一定是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。復(fù)軌跡主要用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。極零圖將的極點(diǎn)和零點(diǎn)在復(fù)平面上表示出來(lái)，構(gòu)成了極零圖。例如：的極零圖：與s之間的關(guān)系如果直接用圖形方法表示的話，應(yīng)該用兩個(gè)三維圖形（的幅度與相位，或者實(shí)部與虛部）表示，不太方便。例如：并聯(lián)LC諧振電路的系統(tǒng)函數(shù)為其隨s變化的三維圖形為：而其極零圖為：顯然極零圖比原來(lái)的三維圖形要簡(jiǎn)單得多。如果系統(tǒng)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)都確定了以后，系統(tǒng)函數(shù)基本上就確定了（可能相差一個(gè)常數(shù)）。可以認(rèn)為，極零圖是是的一種圖像化表示方法。例6－2－1例6－2－1：已知一階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)分布如下圖所示，“x”表示極點(diǎn)，“0”表示零點(diǎn)，且H0＝1。求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)u(t)。解：根據(jù)極零圖和H0可以寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)得階躍響應(yīng)：反變換得：例6－2－2例6－2－2：已知一LTI的輸入是那么零狀態(tài)響應(yīng)是試求系統(tǒng)函數(shù)及此系統(tǒng)的微分方程。分析：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)Rzs(s)=H(s)E(s)解：Rzs(s)=H(s)E(s)§6-3系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布及其與系統(tǒng)時(shí)域特性的關(guān)系極零點(diǎn)分布的對(duì)稱性一般在實(shí)際應(yīng)用中，是一個(gè)實(shí)系數(shù)的有理分式，其極零點(diǎn)要么是實(shí)數(shù)，要么是共扼復(fù)數(shù)。所以，極零點(diǎn)一定關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。極零點(diǎn)的個(gè)數(shù)如果將處的極零點(diǎn)都考慮在內(nèi)，則系統(tǒng)的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等。極零點(diǎn)與系統(tǒng)自然響應(yīng)信號(hào)模式之間的關(guān)系系統(tǒng)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根，它決定了系統(tǒng)自然響應(yīng)或者零輸入響應(yīng)中可能含有的各個(gè)信號(hào)的模式。假設(shè)系統(tǒng)的極點(diǎn)是、，…，極零點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大關(guān)系。具體討論見(jiàn)下面§6-6節(jié)。例6－3－1例6－3－1：一線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：求此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并分析此系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定性。分析：系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)為一對(duì)拉普拉斯的象函數(shù)和原函數(shù)。解因?yàn)樵?1<t<0,h(t)>0,所以是非因果系統(tǒng)所以是穩(wěn)定系統(tǒng)?？偨Y(jié)：理解系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應(yīng)的關(guān)系。我們?cè)谟懻撌諗坑颍阂蚬到y(tǒng)的收斂域是最右邊極點(diǎn)的右邊區(qū)域；但收斂域是右邊的區(qū)域，并不意味著是因果系統(tǒng)，除非系統(tǒng)函數(shù)是有理的?！?-4極零點(diǎn)與系統(tǒng)頻率特性通過(guò)極零點(diǎn)求系統(tǒng)頻率特性一般系統(tǒng)可以表示為：假設(shè)：，則：所以：，如果在極零圖上確定了，不難得到頻率特性。例：根據(jù)極零圖，可以粗略地確定系統(tǒng)頻率特性。當(dāng)靠近極點(diǎn)時(shí)，幅頻特性會(huì)產(chǎn)生一個(gè)峰；當(dāng)靠近零點(diǎn)時(shí)，幅頻特性會(huì)產(chǎn)生一個(gè)谷。極零點(diǎn)靠虛軸越近，相應(yīng)的峰或谷越尖銳。當(dāng)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）正好落在虛軸上時(shí)，幅頻特性會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無(wú)窮大（或零）點(diǎn)。兩種重要的系統(tǒng)函數(shù)全通系統(tǒng)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱分布的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱分布——>和相等，分子分母相互抵消——>，是與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)——>系統(tǒng)對(duì)所有的頻率分量都有相同的增益，故稱為全通系統(tǒng)。全通系統(tǒng)一般用于對(duì)系統(tǒng)的相位進(jìn)行調(diào)整。通過(guò)后面的內(nèi)容可以知道，穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)只出現(xiàn)在s平面的左半平面中。所以，穩(wěn)定的全通系統(tǒng)的零點(diǎn)只出現(xiàn)在s平面的右半平面中。最小相位系統(tǒng)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)全部處于虛軸以左的半平面上的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。例如系統(tǒng)：最小相位系統(tǒng)在所有具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，對(duì)信號(hào)的相位移動(dòng)最小。例如,下面極零圖表示的兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的幅頻特性,但是顯然上面極零圖表示的系統(tǒng)的相位要小于下面極零圖表示的系統(tǒng)。例6－4－1例6－4－1：解：第一步：寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)第二步：畫(huà)極零圖第三步：寫(xiě)出頻響函數(shù)第四步：根據(jù)零極點(diǎn)畫(huà)出頻率特性曲線（這里只畫(huà)出幅頻特性曲線）0-90900-90905601000.5615+5-30§6-5波特圖引言頻率特性曲線是系統(tǒng)特性的最常用的描述方式。但是它在使用中有一些不便：不能解決信號(hào)動(dòng)態(tài)范圍與精度之間的矛盾；不能解決頻率范圍與精度之間的矛盾；波特圖采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，解決上面的問(wèn)題。而且它有利于系統(tǒng)綜合。對(duì)數(shù)頻率特性假設(shè)：。對(duì)其取對(duì)數(shù)：其虛部正是系統(tǒng)的相頻特性，而實(shí)部：稱為對(duì)數(shù)增益，反映了系統(tǒng)幅頻特性，單位奈培（Np,Neper）。一般情況下不用自然對(duì)數(shù)，而取常用對(duì)數(shù)，定義：?jiǎn)挝唬悍重?Deci-Bel,dB)。奈培與分貝的轉(zhuǎn)換關(guān)系：1Np=8.686dB在理論分析中，一般使用Np；在實(shí)際應(yīng)用中，一般使用dB用分貝表示增益，解決了信號(hào)動(dòng)態(tài)范圍與精度之間的矛盾。如果在頻率坐標(biāo)中同樣使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，則同樣可以解決頻率的范圍與精度之間的矛盾。這樣一來(lái)就形成了波特圖。波特圖的橫坐標(biāo)可以用，也可以用;在波特圖的橫坐標(biāo)上，一般直接標(biāo)注頻率值；波特圖的橫坐標(biāo)上只能表示或者頻率下的系統(tǒng)特性。圖中的二、三象限并非表示頻率小于零的部分，而是表示頻率小于1（大于零）部分頻率特性。根據(jù)系統(tǒng)頻率特性的共扼對(duì)稱性,不難得到頻率小于零部分的特性。在波特圖的縱坐標(biāo)上，可以標(biāo)注系統(tǒng)幅頻特性值（如圖中紅字所示），也可以標(biāo)注分貝值。為了方便參數(shù)的判讀，實(shí)際工程中的波特圖中的刻度也不是按照等間隔設(shè)置的，而是按照對(duì)數(shù)間隔設(shè)置。例如下圖。有專用的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖紙可以用于手工繪制波特圖。波特圖的縱坐標(biāo)上同樣也只表示了系統(tǒng)幅頻特性中大于零的部分。圖中的三、四象限并非表示系統(tǒng)的幅頻特性小于零，而是表示系統(tǒng)的幅頻特性小于1（大于零）。線性系統(tǒng)的波特圖1、一般系統(tǒng)的波特圖所以，不僅系統(tǒng)的相頻特性是各個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)的相頻特性的疊加，而且系統(tǒng)的幅頻特性是各個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)的相頻特性的疊加。所以，可以根據(jù)各個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)的波特圖的疊加得到系統(tǒng)的波特圖。2、一次因式的波特圖單個(gè)零點(diǎn)的波特圖：（1）幅頻特性其中第一項(xiàng)是固定的常數(shù)，可以暫時(shí)不考慮；對(duì)第二項(xiàng)，有：當(dāng)時(shí)，——>低頻漸近線；當(dāng)時(shí)，——>高頻漸近線。如果頻率也取對(duì)數(shù)，則高頻漸近線是一個(gè)斜率為20的直線，其與低頻漸近線（橫坐標(biāo)）的交點(diǎn)為?？梢杂酶?、低頻漸近線近似單個(gè)零點(diǎn)的波特圖，在適當(dāng)加以修正。單個(gè)零點(diǎn)的波特圖高頻部分增益每倍頻程增加6dB,每10倍頻程衰減20dB（2）相頻特性同樣可以得到相頻特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下也可以近似表示為兩段折線單個(gè)極點(diǎn)的波特圖單個(gè)極點(diǎn)的波特圖與單個(gè)零點(diǎn)的波特圖相似，只不過(guò)折線方向相反。共扼零點(diǎn)或者極點(diǎn)（或稱二次因式）的波特圖。幅頻特性其中高頻部分增益每倍頻程增加12dB,每10倍頻程衰減40dB。但是其修正方式與單極點(diǎn)不同。相頻特性詳細(xì)討論見(jiàn)P305頁(yè)。3、一般系統(tǒng)的波特圖手工作法：確定其中的常數(shù)（或波特圖的起點(diǎn)）。必須考慮的平移量有：在公式中的常數(shù)： 對(duì)于每一個(gè)零點(diǎn)增益中的常數(shù)：對(duì)于每一個(gè)極點(diǎn)增益中的常數(shù)：根據(jù)零極點(diǎn)確定轉(zhuǎn)折點(diǎn)；用漸近線繪出近似的波特圖；修正，得到比較精確的波特圖。由此就可以得到最后的波特圖。思考：重根如何處理？利用計(jì)算機(jī)技術(shù)，可以很容易地得到任何系統(tǒng)的頻率特性曲線和波特圖，不用通過(guò)上面的方法畫(huà)了。但是，其中的一些結(jié)論在實(shí)際工作中依然有很重要參考價(jià)值?！?-6系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)定義如果系統(tǒng)對(duì)于有限（有界）的激勵(lì)（即存在常數(shù)，使得在任意t的條件下都成立），有有限的響應(yīng)（即存在常數(shù)，使在任意t的條件下都成立，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。簡(jiǎn)言之，在有限的激勵(lì)下有有限的響應(yīng)的系統(tǒng)為稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其沖激函數(shù)絕對(duì)可積，即存在常數(shù)，使成立（或表示為）。對(duì)于因果系統(tǒng)，有證明：充分性：假設(shè)成立，對(duì)于有限激勵(lì)信號(hào)，有：其響應(yīng)也有限。充分性得證。必要性：必要性可以通過(guò)一個(gè)反例證明。假如，構(gòu)造一個(gè)有界的激勵(lì)信號(hào)：則在該激勵(lì)下的響應(yīng)為：無(wú)界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，必要性得證。要求穩(wěn)定系統(tǒng)的的極點(diǎn)只能分布在s

平面的左半平面（即各個(gè)極點(diǎn)的實(shí)部應(yīng)該小于零）。如果系統(tǒng)在軸上有一階極點(diǎn)（如純LC網(wǎng)絡(luò)），其沖激響應(yīng)中存在無(wú)阻尼正弦函數(shù)，不滿足穩(wěn)定性條件。如果這時(shí)激勵(lì)信號(hào)中同樣在軸上相同位置恰好有一階極點(diǎn)，這時(shí)候雖然激勵(lì)有限，但響應(yīng)中出現(xiàn)了重極點(diǎn)，r(t)為隨時(shí)間增大的振蕩（），系統(tǒng)不穩(wěn)定。但是，這種激勵(lì)的極點(diǎn)與系統(tǒng)極點(diǎn)恰好重合的可能性是很小的，在除此而外其它所有有限的激勵(lì)作用下其響應(yīng)都是有限的，所以稱為是臨界（邊界）穩(wěn)定，可以劃歸于穩(wěn)定系統(tǒng)。所以，穩(wěn)定系統(tǒng)在軸上可以有一階極點(diǎn)。但是，這種系統(tǒng)在實(shí)際工作中不能確保穩(wěn)定，系統(tǒng)參數(shù)略有變化就可能導(dǎo)致不穩(wěn)定，而且不能保證在任何激勵(lì)下都穩(wěn)定。所以有人將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)劃歸于不穩(wěn)定系統(tǒng)之列。系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的直接方法是根據(jù)H(s)的極點(diǎn)的位置或h(t)是否絕對(duì)可積，但是一般情況下極點(diǎn)或h(t)很難得到。所以希望能有不求出極點(diǎn)或h(t)的條件下直接判斷的簡(jiǎn)單方法。在很多情況下,可以得到H(s)的分母多項(xiàng)式。在這樣的條件下，通過(guò)解方程得到各個(gè)極點(diǎn)的具體值很困難，需要找到其它方法。分母多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)部大于零的根的必要條件是所有的系數(shù)（）同號(hào)。但是這并不是充分條件。如何直接根據(jù)判斷其中是否有實(shí)部大于零的根以及這樣的根的個(gè)數(shù)？這就需要使用羅斯-霍維斯法則。羅斯-霍維斯（RouthHurwitz）判據(jù)。如果知道H(s)的分母多項(xiàng)式：則可以不用求其根，直接根據(jù)判斷其中是否有實(shí)部大于零的根以及這樣的根的個(gè)數(shù)。羅斯-霍維斯數(shù)列：將D(s)的系數(shù)按下面順序排列：以上式為基礎(chǔ)計(jì)算下表：其中：；；……….其中的構(gòu)成了羅斯-霍維斯數(shù)列D(s)=0的所有根的實(shí)部小于零的必要條件是其所有系數(shù)均同號(hào)，且都不為零。如果考慮到一般情況下，所以其它系數(shù)都應(yīng)該大于零。D(s)=0的根中，實(shí)部大于零的根的個(gè)數(shù)等于其羅斯-霍維斯數(shù)列的符號(hào)變化的次數(shù)。例6－6－1例6－6－1：試判別特征方程為的系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解該系統(tǒng)的特征方程為排列該式系數(shù)，并計(jì)算羅斯—霍維茨陣列：2112116-11060由此得羅斯-霍維茨數(shù)列2、1、-11、6。該數(shù)列在1到-11以及-11到6兩次變換符號(hào)，故知以上方程有兩個(gè)根的實(shí)部為正。由此可以判定與此特征方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果在計(jì)算中出現(xiàn)了一個(gè)，則下面各行無(wú)法再計(jì)算下去。解決方法有兩個(gè)：將原來(lái)的D(s)乘以(s+1)，再重新計(jì)算。將0用一個(gè)正無(wú)窮小量代替，繼續(xù)計(jì)算。例6－6－2例6－6－2：已知系統(tǒng)特征方程為，試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解構(gòu)作羅斯—霍維茨陣列，為清楚計(jì)，陣列左方標(biāo)注該行首項(xiàng)的冪次有因?yàn)闀r(shí)，為負(fù)值，羅斯—霍維茨數(shù)列變號(hào)兩次，該系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。小結(jié)：在計(jì)算羅斯—霍維茨陣列時(shí)，如遇到連續(xù)兩行數(shù)字相等或成比例，則下一行元素將全部為零，陣列也無(wú)法排下去。這種情況說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)在虛軸上可能有極點(diǎn)。對(duì)此情況可作如下處理，由全零行前一行的元素組成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，用此多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替全零行則可繼續(xù)排出羅斯-霍維茨陣列。因?yàn)檫@時(shí)輔助多項(xiàng)式必為原系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的一個(gè)因式，令它等于零所求得的根必也是原系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，故這時(shí)的判據(jù)，除要審察羅斯-霍維茨數(shù)列看其是否變號(hào)外，還要審察虛軸上極點(diǎn)的階數(shù)。羅斯-霍維茨數(shù)列如變號(hào)則系統(tǒng)不穩(wěn)定；而在羅斯-霍維茨數(shù)列不變號(hào)的情況下，如虛軸上的極點(diǎn)俱為單極點(diǎn)則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，如虛軸上有重極點(diǎn)則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果在計(jì)算中出現(xiàn)了一個(gè)全零行，則說(shuō)明系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，系統(tǒng)最多是臨界穩(wěn)定的。可以直接認(rèn)為系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（如果將臨界穩(wěn)定劃歸于不穩(wěn)定之列），或者對(duì)系統(tǒng)是否臨界穩(wěn)定作出進(jìn)一步判定，步驟如下：首先用全零行上面一行的輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)替代全零行，繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，判定是否有實(shí)部大于零的根；判斷虛軸上的極點(diǎn)的階數(shù)——求解輔助多項(xiàng)式的根——從而判定系統(tǒng)是否臨界穩(wěn)定。例6－6－3例6－6－3：系統(tǒng)特征方程為，試判別該系統(tǒng)