第二講：曲線運動第二講：曲線運動一、曲線運動的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運動的特點速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運動問題的運動學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法概述一、曲線運動的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲四、常見的曲線運動形式1.基本形式（1）拋體運動平拋運動斜拋運動（2）圓周運動2.比較復(fù)雜的曲線運動（1）螺旋運動平面螺旋螺距運動（2）漂移圓周運動四、常見的曲線運動形式1.基本形式（1）拋體運動平拋運動斜拋v2v1xpRxyO

Hh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點水平拋出，起拋點離水平地面的高度為H，水平速度分別為v1和v2（v1>v2）。球1拋出后剛好能越過位于xp處的豎直桿頂端，并落于地面上的R點，R點與O點的距離為R。球2拋出后落于地面，與地面做彈性碰撞，反彈后也剛好能越過桿頂，并落在同一點R。試求：（1）兩球初速度的比值；（2）桿的位置xp；（3）桿的高度h。一．平拋運動v2v1xpRxyOHh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點評一：平拋運動要點（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一圖象描述：（2）運動特點：水平方向：勻速直線運動豎直方向：自由落體（3）運動規(guī)律：水平方向：豎直方向：點評一：平拋運動要點（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一（4）質(zhì)點運動的軌跡方程軌跡方程運動方程P(x,y)xOyxy（4）質(zhì)點運動的軌跡方程軌跡方程運動方程P(x,y)xOyxxyOxyOxyOHxyOHaxyOxyOxyOHxyOHa7（5）兩點討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyOv方向：β（5）兩點討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyO8（6）二級結(jié)論表述方式一：

平拋運動中，任一時刻物體速度方向與水平方向夾角的正切值，等于從運動開始到這一時刻物體的位移方向與水平方向夾角正切值的二倍。（6）二級結(jié)論表述方式一：平拋運動中，任一時刻物體速9表述方式之二：

平拋運動中，任一時刻物體速度的反向延長線與初速度延長線的交點，是這段時間內(nèi)物體水平位移的中點。證明：如圖所示，任取點P，作其切線的反向延長線交x軸與A點簡化表述方式：交點是中點xyOvPAy表述方式之二：平拋運動中，任一時刻物體速v2v1xpRxyO

Hh點評二：此題中小球的軌跡方程點評三：運動的對稱性分析R/32R/3小球1：起拋點、桿的頂端、落地點R；小球2：起拋點；第一次落地點：桿的頂端；反彈到最高點：落地點R。v2v1xpRxyOHh點評二：此題中小球的軌跡方程點評三解析：v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（1）由平拋運動軌跡方程有：球1：球2：落地點坐標(biāo)：（R，0）①第一次落地點坐標(biāo)：（R/3，0）②解析：v2v1xpRxyOHhR/32R/3（1）由平拋運v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（2）球2反彈后的軌跡方程：式中球1：舍去v2v1xpRxyOHhR/32R/3（2）球2反彈后的軌v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（3）球1：兩個特殊點：（xp，h）和（R，0）v2v1xpRxyOHhR/32R/3（3）球1：兩個特殊例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，落到斜面上，不計空氣阻力，試討論下列問題：（1）小球在空中的運動時間；（2）小球離斜面的最大高度；（3）證明小球落到斜面上時的速度方向與水平初速度v0無關(guān)。v0θ例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運動分解為：x軸方向：初速度？加速度？y軸方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的運動時間（2）小球離斜面的最大高度（3）證明v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運動分解為：x軸例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)下進行投擲訓(xùn)練。（1）若已知手榴彈出手時速率為v0，與水平方向的夾角為θ，則手榴彈在空中運動的最小速率為多少？（2）若已知手榴彈出手時速率為v0，則其與水平方向夾角為多少時射程最遠？最遠射程為多少？（3）若已知目標(biāo)離投擲點（手榴彈脫手時的位置）的水平距離為s，豎直高度為h，手榴彈質(zhì)量為m。要準(zhǔn)確命中目標(biāo)，對手榴彈至少要做多少功？（以上過程中，均忽略空氣阻力。）二．斜拋運動例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)xyθv0點評：斜拋運動要點分析（1）運動的分解水平方向：豎直方向：（2）空中運動時間t（3）射程X和射高Y（4）極值討論當(dāng)θ=450時，（5）軌跡方程當(dāng)θ=900時，XY1sinαtanαsecαcosαctgαcscαxyθv0點評：斜拋運動要點分析（1）運動的分解水平方向：豎18（1）手榴彈做斜拋運動，將其初速度分解為水平和豎直兩個方向，則有：解析：當(dāng)手榴彈運動到最高點時，豎直方向的分速率為零，此時速率最小，其值為：（2）設(shè)手榴彈出手時速度與水平地面的夾角為θ，空中運動時間為t，射程為L，則有：因此，當(dāng)θ=450時，射程最遠。最遠射程為：（1）手榴彈做斜拋運動，將其初速度分解為水平和豎直兩個方向，（3）設(shè)的手榴彈出手時速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投擲點為坐標(biāo)原點，豎直向上為y軸正方向，則t時刻手榴彈的位置坐標(biāo)為：因手榴彈準(zhǔn)確命中目標(biāo)，故目標(biāo)位置滿足位置方程，即：消除參數(shù)t，得：即：故要對手榴彈做功的最小值為（3）設(shè)的手榴彈出手時速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一個石子，求拋射角為多少時，水平射程最遠？最遠射程為多少？例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運動時間為t當(dāng)時，x2有極值，x有極值xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運動時間為t當(dāng)時，x2有極值，xxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時刻t當(dāng)y=-h時，x=s再用輔助角公式求解xyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時刻t當(dāng)y=-h時，x=s再解法四：將斜拋運動分解為v0方向的勻速運動和自由落體運動其位移矢量圖如右所示v0ty由圖可知：x其他與解法一相同。解法四：將斜拋運動分解為v0方向的勻速運動和自由落體運動其位解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量圖的面積v0vgtvx因初速v0、末速v均為定值，顯然當(dāng)二者夾角為900時，S最大，因而x最大，所以有：解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達到最高點爆炸。設(shè)各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸開，試證明各碎片在下落過程中始終保持在同一球面上面，并求球面半徑與球心位置隨時間變化的規(guī)律（忽略空氣阻力）。v0v0xv0yv0zzxyo點評:（1）速度的分解（2）運動分析X方向：Y方向：Z方向：例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達到最高點爆炸。設(shè)各碎片以相同的速v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸時刻為零時刻，爆炸點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，對任一碎片在時刻t，其位置坐標(biāo)為：式中0為任一碎片的初速率，與拋射角無關(guān)，對于每一給定時間t，上述方程式是一個球面方程，球面半徑R=0t，即R隨時間t成正比不斷增大，球心位置為（0，0，

），表明球心位置始終保持在z軸上，且隨時間以重力加速度g加速下降。v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸例6.初速度為v0

的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．v0v0xv0yv0zzxyo點評：建立圖中直角坐標(biāo)系，設(shè)v0與xoy平面的夾角為θ，對任一時刻t有：θ例6.初速度為v0的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時，必滿足包絡(luò)線方程為整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時，必滿例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾角為θ的斜面的底角處做斜上拋運動。為使物體從斜面體頂角處切過，并落在傾角為Φ的斜面底角處，則物體的拋射角α與傾角θ、Φ應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用簡單形式寫出）θΦhv0α例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度為h，則其頂點和右側(cè)底端坐標(biāo)分別為（hcotθ,h）和[h(cotθ+cotΦ),0]θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度θv0s例8．軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士自距離墻壁s處以速度v0起跳，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上運動而繼續(xù)升高。若墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ，求能使人體重心有最大總升高的起跳角θ是多少？解析：

設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達墻面所用時間為t，到達墻面處時，人的速度的水平分量為vx，豎直分量為vy，則：這一過程，人的重心升高為：θv0s解析：設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達墻腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動量增加，由動量定理有：由題意知，正壓力的沖量恰可使人的水平分動量變?yōu)榱?，即：因而?蹬墻后，人的重心速度變?yōu)樨Q直向上的方向，以v’y表示，則有：人體以此速度繼續(xù)升高，其升高量為：則全過程人體的總升高量為腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時，H有最大值為：上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時，H有最大值為：例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在水平地面上，盤與地面間無摩擦。圓盤中心處有一只質(zhì)量為m的小青蛙（可處理成質(zhì)點），小青蛙將從靜止跳出圓盤。為解答表述一致，將青蛙跳起后瞬間相對地面的水平分速度記為vx，豎直向上的分速度記為vy，合成的初始速度大小記為v，將圓盤后退的速度記為u。（1）設(shè)青蛙跳起后落地點在落地時的圓盤外。（1.1）對給定的vx，可取不同的vy，試導(dǎo)出跳起過程中青蛙所作功W的取值范圍，答案中可包含的參量為M、R、m、g（重力加速度）和vx。（1.2）將（1.1）問所得W取值范圍的下限記為W0，不同的vx對應(yīng)不同的W0值，試導(dǎo)出其中最小者Wmin，答案中可包含的參量為M、R、m和g。（2）如果在原圓盤邊緊挨著另外一個相同的靜止空圓盤，青蛙從原圓盤中心跳起后瞬間，相對地面速度的方向與水平方向夾角為45°，青蛙跳起后恰好能落在空圓盤的中心。跳起過程中青蛙所作功記為W’，試求W’與（1.2）問所得Wmin間的比值γ=W’/Wmin，答案中可包含的參量為M和m。例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在36（1.1）水平方向動量守恒，青蛙落地點在圓盤外，有：解析：

mvx=Mu

①②

（2分）③

（1分）④

（1分）⑤

（1分）得：故得W取值范圍為：⑥

（1分）（1.1）水平方向動量守恒，青蛙落地點在圓盤外，有：解析：37（1.2）由⑥式得：⑦

（3分）由均值不等式有：所以有：⑧

（3分）（1.2）由⑥式得：⑦（3分）由均值不等式有：所以有38（２）依題意得：

⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）所求比值為：（1分）（２）依題意得：⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）39例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運動員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）。為了能跳得更遠一點，運動員可在跳遠全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出。物塊拋出時相對運動員的速度的大小u是給定的，物塊拋出后，物塊和運動員都在同一豎直平面內(nèi)運動。(1)若運動員在跳遠的全過程中的某時刻to把物塊沿與x軸負方向成某θ角的方向拋出，求運動員從起跳到落地所經(jīng)歷的時間。(2)在跳遠的全過程中，運動員在何處把物塊沿與x軸負方向成θ角的方向拋出，能使自己跳得更遠？若v0和u一定，在什么條件下可跳得最遠？并求出運動員跳的最大距離。xyＯv0a例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運動員手持一質(zhì)量為m的物塊xyＯv0a點評：復(fù)雜問題簡單化（１）從起跳到t0時刻，運動員做斜拋運動；（２）拋物塊的過程：動量守恒（３）拋后的運動：新的斜拋運動PvpxvpyxyＯv0a點評：復(fù)雜問題簡單化（１）從起跳到t0時刻，運解析：xyＯv0a（1）運動員起跳為計時起點，t0時刻到達圖中P點，設(shè)P點的坐標(biāo)為P（x，y），速度v的分量為vpx和vpy，則有：Pvpxvpy解析：xyＯv0a（1）運動員起跳為計時起點，t0時刻到達xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運動員的速度為V，分量為Vpx和Vpy，物塊相對于運動員的速度u的分量為ux和uy，uθ由動量守恒定律有：xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運動員的速度拋出物塊后，運動員沿新的拋物線運動，其初速度為Vpx和Vpy，在t（

）時刻運動員的位置和速度分別為：xyＯv0aPvpxvpyuxuy拋出物塊后，運動員沿新的拋物線運動，其初速度為Vpx和Vpy運動員落地時，上式中取正號，得：運動員落地時，上式中取正號，得：（２）因為：顯然，當(dāng)t0=0時，x最大，即拋出點坐標(biāo)為：即在剛起跳時把物塊拋出，運動員可跳得遠一點。運動員自起跳至落地所經(jīng)歷的時間為（２）因為：顯然，當(dāng)t0=0時，x最大，即拋出點坐標(biāo)為：即在運動員跳遠的距離當(dāng)：時，x有最大值運動員跳遠的距離當(dāng)：時，x有最大值三．圓周運動θ

R

1.勻速圓周運動

O xy AvA

vB

BΔθ角速度線速度加速度ORAvBv△v三．圓周運動θ R 1.勻速圓周運動 O xy Av2.變速圓周運動角加速度R

ΔθAvA

vB

B加速度vA

ΔvΔvnΔvt勻變速圓周運動2.變速圓周運動角加速度R ΔθAvAvBB加速度vA3.勻速圓周運動與簡諧運動的相互等效ABOxθxωAω2Ava勻速圓周運動可以分為兩個互相垂直方向上的簡諧運動，它們的相位相差y3.勻速圓周運動與簡諧運動的相互等效ABOxθxωAω2Av例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動過程中，點的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點的速度v。點評：切向加速度法向加速度例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動過程中，點的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點的速度v。方法一：積分法若速率從v0增加,有若速率從v0減小,有例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動過程中，點的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點的速度v。方法二：微元法設(shè)速率從v0增加,取運動過程中第i個極短時間Δt，依題意有若速率從v0減小,有例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動例12．用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動，圓心為O。繩長為L，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個質(zhì)量為m的小球，恰好也以O(shè)點為圓心在桌面上做勻速圓周運動。已知手和小球的角速度均為ω，小球和桌面之間有摩擦，求：（1）手對細繩做功的功率P；（2）小球與桌面之間的動摩擦因數(shù)μ。Oω點評：示意圖rL例12．用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動，解析：OωrL（1）手對細繩做功的功率P以小球為研究對象，水平面內(nèi)受力：TfRθ（2）小球與桌面之間的動摩擦因數(shù)μ解析：OωrL（1）手對細繩做功的功率P以小球為研究對象，水例13．如圖所示，一長為a的細線系著一小球懸掛在O點靜止不動。若使小球獲得一個水平初速度

，略去空氣阻力，證明：小球的運動軌跡經(jīng)過懸點O。Oav0例13．如圖所示，一長為a的細線系著一小球懸掛在O點靜止不動小專題：豎直平面內(nèi)的圓周運動1.水平直徑以上各點的臨界速度(1)在水平直徑以上各點彈力方向是指向圓心的情況，例如系在繩端的小球，過山車……mgTθ當(dāng)T=0時，

在水平直徑以上各點不脫離軌道因而可做完整的圓運動的條件是：小專題：豎直平面內(nèi)的圓周運動1.水平直徑以上各點的臨界速度((2)在水平直徑以上各點彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱形橋……mgNθ當(dāng)N=0時，

在水平直徑以上各點不脫離軌道的條件是：(2)在水平直徑以上各點彈力方向是背離圓心的情況，例如車過拱v上mgFN上v下

mgFN下2.豎直平面光滑圓形軌道（1）機械能守恒（2）最高點與最低點的彈力差：（3）能到達最高點時，最低點的速度：（4）恰能到達最高點時，最低點的加速度：v上mgFN上v下mgFN下2.豎直平面光滑圓形軌道（1）小球運動軌跡會通過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平成某一角度α?xí)r，繩恰不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運動Ovv0yx0h解析：繩上張力為零時小球達臨界速度該過程機械能守恒:設(shè)小球做斜上拋運動設(shè)當(dāng)y方向位移為-h時歷時t,有小球運動軌跡會通過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平成某這段時間內(nèi)小球完成的水平位移為說明小球做斜拋運動過程中，通過了坐標(biāo)為的懸點O!Oyx0這段時間內(nèi)小球完成的水平位移為說明小球做斜拋運動過程中，通過例14．如圖所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓環(huán)軌道運動，已知動摩擦因數(shù)為，試求小車從軌道最低點運動到最高點過程中，摩擦力做的功。O點評：1.摩擦力大小的分析隨正壓力大小的變化而變化2.正壓力大小的分析在水平軸下方時：在水平軸上方時：3.摩擦力做功的特點及計算微元法：取什么物理量的微元？這一條件下的結(jié)論什么？a1N1a2N2例14．如圖所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直O(jiān)a1N1a2N2解析：如圖所示，小車運動過程中經(jīng)過關(guān)于水平軸對稱的兩位置1和2，且兩位置和圓心的連線與水平軸的夾角均為a。因為：所以：同理：小車經(jīng)過1、2兩處一極小段位移內(nèi)摩擦力所做的功和為即Wf與的大小無關(guān)，于是整個過程中摩擦力的功vOa1N1a2N2解析：如圖所示，小車運動過程中經(jīng)過關(guān)于水平例15．如圖所示，長為L的輕桿頂端放一小重球，由豎直位置開始無初速倒下，桿的下端被地面上的臺階擋住，求重球落地時的方向。L點評：1.小球與桿分離前做什么運動？2.小球與桿在什么位置分離？分離時的動力學(xué)特點？3.與桿分離后小球做什么運動？例15．如圖所示，長為L的輕桿頂端放一小重球，由豎直位置開始解析：球開始時在輕桿上與輕桿一起沿圓弧運動，當(dāng)輕桿對重球的支持力變?yōu)榱銜r，球脫離桿，做斜下拋運動。

設(shè)桿的支持力為零時，桿與豎直方向的夾角為，小球速率為v1，此時有：

Lv1由動能定理有：將v1沿水平和豎直兩方向分解，則有設(shè)小球落地時速率為v，則有：設(shè)落地時重球的速度與豎直方向的夾角為θ，則解析：球開始時在輕桿上與輕桿一起沿圓弧運動例16．如圖所示，長度為l的輕桿上端連著一質(zhì)量為m的體積可忽略的小重物B。桿的下端被用鉸鏈固接于水平面上的A點。同時，置于同一水平面上的立方體C恰與B接觸，立方體C的質(zhì)量為M。今有微小擾動，使桿向右傾倒，設(shè)B與C、C與水平地面間均無摩擦，而B與C剛脫離接觸的瞬間，桿與地面夾角恰為300，求B、C的質(zhì)量之比點評：1.B、C分離前二者運動學(xué)和動力學(xué)特點B對C有作用力，C沿水平方向做加速運動；二者水平方向速度和加速度均相等。2.B、C分離瞬間水平方向速度和加速度仍相等；剛好無相互作用力；C的加速度為零；桿對B的作用力的水平分量必為零此刻桿對B的作用力為零。（？桿為輕桿）點評：1.B、C分離前二者運動學(xué)和動力學(xué)特點B對C有作用力，解：

以B球為研究對象，設(shè)B、C分離時B球的速度大小為，桿與水平面夾角以表示，如圖所示。則B此刻是僅受重力作用而繞A點作半徑為l的圓周運動，則有：此時B速度的水平分量所以C的速度：對B、C組成的系統(tǒng)，機械能守恒：聯(lián)立以上各式，將的值代入求解得：解：以B球為研究對象，設(shè)B、C分離時B球的速度例17．如圖所示，三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為l的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)給中間的小球B一個水平初速度v0，方向與繩垂直。小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長。求：（1）當(dāng)小球A、C第一次相碰時，小球A的速度；（2）當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度和此時繩子的張力；（3）運動過程中小球A的最大動能EKA和此時兩根繩的夾角θ以及繩子的張力。ABCv0ll例17．如圖所示，三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為l的輕ma-ma點評：非慣性系與慣性力1．平動加速參考系______平移慣性力慣性力：定義：為了使牛頓定律在非慣性系中形式上成立，而引入的假想的力。m為研究對象的質(zhì)量；為非慣性系相對慣性系的加速度。負號表示慣性力方向與非慣性系加速度方向相反。ma-ma點評：非慣性系與慣性力1．平動加速參考系_____理解：（1）慣性力不是真實力，沒有施力體，沒有反作用力；（2）慣性力的效果是真實存在的，也能用測力計測出來；（3）所有質(zhì)點在非慣性系下都可能是慣性力。2.轉(zhuǎn)動參考中_______慣性離心力慣性離心力的特點：（1）離心力與轉(zhuǎn)動參考系的轉(zhuǎn)動角速度有關(guān)，方向垂直轉(zhuǎn)軸向外；（2）離心力與物體所在位置有關(guān)，與物體在轉(zhuǎn)動系中運動與否無關(guān)。理解：（1）慣性力不是真實力，沒有施力體，沒有反作用力；（2解析：（1）A、C第一次相碰時，vxvyBAC（2）當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時ABCv’Bllv’A解析：（1）A、C第一次相碰時，vxvyBAC（2）當(dāng)三個小ABCv’Bllv’A設(shè)T，以B為參考系（慣性系或非慣性系？），A、C做圓周運動，（線速度多大？）（3）A的最大動能EKA最大時，B的速度為零，此時A的速度方向一定垂直于AB的連線（？）BACv”Aθφ對B球?qū)球，以B為參考系（非慣性系），A做圓周運動ABCv’Bllv’A設(shè)T，以B為參考系（慣性系或非慣性系？例18.如圖，質(zhì)量可忽略不計的剛性細桿可繞通過其中點O的光滑水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。兩質(zhì)量分別為2m和m的小球1和2（可視為質(zhì)點）串在細桿上，它們與細桿之間的靜摩擦系數(shù)為

。開始時細桿靜止在水平位置，小球1和2分別位于緊靠細桿兩端點A和B的位置。系統(tǒng)自水平位置以零初速下擺。問小球1和2分別在什么位置脫離細桿？（分別求出小球1和2脫離細桿時細桿與水平線的夾角）。例18.如圖，質(zhì)量可忽略不計的剛性細桿可繞通過其中點O的光滑m2mlAOlBBA12點評：（1）設(shè)輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)過θ時，系統(tǒng)的角速度和角加速度分別為ω和β，如何計算這兩個值？（2）受力分析，判斷哪個球先離開輕質(zhì)桿。如何計算彈力和靜摩擦力？mg2mgN1N2f1f2（3）一個球離開輕質(zhì)桿后，另一球的運動分析。m2mlAOlBBA12點評：（1）設(shè)輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)過θ時，系統(tǒng)點評：以系統(tǒng)為研究對象，小球離開輕質(zhì)桿前，機械能守恒角動量定理：m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2點評：以系統(tǒng)為研究對象，小球離開輕質(zhì)桿前，機械能守恒角動量定m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2對小球1：對小球2：m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2對小球1m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1與桿之間的摩擦力先達到最大靜摩擦力，故小球1先滑動。設(shè)球1開始滑動時，細桿與水平線夾角為θ1

，則由于球1的初始位置在桿的末端，故此時輕質(zhì)桿與水平線夾角為300。m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1與因輕桿沒有質(zhì)量，球1一旦脫離輕桿，球2與輕桿間的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜拋運動，其初速度：初速度的方向與水平線的夾角：得任意

t時刻球2的位置坐標(biāo)：因輕桿沒有質(zhì)量，球1一旦脫離輕桿，球2與輕桿間的相互作用立即球2脫離細桿時，幾何關(guān)系球2脫離細桿時，幾何關(guān)系M1方法一：設(shè)質(zhì)點在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運動，這個運動在M1平面的一個分運動軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角對橢圓長軸端的A點:A1aA1對A點投影A1點:橢圓短軸端B點的曲率半徑由B1vvMAaABvaBaB例19．質(zhì)點做橢圓運動，已知長半軸與短半軸為a和b，求長其軸與短軸端點的曲率半徑。四．曲率半徑的計算M1方法一：設(shè)質(zhì)點在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運動，這個運動方法二:xyOabAB軌跡方程：參數(shù)方程：將栯圓運動等效為兩個簡諧運動vAvBaAaB方法二:xyOabAB軌跡方程：參數(shù)方程：將栯圓運動等效為兩例20．質(zhì)點做拋物線運動，已知其軌跡方程為：

，求軌跡上任一點的曲率半徑。點評：特殊到一般設(shè)質(zhì)點以速度v0做平拋運動xyOP對軌跡上的P點:gvvy例20．質(zhì)點做拋物線運動，已知其軌跡方程為：解析：設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運動、同時以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運動，每前進一個螺距，完成一次圓周，即有設(shè)螺旋線上任一點的曲率半徑為ρhr例21．旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運動學(xué)方法求解曲率半徑ρ值。解析：設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運動、同時以vh沿垂直于v0小結(jié)：曲線運動軌跡的曲率與曲率半徑小結(jié)：曲線運動軌跡的曲率與曲率半徑五．螺旋運動1.平面螺旋運動OxyP(r,θ)ω平面內(nèi)長直細桿繞其端點O旋轉(zhuǎn)套在桿上的小環(huán)P沿桿運動t=0時，P的位置：r＝０θ＝０小球沿桿方向速率vr與桿旋轉(zhuǎn)角速度ω均為常量任意t時刻有：vrvθv軌跡方程：阿基米德螺旋線t時刻小環(huán)的角向速度：t時刻小環(huán)的速率：五．螺旋運動1.平面螺旋運動OxyP(r,θ)ω平面內(nèi)長直細２.空間螺旋運動xyｚＯxyｚＯ（１）等螺距運動vx（２）等差螺距運動ax１x２x３２.空間螺旋運動xyｚＯxyｚＯ（１）等螺距運動vx（２）等例22．已知等距螺旋線在垂直軸方向的截面半徑為R，曲率半徑為ρ，一質(zhì)點沿此螺旋線做勻速率運動。已知質(zhì)點在垂直軸方向的投影轉(zhuǎn)過一周所用時間為T，則質(zhì)點沿軸方向的分運動速率為多少？點評：例19解析：設(shè)速率v，圓周運動線速率v1，軸方向速率v2例22．已知等距螺旋線在垂直軸方向的截面半徑為R，曲率半徑為例23.如圖所示，從x軸上的O點發(fā)射一束電量為q(q>0)、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們的速度方向分布在以O(shè)點為頂點、x軸為對稱軸的一個頂角很小的錐體內(nèi)，速率均為v。試設(shè)計一種勻強磁場，能使這束帶電粒子會聚于x軸上的另一點M，M點與O點的距離為d。要求給出該磁場的方向，磁感應(yīng)強度的大小及最小值。不計重力及粒子間的相互作用。OMdx例23.如圖所示，從x軸上的O點發(fā)射一束電量為q(q>0)、OMdx點評：（1）怎樣加磁場，才能使這束帶電粒子會聚于x軸上的另一點M？xvxvyvθB（2）帶電粒子的運動分析x軸方向：區(qū)別？勻速直線運動yoz平面：勻速圓周運動等螺距運動（3）怎樣理解θ很??？（４）磁聚集OMdx點評：（1）怎樣加磁場，才能使這束帶電粒子會聚于x軸OMdx解析：沿x軸方向加勻強磁場，設(shè)磁感應(yīng)強度為B。xvxvyvθ沿x軸方向有：①垂直于x軸平面內(nèi)，設(shè)半徑R，周期T，則有：②③過M點的條件：④聯(lián)立以上各式得：n為什么時，B有最小值：OMdx解析：沿x軸方向加勻強磁場，設(shè)磁感應(yīng)強度為B。xvx例24.

如圖，一剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m（質(zhì)量均勻分布），半徑為R，螺距

，可繞豎直的對稱軸OO’無摩擦地轉(zhuǎn)動，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計。一質(zhì)量為m的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動。扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點A，這時螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)。然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，同時螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸

轉(zhuǎn)動。求：（1）當(dāng)小球下滑高度為h時，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)過的角度。（2）此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度。例24.如圖，一剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m（質(zhì)量均勻分布），半徑為點評：（1）立體問題平面化：Hθ（2）螺旋環(huán)的角動量：（3）系統(tǒng)角動量是否守恒？（4）系統(tǒng)機械能是否守恒？點評：（1）立體問題平面化：Hθ（2）螺旋環(huán)的角動量：（3）解：（1）設(shè)小球下滑高度為h時，球相對于螺旋環(huán)的速率為v’，環(huán)的速率為v0。如圖所示。螺旋環(huán)的角動量：系統(tǒng)水平面內(nèi)，合外力為零，角動量守恒：解：（1）設(shè)小球下滑高度為h時，球相對于螺旋環(huán)的速率為v’，（2）由機械能守恒定律由角動量守恒定律有：（2）由機械能守恒定律由角動量守恒定律有：解法二：等效法第一講：例17解法二：等效法第一講：例17（2）

（2）例25.如圖所示，兩個豎直放置的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R，兩筒間距為d，筒高為L（L>>R>>d），內(nèi)筒通過一個未知電容Cx的電容器與電動勢U足夠大的直流電源的正極連接，外筒與該電源的負極相連。在兩筒之間有相距為h的A、B兩點，其連線AB與豎直的筒中央軸平行。在A點有一質(zhì)量為m、電量為-Q的帶電粒子，它以v0的初速率運動，且方向垂直于由A點和筒中央軸構(gòu)成的平面。為了使此帶電粒子能夠經(jīng)過B點，試求所有可供選擇的v0和Cx值。點評：復(fù)雜問題簡單化（１）電路結(jié)構(gòu)分析；（２）帶電粒子受力分析；（３）帶電粒子運動分析；（４）薄圓筒導(dǎo)體的電容；（５）兩電容器連接方式及其特點；（６）帶電粒子能經(jīng)過B點的條件；例25.如圖所示，兩個豎直放置的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R速度選擇器Rd+—U探究一：模型的建立兩環(huán)之間的電場是怎樣的？探究二：工作原理滿足什么條件的帶電粒子才能從左端進，右端出？運動學(xué)特征？動力學(xué)特征？速度選擇器Rd+—U探究一：模型的建立兩環(huán)之間的電場是怎樣的解：豎直方向，粒子做自由落體運動，設(shè)由A到B所用時間為ｔ，則水平方向，粒子做勻速率圓周運動，設(shè)其周期為T，則粒子能經(jīng)過B點粒子所受電場力大小圓筒的電容：兩電容器串聯(lián)解：豎直方向，粒子做自由落體運動，設(shè)由A到B所用時間為ｔ，則例26．（2014模擬）如圖所示，空間有互相正交的勻強電場E和勻強磁場B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個帶電+q、質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點O開始無初速出發(fā)，在xoy平面內(nèi)做圖中所示的曲線運動，其運動軌跡是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一，叫做擺線，又稱旋輪線。圖中只畫出了其運動軌跡的兩拱，事實上以后每拱的形狀和大小都是完全相同的，試求：（1）粒子的運動周期；（2）每拱的拱高；（3）每拱的拱寬；（4）粒子運動過程中的最大速率。五.漂移圓周運動例26．（2014模擬）如圖所示，空間有互相正交的勻強電場E+++++++++BE（1）任何一個正交的勻強磁場和勻強電場組成速度選擇器。（2）帶電粒子必須以唯一確定的速度（包括大小、方向）才能勻速（或者說沿直線）通過速度選擇器。否則將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。即有確定的入口和出口。（3）這個結(jié)論與粒子帶何種電荷、電荷多少都無關(guān)。（4）若速度小于這一速度，電場力將大于洛倫茲力，帶電粒子向電場力方向偏轉(zhuǎn)，電場力做正功，動能將增大，洛倫茲力也將增大，粒子的軌跡既不是拋物線，也不是圓，而是一條復(fù)雜曲線；若大于這一速度，將向洛倫茲力方向偏轉(zhuǎn)，電場力將做負功，動能將減小，洛倫茲力也將減小，軌跡是一條復(fù)雜曲線。點評：+++++++++BE（1）任何一個正交的勻強磁場和勻強電場（５）定量分析：若初速度為零+++++++++BEMNv0v0fqEf+++++++++BEMN幾個概念：旋輪線或擺線拱拱寬L拱高h幾個物理量的計算：周期：拱寬：拱高：最大速率：（５）定量分析：若初速度為零+++++++++BEMNv0v+++++++++BEMNv令：則：若v’<0，粒子做先下后上的逆時針方向圓周運動+++++++++BEMN+++++++++BEMN若v’>0，粒子做先上后下的逆時針方向圓周運動探究：哪些物理量發(fā)生了怎樣的變化？滿足什么條件，粒子才能經(jīng)過N點？（５）定量分析：若初速度不為零+++++++++BEMNv令：則：若v’<0，粒子做先下后立體問題平面化解析：粒子同時參與兩種分運動，沿x軸正方向做勻速直線運動，速率xoy平面內(nèi)做勻速率圓周運動，速率也為

設(shè)粒子圓周運動周期為T，軌道半徑為R，拱高為h，拱寬為L，最大速率為vmax。（1）立體問題平面化解析：粒子同時參與兩種分運動，沿x軸正方向做勻（4）最大速率（3）拱寬（2）拱高（4）最大速率（3）拱寬（2）拱高ablvPBg例27．（2013北約）如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強磁場，磁感應(yīng)強度B的方向垂直于該豎直平面朝里，豎直平面中a、b兩點在同一水平線上，兩點相距l(xiāng)。帶電量q>0，質(zhì)量為m的質(zhì)點P，以初速度v從a對準(zhǔn)b射出。略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改取的給定量。（1）若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運動通過b點，試問v應(yīng)取什么值？（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經(jīng)曲線運動通過b點？（3）對每一個滿足（2）問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時間。（4）對每一個滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點？若能，再求P在而后運動過程中可達到的最大運動速率vmax。ablvPBg（1）初速度v水平對準(zhǔn)b點，為使P經(jīng)直線運動通過b，要求P所受磁場力與重力抵消，有：解析：①

（4分）（2）若①式不能滿足，P便在此豎直平面內(nèi)作曲線運動。將初速度v水平分解：v=v1+v2，其中v≥0，但②

（4分）v2=v-v1，P所受力可分解為P的運動可分解為：分運動1：以初速度為v1的勻速直線運動；分運動2：以初速度v2的勻速圓周運動。（1）初速度v水平對準(zhǔn)b點，為使P經(jīng)直線運動通過b，要求P所v2>0對應(yīng)先上后下的逆時針方向圓周運動v2<0對應(yīng)先下后上的逆時針方向圓周運動圓周運動的周期為：③

（3分）為使P通過b點，要求經(jīng)整數(shù)個圓周運動周期時，v1對應(yīng)的直線運動位移大小恰好等于l，即有：l=v1nT，（其中n=1、2、……）

④

（3分）將②、③式代人④式，即得l必須取下述值：n=1、2、……⑤

（1分）（3）符合（2）問要求的每一個l均需滿足⑤式，無論v和v2取何值，P從a到b所經(jīng)時間同為：即：

⑥

（3分）其中n為一個由l值對應(yīng)的正整數(shù)。v2>0對應(yīng)先上后下的逆時針方向圓周運動v2<0對應(yīng)先下后上Pv1v2（4）P可通過b點。因為據(jù)（2）問解答可知，v≥0中的v=0即對應(yīng)P從a靜止釋放，只要l?、苁较薅ǖ闹?，P必定也可通過b點。v=0的分解式為：對應(yīng)的分運動2為上圖所示的先下后上的逆時針方向勻速圓周運動。經(jīng)半個周期，P在最低點兩個分速度相同，對應(yīng)的合速度最大故所求最大速率為⑦

（4分）Pv1v2（4）P可通過b點。因為據(jù)（2）問解答可知，v≥0例28.（2014卓越）如圖所示，一平行板電容器兩極板間電壓為U0、相距為d、上極板帶正電，極板間有勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里。電子從下極板由靜止開始運動，到達上極板，對于給定的電壓U0，當(dāng)磁感應(yīng)強度等于某一臨界值時，電子剛好不能到達上極板。已知元電荷量為e，電子質(zhì)量為m，不計電子重力。（1）求磁感應(yīng)強度的臨界值B；（2）電子在兩極板間的運動為曲線運動，一般的曲線運動可以分解為很多小段，每一小段可以看做圓周運動的一部分，求當(dāng)磁感應(yīng)強度為臨界值時，電子在曲線最高點等效圓周運動的半徑r。e點評：（1）關(guān)鍵語句的正確理解（2）曲率圓與曲率半徑例28.（2014卓越）如圖所示，一平行板電容器兩極板間電壓e解析：（1）電子的運動等效為水平向右的勻速直線運動和豎直平面內(nèi)順時針的勻速率圓周運動，其速率均為：設(shè)電子勻速率圓周運動半徑為r，則：因電子剛好不能到達上極板：聯(lián)立以上三式求解得：e解析：（1）電子的運動等效為水平向右的勻速直線運動和豎直平e（2）最高點電子的兩個分運動方向相同，其速率達到最大值，設(shè)最大速率為vm

，則有：最高點，電子受力分析如圖所示：f洛F電設(shè)電子軌道最高點曲率半徑為r，則有牛頓第二定律有：聯(lián)立以上各式求解得：e（2）最高點電子的兩個分運動方向相同，其速率達到最大值，設(shè)例29．機車以等速率v0沿直線軌道行駛，機車車輪半徑為r，如車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點M在軌道上的起點位置取為坐標(biāo)原點，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點的運動軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當(dāng)M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度。點評：兩個分運動Oyx例29．機車以等速率v0沿直線軌道行駛，機車車輪半徑為r，如Oyx解析：（１）軌跡方程MO’設(shè)t時刻，M點的位置坐標(biāo)為（x，y）如圖所示M點的軌跡方程：Oyx解析：（１）軌跡方程MO’設(shè)t時刻，M點的位置坐標(biāo)為（MM點速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示

（２）曲率半徑vMaMatv0v0M點加速度法向分量：又MM點速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示（２）曲率半徑vMaMaM（３）當(dāng)M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度：vMaMatv0v0方向與x軸成45°

方向+xM（３）當(dāng)M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度例30．半徑為R的輪子在水平的直線MN上純滾動，輪子邊緣上任意點P的運動軌跡稱號上滾輪線，如力所示。將上滾輪線繞MN向向翻轉(zhuǎn)1800，成為下滾輪線。下滾輪線也可看成半徑為R的輪子在下方沿MN純滾動時輪子邊緣點P的運動軌跡。沿下滾輪線設(shè)置光滑軌道，小球在軌道內(nèi)側(cè)除最低點外任意一處從靜止自由滑下，可形成周期性的往返運動（擺動），惠更斯已證明擺動周期T與小球初始位置無關(guān)，后人將此種擺稱為惠更斯等時擺。試在認(rèn)知等時性前提下，求出以R為參量的T的表達式。RRPPMN例30．半徑為R的輪子在水平的直線MN上純滾動，輪子邊緣上任RRPPMN點評：（２）兩個特殊位置：①最高點小球從最高點由靜止下滑，到達右上端點，經(jīng)時T/2，恰好對應(yīng)于滾輪周期。（１）兩個分運動：水平向右的勻速直線運動v０豎直平面內(nèi)的勻速率圓周運動v０②最低點的左極限位置單擺RRPPMN點評：（２）兩個特殊位置：①最高點小球從最高RRPPMN解析：（１）若小球從最高點由靜止下滑，到達右上端點，經(jīng)時T/2，恰好對應(yīng)于滾輪周期。P設(shè)小球P下落高度h對應(yīng)滾輪邊緣上的點Pv０v０vpv０v０vpφ幾何關(guān)系：PφhRRRPPMN解析：（１）若小球從最高點由靜止下滑，到達右上端RRPPMN（２）若小球從最低點的左極限位置由靜止下滑，則等效于擺角趨近于零的單擺。設(shè)最低點曲率半徑為ρ最低點：RRPPMN（２）若小球從最低點的左極限位置由靜止下滑，則等演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！第二講：曲線運動第二講：曲線運動一、曲線運動的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運動的特點速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運動問題的運動學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法概述一、曲線運動的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲四、常見的曲線運動形式1.基本形式（1）拋體運動平拋運動斜拋運動（2）圓周運動2.比較復(fù)雜的曲線運動（1）螺旋運動平面螺旋螺距運動（2）漂移圓周運動四、常見的曲線運動形式1.基本形式（1）拋體運動平拋運動斜拋v2v1xpRxyO

Hh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點水平拋出，起拋點離水平地面的高度為H，水平速度分別為v1和v2（v1>v2）。球1拋出后剛好能越過位于xp處的豎直桿頂端，并落于地面上的R點，R點與O點的距離為R。球2拋出后落于地面，與地面做彈性碰撞，反彈后也剛好能越過桿頂，并落在同一點R。試求：（1）兩球初速度的比值；（2）桿的位置xp；（3）桿的高度h。一．平拋運動v2v1xpRxyOHh例1．如圖所示，球1和球2均從同一點評一：平拋運動要點（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一圖象描述：（2）運動特點：水平方向：勻速直線運動豎直方向：自由落體（3）運動規(guī)律：水平方向：豎直方向：點評一：平拋運動要點（1）概念：語言描述：數(shù)學(xué)解析式描述：一（4）質(zhì)點運動的軌跡方程軌跡方程運動方程P(x,y)xOyxy（4）質(zhì)點運動的軌跡方程軌跡方程運動方程P(x,y)xOyxxyOxyOxyOHxyOHaxyOxyOxyOHxyOHa128（5）兩點討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyOv方向：β（5）兩點討論位移的討論xyOsxy方向：α速度的討論xyO129（6）二級結(jié)論表述方式一：

平拋運動中，任一時刻物體速度方向與水平方向夾角的正切值，等于從運動開始到這一時刻物體的位移方向與水平方向夾角正切值的二倍。（6）二級結(jié)論表述方式一：平拋運動中，任一時刻物體速130表述方式之二：

平拋運動中，任一時刻物體速度的反向延長線與初速度延長線的交點，是這段時間內(nèi)物體水平位移的中點。證明：如圖所示，任取點P，作其切線的反向延長線交x軸與A點簡化表述方式：交點是中點xyOvPAy表述方式之二：平拋運動中，任一時刻物體速v2v1xpRxyO

Hh點評二：此題中小球的軌跡方程點評三：運動的對稱性分析R/32R/3小球1：起拋點、桿的頂端、落地點R；小球2：起拋點；第一次落地點：桿的頂端；反彈到最高點：落地點R。v2v1xpRxyOHh點評二：此題中小球的軌跡方程點評三解析：v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（1）由平拋運動軌跡方程有：球1：球2：落地點坐標(biāo)：（R，0）①第一次落地點坐標(biāo)：（R/3，0）②解析：v2v1xpRxyOHhR/32R/3（1）由平拋運v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（2）球2反彈后的軌跡方程：式中球1：舍去v2v1xpRxyOHhR/32R/3（2）球2反彈后的軌v2v1xpRxyO

HhR/32R/3（3）球1：兩個特殊點：（xp，h）和（R，0）v2v1xpRxyOHhR/32R/3（3）球1：兩個特殊例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，落到斜面上，不計空氣阻力，試討論下列問題：（1）小球在空中的運動時間；（2）小球離斜面的最大高度；（3）證明小球落到斜面上時的速度方向與水平初速度v0無關(guān)。v0θ例2．如圖所示，在一傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運動分解為：x軸方向：初速度？加速度？y軸方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的運動時間（2）小球離斜面的最大高度（3）證明v0θ解析：建立圖中所示直角坐標(biāo)系xy小球的運動分解為：x軸例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)下進行投擲訓(xùn)練。（1）若已知手榴彈出手時速率為v0，與水平方向的夾角為θ，則手榴彈在空中運動的最小速率為多少？（2）若已知手榴彈出手時速率為v0，則其與水平方向夾角為多少時射程最遠？最遠射程為多少？（3）若已知目標(biāo)離投擲點（手榴彈脫手時的位置）的水平距離為s，豎直高度為h，手榴彈質(zhì)量為m。要準(zhǔn)確命中目標(biāo)，對手榴彈至少要做多少功？（以上過程中，均忽略空氣阻力。）二．斜拋運動例3．（2014模擬）大學(xué)新生軍訓(xùn)演練中，同學(xué)們正在教官指導(dǎo)xyθv0點評：斜拋運動要點分析（1）運動的分解水平方向：豎直方向：（2）空中運動時間t（3）射程X和射高Y（4）極值討論當(dāng)θ=450時，（5）軌跡方程當(dāng)θ=900時，XY1sinαtanαsecαcosαctgαcscαxyθv0點評：斜拋運動要點分析（1）運動的分解水平方向：豎139（1）手榴彈做斜拋運動，將其初速度分解為水平和豎直兩個方向，則有：解析：當(dāng)手榴彈運動到最高點時，豎直方向的分速率為零，此時速率最小，其值為：（2）設(shè)手榴彈出手時速度與水平地面的夾角為θ，空中運動時間為t，射程為L，則有：因此，當(dāng)θ=450時，射程最遠。最遠射程為：（1）手榴彈做斜拋運動，將其初速度分解為水平和豎直兩個方向，（3）設(shè)的手榴彈出手時速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投擲點為坐標(biāo)原點，豎直向上為y軸正方向，則t時刻手榴彈的位置坐標(biāo)為：因手榴彈準(zhǔn)確命中目標(biāo)，故目標(biāo)位置滿足位置方程，即：消除參數(shù)t，得：即：故要對手榴彈做功的最小值為（3）設(shè)的手榴彈出手時速度為v0，方向與水平地面成θ角，以投例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一個石子，求拋射角為多少時，水平射程最遠？最遠射程為多少？例4．如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運動時間為t當(dāng)時，x2有極值，x有極值xyα解法一：設(shè)拋射角為α，運動時間為t當(dāng)時，x2有極值，xxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法二：設(shè)拋射角為αxyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時刻t當(dāng)y=-h時，x=s再用輔助角公式求解xyα解法三：設(shè)拋射角為α，任一時刻t當(dāng)y=-h時，x=s再解法四：將斜拋運動分解為v0方向的勻速運動和自由落體運動其位移矢量圖如右所示v0ty由圖可知：x其他與解法一相同。解法四：將斜拋運動分解為v0方向的勻速運動和自由落體運動其位解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量圖的面積v0vgtvx因初速v0、末速v均為定值，顯然當(dāng)二者夾角為900時，S最大，因而x最大，所以有：解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量圖如右，該矢量例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達到最高點爆炸。設(shè)各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸開，試證明各碎片在下落過程中始終保持在同一球面上面，并求球面半徑與球心位置隨時間變化的規(guī)律（忽略空氣阻力）。v0v0xv0yv0zzxyo點評:（1）速度的分解（2）運動分析X方向：Y方向：Z方向：例5．一禮花豎直向上發(fā)射，達到最高點爆炸。設(shè)各碎片以相同的速v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸時刻為零時刻，爆炸點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，對任一碎片在時刻t，其位置坐標(biāo)為：式中0為任一碎片的初速率，與拋射角無關(guān)，對于每一給定時間t，上述方程式是一個球面方程，球面半徑R=0t，即R隨時間t成正比不斷增大，球心位置為（0，0，

），表明球心位置始終保持在z軸上，且隨時間以重力加速度g加速下降。v0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸例6.初速度為v0

的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．v0v0xv0yv0zzxyo點評：建立圖中直角坐標(biāo)系，設(shè)v0與xoy平面的夾角為θ，對任一時刻t有：θ例6.初速度為v0的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時，必滿足包絡(luò)線方程為整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程此方程式有解時，必滿例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾角為θ的斜面的底角處做斜上拋運動。為使物體從斜面體頂角處切過，并落在傾角為Φ的斜面底角處，則物體的拋射角α與傾角θ、Φ應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用簡單形式寫出）θΦhv0α例7．一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和Φ，如圖所示。一物體從傾θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度為h，則其頂點和右側(cè)底端坐標(biāo)分別為（hcotθ,h）和[h(cotθ+cotΦ),0]θΦv0α解析：xy建立圖中直角坐標(biāo)系，則有：h設(shè)斜面體高度θv0s例8．軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士自距離墻壁s處以速度v0起跳，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上運動而繼續(xù)升高。若墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ，求能使人體重心有最大總升高的起跳角θ是多少？解析：

設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達墻面所用時間為t，到達墻面處時，人的速度的水平分量為vx，豎直分量為vy，則：這一過程，人的重心升高為：θv0s解析：設(shè)人的質(zhì)量為m，從起跳到達墻腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動量增加，由動量定理有：由題意知，正壓力的沖量恰可使人的水平分動量變?yōu)榱?，即：因而?蹬墻后，人的重心速度變?yōu)樨Q直向上的方向，以v’y表示，則有：人體以此速度繼續(xù)升高，其升高量為：則全過程人體的總升高量為腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時，H有最大值為：上式改寫為：式中：可見，當(dāng)：時，H有最大值為：例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在水平地面上，盤與地面間無摩擦。圓盤中心處有一只質(zhì)量為m的小青蛙（可處理成質(zhì)點），小青蛙將從靜止跳出圓盤。為解答表述一致，將青蛙跳起后瞬間相對地面的水平分速度記為vx，豎直向上的分速度記為vy，合成的初始速度大小記為v，將圓盤后退的速度記為u。（1）設(shè)青蛙跳起后落地點在落地時的圓盤外。（1.1）對給定的vx，可取不同的vy，試導(dǎo)出跳起過程中青蛙所作功W的取值范圍，答案中可包含的參量為M、R、m、g（重力加速度）和vx。（1.2）將（1.1）問所得W取值范圍的下限記為W0，不同的vx對應(yīng)不同的W0值，試導(dǎo)出其中最小者Wmin，答案中可包含的參量為M、R、m和g。（2）如果在原圓盤邊緊挨著另外一個相同的靜止空圓盤，青蛙從原圓盤中心跳起后瞬間，相對地面速度的方向與水平方向夾角為45°，青蛙跳起后恰好能落在空圓盤的中心。跳起過程中青蛙所作功記為W’，試求W’與（1.2）問所得Wmin間的比值γ=W’/Wmin，答案中可包含的參量為M和m。例9.（北約2013）質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)水平圓盤靜止在157（1.1）水平方向動量守恒，青蛙落地點在圓盤外，有：解析：

mvx=Mu

①②

（2分）③

（1分）④

（1分）⑤

（1分）得：故得W取值范圍為：⑥

（1分）（1.1）水平方向動量守恒，青蛙落地點在圓盤外，有：解析：158（1.2）由⑥式得：⑦

（3分）由均值不等式有：所以有：⑧

（3分）（1.2）由⑥式得：⑦（3分）由均值不等式有：所以有159（２）依題意得：

⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）所求比值為：（1分）（２）依題意得：⑨（3分）得：⑩綜合可得（2分）160例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運動員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）。為了能跳得更遠一點，運動員可在跳遠全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出。物塊拋出時相對運動員的速度的大小u是給定的，物塊拋出后，物塊和運動員都在同一豎直平面內(nèi)運動。(1)若運動員在跳遠的全過程中的某時刻to把物塊沿與x軸負方向成某θ角的方向拋出，求運動員從起跳到落地所經(jīng)歷的時間。(2)在跳遠的全過程中，運動員在何處把物塊沿與x軸負方向成θ角的方向拋出，能使自己跳得更遠？若v0和u一定，在什么條件下可跳得最遠？并求出運動員跳的最大距離。xyＯv0a例10．(第20屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運動員手持一質(zhì)量為m的物塊xyＯv0a點評：復(fù)雜問題簡單化（１）從起跳到t0時刻，運動員做斜拋運動；（２）拋物塊的過程：動量守恒（３）拋后的運動：新的斜拋運動PvpxvpyxyＯv0a點評：復(fù)雜問題簡單化（１）從起跳到t0時刻，運解析：xyＯv0a（1）運動員起跳為計時起點，t0時刻到達圖中P點，設(shè)P點的坐標(biāo)為P（x，y），速度v的分量為vpx和vpy，則有：Pvpxvpy解析：xyＯv0a（1）運動員起跳為計時起點，t0時刻到達xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運動員的速度為V，分量為Vpx和Vpy，物塊相對于運動員的速度u的分量為ux和uy，uθ由動量守恒定律有：xyＯv0aPvpxvpyuxuy設(shè)拋物后瞬間，運動員的速度拋出物塊后，運動員沿新的拋物線運動，其初速度為Vpx和Vpy，在t（

）時刻運動員的位置和速度分別為：xyＯv0aPvpxvpyuxuy拋出物塊后，運動員沿新的拋物線運動，其初速度為Vpx和Vpy運動員落地時，上式中取正號，得：運動員落地時，上式中取正號，得：（２）因為：顯然，當(dāng)t0=0時，x最大，即拋出點坐標(biāo)為：即在剛起跳時把物塊拋出，運動員可跳得遠一點。運動員自起跳至落地所經(jīng)歷的時間為（２）因為：顯然，當(dāng)t0=0時，x最大，即拋出點坐標(biāo)為：即在運動員跳遠的距離當(dāng)：時，x有最大值運動員跳遠的距離當(dāng)：時，x有最大值三．圓周運動θ

R

1.勻速圓周運動

O xy AvA

vB

BΔθ角速度線速度加速度ORAvBv△v三．圓周運動θ R 1.勻速圓周運動 O xy Av2.變速圓周運動角加速度R

ΔθAvA

vB

B加速度vA

ΔvΔvnΔvt勻變速圓周運動2.變速圓周運動角加速度R ΔθAvAvBB加速度vA3.勻速圓周運動與簡諧運動的相互等效ABOxθxωAω2Ava勻速圓周運動可以分為兩個互相垂直方向上的簡諧運動，它們的相位相差y3.勻速圓周運動與簡諧運動的相互等效ABOxθxωAω2Av例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動過程中，點的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點的速度v。點評：切向加速度法向加速度例11.質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動，初速度的大小為v0．在運動