微分方程復習課微分方程復習課1基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.線性方程6.伯努利方程可降階方程線性方程解的結構定理1;定理2定理3;定理4二階常系數線性方程解的結構特征方程的根及其對應項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數法特征方程法一、主要內容基本概念一階方程類型6.伯努利方程可降階方程線性方程二21、基本概念微分方程凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱為微分方程的解．一、主要內容1、基本概念微分方程凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分3通解如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．通解如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微42、一階微分方程及其解法(1)可分離變量的微分方程解法(2)齊次型方程解法(分離變量法)(變量代換法)2、一階微分方程及其解法(1)可分離變量的微分方程解法5(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（常數變易法）(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為6(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法利用變量代換法化為線性微分方程．變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程71、可降階的高階微分方程的解法型解法接連積分n次，得通解．型特點解法代入原方程,得1、可降階的高階微分方程的解法型解法接連積分n次，得通解．8型特點解法代入原方程,得2、線性微分方程解的結構（1）二階齊次方程解的結構:型特點解法代入原方程,得2、線性微分方程解的結構（1）9（2）二階非齊次線性方程的解的結構:非齊方程的任兩解之差是相應齊方程的解非齊通解=齊通解

+非齊特解（2）二階非齊次線性方程的解的結構:非齊方程的任兩解之差是相103、二階常系數齊次線性方程解法n階常系數線性微分方程二階常系數齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程解法由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.3、二階常系數齊次線性方程解法n階常系數線性微分方程二階常系11特征方程為特征方程為12推廣：

階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應項推廣：階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中134、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程解法

待定系數法.4、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程14微分方程復習課k課件15(一)、選擇題B1.滿足2.設函數y1,y2都是方程的解，是此方程通解。則必有[].D3.微分方程的特解形式是[].(A)(B)(C)(D)D(一)、選擇題B1.滿足2.設函數y1,y2都是方程的16C4.滿足5.設線性無關的函數y1,y2,y3都是方程的解，為任意常數，則其通解為[].C6.以為特解的三階常系數的齊次線性微分方程是[].(A)(B)(C)(D)DC4.滿足5.設線性無關的函數y1,y2,y3都是方程178.若y=f(x)是(A)x0的某鄰域內單調增加；(B)x0的某鄰域內單調減少；(C)x0處取極小值；(D)x0處取極大值.C7.微分方程的一個特解是[].(A)(B)(C)(D)B9.設函數p(x)在[a,+∞）連續(xù)非負，

如果微分方程則必有[].的每一個解y(x)都滿足D8.若y=f(x)是(A)x0的某鄰域內單調18(二)、填空題1.微分方程的通解是______2.微分方程滿足y(1)=1的一個特解是_____3.微分方程的通解是______4.微分方程有兩個解則5.以為特解的最低階常系數齊次線性微分方程______(二)、填空題1.微分方程的通解是______2.微分方程滿19切于該點的積分曲線6.方程7.y=x的經過點M(0,1),且與直線8.通解為y=C1ex+C2e-2x的最低階的齊次線性方程9.已知是切于該點的積分曲線20例1求微分方程記兩邊積分得解分離變量得三、典型例題例1求微分方程記兩邊積分得解分離變量得三、典型21例2求微分方程積分得即原方程化為解設的通解.例2求微分方程積分得即原方程化為解設的通解.22代入x=1,y=2，得C=-1,于是積分曲線是兩邊積分得解設u=xy,則du=ydx+xdy,于是且過點（1，2）的積分曲線.例3求滿足方程代入x=1,y=2，得C=-1,于是積分曲線是23例4求積分得解原方程化為的通解.例4求積分得解原方程化為的通解.24例5若y=ex是方程這是一個一元線性非齊次方程，于是于是有程有解首先，求出未知函數p(x),把y=ex代入原方求滿足y(ln2)=0的特解.的一個解，例5若y=ex是方程這是一個一元線性非齊次方程，于是25例6若解設ux=t,則當u=0,t=0;當u=1,t=x.例6若解設ux=t,則當u=0,t26例7設f(x)在[0，+∞）上連續(xù)，且解方程的解為證明方程例7設f(x)在[0，+∞）上連續(xù)，且解27例8解方程解例8解方程解28例9解方程解設積分得再積分得原方程的通解為則原方程可化為例9解方程解設積分得再積分得原方程的通解為29例10求微分方程適合條件的特解.解設則原方程化為解之由于積分兩次有例10求微分方程適合條件的特解.解設則原方程化為解之30例11求方程解設原方程可化為當p=0時，y=C是方程的解，當p0時，有積分得例11求方程解設原方程可化為當p=0時，y=31例13求方程解不難求出特征根為1，6，對應的齊次方程的可以判斷出其特解為代入初始條件解得通解為例13求方程解不難求出特征根為1，6，對應的齊次32例14解方程解不難求出方程的特征根為2，2.方程的特解方程的特解方程的特解原方程的特解代入初始條件，并解方程組，求得例14解方程解不難求出方程的特征根為2，2.方程33解由于是原方程的解，故例15設y1=φ(x)是方程的一個解,若求出此方程的另一個與y1線性無關的解,并寫出所給方程的通解.解由于是原方程的解，故例15設y1=φ(x)是方程的34令原方程的通解為令原方程的通解為35例16設y(x)是x的連續(xù)可微函數,且滿足解兩邊對x求導,得到整理即再求導，并整理得到微分方程解之得即例16設y(x)是x的連續(xù)可微函數,且滿足解36例17求方程解代入原方程得解這個微分方程，得其通解為的通解.例17求方程解代入原方程得解這個微分方程，得其通解為的37例18若可微函數f(x)滿足方程解由所給方程可知f(1)=1,兩邊對x求導,得記y=f(x),則上述方程化為這是關于n

=3的伯努力方程.則整理即例18若可微函數f(x)滿足方程解由所給方38例19設函數f(x)滿足xf(x)–3xf(x)=–6x2求由曲線y=f(x),x=1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體的體積最小.解原方程可化為旋轉體的體積為令又所以V(C)在此唯一駐點處取最小值，所求函數為例19設函數f(x)滿足xf(x)39例20若f(x)可微,解令y=0,則對任何x,y,有解方程得通解代入條件f(0)=0,則C=0,所以例20若f(x)可微,40例21若解由線性方程的理論可知是對應齊次方程的解，也是對應齊次方程的解，所以也是對應齊次方程的解，于是都是對應的齊次方程的解，是某二階非齊次線性方程的三個解，求這個微分方程.例21若解由線性方程的理41不難寫出這個齊次方程為（因為特征根是-1和2）設所求的非齊次方程為代入則所以所求線性非齊次方程為不難寫出這個齊次方程為（因為特征根是-1和2）設所求的非齊次42例22設函數f(x)在正實軸上連續(xù)，且等式解固定x,對y求導，對任何正數x,y都成立，又f(1)=3,求f(x).兩邊再對x求導,整理得令例22設函數f(x)在正實軸上連續(xù)，且等式43微分方程復習課微分方程復習課44基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.線性方程6.伯努利方程可降階方程線性方程解的結構定理1;定理2定理3;定理4二階常系數線性方程解的結構特征方程的根及其對應項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數法特征方程法一、主要內容基本概念一階方程類型6.伯努利方程可降階方程線性方程二451、基本概念微分方程凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱為微分方程的解．一、主要內容1、基本概念微分方程凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分46通解如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．通解如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微472、一階微分方程及其解法(1)可分離變量的微分方程解法(2)齊次型方程解法(分離變量法)(變量代換法)2、一階微分方程及其解法(1)可分離變量的微分方程解法48(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（常數變易法）(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為49(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法利用變量代換法化為線性微分方程．變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程501、可降階的高階微分方程的解法型解法接連積分n次，得通解．型特點解法代入原方程,得1、可降階的高階微分方程的解法型解法接連積分n次，得通解．51型特點解法代入原方程,得2、線性微分方程解的結構（1）二階齊次方程解的結構:型特點解法代入原方程,得2、線性微分方程解的結構（1）52（2）二階非齊次線性方程的解的結構:非齊方程的任兩解之差是相應齊方程的解非齊通解=齊通解

+非齊特解（2）二階非齊次線性方程的解的結構:非齊方程的任兩解之差是相533、二階常系數齊次線性方程解法n階常系數線性微分方程二階常系數齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程解法由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.3、二階常系數齊次線性方程解法n階常系數線性微分方程二階常系54特征方程為特征方程為55推廣：

階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應項推廣：階常系數齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中564、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程解法

待定系數法.4、二階常系數非齊次線性微分方程解法二階常系數非齊次線性方程57微分方程復習課k課件58(一)、選擇題B1.滿足2.設函數y1,y2都是方程的解，是此方程通解。則必有[].D3.微分方程的特解形式是[].(A)(B)(C)(D)D(一)、選擇題B1.滿足2.設函數y1,y2都是方程的59C4.滿足5.設線性無關的函數y1,y2,y3都是方程的解，為任意常數，則其通解為[].C6.以為特解的三階常系數的齊次線性微分方程是[].(A)(B)(C)(D)DC4.滿足5.設線性無關的函數y1,y2,y3都是方程608.若y=f(x)是(A)x0的某鄰域內單調增加；(B)x0的某鄰域內單調減少；(C)x0處取極小值；(D)x0處取極大值.C7.微分方程的一個特解是[].(A)(B)(C)(D)B9.設函數p(x)在[a,+∞）連續(xù)非負，

如果微分方程則必有[].的每一個解y(x)都滿足D8.若y=f(x)是(A)x0的某鄰域內單調61(二)、填空題1.微分方程的通解是______2.微分方程滿足y(1)=1的一個特解是_____3.微分方程的通解是______4.微分方程有兩個解則5.以為特解的最低階常系數齊次線性微分方程______(二)、填空題1.微分方程的通解是______2.微分方程滿62切于該點的積分曲線6.方程7.y=x的經過點M(0,1),且與直線8.通解為y=C1ex+C2e-2x的最低階的齊次線性方程9.已知是切于該點的積分曲線63例1求微分方程記兩邊積分得解分離變量得三、典型例題例1求微分方程記兩邊積分得解分離變量得三、典型64例2求微分方程積分得即原方程化為解設的通解.例2求微分方程積分得即原方程化為解設的通解.65代入x=1,y=2，得C=-1,于是積分曲線是兩邊積分得解設u=xy,則du=ydx+xdy,于是且過點（1，2）的積分曲線.例3求滿足方程代入x=1,y=2，得C=-1,于是積分曲線是66例4求積分得解原方程化為的通解.例4求積分得解原方程化為的通解.67例5若y=ex是方程這是一個一元線性非齊次方程，于是于是有程有解首先，求出未知函數p(x),把y=ex代入原方求滿足y(ln2)=0的特解.的一個解，例5若y=ex是方程這是一個一元線性非齊次方程，于是68例6若解設ux=t,則當u=0,t=0;當u=1,t=x.例6若解設ux=t,則當u=0,t69例7設f(x)在[0，+∞）上連續(xù)，且解方程的解為證明方程例7設f(x)在[0，+∞）上連續(xù)，且解70例8解方程解例8解方程解71例9解方程解設積分得再積分得原方程的通解為則原方程可化為例9解方程解設積分得再積分得原方程的通解為72例10求微分方程適合條件的特解.解設則原方程化為解之由于積分兩次有例10求微分方程適合條件的特解.解設則原方程化為解之73例11求方程解設原方程可化為當p=0時，y=C是方程的解，當p0時，有積分得例11求方程解設原方程可化為當p=0時，y=74例13求方程解不難求出特征根為1，6，對應的齊次方程的可以判斷出其特解為代入初始條件解得通解為例13求方程解不難求出特征根為1，6，對應的齊次75例14解方程解不難求出方程的特征根為2，2.方程的特解方程的特解方程的特解原方程的特解代入初始條件，并解方程組，求得例14解方程解不難求出方程的特征根為2，2.方程76解由于是原方程的解，故例15設y1=φ(x)是方程的一個解,若求出此方程的另一個與y1線性無關的解,并寫出所給方程的通解.解由于是原方程的解，故例15設y1=φ(x)是方程的77令原方程的通解為令原方程的通解為78例16設y(x)是x的連續(xù)可微函數,且滿足解兩邊對x求導,得到整理即再求導，并整理得到微分方程解之得即例16設y(x)是x的連續(xù)可微函數,且滿足解79例17求方程解代入原方程得解這個微分方程，得其通解為的通解.例17求方程解代