第22頁（共22頁）福建省福州市馬尾區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（4分）點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）2．（4分）下列四個(gè)著名圖案中，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．七巧板 C．斐波那契螺線 D．謝爾賓斯基三角形3．（4分）長(zhǎng)方形的外角和等于（）A．180° B．270° C．360° D．720°4．（4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，△ACD和△ABD面積相等，線段AD是三角形的（）A．高 B．角平分線 C．中線 D．無法確定5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2，則AC長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．1 D．6．（4分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°，則△ABC≌△A′B′C′的根據(jù)是（）A．SAS B．AAS C．SSA D．HL7．（4分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，圖中所有字母表示的點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)8．（4分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AD＝CD，AB＝CB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△DAO≌△DCO B．△BAO≌△BCO C．OD＝OC D．OA＝OC9．（4分）如圖，正五邊形ABCDE放入平面直角坐標(biāo)系后，若頂點(diǎn)A，B，C，E的坐標(biāo)分別是（0，a），（b，m），（﹣2，﹣1），（e，m），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）10．（4分）在2018，2019，2020，2021這四個(gè)數(shù)中，不能表示為兩個(gè)整數(shù)平方差的數(shù)是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）如圖，蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，這樣做的數(shù)學(xué)道理是．12．（4分）如圖，若△ABC≌△ADE，且∠B＝60°，∠C＝30°，則∠DAE＝．13．（4分）計(jì)算（6x4﹣8x2y）÷（﹣2x2）的結(jié)果是．14．（4分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，它的周長(zhǎng)是．15．（4分）兩個(gè)全等的正十二邊形按如圖所示的方式擺放，其中兩頂點(diǎn)重合，則∠α＝度．16．（4分）如圖，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于1，則∠AOB＝度．三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（8分）計(jì)算：8x?x5+（x2）3﹣（3x3）2．18．（8分）求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1），其中x＝．19．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC．求證：∠A＝∠D．20．（8分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍多180°，它是幾邊形？21．（8分）已知x+y＝3，（x+2）（y+2）＝5．（1）求xy的值；（2）求x2+y2的值．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，若∠B＝30°，求證：AP平分∠CAB．23．（10分）證明：等腰三角形的兩腰上的中線相等．24．（12分）如圖1，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD相交于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：AC＝BD；（2）用含α的式子表示∠AEO的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)α＝60°時(shí)，取AC，BD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ，PQ，判斷△OPQ的形狀，并加以證明．25．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，0），M是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，N為y軸正半軸上的點(diǎn)，且滿足AM＝ON．（1）若∠OMN＝45°，求AM的長(zhǎng)；（2）以MN為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△MNB，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

2019-2020學(xué)年福建省福州市馬尾區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（4分）點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，注意結(jié)合圖象，進(jìn)行記憶和解題．2．（4分）下列四個(gè)著名圖案中，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．七巧板 C．斐波那契螺線 D．謝爾賓斯基三角形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（4分）長(zhǎng)方形的外角和等于（）A．180° B．270° C．360° D．720°【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，再求出長(zhǎng)方形的外角和即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴長(zhǎng)方形的外角和是4×180°﹣90°﹣90°﹣90°﹣90°＝360°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，能記住長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角是解此題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，△ACD和△ABD面積相等，線段AD是三角形的（）A．高 B．角平分線 C．中線 D．無法確定【分析】過A作AH⊥BC于H，根據(jù)三角形的面積公式得到S△ACD＝CD?AH，S△ABD＝BD?AH，由于△ACD和△ABD面積相等，于是得到CD?AH＝BD?AH，即可得到結(jié)論．【解答】解：過A作AH⊥BC于H，∵S△ACD＝CD?AH，S△ABD＝BD?AH，∵△ACD和△ABD面積相等，∴CD?AH＝BD?AH，∴CD＝BD，∴線段AD是三角形ABC的中線，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，三角形的中線的定義，熟記三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2，則AC長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AC＝AB＝1．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2，∴AC＝AB＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．（4分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°，則△ABC≌△A′B′C′的根據(jù)是（）A．SAS B．AAS C．SSA D．HL【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法HL可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五種判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．7．（4分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，圖中所有字母表示的點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：點(diǎn)Q到∠AOB兩邊距離相等，理由是：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．8．（4分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AD＝CD，AB＝CB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△DAO≌△DCO B．△BAO≌△BCO C．OD＝OC D．OA＝OC【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定解答即可．【解答】解：在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，在△DAO和△DCO中，，∴△DAO≌△CDO（SAS），∴OA＝OC．同理可得△BAO≌△BCO（SAS）．∵DC≠CB，OD≠OB，∴OC≠OD．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，正五邊形ABCDE放入平面直角坐標(biāo)系后，若頂點(diǎn)A，B，C，E的坐標(biāo)分別是（0，a），（b，m），（﹣2，﹣1），（e，m），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）【分析】根據(jù)題意得出y軸位置，進(jìn)而利用正多邊形的性質(zhì)得出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：如圖所示：∵A（0，a），∴點(diǎn)A在y軸上，∵B，E的坐標(biāo)分別是（b，m），（e，m），∴B，E點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴C，D點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∵C的坐標(biāo)是：（﹣2，﹣1），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是：（2，﹣1）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確得出y軸的位置是解題關(guān)鍵．10．（4分）在2018，2019，2020，2021這四個(gè)數(shù)中，不能表示為兩個(gè)整數(shù)平方差的數(shù)是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】由a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）可知，兩個(gè)整數(shù)平方差可分解為兩個(gè)整數(shù)的積，且兩個(gè)因數(shù)同為奇數(shù)或者偶數(shù)，由此進(jìn)行逐一判斷．【解答】解：∵平方差公式為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），A．2018＝1×2018＝2×1009，（a+b）（a﹣b）的奇偶性相同2018分成兩個(gè)因數(shù)相乘時(shí)為一奇一偶所以2018不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差故選項(xiàng)A符合條件；B．∴10102﹣10092＝（1010+1009）（1010﹣1009），∵（1010+1009）（1010﹣1009）＝2019，∴2019＝10102﹣10092．故選項(xiàng)B不符合條件；C．2020＝5062﹣5042＝（506+504）×（506﹣504），故選項(xiàng)C不符合條件；D．2021＝10112﹣10102＝（1011+1010）×（1011﹣1010），故選項(xiàng)D不符合條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)到平方差公式中的兩個(gè)因數(shù)同為奇數(shù)或者偶數(shù)．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）如圖，蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，這樣做的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．【分析】在窗框上斜釘一根木條，構(gòu)成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【解答】解：蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，這樣就構(gòu)成了三角形，故這樣做的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．故應(yīng)填：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．12．（4分）如圖，若△ABC≌△ADE，且∠B＝60°，∠C＝30°，則∠DAE＝90°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠DAE＝∠BAC，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．13．（4分）計(jì)算（6x4﹣8x2y）÷（﹣2x2）的結(jié)果是﹣3x2+4y．【分析】根據(jù)整式的除法法則即可求出答案．【解答】解：原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x2y÷（﹣2x2）＝﹣3x2+4y．故答案為：﹣3x2+4y．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．（4分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，它的周長(zhǎng)是10．【分析】分2是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．【解答】解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形，②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2+4+4＝10，綜上所述，它的周長(zhǎng)是10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判定．15．（4分）兩個(gè)全等的正十二邊形按如圖所示的方式擺放，其中兩頂點(diǎn)重合，則∠α＝60度．【分析】由圖可知：重合的部分是一個(gè)六邊形，首先求正十二邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和六邊形的內(nèi)角和，進(jìn)一步求得2∠α，再進(jìn)一步得出答案即可．【解答】解：正十二邊形內(nèi)角為＝150°，六邊形的內(nèi)角和180°×（6﹣2）＝720°，則∠α＝×（720°﹣150°×4）＝60°．故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】此題考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的求法是解決問題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于1，則∠AOB＝30度．【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)為PE+EF+FP＝CD，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD＝1可求出∠AOB的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB，OC＝OD＝OP＝1，∴∠COD＝2∠OAB，又∵△PEF的周長(zhǎng)＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝1，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△COD是等邊三角形，∴2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱最短問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長(zhǎng)最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（8分）計(jì)算：8x?x5+（x2）3﹣（3x3）2．【分析】先依據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式和冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝8x6+x6﹣9x6＝9x6﹣9x6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式和冪的乘方與積的乘方法則，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．18．（8分）求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1），其中x＝．【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則算乘法，再合并同類項(xiàng)，再求出答案即可．【解答】解：原式＝x3﹣x2﹣x3+x2+x＝x，當(dāng)時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC．求證：∠A＝∠D．【分析】由“SAS”可證△ABF≌△DCE，可得結(jié)論．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．20．（8分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍多180°，它是幾邊形？【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°﹣2×360°＝180°，解得n＝7．答：它是七邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理列出方程是解題的關(guān)鍵．21．（8分）已知x+y＝3，（x+2）（y+2）＝5．（1）求xy的值；（2）求x2+y2的值．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則可得xy+2x+2y+4＝5，即xy+2x+2y+4＝5，再把x+y＝3代入求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝5，∴xy+2x+2y+4＝5，即xy+2（x+y）＝1，∵x+y＝3∴xy＝1﹣2×3＝﹣5；（2）∵x+y＝3，xy＝﹣5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×（﹣5）＝19．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的乘法以及完全平方公式，熟記多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則以及完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP，若∠B＝30°，求證：AP平分∠CAB．【分析】（1）作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得PA＝PB，再根據(jù)含30度角的直角三角形即可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；（2）證明：∵PD是線段AB的垂直平分線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B＝30o，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAP＝∠BAC﹣∠PAB＝60°﹣30o＝30o，∴∠CAP＝∠PAB，∴AP平分∠CAB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、線段垂直平分線、含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法和性質(zhì)．23．（10分）證明：等腰三角形的兩腰上的中線相等．【分析】先根據(jù)題意作圖，結(jié)合圖形寫出已知，求證，然后再根據(jù)已知和圖形進(jìn)行證明．可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出相關(guān)的等角或相等的線段：DC＝BE，∠DCB＝∠EBC，BC＝CB，可證明△BDC≌△CEB，所以BD＝CE，即等腰三角形的兩腰上的中線相等．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求證：BD＝CE．證明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的兩腰上的中線相等．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和文字證明題的相關(guān)步驟．要注意文字證明題的一般步驟是：①根據(jù)題意作圖，②根據(jù)圖形寫出已知、求證，③證明．24．（12分）如圖1，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD相交于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：AC＝BD；（2）用含α的式子表示∠AEO的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)α＝60°時(shí)，取AC，BD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ，PQ，判斷△OPQ的形狀，并加以證明．【分析】（1）由“SAS”可證△AOC≌△BOD，可得AC＝BD；（2）過點(diǎn)O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，由全等三角形的性質(zhì)可得∠OAC＝∠OBD，OM＝ON，由三角形內(nèi)角和定理可得∠AEB＝∠AOB＝α，由角平分線的判定可求解；（3）由“SAS”可證△AOP≌△BOQ，可得OP＝OQ，∠AOP＝∠BOQ，由等邊三角形的判定可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；（2）如圖1，過點(diǎn)O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，設(shè)AC，BO交于點(diǎn)F，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，OM＝ON，∵∠AFO＝∠BFE，∴∠AEB＝∠AOB＝α，∵OM⊥AC，ON⊥BD，OM＝ON，∴；（3）△OPQ為等邊三角形，理由如下：∵P，Q分別為AC，BD的中點(diǎn)，AC＝BD，∴AP＝BQ，∵OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，∴△AOP≌△BOQ（SAS），∴OP＝OQ，∠AOP＝∠BOQ，∵∠AOB＝α＝60°，∴∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，即∠POQ＝6