有理數(shù)一、基礎知識：知識點一：生活中的正數(shù)和負數(shù)1、像7，1.6，，，這樣大于0的數(shù)叫___________．2、在正數(shù)前面加上_________的數(shù)叫做負數(shù)．（注：帶負號的數(shù)并不都是負數(shù)）3、零既不是_________，也不是_________．4、正數(shù)和負數(shù)是表示兩種具有的量。5、用正負數(shù)可表示加工允許的誤差。針對訓練：1、向東走30米記作+30米，那么-50米表示___________．2、在-0.1，2，-9，-，+1，0，中，正數(shù)有_________，負數(shù)有_________．3、食品包裝袋上標有“凈含量386±4克”，這包食品的合格凈含量范圍是__________.知識點二：有理數(shù)（1）有理數(shù)的定義：有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式。（2）分類(1)有理數(shù)(2)有理數(shù)針對練習：1、☆將下列各數(shù)填入相應的集合中。，-1，12，0，-4.01，0.85，-15，-，180，-42，-45%，π，1整數(shù)：_____________分數(shù)：____________有理數(shù):____________________非負數(shù)：__________________非負整數(shù)：_______________非正分數(shù)：_____________知識點三：數(shù)軸1、規(guī)定了_________、_________和_________的_直線__叫做數(shù)軸。2、任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的_________來表示。3、數(shù)軸上的兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的______，____大于零，____小于零，_____和____大于負數(shù)．針對訓練1、畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“<”連接：，，，，﹣（﹣4.5），﹣∣﹣3∣2、★①比－3大的負整數(shù)是_______；②已知ｍ是整數(shù)且-4<m<3，則ｍ為_________。③與原點的距離為三個單位的點有__個，他們分別表示的有理數(shù)是_和__。3、★★在數(shù)軸上點A表示-4,如果把原點O向負方向移動1個單位,那么在新數(shù)軸上點A表示的數(shù)是()A.-5，B.-4C.-3D.-24、在數(shù)軸上與－1距離4個單位的點表示的數(shù)是。知識點四：相反數(shù)、絕對值和倒數(shù)1、相反數(shù)：叫做互為相反數(shù)。數(shù)a的相反數(shù)是，0的相反數(shù)是.相反數(shù)的幾何意義：表示互為相反數(shù)的兩個點（除0外）分別在原點O的兩邊，并且到原點的距離_____。性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)，和為_____。若a、b互為相反數(shù)，則.若a+b=0，則互為相反數(shù)的兩個數(shù)的商等于。針對練習：1、☆-5的相反數(shù)是；-（-8）的相反數(shù)是；-[+（-6）]的相反數(shù)是0的相反數(shù)是；－a的相反數(shù)是；的相反數(shù)的倒數(shù)是__2、★(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果-a＝－5.4，那么a＝______；(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.2、絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的叫做數(shù)a的絕對值。記做|a|。一個正數(shù)的絕對值是它；若a＞0，則︱a︱=a;一個負數(shù)的絕對值是它的；若a＜0，則︱a︱=-a;0的絕對值是.若a=0，則︱a︱=0;對任何有理數(shù)a,總有︱a︱≥0.非負性。若表示兩個非負數(shù)的式子和為0（或這兩個式子互為相反數(shù)），則這兩個式子都等于。（即非負條件式。）如：若（x-3）2+┃x+y+7┃=0，求yx的值。3.倒數(shù)：a的倒數(shù)是，___沒有倒數(shù)。若a、b互為倒數(shù)，則；若ab=1,則互為倒數(shù)的兩個數(shù)符號。特殊數(shù)字知識點總結：最小的正整數(shù)是____，最大的負整數(shù)是_____，最大的非正數(shù)是。絕對值最小的有理數(shù)是_______。絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是，相反數(shù)是本身的數(shù)是；絕對值是本身的數(shù)是；絕對值是相反數(shù)的數(shù)是；倒數(shù)是本身的數(shù)是；平方等于本身的數(shù)是；立方等于本身的數(shù)是；平方等于相反數(shù)的數(shù)是；立方等于相反數(shù)的數(shù)是；奇數(shù)次冪等于本身的數(shù)是；偶數(shù)次冪等于本身的數(shù)是；任何次冪都等于本身的數(shù)是。針對訓練：1.☆|-8|=。-|-5|=。絕對值等于4的數(shù)是______。2若，則a；，則若a＝,則∣a∣＝___;若∣a∣＝3,則a＝__。3.已知：∣a-2∣＋∣b+3∣=0，求2a2－b＋1的值。4、若∣x∣=3，∣y∣=5，且x>y，再求x＋y的值。5★★已知a、b都是有理數(shù)，且|a|=a，|b|=-b、，則ab是（

）A．負數(shù)；

B.正數(shù)；

C.負數(shù)或零；

D.非負數(shù)6★★如果，則，．7★★絕對值不大于11的整數(shù)有（）個，它們的和等于_____。積等于______。8、的倒數(shù)是____,-eq\f(1,3)的倒數(shù)是_____.-|-1|的倒數(shù)是_____.9、數(shù)軸上表示1與-3的兩點之間的距離是______；數(shù)軸上表示x與-1的兩點間的距離是____，設這兩點間的線段為AB，若AB=2，那么x為_____.知識點五：有理數(shù)大小的比較：1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)；正數(shù)都大于，負數(shù)都小于；正數(shù)一切負數(shù)；2）兩個負數(shù)，即:若a＜0,b＜0,且︱a︱＞︱b︱,則a＜b.3）做差法：∵a-b>0，∴;針對練習：1、比較大小：-3-1.5；3.14π；－|4|－(-4)；-8960.01；2、已知有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示：（1）比較a-b與a+b的大小，（2）化簡|b-a|+|a+b|__o_a_b知識點六：科學記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字1．科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中a是（1<︱a︱<10），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.n是正整數(shù)。注意：指數(shù)n與原數(shù)整數(shù)位數(shù)之間的關系。2．近似數(shù)：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)。3．有效數(shù)字：4、精確度表示近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度。判斷一個近似數(shù)的精確度就是看這個數(shù)的最位數(shù)字在什么數(shù)位上就說精確到哪一位；對于帶記數(shù)單位的近似數(shù)的精確度應看單位前的數(shù)字最末一位在還原后的數(shù)的哪一位上（如1.3萬是精確到千位而不是十分位）；科學記數(shù)法應看a中的最末一位在還原后的數(shù)的哪一位上就是精確到哪一位（如2.71×103是精確到十位而不是百分位）。按要求取近似值就是將要求精確到的數(shù)位后一位四舍五入，對于要求精確到的數(shù)位比個位高時應先化為科學記數(shù)法再取近似值，如：35780000（精確到百萬位）應為35780000=3.578×106≈3.6×106.針對訓練：1☆用科學記數(shù)數(shù)表示：1305000000=；-1020=.2☆水星和太陽的平均距離約為57900000km用科學記數(shù)法表示為.3★120萬用科學記數(shù)法應寫成；2.4萬的原數(shù)是.4★.近似數(shù)3.5萬精確到位，有個有效數(shù)字.5★近似數(shù)0.4062精確到，有個有效數(shù)字.6★5.47×105精確到位，有個有效數(shù)字7★.3.4030×105保留兩個有效數(shù)字是，精確到千位是.8★★某數(shù)有四舍五入得到3.240，那么原來的數(shù)一定介于和之間.9★★用四舍五入法求30951的近似值（要求保留三個有效數(shù)字），結果是.10、下列各題中數(shù)據(jù)是準確數(shù)的是（）．A．今天的氣溫是28CB．月球與地球的距離大約是38萬千米C．小明的身高大約是148cmD．七年級學生共有800名知識點七：【有理數(shù)的運算】有理數(shù)加減法法則·——口訣記法：先定符號，再計算；同號相加不變號；異號相加“大”減“小”，符號跟著“大數(shù)”跑；減負加正不混淆。1、有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，;絕對值不等的異號兩數(shù)相加，，并用；互為相反的兩個數(shù)相加得；一個數(shù)同0相加,.（2）有理數(shù)加法的運算律：加法的交換律：；加法的結合律：用加法的運算律進行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分數(shù)先相加；把符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加.2、有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于.針對練習（1）（-3）+（-5）=（2）（-4.7）+2.9=（3）+（-0.125）=（4）（-4）+5=（6）（-13）+13=（6）（+4）+（-7.5）=（7）（-8）-（-6）=（8）8-（-6）=（9）（-8）-6=（10）5-14=（11）0-(+)-(+)-(+)-(-)-(-)（12）3、有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得，異號得,并把絕對值；任何數(shù)與0相乘都得.（2）有理數(shù)乘法的運算律：交換律：；結合律：；分配律：.（3）倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1，那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來.4、有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的，不能做除數(shù).這個法則可以把除法轉化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0.針對練習（1）（-3）×9=（2）（-）÷（-2）=（3）0×（-53）×（+25．3）=（4）1×（-1）=（5）（-）÷（-）=（6）（7）25×-(-25)×+25×(-)（8）-60×(-+-+)（9）（-125）÷（-5）；（10）-2.5÷×（-）．5、有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)的乘方的定義：求幾個相同因數(shù)a的積運算叫做乘方，乘方是一種運算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運算，記做“”其中a叫做，表示相同的因數(shù)。n叫做，表示相同因數(shù)的個數(shù)，它所表示的意義是n個a相乘，乘方的結果叫做.（2）正數(shù)的任何次方都是，負數(shù)的偶數(shù)次方是，負數(shù)的奇數(shù)次方是,0的任何次冪都是0。針對練習（1）（－4）3=（2）（－1）200=（3）（－）3=（4）33=（5）24=（6）（－）2=（7）－43=（8）－22=（9）（10）2×（－3）3－4×（－3）+15；6、有理數(shù)的混合運算順序（1）“先乘方，再乘除，最后加減”的順序進行；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。針對練習 典例精析例1．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，把下列各數(shù)從小到大用“＜”連接起來：-2，，0，-，-，5例2．把下列各數(shù)分別填在相應集合中：1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004．π整數(shù)集合：{ …}；負數(shù)集合：{ …}；分數(shù)集合：{ …}；有理數(shù)集合：{ …}．例3.小明參加“趣味數(shù)學”選修課，課上老師給了一個問題，小明看了很為難，你能幫他一下嗎？已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為負倒數(shù)，|m|＝2，求－1＋m－cd的值。例4.計算（1）（2）（3）（4）例5．按規(guī)律填數(shù)：（1）2，7，12，17，（），（），……（2）1，2，4，8，16，（），（），……例6．觀察下列算式：2–0=4=1×4，4–2=12=3×4，6-4=20=5×4，8–6=28=7×4，……（1）第5個等式是_____________；（2）第n個等式是_____________.例7．如果規(guī)定符號*的意義是，求2*（-3）*4的值（提示：*代表的是同級運算，按從左到右順序進行）例8．若|x－5|＋|y＋3|＝0，求2x＋3y的值。三、專題訓練（一）數(shù)軸專練例1.如圖，數(shù)軸上一點A向左移動2個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C．若點C表示的數(shù)為1，則點A表示的數(shù)（）A．7B．3C．-3例2.已知如圖：數(shù)軸上A，B，C，D四點對應的有理數(shù)分別是整數(shù)a，b，c，d，且有c-2a=7，則原點應是（）

A．A點B．B點C．C點D．D點（提示：注意發(fā)掘隱藏條件c-a=4）例3.將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分別對應數(shù)軸上的-3.6和x，則（）A．9＜x＜10B．10＜x＜11C．11＜x＜12注意：數(shù)軸上兩點間的距離=右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)．練習:1．如圖，數(shù)軸上的點A，B分別表示數(shù)-2和1，點C是線段AB的中點，則點C表示的數(shù)是（）A．-0.5B．-1.5C．02.如圖，A、B、C、D、E為某未標出原點的數(shù)軸上的五個點，且AB=BC=CD=DE，則點D所表示的數(shù)是（）A．10B．9C．6例4.已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．

（1）若折疊后，數(shù)1表示的點與數(shù)-1表示的點重合，則此時數(shù)-2表示的點與數(shù)_____表示的點重合；

（2）若折疊后，數(shù)3表示的點與數(shù)-1表示的點重合，則此時數(shù)5表示的點與數(shù)_____表示的點重合；若這樣折疊后，數(shù)軸上有A、B兩點也重合，且A、B兩點之間的距離為9（A在B的左側），則A點表示的數(shù)為_______，B點表示的數(shù)為_______例5閱讀理解題；

一點P從數(shù)軸上表示-2的點A開始移動，第一次先由點A向左移動1個單位，再向右移動2個單位；第二次先由點A向左移動2個單位，再向右移動4個單位；第三次先由點A向左移動3個單位，再向右移動6個單位…．求：

（1）寫出第一次移動后點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是＿＿＿＿＿＿＿；（2）寫出第二次移動后點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）寫出第三次移動后點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）寫出按上述規(guī)律第n次移動后點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是＿＿＿＿＿．（二）易錯題專練一．多種情況的問題（考慮問題要全面）（1）已知一個數(shù)的絕對值是3，這個數(shù)為_______；此題用符號表示：已知則x=_______；則x=_______；(2)絕對值不大于4的負整數(shù)是________；(3)絕對值小于4.5而大于3的整數(shù)是________．(4)在數(shù)軸上，與原點相距5個單位長度的點所表示的數(shù)是________；(5)在數(shù)軸上，A點表示＋1，與A點距離3個單位長度的點所表示的數(shù)是________；(6)平方得的數(shù)是____；此題用符號表示：已知則x=_______；(7)若|a|=|b|，則a,b的關系是________；（8）若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值．正數(shù)0負數(shù)二．特殊值法幫你解決含字母的問題正數(shù)0負數(shù)有理數(shù)中的字母表示，從三類數(shù)中各取1——2個特值代入檢驗，做出正確的選擇(1)若a是負數(shù)，則a________－a；是一個________數(shù)；（2）已知則x滿足________；若則x滿足________；若x=-x,x滿足________；若____；(3)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應的位置如圖所示：則（）A．a(chǎn)+b＜0B．a(chǎn)+b＞0;C．a(chǎn)－b=0D．a(chǎn)－b＞0（4）如果a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，且則代數(shù)式2ab-（c+d）+m2=_______。（5）若ab≠0,則的值為_______；（注意0沒有倒數(shù)，不能做除數(shù)）（6）一個數(shù)的平方是1，則這個數(shù)為________；用符號表示為：若則x=_______；一個數(shù)的立方是-1，則這個數(shù)為_______；倒數(shù)等于它自身的數(shù)為_______；三．一些易錯的概念（1）在有理數(shù)集合里，________最大的負數(shù)，________最小的正數(shù)，________絕對值最小的有理數(shù)．(2)在數(shù)軸的原點左側且到原點的距離等于6個單位長度的點所表示的數(shù)的絕對值是________．(3)若|a-1|＋|b+2|=0，則a=_______；b=________；（屬于“0+0=0”(4)下列代數(shù)式中，值一定是正數(shù)的是()A．x2B.|－x+1|C.(－x)2+2D.－x2+1（5）現(xiàn)規(guī)定一種新運算“*”：a*b=，如3*2==9，則（）*3=（）四．易錯計算

①②③-22-（1-×0.2）÷（-2）3④（）×（-60）⑤⑥⑦（四）應用題專練例1．有20筐白菜，以每筐25千克為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下：

（1）20筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐多重＿＿＿＿＿千克；

（2）20筐白菜總計＿＿＿＿＿千克；

（3）若白菜每千克售價2.6元，則出售這20筐白菜可賣＿＿＿＿＿元．（結果保留整數(shù)）例2．“五?一”黃金周期期間，遮陽山風景區(qū)在7天假期中每天游客的人數(shù)變化如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負數(shù)表示前一天少的人數(shù)）

（1）請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是＿＿＿日，最少的是＿＿日，它們相差＿＿＿萬人；

（2）如果最多一天有游客3萬人，那么4月30日游客有＿＿＿＿＿萬人．練習：１．某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車1400輛，平均每天生產(chǎn)200輛，但由于種種原因，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負）：

（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期四生產(chǎn)自行車＿＿＿＿＿輛；

（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實際生產(chǎn)自行車＿＿＿＿＿＿輛；

（3）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)自行車＿＿＿＿＿＿輛；

２．一位病人發(fā)高燒進醫(yī)院進行治療，醫(yī)生給他開了藥并掛了水，同時護士每隔1小時對病人測體溫，及時了解病人的好轉情況，現(xiàn)護士對病人測體溫的變化數(shù)據(jù)如下表：時間

7：00

8：00

9：0010：00

11：00

12：00

13：0014：0015：00

體溫（與前一次比較）＋0.2－1.0－0.8－1.0

－0.6

＋0.4－

0.2－0.2

0注：病人早晨進院時醫(yī)生測得病人體溫是40.2℃．

問：（1）病人什么時候體溫達到最高，最高體溫是多少？

（2）病人中午12點時體溫多高？

（3）病人幾點后體溫穩(wěn)定正常？（正常體溫是37點評：此類題的關鍵是理解升降都是相對前一次而言的．例3．小蟲從某點A出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，爬行的各段路程依次為：（單位：厘米）+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10．

（1）小蟲最后是否回到出發(fā)點A？

（2）小蟲離開原點最遠是多少厘米？

（3）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？練習1．某檢修站，甲小組乘一輛汽車，約定向東為正，從A地出發(fā)到收工時，行走記錄為（單位：千米）：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6．同時，乙小組也從A地出發(fā)，沿南北方向的公路檢修線路，約定向北為正，行走記錄為：-17，+9，-2，+8，+6，+9，-5，-1，+4，-7，-8．

（1）分別計算收工時，甲、乙兩組各在A地的哪一邊，分別距A地多遠？

（2）若每千米汽車耗油a升，求出發(fā)到收工時兩組各耗油多少升？2．某一出租車一天下午以一中為出發(fā)地在東西方向運營，向東走為正，向西走為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10．

（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車離一中出發(fā)點多遠？在一中的什么方向？

（2）若每千米的價格為1元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？例4．有一批水果，包裝質(zhì)量為每筐25千克，現(xiàn)抽取8筐樣品進行檢測，結果稱重如下（單位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，為了求得8筐樣品的總質(zhì)量，我們可以選取的一個恰當?shù)幕鶞蕯?shù)進行簡化運算．原質(zhì)量

27

24

23

28

21

26

22

27

與基準數(shù)的差距

（1）你認為選取的一個恰當?shù)幕鶞蕯?shù)為＿＿＿＿＿；

（2）根據(jù)你選取的基準數(shù)，用正、負數(shù)填寫上表；

（3）這8筐水果的總質(zhì)量是多少？練習1．有8筐白菜，以每筐25千克為標準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱后的紀錄如下：

回答下列問題：

（1）這8筐白菜中最接近標準重量的這筐白菜重＿＿＿＿千克；

（2）這8筐白菜一共重多少千克？2．糧庫3天內(nèi)發(fā)生糧食進出庫的噸數(shù)如下（“+”表示進庫“-”表示出庫）

+26、-32、-15、+34、-38、-20．

（1）經(jīng)過這3天，庫里的糧食是增多還是減少了．

（2）經(jīng)過這3天，倉庫管理員結算發(fā)現(xiàn)庫里還存480噸糧，那么3天前庫里存糧多少噸？

（3）如果進出的裝御費都是每噸5元，那么這3天要付多少裝卸費？基礎練習1、下列說法中不正確的是（） A．-3.14既是負數(shù)，分數(shù)，也是有理數(shù)B．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但是整數(shù)C．-2000既是負數(shù)，也是整數(shù)，但不是有理數(shù)D．0是非正數(shù)2、下列說法錯誤的是（）Ａ．0是自然數(shù)；Ｂ．0是整數(shù)；Ｃ．0是有理數(shù)；Ｄ．0是正數(shù)．3、如果一個數(shù)的相反數(shù)比它本身大，那么這個數(shù)為（）A、正數(shù) B、負數(shù)C、整數(shù) D、不等于零的有理數(shù)4、下列語句中，正確的是（）A.不存在最小的自然數(shù)B.不存在最小的正有理數(shù)C.存在最大的正有理數(shù)D.存在最小的負有理數(shù)