運(yùn)動(dòng)學(xué)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)也就是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。運(yùn)動(dòng)學(xué)由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)和時(shí)間間隔。運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)和剛體。5點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。1.運(yùn)動(dòng)方程選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作矢量r，稱為點(diǎn)M相對原點(diǎn)O的位置矢量，簡稱矢徑。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即5.1矢量法MrO2.速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。5.1矢量法

動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度點(diǎn)的速度矢對時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

5.1矢量法有時(shí)為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加“..”表示該量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。如以矢徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r可表示為：5.2直角坐標(biāo)法MrOkijyyxxzz

加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度5.2直角坐標(biāo)法若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為例2一人高h(yuǎn)2

，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。解:取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得:

上式對t求一階導(dǎo)數(shù)，得M點(diǎn)的速度為:h1h2xMx2Mx這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。5.3自然法1弧坐標(biāo)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為如圖所示的曲線。MOs(-)(+)在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)O的某一側(cè)為正向。則動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以這樣確定：動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即

5.3自然法t1t'1tM1在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1。2自然軸系

其指向與弧坐標(biāo)正向一致。令M1無限趨近點(diǎn)M，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。將平移到點(diǎn)M。這兩點(diǎn)切線的單位矢量分別為t

和t1。則

和決定一平面。t1t'1tM1過點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與t

、n構(gòu)成右手系。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面。法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。5.3自然法

即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即Mnbt5.3自然法兩個(gè)相關(guān)的計(jì)算結(jié)果(當(dāng)Δt→0)OMM't"t't△j△s△t3點(diǎn)的速度5.3自然法用矢量表示為：在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運(yùn)動(dòng)的一方。rr'△rMM'△stv5.3自然法分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。上式表明加速度矢量a是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率。全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：大?。悍较颍?.3自然法例3下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R＝16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y＝2t2，y以cm記，t以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t＝4s時(shí)的速度和加速度。解：此時(shí)M點(diǎn)的切向加速度為：v＝4×4＝16cm/s當(dāng)t=4s時(shí)速度為：OMRM'A0AM0yM點(diǎn)的法向加速度為：M點(diǎn)的全加速度為：例4列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖所示。在M1、M2點(diǎn)的曲率半徑分別為ρ1=600m,ρ2=800m。求列車從M1到M2所需的時(shí)間和經(jīng)過M1和M2處的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：列車經(jīng)過M2時(shí)的加速度為：

例5桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知φ＝ωt(ω為常數(shù))。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為且有MMjRoj例6半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無滑動(dòng)地滾動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，試分析輪子邊緣一點(diǎn)M的