第三章轉(zhuǎn)子動平衡低速動平衡（剛性轉(zhuǎn)子動平衡）工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)（臺架）平衡國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO1940高速動平衡（柔性轉(zhuǎn)子動平衡）模態(tài)平衡法影響系數(shù)法混合法參考標(biāo)準(zhǔn)：DIS5406《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5343《評價(jià)柔性轉(zhuǎn)子平衡的準(zhǔn)則》（參考）1/3/20231第三章轉(zhuǎn)子動平衡低速動平衡（剛性轉(zhuǎn)子動平衡）12/30/第一節(jié)概述

一、剛性轉(zhuǎn)子動平衡1、靜平衡目標(biāo)：平衡靜力方法：隨遇平衡法2、動平衡目標(biāo)：平衡力與力矩方法：動平衡機(jī)、低速平衡工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)平衡國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO19403、動平衡基本要求1）至少兩個平衡面，平衡面距離要遠(yuǎn)，并盡能靠近支點(diǎn)；平衡配重半徑位置要盡可能大，以便達(dá)到最大效果。1/3/20232第一節(jié)概述一、剛性轉(zhuǎn)子動平衡12/30/202222）一步平衡，多為短壽命軍用發(fā)動機(jī)采用3）多步平衡，多為長壽命民用發(fā)動機(jī)采用4）平衡方法：尋找重點(diǎn)尋找輕點(diǎn)（頻閃法）影響系數(shù)法極坐標(biāo)矢量圖法三元平衡法5）原理：不平衡力Pj產(chǎn)生支反力FP1與FP2不平衡力矩RL產(chǎn)生支反力FR1與FR2則在支點(diǎn)有合力動平衡：動平衡精度1）me≤G0(g.cm)工程實(shí)際應(yīng)用2）eω≤G0(mm/s)國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO1940將平衡品質(zhì)分為11個等級，按比值為2.5的等比級數(shù)遞增排列。

1/3/202332）一步平衡，多為短壽命軍用發(fā)動機(jī)采用12/30/20223第二節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動平衡一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn)1.柔性轉(zhuǎn)子：n>ncr1，轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生彎曲變形2.高速動平衡：多平面、多轉(zhuǎn)速平衡過程目的：1）將不平衡力與不平衡力偶降到許可范圍2）將n階固有振型不平衡量降到許可范圍3.標(biāo)準(zhǔn)：1）國際標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5406—《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》2）參考標(biāo)準(zhǔn)5343《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》4.方法：1）振型(模態(tài))平衡法2）影響系數(shù)法3）混合法等1/3/20234第二節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動平衡一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn)12/30/205.平衡特點(diǎn)1)剛性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，在工作轉(zhuǎn)速以下運(yùn)行平穩(wěn)；2)柔性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，僅平衡了低速下支承動反力，高速下軸產(chǎn)生彎曲變形，彎矩將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化，支承動反力也將發(fā)生變化；3)柔性轉(zhuǎn)子動平衡目的：在工作轉(zhuǎn)速下，盡可能消除支承動反力，并使轉(zhuǎn)子沿軸長的彎矩最小如圖3-1所示，剛性轉(zhuǎn)子有對柔性轉(zhuǎn)子有1/3/202355.平衡特點(diǎn)12/30/20225F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。4）影響因素多：a)不同轉(zhuǎn)速下?lián)隙扔绊慴)各階振型對平衡的影響5）實(shí)際發(fā)動機(jī)只有少數(shù)幾個平面可用于平衡；只能在有限個轉(zhuǎn)速上得到平衡。6）問題：如何利用少數(shù)幾個平面來獲得一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的良好平衡。7）假設(shè)條件：a)在一定平衡條件下，軸承振幅與轉(zhuǎn)子不平衡量成正比。b)軸承振幅與不平衡力之間的相位不變。c)轉(zhuǎn)子中非線性因素(如油膜)等影響，不影響上述假設(shè)條件1/3/20236F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。12/30/20226二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動方程設(shè)一轉(zhuǎn)子為等截面軸，簡支在各向同性的支承上軸的面積為A，單位長度質(zhì)量為ρA，截面質(zhì)心為G(z)，截面偏心距為ε(z)，質(zhì)心連線為一空間曲線。如圖所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得到y(tǒng)oz平面內(nèi)的運(yùn)動方程：其中則有由材料力學(xué)可知代入運(yùn)動方程得到1/3/20237二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動方程12/30/20227同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動方程為引入復(fù)數(shù)表達(dá)式，令則有式中：為質(zhì)心空間曲線1.設(shè)ε(z)=0,即無質(zhì)量偏心的情況，運(yùn)動方程為設(shè)解為代入運(yùn)動方程中1/3/20238同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動方程為12/30/20228并令得到特征方程為

則所以代入邊界條件：z=0，s(0)=0，z=l，s(l)=0，解得：c2=c3=c4=0，c1sin(kl)=0要求非零解，則c1≠0，所以sin(kl)=0因此有：kl=nπ得到固有頻率為

1/3/20239并令各階主振型為：前三階振型為2.設(shè)ε(z)≠0,即有質(zhì)量偏心的情況，且質(zhì)心按第n階主振型函數(shù)(平面)分布，運(yùn)動方程為設(shè)解為代入運(yùn)動方程得根據(jù)假設(shè)，α(z)=常數(shù)，則有1/3/202310各階主振型為：12/30/202210式中：An為系數(shù)，sn(z)為第n階主振型由運(yùn)動微分方程，得到設(shè)特解為Dn為待定系數(shù)代入運(yùn)動方程得方程的齊次通解為sn(z)，且有故有特解方程為得到系數(shù)故轉(zhuǎn)軸的振型為由此得到如下結(jié)論：1/3/202311式中：An為系數(shù)，sn(z)為第n階主振型12/30/2021)若質(zhì)心按第n階振型分布，只激起第n階主振動2)轉(zhuǎn)軸振型為一平面曲線，振幅為倍3)當(dāng)ω→ωn時，振幅→∞，產(chǎn)生第n階主振型共振3.ε(z)≠0,且質(zhì)心為任意空間分布曲線，設(shè)為按主振型分解得即有質(zhì)心分布示意圖見圖3-4所示1/3/2023121)若質(zhì)心按第n階振型分布，只激起第n階主振動12/30/2式中代入運(yùn)動方程有設(shè)轉(zhuǎn)軸振型為代入運(yùn)動方程得式中Sn(z)為第n階振型函數(shù)，也是對應(yīng)齊次方程解所以有特解為1/3/202313式中12/30/202213利用固有振型的正交性，得解得系數(shù)轉(zhuǎn)子振動為或1/3/202314利用固有振型的正交性，得12/30/202214三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動特點(diǎn)1.柔度曲線s(z)隨轉(zhuǎn)速ω而變變化1)ω<<ωc1時，很小，可視為剛性轉(zhuǎn)子；2)ω>0.6ωc1，系數(shù)將增大，轉(zhuǎn)子振型s(z)是各階主振型合成的空間曲線；3)ω→ωcn時，第n階主振型幅值系數(shù)明顯增大，其它各階則小很多；若ω→ωc1，此時振型近似有4)隨著轉(zhuǎn)速增加，各階主振型依次突現(xiàn)出來，一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階主振型的影響。比較撓度曲線與不平衡量的關(guān)系，它們展開項(xiàng)相同，幅值相差一個倍率，考慮阻尼有1/3/202315三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動特點(diǎn)12/30/202215式中ωcr——為無阻尼時系統(tǒng)的固有頻率。αr為撓度曲線各階分量與該階不平衡分量的相位差。由于阻尼影響，即使在臨界轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子振型也不是一根平面曲線，但實(shí)際進(jìn)行動平衡時，仍以無阻尼的主振型平面加以考慮。3.轉(zhuǎn)子主振型的正交性不平衡分布力在x、y方向的分量為1/3/20231612/30/202216轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為各階不平衡力在yoz平面和xoz平面上對k階振型做功之和為由主振型正交性1/3/202317轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為12/30/202217可知：1）各階主振動之間不發(fā)生能量傳遞；2）n階不平衡分量只能激起n階主振型，不會激起其它各階振型；3）利用主振型的正交性，可對轉(zhuǎn)子進(jìn)行逐階平衡，完成柔性轉(zhuǎn)子動平衡。1/3/202318可知：12/30/202218第三節(jié)模態(tài)平衡法（振型平衡法）一、模態(tài)平衡法及平衡條件根據(jù)主振型的正交性，可采用逐階平衡的辦法進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子動平衡。對于一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階振型。以等截面軸為例進(jìn)行分析，見圖3-5設(shè)距起始端z1處有一集中重量w1位于半徑R1上，集中重量均勻分布在2b的范圍內(nèi)，以U(z)表示其分布。則式中：1/3/202319第三節(jié)模態(tài)平衡法（振型平衡法）一、模態(tài)平衡法及平衡條取單位長度質(zhì)量為m(=ρA)，則有上式代表集中重量矩折合成單位長軸段質(zhì)心偏移，按各階主振型展開成式中：Cn1——n階主振型系數(shù)，第二個下標(biāo)表示所加平衡重量編號；sn(z)——各階主振型函數(shù)，假設(shè)為已知。利用正交性，對折合軸段質(zhì)心偏移展開式兩邊乘以sn(z)，并沿軸長積分，等式左邊為：等式左邊為：由此可得：1/3/202320取單位長度質(zhì)量為m(=ρA)，則有12/30/202220若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分別在半徑R1、R2、…、Rk處加平衡配重W1、W2、…、Wk，k個平衡重量引起轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏移為式中：為了平衡轉(zhuǎn)子第n階主振型分量，要求平衡重量形成的第n階振型質(zhì)心偏移和轉(zhuǎn)子自身第n階主振型質(zhì)心偏移在同一平面上，大小相等，方向相反，即滿足即若有一組k個最小的不平衡重量Uj，與n階不平衡量相當(dāng),即1/3/202321若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分別在半徑R1、R2式中：U(z)——轉(zhuǎn)子不平衡量分布函數(shù)。其中：值應(yīng)為最小。稱這組量Uj(j=1~k)為第n階振型不平衡當(dāng)量Une，即柔性轉(zhuǎn)子的平衡不考慮阻尼情況下應(yīng)滿足下列三個力學(xué)平衡方程：1/3/20232212/30/202222方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件。二、配重面的選擇及矢量平衡原理1）柔性轉(zhuǎn)子平衡為多平面多轉(zhuǎn)速平衡；2）平衡面選?。河蠳平面及N+2平面法兩種；N平面法：平衡N階振型，選用N個平衡面；N+2平面法：平衡N階振型，選用N+2個平衡面。一般N平面法不能完全平衡支承動反力。但兩種方法都有使用。平衡面選擇很重要，選擇不當(dāng)將使平衡配重增大。原因：平衡面選擇主要依據(jù)轉(zhuǎn)子振型，實(shí)際發(fā)動機(jī)平衡面選擇受到限制。圖3-6為N+2平面法的平衡面選取。I、II平衡面消除III、IV、V平衡面對低速動平衡的影響。1/3/202323方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時III、IV、V三個平面對振型不平衡量的校正。但由于在臨界轉(zhuǎn)速時，支承位移較大，I、II平面的校正量對III、IV、V平面仍有一定干擾。圖3-6(a)為平衡一階振型時的三個平面的校正量，平面III的校正量對二階振型不起作用。圖3-6(b)、(c)為平衡二階及三階振型的校正量組。測量柔性轉(zhuǎn)子振型比較困難，可以軸承處的振動代替測量轉(zhuǎn)子撓度。即矢量平衡法。圖3-7為矢量平衡三角形：矢量為轉(zhuǎn)子測點(diǎn)相對某一角向參考坐標(biāo)測得的振動，矢量為轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)加試配重后同轉(zhuǎn)速下測點(diǎn)與參考坐標(biāo)下測得的振動，則矢量=—為試重P的響應(yīng)。為消除原始振動，加試配重平面上所需校正量為：1/3/202324通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時III、IV、V三個式中：稱為影響系數(shù)矢量(用于影響系數(shù)法)稱為反應(yīng)系數(shù)矢量(用于模態(tài)平衡法)試重在原方位反時針旋轉(zhuǎn)θ角，其重量按OM對MN之比放大，即為校正量。平衡步驟：1)在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近測得兩軸承處振動矢量、，分解為對稱矢量，該分量由一階振型分量引起。2）加試配重后，在同一轉(zhuǎn)速下測得振動、，則矢量為試重引起的對稱振動矢量。1/3/20232512/30/2022253）平衡一階振型分量的校正重量為：4）平衡二階振型分量時，在二階臨界轉(zhuǎn)速nc2附近測得兩軸承振動及，其反對稱分量為，它由二階不平衡量引起，加反對稱試重后，測得兩軸承處的振動矢量為及，則矢量即為引起的反對稱振動分量，故應(yīng)加校正量為：1/3/2023263）平衡一階振型分量的校正重量為：12/30/202226三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時的支承動反力柔性轉(zhuǎn)子動平衡目的：1）消除支承動反力；2）消除轉(zhuǎn)子撓度與彎矩。難于同時滿足，則以最少的配重使轉(zhuǎn)子在軸向、水平及垂直三方向振動在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最小。柔性轉(zhuǎn)子撓曲振型為：設(shè)各階振型函數(shù)為（簡支梁情況）：則轉(zhuǎn)子振型為轉(zhuǎn)子原始不平衡n階分量可寫成，則轉(zhuǎn)子變形為1/3/202327三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時的支承動反力12/30/202227支承動反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得設(shè)m(z)=m(常數(shù)——等截面軸)，上式積分整理得柔性部分支承動反力為積分整理得因此，一個軸承上所受到的總動反力為1/3/202328支承動反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得12/30/202228將代入得或由材料力學(xué)，通過振型函數(shù)求導(dǎo)得1.平衡一階振型分量后的支承動反力設(shè)（簡支梁）一階振型分量為C1sin(nπ/l)，其中則一階撓曲振型為1/3/20232912/30/202229設(shè)采用位于中部的一個集中質(zhì)量校正，即z1=l/2，校正量為W1R1，由（3-31）式得由于n=1，z=l/2，故有若所選校正量滿足C1=C11，即或此時，轉(zhuǎn)子中部的一個校正量W1R1可以使一階不平衡分量獲得平衡，消除了柔性部分的動反力。轉(zhuǎn)子一階振型不平衡分量引起剛性部分的動反力為校正量W1R1加在中部后，一個支承上的動反力為1/3/202330設(shè)采用位于中部的一個集中質(zhì)量校正，即z1=l/2，校正量為1比較(3-47)和(3-48)，得可見：1）轉(zhuǎn)子中部的一個集中平衡配重可使轉(zhuǎn)子撓曲得以平衡，但不能全部消除轉(zhuǎn)子的動力。2）支承處剛性部分動反力只能平衡掉78.5%。3）為消除支承處一階振型全部動反力，應(yīng)在支承處同側(cè)平面上加平衡配重W2及W3，若加重半徑相同，則配重之比為：此時配重可消除轉(zhuǎn)子一階不平衡分量引起的轉(zhuǎn)子撓曲、彎矩及支承動反力，但不能消除高階振型分量影響。若工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離高階工作轉(zhuǎn)速，則影響不大。若在轉(zhuǎn)子兩側(cè)加校正量W1R1=W2R2，見圖3-9，則有1/3/202331比較(3-47)和(3-48)，得12/30/202231式中：φ(z)=1，當(dāng)z1-b≤z≤z1+b及l(fā)-z1-b≤z≤l-z1+b

φ(z)=1，z在其余各處。由(3-30)得由(3-31)得即設(shè)z1=l/4，取n=1得：為使兩校正量能平衡一階振型不平衡分量，應(yīng)使C11=C1，即1/3/202332式中：φ(z)=1，當(dāng)z1-b≤z≤z1+b及l(fā)-z1-b≤或兩個校正量引起的支承處動反力為：由(3-47)可得同樣為完全平衡剛性部分動反力，應(yīng)在支承處兩平面上相反方向再加兩個校正重量W3及W4，若加重半徑相同，則比值為：可見：平衡一階振型不平衡量，轉(zhuǎn)子中部加配重所需重量最少；平衡面越靠近兩支承，需加配重越大。2.平衡二階振型時的支承動反力設(shè)二階不平衡分量為C2sin(2πz/l)，其中，由此引起轉(zhuǎn)子二階撓曲振型為：1/3/202333或12/30/202233引起兩支承處的動反力大小相等、方向相反。為平衡二階不平衡量應(yīng)在兩側(cè)加反對稱校正量W1R1=-W2R2，如圖3-10所示，則有式中：同理：利用正交性可得即1/3/202334引起兩支承處的動反力大小相等、方向相反。為平衡二階不平衡量應(yīng)取z1=l/4，n=2，則為平衡二階振型，應(yīng)使C22=C2，此時有校正量W2R2引起的剛性部分動反力為：由(3-42)得兩者之比為：表明：加反對稱校正量只能平衡支承動反力的78.5%。為平衡全部剛性部分動反力，有力矩平衡方程得為平衡二階振型分量，應(yīng)使1/3/202335取z1=l/4，n=2，則12/30/202235有以上兩式解得：四、模態(tài)平衡的N平面法與N+2平面法1）轉(zhuǎn)子偏心沿軸向及周向分布是隨機(jī)的；2）1957年克勞爾.菲特恩(KlausFedern德)提出N+2平面法W.凱琳貝爾格(Kellenberge瑞士)加以充實(shí)。3）1959年R.E.D皮肖帕(Bishop)提出N平面法4）1970年皮肖帕和凱琳貝爾格對N平面法和N+2平面法進(jìn)行了評論，基本獲得共識。1.基本原理等截面運(yùn)動方程為式中：運(yùn)動方程也可用矢量形式表示為1/3/202336有以上兩式解得：12/30/202236式中：m(z)——單位軸段長質(zhì)量；——作用在轉(zhuǎn)子上不平衡力及校正力之和。設(shè)：=0，可得齊次微分方程的通解，即特征值與特征向量，由主振型正交條件得將按sn(z)展開后求運(yùn)動微分方程的特解。由兩部分組成：一是分布的不平衡力，另一部分是集中作用的不平衡力及校正力，其中為集中不平衡量及校正量（如圖3-11）。將按主振型展開1/3/202337式中：m(z)——單位軸段長質(zhì)量；12/30/202237且利用正交特性，可求得運(yùn)動方程特解為式中第一項(xiàng)為式(3-22)，第二項(xiàng)為集中不平衡量Uk引起。由此可知：當(dāng)ω接近某ωcn時，轉(zhuǎn)子的變形將是該階主振型，其它各階可不考慮。分析支承處動反力：由力矩平衡可得1/3/202338且12/30/202238將特解代入得當(dāng)ω<ωc1，或→0，上式與剛性轉(zhuǎn)子相應(yīng)式子完全相同。表明柔性轉(zhuǎn)子在低速時，其特性與一般剛性轉(zhuǎn)子相同。根據(jù)動平衡要求，應(yīng)使支承動反力為零。1/3/202339將特解代入得12/30/202239即由(3-62)得將上式矢量在y-z及y-x平面分解，僅討論其中一個分量。1/3/202340即12/30/202240此時，矢量便成為標(biāo)量。若保留高階影響，僅消除前N階振型，則有：可以得到滿足上述條件的N個有限方程：1/3/202341此時，矢量便成為標(biāo)量。12/30/202241式中的集中質(zhì)量分為兩部分：M個原始存在的不平衡量，K個待確定的校正量。等式右邊第一項(xiàng)是集中的不平衡量，第二項(xiàng)是轉(zhuǎn)子連續(xù)分布的相應(yīng)階不平衡量。由于平衡面是有限的N個，滿足式(3-66)，式(3-64)就不能得到滿足，即支承動反力不為零。因此，N平面法能減少轉(zhuǎn)子變形，但不能平衡支承的動反力，影響了轉(zhuǎn)子剛性平衡。因此，應(yīng)補(bǔ)充式(3-64)，可寫為：因此，為了將式(3-66)與(3-67)一起求解，必需要有N+2個方程，即N+2平面法。1/3/202342式中的集中質(zhì)量分為兩部分：M個原始存在的不平衡量，K個待確定因此，N+2平面法由更高平衡精度。一般認(rèn)為：N≥3時，可采用N平面法；N<3時，宜采用N+2平面法。2.應(yīng)用舉例模型見圖3-12首先在低于第一階臨界轉(zhuǎn)速nc130%范圍內(nèi)進(jìn)行剛性轉(zhuǎn)子平衡。然后升速進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子平衡，取N=3。(1)N平面法平衡面：I、III、V式(3-66)右端以φ1、φ2、φ3表示，為未知數(shù)。由計(jì)算或測量得前三階主振型1/3/202343因此，N+2平面法由更高平衡精度。12/30/202243s1(zk)、s2(zk)、s3(zk)，zk為三個加重面軸向位置(k=1、2、3)設(shè)振型已規(guī)格化，式(3-66)可寫成將轉(zhuǎn)速升到nc1附近，近似由φ2=φ3=0,可得一階振型平衡量組式中：A1、A2、A3——求解上述方程組的具體數(shù)值。相對值為平衡重量大小可用前述試加重量法求得。重量組配置見圖3-13(a)平衡一階振型后，然后升速至nc2附近，此時，同樣近似有φ1=φ3=0,同樣可得第二組平衡量組1/3/202344s1(zk)、s2(zk)、s3(zk)，zk為三個加重面軸二階振型平衡量組相對值為若|U23|>|U21|，則取|U23|為分母，平衡重量配置見圖3-13(b)同理，升速至第三階臨界轉(zhuǎn)速nc3附近，有φ1=φ2=0,可得三階振型平衡量組由此，可求得平衡量組相對值以上各平衡量組位于不同軸向平面上，須按矢量運(yùn)算進(jìn)行疊加。顯然，所加的一組不平衡量并不滿足：因此，N平面法部分地破壞了剛性轉(zhuǎn)子平衡。（2）N+2平面法1/3/20234512/30/202245平衡面數(shù)為N+2=5個，即圖3-13中的I、II、III、IV、V共五個平面，其余步驟類似N平面法。聯(lián)合式(3-66)及(3-67)得求解上述方程組可得U1、U2、U3、U4、U5?？煞謩e令：φ2=φ3=0,φ1=φ3=0,φ1=φ2=0解上述方程組得三組U1、U2、U3、U4、U5。平衡量組配置見圖3-13。顯然，這是滿足：因此，不破壞原先完成的“剛性轉(zhuǎn)子”平衡。注意點(diǎn)：1/3/202346平衡面數(shù)為N+2=5個，即圖3-13中的I、II、III、I1）加重面數(shù)不少于要平衡的主振型階數(shù)；2）加重?cái)?shù)值分配比例應(yīng)滿足正交條件，不產(chǎn)生附加的不平衡分量，即要求計(jì)算或測量得到準(zhǔn)確的振型曲線，否則就不滿足正交條件。1/3/2023471）加重面數(shù)不少于要平衡的主振型階數(shù)；12/30/20224第四節(jié)影響系數(shù)法對于線性系統(tǒng)，在一定轉(zhuǎn)速下，不平衡與響應(yīng)存在關(guān)系：式中：——i處響應(yīng)——j處不平衡量——影響系數(shù)，j點(diǎn)處不平衡量與i點(diǎn)處振動響應(yīng)關(guān)系，為一矢量，且影響系數(shù)是轉(zhuǎn)速的函數(shù)，與轉(zhuǎn)速有關(guān)。測取影響函數(shù)，應(yīng)使轉(zhuǎn)速穩(wěn)定。影響系數(shù)確定：首先在一定轉(zhuǎn)速下，測取i點(diǎn)原始不平衡處響應(yīng)(振幅及相位)，然后，在j平面上加一已知不平衡量，再測取i點(diǎn)處的振動，由引起的振動為，即1/3/202348第四節(jié)影響系數(shù)法對于線性系統(tǒng)，在一定轉(zhuǎn)速下，不平衡與響故影響系數(shù)為：上式按復(fù)數(shù)運(yùn)算。設(shè)轉(zhuǎn)子有M個平衡面，共有N個測點(diǎn)，則有式中：為轉(zhuǎn)子原有的相當(dāng)于再平衡面1,2,…,M上的不平衡量，測試轉(zhuǎn)速為ω1。再平面1上加不平衡量后，將轉(zhuǎn)子啟動，仍在ω1下測取各點(diǎn)響應(yīng)，記為1/3/202349故影響系數(shù)為：12/30/202249兩式相減得由此可得同理，在2平面上加試重可以求得，加M次試重，可求得所有M×N個(幅值與相位)影響系數(shù)。改變轉(zhuǎn)速為ω2，重新測試，可得M×N個影響系數(shù)。1/3/202350兩式相減得12/30/202250二、動平衡方程組——矢量聯(lián)立方程組1.剛性轉(zhuǎn)子支承在兩支點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)子，只需兩個平衡面，分別在其上加試重可得到兩支承(平衡面)處的影響系數(shù)若在一、二兩個平衡面上應(yīng)加校正量為，使得兩支承處的振動為零，即滿足方程式中：——為第一、第二測點(diǎn)的原始振動值。由克萊姆法則，可得1/3/202351二、動平衡方程組——矢量聯(lián)立方程組1.剛性轉(zhuǎn)子12/30/22.柔性轉(zhuǎn)子設(shè)加重面為j=1,2,3,…M，選定測點(diǎn)(包含所有轉(zhuǎn)速下的測點(diǎn))為i=1,2,3,…N，通過加試重可得個測點(diǎn)影響系數(shù)。設(shè)各測點(diǎn)原始振動為(i=1,2,…N)，則應(yīng)在平衡面加校正量后，各測點(diǎn)振動為零。由此得矢量聯(lián)立方程組：用矩陣形式表示為：簡寫為1/3/2023522.柔性轉(zhuǎn)子12/30/202252柔性平衡轉(zhuǎn)速通常不止一個，為使方程有精確解，必需使M=N，而N=H.n，其中n為一個轉(zhuǎn)速下的測點(diǎn)數(shù)，H為平衡轉(zhuǎn)速數(shù)。通常平衡轉(zhuǎn)速應(yīng)包含臨近臨界轉(zhuǎn)速及工作轉(zhuǎn)速。由于加重面數(shù)M受到限制，一般N>M，即方程數(shù)多于未知數(shù)，稱為矛盾方程組，故不存在精確解，只能得到近似解。若N<M，則為不定方程，無唯一解。平衡面選擇：1）影響系數(shù)大，靈敏度高；2）測試精度高，重復(fù)性好；3）排除相關(guān)平衡面；4）關(guān)鍵——測量的影響系數(shù)必需準(zhǔn)確。三、解復(fù)數(shù)矛盾方程組的最小二乘法1）在N個測量方程中，減去N-M個方程，使得方程組成為正規(guī)方程組求解。缺點(diǎn)：難于滿足大量舍去其它測點(diǎn)結(jié)果要求，甚至導(dǎo)致平衡狀態(tài)惡化。1/3/202353柔性平衡轉(zhuǎn)速通常不止一個，為使方程有精確解，必需使M=N，而2）六十年代，P.T.Goodman提出“計(jì)算平衡校正量的最小二乘法”。設(shè)想是將個測點(diǎn)剩余(殘余)振動普遍下降，即加上一組平衡配重后，各測點(diǎn)振動平方和最小。特點(diǎn)：測點(diǎn)數(shù)不受限制，滿足了柔性轉(zhuǎn)子多平衡面多轉(zhuǎn)速下進(jìn)行平衡的要求。設(shè)原始振動為：，各平衡轉(zhuǎn)速下的影響系數(shù)為(j=1,2,…M，為平衡面編號；i=1,2,…N，為測點(diǎn)編號),待求校正量為，令(i=1,2,…N)為各測點(diǎn)剩余振動，在線性條件下，滿足方程組：1/3/2023542）六十年代，P.T.Goodman提出“計(jì)算平衡校正量的最簡寫為：令s為剩余振動的平方和，則式中：為的共軛復(fù)數(shù)。若一組校正量滿足上式，則為最有近似解。由上式可知，s是自變量(j=1,2,…M)的二次函數(shù)，因此，上式為求解二次函數(shù)s的極值問題。由于s是的連續(xù)函數(shù)，且故必存在一組，或使得s值為最小。即滿足1/3/202355簡寫為：12/30/202255由于：則有將實(shí)部與虛部展開得代入極值條件中可得1/3/202356由于：12/30/202256由上兩式得將式(3-82)代入，并整理得此即為由最小二乘法導(dǎo)出的對應(yīng)于矢量矛盾方程組的復(fù)數(shù)正規(guī)方程組，寫成矩陣形式為：由此可知：將復(fù)數(shù)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣左乘原矛盾方程組，可直接求得對應(yīng)復(fù)數(shù)正規(guī)方程組，即1/3/202357由上兩式得12/30/202257設(shè)為矛盾方程組近似最優(yōu)解，可用矩陣表示為：最后，用所求結(jié)果代入(3-78)式，校驗(yàn)剩余振動值是否在允許范圍內(nèi)。四、加權(quán)迭代在選定配重方案下總的剩余振動為若存在剩余振動偏大，即|δ|max>>R，可進(jìn)行加權(quán)迭代，使得最大剩余振動下降，但其它測點(diǎn)剩余振動有可能增加。但剩余振動平方和以不加權(quán)迭代的數(shù)值最小。設(shè)N個測振點(diǎn)的加權(quán)因子為λi，分別乘以(3-79)兩邊得1/3/202358設(shè)為矛盾方程組近似最由最小二乘法得其中加權(quán)因子根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出，一般推薦，如果剩余振動過大，可進(jìn)行第二次迭代，一般迭代1~2次即可。因此，影響系數(shù)法平衡柔性轉(zhuǎn)子的步驟為：1）確定平衡面數(shù)；2）給定轉(zhuǎn)速下，測得N個測點(diǎn)的原始不平衡振動值；3）依次在M個平衡面上加已知試重，在同樣給定轉(zhuǎn)速下測出N個測點(diǎn)的振動值；4）根據(jù)測量結(jié)果(編程)計(jì)算影響系數(shù);5）利用最小二乘法或加權(quán)最小二乘法求解矛盾方程組，得到校正量；6）校核剩余振動：滿足即結(jié)束；若不滿足，進(jìn)入第5)步驟。1/3/202359由最小二乘法得12/30/202259模態(tài)平衡法與影響系數(shù)法的比較：如果平衡轉(zhuǎn)速選擇在N個臨界轉(zhuǎn)速附近，并選M=N個校正面，一個測振點(diǎn)。校正平面zj試重qj引起的振動為當(dāng)平衡轉(zhuǎn)速ω接近臨界轉(zhuǎn)速ωck時，上式中以k階響應(yīng)項(xiàng)為主，其它項(xiàng)可忽略，此時影響系數(shù)為：此時影響系數(shù)矩陣的每一行與sk(z1),sk(z2),…sk(zM)成比例。此時，兩種方法等效；若平衡轉(zhuǎn)速不選在臨界轉(zhuǎn)速附近，則結(jié)論不成立。1/3/202360模態(tài)平衡法與影響系數(shù)法的比較：12/30/202260第五節(jié)柔性轉(zhuǎn)子其它平衡方法一、混合平衡法（振型影響系數(shù)法）1.影響系數(shù)法優(yōu)點(diǎn)：可同時平衡幾階振型，平衡方便，可利用計(jì)算機(jī)輔助平衡，便于實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理自動化；缺點(diǎn)：高速下平衡啟動次數(shù)多，高階振型敏感性降低，可能存在相關(guān)平面，得到不正確的校正量。2.模態(tài)平衡法優(yōu)點(diǎn)：高速平衡啟動次數(shù)少，敏感性高，低階振型不受影響；缺點(diǎn)：振型不易側(cè)準(zhǔn)，系統(tǒng)阻尼大時不夠有效，對于軸系平衡時，在臨界轉(zhuǎn)速附近不易獲得單一振型。3.混合平衡法結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn)，在影響系數(shù)法基礎(chǔ)上，充分利用模態(tài)平衡1/3/202361第五節(jié)柔性轉(zhuǎn)子其它平衡方法一、混合平衡法（振型影響系法中的振型分離特點(diǎn)選擇各項(xiàng)系數(shù)，效果較好。以圖3-14所示轉(zhuǎn)子為例設(shè)在轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)兩階臨界轉(zhuǎn)速，按模態(tài)平衡法中N+2平面法，選取四個校正面，即N=4，校正面按模態(tài)平衡法選取。如圖中1,2,3,4四個平面。由振型平衡方程可得1/3/202362法中的振型分離特點(diǎn)選擇各項(xiàng)系數(shù)，效果較好。12/30/202式中：簡寫為上式校正量有唯一解，但是隨機(jī)分布的，無法直接求解出校正量，利用影響系數(shù)，可列出四個線性方程若選取合適，上述方程組有唯一解，且滿足式(3-91)。由式(3-92)得式中1/3/202363式中：12/30/202263若值滿足式(3-95)，則式(3-93)的解必滿足式(3-91)。取兩支點(diǎn)為測點(diǎn)，按振型分離步驟升速，先進(jìn)行低速動平衡，轉(zhuǎn)速為ω0，由式(3-95)得式中上角標(biāo)(0)表示原始狀態(tài)。低速平衡，振型不平衡分量作用很小，上式可簡化為：可求得兩支承振動校正量為1/3/202364若值滿足式(3-95)，則式(3-93)的解由此得到校正量，然后升速至ω1，進(jìn)行一次高速動平衡，測得兩支承振動為：式中：1/3/202365由此得到校正量，然后升速至ω1，進(jìn)因ω1接近一階臨界轉(zhuǎn)速，主要為一階振型不平衡分量的作用，上式可近似簡化為方程組線性相關(guān)，故只能取一個振動值，若，一般取較大的值。按N+2平面法，校正重由下式獲得式中：為相應(yīng)于加一次配重后在轉(zhuǎn)速ω0時二支承的振動。該方程相容，滿足平衡方程式(3-91)中前三個方程。即轉(zhuǎn)子可以平穩(wěn)地通過一階臨界轉(zhuǎn)速，又不破壞剛性轉(zhuǎn)子平衡。同理，將轉(zhuǎn)速升到二階臨界轉(zhuǎn)速附近，進(jìn)行高速動平衡，平衡轉(zhuǎn)速為ω2，二支點(diǎn)振動可近似簡化為：1/3/202366因ω1接近一階臨界轉(zhuǎn)速，主要為一階振型不平衡分量的作用，上式同樣，方程組線性相關(guān)，只能取振動較大值，此時校正量為四個，可由下式求得式中：相應(yīng)為轉(zhuǎn)子加上二次配重后二支承振動，該方程滿足平衡方程式(3-91)中的四個方程。最后得到總校正量為該校正量可使轉(zhuǎn)子在全速范圍內(nèi)達(dá)到平衡1/3/20236712/30/202267二、振型圓平衡法（模態(tài)響應(yīng)圓平衡法）模態(tài)平衡法要求在各階臨界轉(zhuǎn)速下進(jìn)行平衡，但會引起過大振動，且不穩(wěn)定。振型圓平衡法：利用模態(tài)分析技術(shù)，通過振型圓，在臨界轉(zhuǎn)速時分離出該階模態(tài)，尤其適用于多跨軸系。1.基本原理振型圓——模態(tài)圓。已知Jeffcott轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程為：式中：z=x+iy，令n=c/(2m)，，其穩(wěn)態(tài)解為1/3/202368二、振型圓平衡法（模態(tài)響應(yīng)圓平衡法）模態(tài)平衡法要求在各階臨界由式(3-100)有由此得故有上式為復(fù)平面上的振型圓方程。圓心在虛軸一側(cè)并與實(shí)軸相切，見圖3-15(a)。經(jīng)過圓心和臨界轉(zhuǎn)速點(diǎn)的直徑OA稱為共振直徑。實(shí)際振型圓不封閉，見圖3-15(b)。特點(diǎn)：1/3/202369由式(3-100)有12/30/2022691）具有一般模態(tài)圓特征；2）在臨界轉(zhuǎn)速附近，相位變化劇烈，當(dāng)ω=ωc時：ds/dω=03）ω=ωc時，φ=π/2，表明不平衡激振力垂直共振直徑，并超前，因而確定了不平衡激振力方向；4）單自由度系統(tǒng)，矢端圓近似為一個圓，多自由度系統(tǒng)，圖形比較復(fù)雜，但在各階臨界轉(zhuǎn)速附近，矢端圖仍接近一個圓。圖3-16為一雙支點(diǎn)對稱轉(zhuǎn)子軸承測得的振型圓圖，不平衡位于平面1(軸承A)一側(cè)，靠近不平衡量一側(cè)的兩階臨界轉(zhuǎn)速時的振型圓是同相的；另一側(cè)兩個振型圓則是反相的。2.平衡方法影響因素：其它振型、初始彎曲、熱變形等。1）（A法）根據(jù)預(yù)先計(jì)算結(jié)果，在臨界轉(zhuǎn)速附近測得轉(zhuǎn)子或軸承的振幅、相位，繪制振型圖(見圖3-17)。1/3/2023701）具有一般模態(tài)圓特征；12/30/2022702）（B法）借試重求出影響矢量。特點(diǎn)：1）測量精度高，數(shù)據(jù)可靠；2）測量速度快，不需穩(wěn)速測量；3）平衡精度高，可有效分離振型；4）需具備多點(diǎn)連續(xù)自動檢測和分析裝置。三、限制最大平衡配重法高速微型發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子，由于結(jié)構(gòu)限制，平衡配重受到一定限制，由此，對轉(zhuǎn)子配重的最大值做出限制，以便在規(guī)定平衡配重的條件下達(dá)到平衡精度要求的目的。1）首先，選擇可用于平衡的面，進(jìn)行轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析，剔除相關(guān)平面，確定平衡面數(shù)N；2）對最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，限定最大配重量，通過優(yōu)化配置（如遺傳算法等）獲得在限定最大配重條件下的最優(yōu)1/3/2023712）（B法）借試重求出影響矢量。12/30/202271平衡配重組合；3）校核平衡結(jié)果。四、諧波小波在柔性轉(zhuǎn)子平衡中的應(yīng)用1.動平衡信號的特點(diǎn)不平衡引起的振動信號主要是與轉(zhuǎn)速同頻率的正弦波，是振動信號的主要成分，實(shí)際測量信號中可能還有2,3,4等倍頻，l/2的亞倍頻，隨機(jī)振動等成分，因此實(shí)際信號可以用下面的模型來表示：

(3-4-1)式中e(t)是測量實(shí)際信號，E0是測量儀輸出的直流信號，是不平衡量引起的基頻信號，是各諧波分量。2.諧波小波濾波原理諧波小波為復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達(dá)式：1/3/202372平衡配重組合；12/30/202272(3-4-2)圖3.4.1諧波小波時域圖圖3.4.2諧波小波頻域圖根據(jù)小波理論對諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號的正交基。因而，將諧波小波作為基函數(shù)系可以將信號既不重疊、又無遺漏地分解到相互獨(dú)立的頻域空間，重構(gòu)轉(zhuǎn)速頻段的信號即實(shí)現(xiàn)了濾波功能。圖3.4.3二進(jìn)諧波小波對頻域空間的劃分1/3/202373

二進(jìn)諧波小波在高頻段存在頻段帶寬太大的缺點(diǎn)，需要對其進(jìn)行改進(jìn)，寫為更一般的形式：(3-4-3)其中m，n可以不是整數(shù)。取一定步長k/(n-m)上式變?yōu)椋?3-4-4)定義一對復(fù)小波系數(shù)(3-4-5)

則離散信號f(r)在頻段2mπ~2nπ的重構(gòu)為(3-4-6)1/3/202374二進(jìn)諧波小波在高頻段存在頻段帶寬太大的缺點(diǎn)，需要對其進(jìn)行改進(jìn)不平衡量信號是與轉(zhuǎn)速同頻的，因此可以根據(jù)轉(zhuǎn)速信息來調(diào)整m和n的值，從而達(dá)到控制通帶的帶寬和頻率中心的目的，完全符合自適應(yīng)濾波的要求。m和n的值由下式確定：(3-4-7)其中N為采樣點(diǎn)數(shù)，fs為采樣頻率，fmin和fmax分別為帶通濾波器下截止頻率和帶通濾波器上截止頻率。3.仿真試驗(yàn)為了驗(yàn)證上述方法的有效性，根據(jù)式(3-4-1)建立含噪不平衡量信號的模型：(3-4-8)不平衡量信號頻率f1=480Hz，倍頻f2=960Hz，噪聲n(x)，是均值為0，方差為1的高斯白噪聲信號，采樣頻率12.2kHz，采樣長度1024，濾波帶寬32Hz，下截止頻率464Hz，上截止頻率496Hz。濾波試驗(yàn)結(jié)果見圖3.4.41/3/202375不平衡量信號是與轉(zhuǎn)速同頻的，因此可以根據(jù)轉(zhuǎn)速信息來調(diào)整m和n圖3.4.4濾波試驗(yàn)結(jié)果圖1/3/202376圖3.4.4濾波試驗(yàn)結(jié)果圖12/30/202276由圖3.4.4(a)可見不平衡量信號完全淹沒在噪聲信號中，無法獲得信號幅值和相位信息；圖3.4.4(b)和圖3.4.4(c)分別為無噪聲干擾的不平衡量信號和諧波小波濾波后的信號，兩圖比較可以看出，推廣的諧波小波濾波能夠有效地消除噪聲干擾，較好地還原出了不平衡量信號，幅值存在微小誤差，相位無滯后。1/3/202377由圖3.4.4(a)可見不平衡量信號完全淹沒在噪聲信號中，無第六節(jié)柔性轉(zhuǎn)子平衡精度1.剛性轉(zhuǎn)子：國際標(biāo)準(zhǔn)ISO-1940，采用偏心速度評定。偏心速度Ve可表示為：Ve=eω/1000(毫米/秒)式中：e——不平衡偏心(微米)，其值為其中：URA——轉(zhuǎn)子允許剩余不平衡量(克.毫米)；M——轉(zhuǎn)子質(zhì)量(公斤)。乘積eω代表了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為ω時的質(zhì)心速度，國際標(biāo)準(zhǔn)中按不同的eω值將平衡精度分為11個等級，各等級之間公比為2.5.對于燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定平衡精度應(yīng)達(dá)到G2.5級，即偏心速度Ve=1～2.5毫米/秒，轉(zhuǎn)速較高的轉(zhuǎn)子，Ve相應(yīng)取較小值。確定偏心速度Ve后，可按下式求得轉(zhuǎn)子允許的剩余不平衡量URA,即1/3/202378第六節(jié)柔性轉(zhuǎn)子平衡精度1.剛性轉(zhuǎn)子：國際標(biāo)準(zhǔn)ISO-其中，ω取最大工作轉(zhuǎn)速。另外，還可以從作用在軸承上的不平衡力F與轉(zhuǎn)子重量W之比值F/W的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)或不平衡偏心e的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來確定。2.柔性轉(zhuǎn)子主要參考文獻(xiàn)：1）ISO/DIS5406《撓性轉(zhuǎn)子平衡標(biāo)準(zhǔn)1979》2）ISO/DIS5343《關(guān)于彈性轉(zhuǎn)子中剩余不平衡量的數(shù)值1982》。3）參考剛性轉(zhuǎn)子，用當(dāng)量剛性轉(zhuǎn)子允許不要平衡量的某個百分比來控制各類轉(zhuǎn)子的剩余不平衡；4）采用機(jī)械振動標(biāo)準(zhǔn)作為制定柔性轉(zhuǎn)子平衡精度的準(zhǔn)則，無論是單頻或多頻振動，其速度均方值Vrms為1/3/202379其中，ω取最大工作轉(zhuǎn)速。12/30/202279式中：V(t)——振動速度。在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)，具有相同速度均方值的振動，被認(rèn)為具有同等烈度的振動。對于單頻振動式中：A——支承振動振幅(毫米/秒)對于地面透平機(jī)械，振動速度有效值取1.8~4.5(毫米/秒)國際標(biāo)準(zhǔn)草案ISO/DIS5343中規(guī)定：柔性轉(zhuǎn)子在動平衡機(jī)上的允許振動有效值Y將由機(jī)組上允許振動乘以各修正系數(shù)得到，其值為：Y=c0×c1×c2×c3×X式中：X——運(yùn)行轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)機(jī)組支座上允許的振動速度有效值c0,c1,c2,c3——修正系數(shù)，可由表查得。其它評定方法：振幅、軸與軸承相對位移、軸與密封相對位移、支承動反力等。1/3/202380式中：V(t)——振動速度。12/30/202280第七節(jié)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)計(jì)算滑動軸承：八個動力系數(shù)不平衡量分布事先未知，假設(shè)各種分布形式，研究不平衡量的影響。計(jì)算方法：傳遞矩陣法、有限元法(Rotor)一、力學(xué)模型分為若干軸段，輪盤、支點(diǎn)、變截面處設(shè)為結(jié)點(diǎn)，滑動軸承八個動力系數(shù)等，見圖3-18。二、結(jié)點(diǎn)傳遞矩陣坐標(biāo)系：定坐標(biāo)系——oxyz動坐標(biāo)系——設(shè)轉(zhuǎn)子支承在油膜軸承上，軸承在x及y方向的油膜力為1/3/202381第七節(jié)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)計(jì)算滑動軸承：八個動力系數(shù)12/式中：由動量矩定理，得結(jié)點(diǎn)質(zhì)心G的運(yùn)動方程1/3/202382式中：12/30/202282由圖3-19，圓盤中心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)關(guān)系為不平衡離心力在x及y方向的分量為式中：Uξ=mξUη=mη。將上兩式代入運(yùn)動方程得不計(jì)阻尼，右式各量用復(fù)數(shù)表示為1/3/202383由圖3-19，圓盤中心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)關(guān)系為12/30/202其中：、、下標(biāo)c代表實(shí)部，s代表虛部，也可寫成x與y方向的實(shí)部與虛部。令：將以上各式代入(3-106)及(3-103)式，經(jīng)整理后得由連續(xù)條件，結(jié)點(diǎn)左右兩截面位移與轉(zhuǎn)角有下述關(guān)系1/3/202384其中：、由(3-107)及(3-108)得簡寫為式中：[Di]——站點(diǎn)的傳遞矩陣三、軸段傳遞矩陣對于等截面軸段，略去軸段微元體的轉(zhuǎn)動慣量及剪切影響，其兩端狀態(tài)參數(shù)關(guān)系為：1/3/202385由(3-107)及(3-108)得12/30/202285y方向有類似關(guān)系式，合并在一起，可寫成1/3/20238612/30/202286或?qū)懗墒街校篬Bi]——軸段傳遞矩陣。將軸段與結(jié)點(diǎn)綜合為一個單元，則有式中：[Ti]——綜合單元傳遞矩陣，為9×9階矩陣。四、計(jì)算方法以雙支點(diǎn)外伸轉(zhuǎn)子為例(圖2-14)，由初始端自由邊界可知因此，在遞推過程中，第3、4、7、8列元素可以不計(jì)算，遞推至最后截面E得1/3/202387或?qū)懗?2/30/202287末端也為自由端，故有由此得由上式可求得初始狀態(tài)向量，再由遞推公式可求得各截面的復(fù)數(shù)位移向量對計(jì)算得到的結(jié)果，可以統(tǒng)一只取實(shí)部(或虛部)，即1/3/202388末端也為自由端，故有12/30/202288其中：由上式消去時間變量t可得i點(diǎn)軌跡方程：展開得上式為一橢圓方程，圓心在原點(diǎn)上，主軸與x、y軸不重合，長短半軸可由解析幾何獲得，長半軸與x軸夾角α，計(jì)算公式見(1-5)。軌跡圖見圖3-20所示。軸心連線一般為空間曲線。1/3/20238912/30/2022891/3/20239012/30/202290此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！第三章轉(zhuǎn)子動平衡低速動平衡（剛性轉(zhuǎn)子動平衡）工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)（臺架）平衡國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO1940高速動平衡（柔性轉(zhuǎn)子動平衡）模態(tài)平衡法影響系數(shù)法混合法參考標(biāo)準(zhǔn)：DIS5406《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5343《評價(jià)柔性轉(zhuǎn)子平衡的準(zhǔn)則》（參考）1/3/202392第三章轉(zhuǎn)子動平衡低速動平衡（剛性轉(zhuǎn)子動平衡）12/30/第一節(jié)概述

一、剛性轉(zhuǎn)子動平衡1、靜平衡目標(biāo)：平衡靜力方法：隨遇平衡法2、動平衡目標(biāo)：平衡力與力矩方法：動平衡機(jī)、低速平衡工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機(jī)平衡整機(jī)平衡國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO19403、動平衡基本要求1）至少兩個平衡面，平衡面距離要遠(yuǎn)，并盡能靠近支點(diǎn)；平衡配重半徑位置要盡可能大，以便達(dá)到最大效果。1/3/202393第一節(jié)概述一、剛性轉(zhuǎn)子動平衡12/30/202222）一步平衡，多為短壽命軍用發(fā)動機(jī)采用3）多步平衡，多為長壽命民用發(fā)動機(jī)采用4）平衡方法：尋找重點(diǎn)尋找輕點(diǎn)（頻閃法）影響系數(shù)法極坐標(biāo)矢量圖法三元平衡法5）原理：不平衡力Pj產(chǎn)生支反力FP1與FP2不平衡力矩RL產(chǎn)生支反力FR1與FR2則在支點(diǎn)有合力動平衡：動平衡精度1）me≤G0(g.cm)工程實(shí)際應(yīng)用2）eω≤G0(mm/s)國際標(biāo)準(zhǔn)—ISO1940將平衡品質(zhì)分為11個等級，按比值為2.5的等比級數(shù)遞增排列。

1/3/2023942）一步平衡，多為短壽命軍用發(fā)動機(jī)采用12/30/20223第二節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動平衡一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn)1.柔性轉(zhuǎn)子：n>ncr1，轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生彎曲變形2.高速動平衡：多平面、多轉(zhuǎn)速平衡過程目的：1）將不平衡力與不平衡力偶降到許可范圍2）將n階固有振型不平衡量降到許可范圍3.標(biāo)準(zhǔn)：1）國際標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5406—《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》2）參考標(biāo)準(zhǔn)5343《柔性轉(zhuǎn)子動平衡》4.方法：1）振型(模態(tài))平衡法2）影響系數(shù)法3）混合法等1/3/202395第二節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動平衡一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn)12/30/205.平衡特點(diǎn)1)剛性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，在工作轉(zhuǎn)速以下運(yùn)行平穩(wěn)；2)柔性轉(zhuǎn)子，低速平衡后，僅平衡了低速下支承動反力，高速下軸產(chǎn)生彎曲變形，彎矩將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化，支承動反力也將發(fā)生變化；3)柔性轉(zhuǎn)子動平衡目的：在工作轉(zhuǎn)速下，盡可能消除支承動反力，并使轉(zhuǎn)子沿軸長的彎矩最小如圖3-1所示，剛性轉(zhuǎn)子有對柔性轉(zhuǎn)子有1/3/2023965.平衡特點(diǎn)12/30/20225F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。4）影響因素多：a)不同轉(zhuǎn)速下?lián)隙扔绊慴)各階振型對平衡的影響5）實(shí)際發(fā)動機(jī)只有少數(shù)幾個平面可用于平衡；只能在有限個轉(zhuǎn)速上得到平衡。6）問題：如何利用少數(shù)幾個平面來獲得一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的良好平衡。7）假設(shè)條件：a)在一定平衡條件下，軸承振幅與轉(zhuǎn)子不平衡量成正比。b)軸承振幅與不平衡力之間的相位不變。c)轉(zhuǎn)子中非線性因素(如油膜)等影響，不影響上述假設(shè)條件1/3/202397F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。12/30/20226二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動方程設(shè)一轉(zhuǎn)子為等截面軸，簡支在各向同性的支承上軸的面積為A，單位長度質(zhì)量為ρA，截面質(zhì)心為G(z)，截面偏心距為ε(z)，質(zhì)心連線為一空間曲線。如圖所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得到y(tǒng)oz平面內(nèi)的運(yùn)動方程：其中則有由材料力學(xué)可知代入運(yùn)動方程得到1/3/202398二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動方程12/30/20227同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動方程為引入復(fù)數(shù)表達(dá)式，令則有式中：為質(zhì)心空間曲線1.設(shè)ε(z)=0,即無質(zhì)量偏心的情況，運(yùn)動方程為設(shè)解為代入運(yùn)動方程中1/3/202399同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動方程為12/30/20228并令得到特征方程為

則所以代入邊界條件：z=0，s(0)=0，z=l，s(l)=0，解得：c2=c3=c4=0，c1sin(kl)=0要求非零解，則c1≠0，所以sin(kl)=0因此有：kl=nπ得到固有頻率為

1/3/2023100并令各階主振型為：前三階振型為2.設(shè)ε(z)≠0,即有質(zhì)量偏心的情況，且質(zhì)心按第n階主振型函數(shù)(平面)分布，運(yùn)動方程為設(shè)解為代入運(yùn)動方程得根據(jù)假設(shè)，α(z)=常數(shù)，則有1/3/2023101各階主振型為：12/30/202210式中：An為系數(shù)，sn(z)為第n階主振型由運(yùn)動微分方程，得到設(shè)特解為Dn為待定系數(shù)代入運(yùn)動方程得方程的齊次通解為sn(z)，且有故有特解方程為得到系數(shù)故轉(zhuǎn)軸的振型為由此得到如下結(jié)論：1/3/2023102式中：An為系數(shù)，sn(z)為第n階主振型12/30/2021)若質(zhì)心按第n階振型分布，只激起第n階主振動2)轉(zhuǎn)軸振型為一平面曲線，振幅為倍3)當(dāng)ω→ωn時，振幅→∞，產(chǎn)生第n階主振型共振3.ε(z)≠0,且質(zhì)心為任意空間分布曲線，設(shè)為按主振型分解得即有質(zhì)心分布示意圖見圖3-4所示1/3/20231031)若質(zhì)心按第n階振型分布，只激起第n階主振動12/30/2式中代入運(yùn)動方程有設(shè)轉(zhuǎn)軸振型為代入運(yùn)動方程得式中Sn(z)為第n階振型函數(shù)，也是對應(yīng)齊次方程解所以有特解為1/3/2023104式中12/30/202213利用固有振型的正交性，得解得系數(shù)轉(zhuǎn)子振動為或1/3/2023105利用固有振型的正交性，得12/30/202214三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動特點(diǎn)1.柔度曲線s(z)隨轉(zhuǎn)速ω而變變化1)ω<<ωc1時，很小，可視為剛性轉(zhuǎn)子；2)ω>0.6ωc1，系數(shù)將增大，轉(zhuǎn)子振型s(z)是各階主振型合成的空間曲線；3)ω→ωcn時，第n階主振型幅值系數(shù)明顯增大，其它各階則小很多；若ω→ωc1，此時振型近似有4)隨著轉(zhuǎn)速增加，各階主振型依次突現(xiàn)出來，一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階主振型的影響。比較撓度曲線與不平衡量的關(guān)系，它們展開項(xiàng)相同，幅值相差一個倍率，考慮阻尼有1/3/2023106三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動特點(diǎn)12/30/202215式中ωcr——為無阻尼時系統(tǒng)的固有頻率。αr為撓度曲線各階分量與該階不平衡分量的相位差。由于阻尼影響，即使在臨界轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子振型也不是一根平面曲線，但實(shí)際進(jìn)行動平衡時，仍以無阻尼的主振型平面加以考慮。3.轉(zhuǎn)子主振型的正交性不平衡分布力在x、y方向的分量為1/3/202310712/30/202216轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為各階不平衡力在yoz平面和xoz平面上對k階振型做功之和為由主振型正交性1/3/2023108轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為12/30/202217可知：1）各階主振動之間不發(fā)生能量傳遞；2）n階不平衡分量只能激起n階主振型，不會激起其它各階振型；3）利用主振型的正交性，可對轉(zhuǎn)子進(jìn)行逐階平衡，完成柔性轉(zhuǎn)子動平衡。1/3/2023109可知：12/30/202218第三節(jié)模態(tài)平衡法（振型平衡法）一、模態(tài)平衡法及平衡條件根據(jù)主振型的正交性，可采用逐階平衡的辦法進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子動平衡。對于一般轉(zhuǎn)子，主要是前三階振型。以等截面軸為例進(jìn)行分析，見圖3-5設(shè)距起始端z1處有一集中重量w1位于半徑R1上，集中重量均勻分布在2b的范圍內(nèi)，以U(z)表示其分布。則式中：1/3/2023110第三節(jié)模態(tài)平衡法（振型平衡法）一、模態(tài)平衡法及平衡條取單位長度質(zhì)量為m(=ρA)，則有上式代表集中重量矩折合成單位長軸段質(zhì)心偏移，按各階主振型展開成式中：Cn1——n階主振型系數(shù)，第二個下標(biāo)表示所加平衡重量編號；sn(z)——各階主振型函數(shù)，假設(shè)為已知。利用正交性，對折合軸段質(zhì)心偏移展開式兩邊乘以sn(z)，并沿軸長積分，等式左邊為：等式左邊為：由此可得：1/3/2023111取單位長度質(zhì)量為m(=ρA)，則有12/30/202220若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分別在半徑R1、R2、…、Rk處加平衡配重W1、W2、…、Wk，k個平衡重量引起轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏移為式中：為了平衡轉(zhuǎn)子第n階主振型分量，要求平衡重量形成的第n階振型質(zhì)心偏移和轉(zhuǎn)子自身第n階主振型質(zhì)心偏移在同一平面上，大小相等，方向相反，即滿足即若有一組k個最小的不平衡重量Uj，與n階不平衡量相當(dāng),即1/3/2023112若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分別在半徑R1、R2式中：U(z)——轉(zhuǎn)子不平衡量分布函數(shù)。其中：值應(yīng)為最小。稱這組量Uj(j=1~k)為第n階振型不平衡當(dāng)量Une，即柔性轉(zhuǎn)子的平衡不考慮阻尼情況下應(yīng)滿足下列三個力學(xué)平衡方程：1/3/202311312/30/202222方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件。二、配重面的選擇及矢量平衡原理1）柔性轉(zhuǎn)子平衡為多平面多轉(zhuǎn)速平衡；2）平衡面選?。河蠳平面及N+2平面法兩種；N平面法：平衡N階振型，選用N個平衡面；N+2平面法：平衡N階振型，選用N+2個平衡面。一般N平面法不能完全平衡支承動反力。但兩種方法都有使用。平衡面選擇很重要，選擇不當(dāng)將使平衡配重增大。原因：平衡面選擇主要依據(jù)轉(zhuǎn)子振型，實(shí)際發(fā)動機(jī)平衡面選擇受到限制。圖3-6為N+2平面法的平衡面選取。I、II平衡面消除III、IV、V平衡面對低速動平衡的影響。1/3/2023114方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時III、IV、V三個平面對振型不平衡量的校正。但由于在臨界轉(zhuǎn)速時，支承位移較大，I、II平面的校正量對III、IV、V平面仍有一定干擾。圖3-6(a)為平衡一階振型時的三個平面的校正量，平面III的校正量對二階振型不起作用。圖3-6(b)、(c)為平衡二階及三階振型的校正量組。測量柔性轉(zhuǎn)子振型比較困難，可以軸承處的振動代替測量轉(zhuǎn)子撓度。即矢量平衡法。圖3-7為矢量平衡三角形：矢量為轉(zhuǎn)子測點(diǎn)相對某一角向參考坐標(biāo)測得的振動，矢量為轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)加試配重后同轉(zhuǎn)速下測點(diǎn)與參考坐標(biāo)下測得的振動，則矢量=—為試重P的響應(yīng)。為消除原始振動，加試配重平面上所需校正量為：1/3/2023115通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時III、IV、V三個式中：稱為影響系數(shù)矢量(用于影響系數(shù)法)稱為反應(yīng)系數(shù)矢量(用于模態(tài)平衡法)試重在原方位反時針旋轉(zhuǎn)θ角，其重量按OM對MN之比放大，即為校正量。平衡步驟：1)在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近測得兩軸承處振動矢量、，分解為對稱矢量，該分量由一階振型分量引起。2）加試配重后，在同一轉(zhuǎn)速下測得振動、，則矢量為試重引起的對稱振動矢量。1/3/202311612/30/2022253）平衡一階振型分量的校正重量為：4）平衡二階振型分量時，在二階臨界轉(zhuǎn)速nc2附近測得兩軸承振動及，其反對稱分量為，它由二階不平衡量引起，加反對稱試重后，測得兩軸承處的振動矢量為及，則矢量即為引起的反對稱振動分量，故應(yīng)加校正量為：1/3/20231173）平衡一階振型分量的校正重量為：12/30/202226三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時的支承動反力柔性轉(zhuǎn)子動平衡目的：1）消除支承動反力；2）消除轉(zhuǎn)子撓度與彎矩。難于同時滿足，則以最少的配重使轉(zhuǎn)子在軸向、水平及垂直三方向振動在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最小。柔性轉(zhuǎn)子撓曲振型為：設(shè)各階振型函數(shù)為（簡支梁情況）：則轉(zhuǎn)子振型為轉(zhuǎn)子原始不平衡n階分量可寫成，則轉(zhuǎn)子變形為1/3/2023118三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時的支承動反力12/30/202227支承動反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得設(shè)m(z)=m(常數(shù)——等截面軸)，上式積分整理得柔性部分支承動反力為積分整理得因此，一個軸承上所受到的總動反力為1/3/2023119支承動反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得12/30/202228將代入得或由材料力學(xué)，通過振型函數(shù)求導(dǎo)得1.平衡一階振型分量后的支承動反力設(shè)（簡支梁）一階振型分量為C1sin(nπ/l)，其中則一階撓曲振型為1/3/202312012/30/202229設(shè)采用位于中部的一個集中質(zhì)量校正，即z1=l/2，校正量為W1R1，由（3-31）式得由于n=1，z=l/2，故有若所選校正量滿足C1=C11，即或此時，轉(zhuǎn)子中部的一個校正量W1R1可以使一階不平衡分量獲得平衡，消除了柔性部分的動反力。轉(zhuǎn)子一階振型不平衡分量引起剛性部分的動反力為校正量W1R1加在中部后，一個支承上的動反力為1/3/2023121設(shè)采用位于中部的一個集中質(zhì)量校正，即z1=l/2，校正量為1比較(3-47)和(3-48)，得可見：1）轉(zhuǎn)子中部的一個集中平衡配重可使轉(zhuǎn)子撓曲得以平衡，但不能全部消除轉(zhuǎn)子的動力。2）支承處剛性部分動反力只能平衡掉78.5%。3）為消除支承處一階振型全部動反力，應(yīng)在支承處同側(cè)平面上加平衡配重W2及W3，若加重半徑相同，則配重之比為：此時配重可消除轉(zhuǎn)子一階不平衡分量引起的轉(zhuǎn)子撓曲、彎矩及支承動反力，但不能消除高階振型分量影響。若工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離高階工作轉(zhuǎn)速，則影響不大。若在轉(zhuǎn)子兩側(cè)加校正量W1R1=W2R2，見圖3-9，則有1/3/2023122比較(3-47)和(3-4