在終極的分析下，一切知識都是歷史在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)－C.R.Rao在終極的分析下，一切知識都是歷史－C.R.Rao1教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類），第三版吳贛昌主編，中國人民大學(xué)出版社參考教材：1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計

浙江大學(xué)盛驟等主編，高等教育出版社2、統(tǒng)計學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)

多米尼克.薩爾瓦多等，復(fù)旦大學(xué)出版社推薦閱讀書籍：見文檔“概率統(tǒng)計課程推薦書籍.doc”關(guān)于教材配套光盤：作為習(xí)題集及解答使用教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類），第三版吳贛昌主編，中國人2如何學(xué)好“概率統(tǒng)計”課程課前預(yù)習(xí)課堂跟進(jìn)課后回顧+練習(xí)如何學(xué)好“概率統(tǒng)計”課程課前預(yù)習(xí)課堂跟進(jìn)課后回顧+練習(xí)3概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)構(gòu)圖ProbabilityStatistics概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)構(gòu)圖ProbabilityStatis4第一章隨機(jī)事件及其概率

作業(yè)：1-1：8,91-2：2,41-3：5,6,91-4：6,8,101-5：2,4,5,8§1.1隨機(jī)事件；§1.2隨機(jī)事件的概率；§1.3古典概型與幾何概型；§1.4條件概率*；§1.5事件的獨(dú)立性*

；第一章隨機(jī)事件及其概率作業(yè)：§1.1隨機(jī)事件；5§1.1隨機(jī)事件

從觀察現(xiàn)象開始二、隨機(jī)試驗E1.可重復(fù)性:試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2.可觀察性:試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3.不確定性:每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.三、樣本空間四、隨機(jī)事件兩個特殊的事件：不可能事件必然事件一.什么是隨機(jī)現(xiàn)象?§1.1隨機(jī)事件從觀察現(xiàn)象開始二、隨機(jī)試驗E1.可重6六事件間的關(guān)系與運(yùn)算通過事件的關(guān)系與運(yùn)算來實現(xiàn)將復(fù)雜的事件分解成較簡單事件的“組合”。六事件間的關(guān)系與運(yùn)算通過事件的關(guān)系與運(yùn)算來實現(xiàn)將復(fù)雜的事7事件的關(guān)系與運(yùn)算的維恩圖表示法注意區(qū)別互斥與對立兩種關(guān)系A(chǔ)，B互不相容A，B對立事件的關(guān)系與運(yùn)算的維恩圖表示法注意區(qū)別互斥與對立兩種關(guān)系A(chǔ)，8完備事件組兩兩互不相容完備事件組兩兩互不相容9回顧：§1.1隨機(jī)事件★隨機(jī)現(xiàn)象；★隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性；★樣本空間；★隨機(jī)事件；★事件的集合表示；★事件的關(guān)系與運(yùn)算；★事件的運(yùn)算規(guī)律思考：★“兩個事件的互不相容”與“兩個事件對立”有什么區(qū)別？★用集合及其運(yùn)算表達(dá)隨機(jī)事件有什么便捷之處？回顧：§1.1隨機(jī)事件★隨機(jī)現(xiàn)象；★隨機(jī)現(xiàn)10§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)★概率的統(tǒng)計定義★概率的公理化定義★概率的性質(zhì)*內(nèi)容分布：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)內(nèi)容分布：11盡管隨機(jī)事件具有隨機(jī)性，但是在一次試驗中發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，并且是可以度量的.歷史發(fā)展：頻率→概率（頻率的穩(wěn)定值）概率：度量事件出現(xiàn)的可能性大小如何求值？盡管隨機(jī)事件具有隨機(jī)性，但是在一次試驗中發(fā)生的可能性大小是客12“拋硬幣”試驗：拋擲n次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù).n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494“拋硬幣”試驗：拋擲n次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù).n=5n=50n13【定義1】在相同的條件下，進(jìn)行了n

次試驗，在這n次試驗中，事件A

發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA

/n

稱為事件A

發(fā)生的頻率，并記成fn(A).A出現(xiàn)的頻率fn(A)＝A出現(xiàn)的次數(shù)試驗總次數(shù)一、頻率及其性質(zhì)【定義1】在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在這n次試驗中14概率

事件A發(fā)生的頻繁程度事件A發(fā)生的可能性的大小概率的統(tǒng)計定義頻率穩(wěn)定值p只是概率的近似值【定義2】概率的統(tǒng)計定義概率事件A發(fā)生事件15(A.H.柯爾莫哥洛夫1903-1987)20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家，是美國、英國、法國等多國院士或皇家學(xué)會會員。他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理體系，奠定了近代概率論的基礎(chǔ)，同時他也是隨機(jī)過程論的奠基人之一，此外，他在信息論、測度論、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域都有重大貢獻(xiàn)“數(shù)學(xué)界的莫扎特”前蘇聯(lián)科學(xué)家(A.H.柯爾莫哥洛夫1903-1987)“數(shù)學(xué)界16設(shè)

E,S,對于賦予一個實數(shù),記為事件A的概率，非負(fù)性完備性可列可加性二、、概率的定義（公理化定義）要求集合函數(shù)滿足下列三個公理：設(shè)E,S,對于17三、概率的性質(zhì)分解思想求概率的迂回戰(zhàn)術(shù)三、概率的性質(zhì)分解思想求概率的迂回戰(zhàn)術(shù)18SBA性質(zhì)4:特別地:概率的單調(diào)性P(A1A2…An)≤P(A1A2…An-1)≤…≤

P(A1A2)≤

P(A1)SBA性質(zhì)4:特別地:概率的單調(diào)性P(A1A2…An)≤19SABABA性質(zhì)6(加法公式):SSSBASABABA性質(zhì)6(加法公式):SSSBA20加法公式的推廣加法公式的推廣21課堂練習(xí)－習(xí)題1－2，4題問題：課堂練習(xí)－習(xí)題1－2，4題問題：22例5：利用分解思想例5：利用分解思想23回顧：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)；★概率的統(tǒng)計定義；★概率的公理化定義；★概率的性質(zhì)思考：★當(dāng)采用“頻率的穩(wěn)定值”近似得到事件的概率值方法時，會有哪些局限性？★試驗次數(shù)n究竟要大到什么程度？頻率究竟在什么意義下趨近于概率？§1.3學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：排列與組合計數(shù)方法回顧：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)；24§1.3古典概型與幾何概型古典概型（含有限個樣本點(diǎn)）該模型中概率的計算依據(jù)：建立在對稱性基礎(chǔ)上的等可能性幾何概型（含無限個樣本點(diǎn)）§1.3古典概型與幾何概型古典概型（含有限個樣本點(diǎn)）幾25一、古典概型古典概型 隨機(jī)試驗E：樣本空間S①（有限性）

S只含有限個樣本點(diǎn)

②（等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等一、古典概型古典概型 隨機(jī)試驗E：樣本空間S26計算方法若事件A

包含k

個基本事件則事件A發(fā)生的概率計算方法若事件A包含k個基本事件則事件A發(fā)生的概27計算古典概率－例2基本事件總數(shù)放球的所有可能結(jié)果：A:每個杯子最多放1個球；B:每個杯子最多放2個球；C:每個杯子最多放3個球；（本例目的：求事件B的概率的方法）計算古典概率－例2基本事件總數(shù)放球的所有可能結(jié)果：A:每個杯28古典概型計算概率時應(yīng)注意的問題：計算樣本空間和事件A所包含的基本事件數(shù)時，分清排列與組合，不重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏；當(dāng)直接計算遇到困難時，可以選擇：將復(fù)雜的事件分成若干個簡單事件的和，再利用概率的加法公式或有限可加性；選擇先計算其對立事件的概率，再利用性質(zhì)3古典概型計算概率時應(yīng)注意的問題：計算樣本空間和事件A所包含的29三、幾何概型古典概型必須假定試驗結(jié)果是有限個，這限制了它的使用范圍。推廣：保留等可能性，允許試驗結(jié)果為無限個，這種試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判汀７▏鴶?shù)學(xué)家蒲豐提出:將隨機(jī)事件與幾何結(jié)合起來.三、幾何概型古典概型必須假定試驗結(jié)果是有限個，這限制了它的使30何為幾何概型？往區(qū)域S內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)何為幾何概型？往區(qū)域S內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)31例6例632課堂練習(xí)【問題】：任取兩個真分?jǐn)?shù)，求它們的乘積不大于1/4的概率課堂練習(xí)【問題】：33在實際問題中常常需要考慮在固定試驗條件下，外加某些條件時隨機(jī)事件發(fā)生的概率?！?.4、條件概率條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式概率性質(zhì)：有限可加性注意對此種條件概率的理解在實際問題中常常需要考慮在固定試驗條件下，外加某些條件時隨機(jī)34S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B={HH,TT}連拋硬幣2次，觀察向上面出現(xiàn)的情況。求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率？一、引例事件AB中樣本點(diǎn)的數(shù)目事件A中樣本點(diǎn)的數(shù)目S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B35定義1：設(shè)A，B兩個事件，P(A)>0，將已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率記為P(B|A)二、條件概率的定義條件概率的兩種計算方法1、通過定義，在樣本空間S中，先計算出P(AB)、P(A)，再利用定義計算P（B|A）＝P(AB)/P(A)。2、在A已經(jīng)發(fā)生的條件下，將S縮減為A（即事件A所包含的基本事件全體）中，直接計算B發(fā)生的概率。定義1：二、條件概率的定義條件概率的兩種計算方法1、通過定義361.對于任一事件B，有1≥P(B|A)≥02.P(S|A)＝13.設(shè)兩兩互不相容條件概率性質(zhì)設(shè)事件A滿足P（A）>0，則1.對于任一事件B，有1≥P(B|A)≥02.P(37條件概率P(B|A)與無條件P(B)的區(qū)別P(B)是在原始試驗條件下事件B發(fā)生的可能性大小。P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的環(huán)境不同,它們是兩個不同的角度考慮的概率，在數(shù)值上一般也不同。條件概率P(B|A)是在原始條件下又添加“A發(fā)生”這個條件時B發(fā)生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率。一般的，P(B|A)≠P(B)條件概率P(B|A)與無條件P(B)的區(qū)別P(B)是在原始試38有關(guān)條件概率的三公式乘法定理（同時發(fā)生的事件的概率）全概率公式（如何以全局的觀點(diǎn)認(rèn)識事件的發(fā)生）貝葉斯公式（※）有關(guān)條件概率的三公式乘法定理（同時發(fā)生的事件的概率）39三、乘法公式作用：計算兩個事件同時發(fā)生的概率三、乘法公式作用：計算兩個事件同時發(fā)生的概率40例3：求兩次取到均為黑球的概率1、古典概型方法：2、乘法公式方法：解：例3：求兩次取到均為黑球的概率1、古典概型方法：2、乘法公式41乘法公式的推廣-P20（4.4式）對于任一n>1，如果則有乘法公式適用范圍：求若干事件的積事件的概率，如果這些事件之間存在“順序”，可以考慮“順序”造成的概率影響，利用乘法公式求概率。乘法公式的推廣-P20（4.4式）對于任一n>1，如果則有42四、全概率公式完備事件組：對于任一事件B，有四、全概率公式完備事件組：對于任一事件B，有43全概率公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的“結(jié)果”，若已知每一原因發(fā)生的概率，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率．A1,A2,…,An為導(dǎo)致結(jié)果B產(chǎn)生的原因,由“原因”推“結(jié)果”全概率公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的“結(jié)果”，若44五、貝葉斯公式例5：續(xù)若當(dāng)前無法得知利率是否上漲，但是已知該只股票上漲了，分析利率上漲的概率。分析：由例5得知，現(xiàn)在是已經(jīng)知道結(jié)果，逆向分析某種原因造成的概率五、貝葉斯公式例5：續(xù)若當(dāng)前無法得知利率是否上漲，但是已知該45有完備事件組：對于任一事件B，，有乘法定理全概率公式定理2（貝葉斯公式）：有完備事件組：對于任一事件B，46Bayes公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，求此時是由第i個原因Ai引起B(yǎng)的概率(后驗概率)，則用Bayes公式A1,A2,…,An為導(dǎo)致結(jié)果B產(chǎn)生的原因若已知每一原因發(fā)生的概率(先驗概率)，是對先驗概率的一種校正Bayes公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，而且47擴(kuò)展：貝葉斯判別法例：為了判斷一根木材是樺木還是桉木，通常采用先抽取它的某一個特征（例如平均亮度X），然后再根據(jù)這個特征作出判別。A1：木材是樺木；A2：木材是桉木；事先掌握了

P(A1)，P(A2)，P(X|A1)，P(X|A2)；再根據(jù)貝葉斯公式計算出P(A1|X)，P(A2|

X)；若P(A1|X)>P(A2|

X)，則具有特征X的木材是樺木。擴(kuò)展：貝葉斯判別法例：為了判斷一根木材是樺木還是桉木，通常采48回顧：全局觀點(diǎn)，由因至果“順序”結(jié)構(gòu)由果溯因回顧：全局觀點(diǎn)，由因至果“順序”結(jié)構(gòu)由果溯因49§1.5事件的獨(dú)立性★事件獨(dú)立性 ★試驗序列獨(dú)立性獨(dú)立性是概率論中應(yīng)用即為廣泛的重要概念，其重要性主要表現(xiàn)在：1、概率論中的許多重要普遍規(guī)律，最初是在獨(dú)立性條件下發(fā)現(xiàn)的；2、從帶有獨(dú)立性條件的特殊概型中看出的許多本質(zhì)，常可以作為研究一般概型的線索；3、在數(shù)理統(tǒng)計中，樣本的抽取總是要求在一定的獨(dú)立性條件下進(jìn)行；4、獨(dú)立性的概念有助于簡化概率計算?！?.5事件的獨(dú)立性★事件獨(dú)立性 ★試驗序列獨(dú)立性獨(dú)50引例:（例1）A:抽到KB:抽到的牌是黑色的引例:（例1）A:抽到KB:抽到的牌是黑色的51一、兩個事件的獨(dú)立若兩事件A，B滿足則稱A，B獨(dú)立,或稱相互獨(dú)立

注：事件互不相容、相互獨(dú)立是完全不同的兩個概念兩個事件相互獨(dú)立性質(zhì)【定理1】：設(shè)A，B是兩事件，若A，B相互獨(dú)立，則【定理2】：若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，則獨(dú)立一、兩個事件的獨(dú)立若兩事件A，B滿足則稱A，B獨(dú)立,或稱相52二、有限個事件的獨(dú)立性對于任意n個事件A1，A2，…，An，若對每一2≤k≤n，任意k

個事件稱事件A1，A2，…，An，相互獨(dú)立滿足：【性質(zhì)1】若n個事件相互獨(dú)立,則其中任意k個事件也相互獨(dú)立;【性質(zhì)2】若n個事件相互獨(dú)立,則將其中任意個事件換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨(dú)立;二、有限個事件的獨(dú)立性對于任意n個事件A1，A2，…，A53※運(yùn)用多個事件的相互獨(dú)立簡化概率計算1、計算積事件的概率為：2、加法定理可以簡化為：※運(yùn)用多個事件的相互獨(dú)立簡化概率計算1、計算積事件的概率為：54練習(xí)：設(shè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，P(Ai)=pi,求：所有事件全不發(fā)生的概率；至少發(fā)生一個事件的概率；恰好發(fā)生一個事件的概率練習(xí)：設(shè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，P(Ai)=pi55擴(kuò)展-獨(dú)立性與可靠性理論：模型描述：一個系統(tǒng)能正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性?，F(xiàn)有兩系統(tǒng)都由同類電子元件A、B、C、D所組成，如圖所示。每個元件的可靠性都是p。分別求兩個系統(tǒng)的可靠性。解：以R1、R2分別記兩個系統(tǒng)的可靠性，以A、B、C、D分別記相應(yīng)元件工作正常的事件，則擴(kuò)展-獨(dú)立性與可靠性理論：模型描述：一個系統(tǒng)能正常工作的概率56例3：初始狀態(tài)：甲勝0局，乙勝0局結(jié)束狀態(tài)：甲先勝2局甲獲勝概率：甲勝1局甲勝乙勝甲勝0局甲勝乙勝甲勝1局甲勝0局甲勝2局甲勝乙勝甲勝1局甲勝甲勝2局甲勝甲勝2局例3：初始狀態(tài)：甲勝0局，乙勝0局結(jié)束狀態(tài)：甲先勝2局甲獲勝57三、伯努利概型獨(dú)立重復(fù)試驗序列：由某個隨機(jī)試驗的多次重復(fù)組成，且各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立。對每一次試驗的結(jié)果只關(guān)心：事件A發(fā)生與否：只有兩種可能結(jié)果的試驗→伯努利試驗（Bernoulli）獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次→n重伯努利試驗每一次中事件A發(fā)生的概率相同，都是p。各次試驗結(jié)果互不影響P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)Ai：第i次試驗結(jié)果三、伯努利概型獨(dú)立重復(fù)試驗序列：由某個隨機(jī)試驗的多次重復(fù)組成58伯努利定理（定理3）在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率：Bk：在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次。在n次試驗中，某k次試驗結(jié)果是A，另外n-k次試驗結(jié)果是A的對立事件。P(B0)P(B1)P(Bn)伯努利定理（定理3）在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的59課堂練習(xí)－習(xí)題1－5，13題課堂練習(xí)－習(xí)題1－5，13題60女士品茶問題（假設(shè)檢驗）→實際推斷原理假設(shè)問題：女士說法不可信，那么她是碰運(yùn)氣猜出來的。應(yīng)解決問題：“她是碰運(yùn)氣猜出來的”可能性多大。推翻假設(shè)！【問題描述】：一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能夠從一杯沖好的飲料中辨別出先放牛奶還是先放茶。并且她在10次試驗中都能正確的辨別出來，問該女士的說法是否可信？一個小概率的事件在一次試驗中實際上是幾乎不會發(fā)生的。但是如果不斷地、獨(dú)立地重復(fù)試驗，無論事件的概率多么小，它遲早會發(fā)生的。女士品茶問題（假設(shè)檢驗）→實際推斷原理假設(shè)問題：女士說法不可61利用獨(dú)立性認(rèn)識小概率事件設(shè)E中事件A的概率為ε>0。證明：不斷獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行試驗E，A遲早會出現(xiàn)的概率為1，不論ε如何小。Ak：事件A在第k次試驗中出現(xiàn)，P(Ak)=ε則前n次試驗中A都不出現(xiàn)的概率為于是，前n次試驗中A至少出現(xiàn)一次的概率為利用獨(dú)立性認(rèn)識小概率事件設(shè)E中事件A的概率為ε>0。證明：不62第一章基本要求第一章基本要求63練習(xí)：練習(xí)：64在終極的分析下，一切知識都是歷史在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)－C.R.Rao在終極的分析下，一切知識都是歷史－C.R.Rao65教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類），第三版吳贛昌主編，中國人民大學(xué)出版社參考教材：1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計

浙江大學(xué)盛驟等主編，高等教育出版社2、統(tǒng)計學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)

多米尼克.薩爾瓦多等，復(fù)旦大學(xué)出版社推薦閱讀書籍：見文檔“概率統(tǒng)計課程推薦書籍.doc”關(guān)于教材配套光盤：作為習(xí)題集及解答使用教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類），第三版吳贛昌主編，中國人66如何學(xué)好“概率統(tǒng)計”課程課前預(yù)習(xí)課堂跟進(jìn)課后回顧+練習(xí)如何學(xué)好“概率統(tǒng)計”課程課前預(yù)習(xí)課堂跟進(jìn)課后回顧+練習(xí)67概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)構(gòu)圖ProbabilityStatistics概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)構(gòu)圖ProbabilityStatis68第一章隨機(jī)事件及其概率

作業(yè)：1-1：8,91-2：2,41-3：5,6,91-4：6,8,101-5：2,4,5,8§1.1隨機(jī)事件；§1.2隨機(jī)事件的概率；§1.3古典概型與幾何概型；§1.4條件概率*；§1.5事件的獨(dú)立性*

；第一章隨機(jī)事件及其概率作業(yè)：§1.1隨機(jī)事件；69§1.1隨機(jī)事件

從觀察現(xiàn)象開始二、隨機(jī)試驗E1.可重復(fù)性:試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2.可觀察性:試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3.不確定性:每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.三、樣本空間四、隨機(jī)事件兩個特殊的事件：不可能事件必然事件一.什么是隨機(jī)現(xiàn)象?§1.1隨機(jī)事件從觀察現(xiàn)象開始二、隨機(jī)試驗E1.可重70六事件間的關(guān)系與運(yùn)算通過事件的關(guān)系與運(yùn)算來實現(xiàn)將復(fù)雜的事件分解成較簡單事件的“組合”。六事件間的關(guān)系與運(yùn)算通過事件的關(guān)系與運(yùn)算來實現(xiàn)將復(fù)雜的事71事件的關(guān)系與運(yùn)算的維恩圖表示法注意區(qū)別互斥與對立兩種關(guān)系A(chǔ)，B互不相容A，B對立事件的關(guān)系與運(yùn)算的維恩圖表示法注意區(qū)別互斥與對立兩種關(guān)系A(chǔ)，72完備事件組兩兩互不相容完備事件組兩兩互不相容73回顧：§1.1隨機(jī)事件★隨機(jī)現(xiàn)象；★隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性；★樣本空間；★隨機(jī)事件；★事件的集合表示；★事件的關(guān)系與運(yùn)算；★事件的運(yùn)算規(guī)律思考：★“兩個事件的互不相容”與“兩個事件對立”有什么區(qū)別？★用集合及其運(yùn)算表達(dá)隨機(jī)事件有什么便捷之處？回顧：§1.1隨機(jī)事件★隨機(jī)現(xiàn)象；★隨機(jī)現(xiàn)74§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)★概率的統(tǒng)計定義★概率的公理化定義★概率的性質(zhì)*內(nèi)容分布：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)內(nèi)容分布：75盡管隨機(jī)事件具有隨機(jī)性，但是在一次試驗中發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，并且是可以度量的.歷史發(fā)展：頻率→概率（頻率的穩(wěn)定值）概率：度量事件出現(xiàn)的可能性大小如何求值？盡管隨機(jī)事件具有隨機(jī)性，但是在一次試驗中發(fā)生的可能性大小是客76“拋硬幣”試驗：拋擲n次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù).n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494“拋硬幣”試驗：拋擲n次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù).n=5n=50n77【定義1】在相同的條件下，進(jìn)行了n

次試驗，在這n次試驗中，事件A

發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA

/n

稱為事件A

發(fā)生的頻率，并記成fn(A).A出現(xiàn)的頻率fn(A)＝A出現(xiàn)的次數(shù)試驗總次數(shù)一、頻率及其性質(zhì)【定義1】在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在這n次試驗中78概率

事件A發(fā)生的頻繁程度事件A發(fā)生的可能性的大小概率的統(tǒng)計定義頻率穩(wěn)定值p只是概率的近似值【定義2】概率的統(tǒng)計定義概率事件A發(fā)生事件79(A.H.柯爾莫哥洛夫1903-1987)20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家，是美國、英國、法國等多國院士或皇家學(xué)會會員。他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理體系，奠定了近代概率論的基礎(chǔ)，同時他也是隨機(jī)過程論的奠基人之一，此外，他在信息論、測度論、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域都有重大貢獻(xiàn)“數(shù)學(xué)界的莫扎特”前蘇聯(lián)科學(xué)家(A.H.柯爾莫哥洛夫1903-1987)“數(shù)學(xué)界80設(shè)

E,S,對于賦予一個實數(shù),記為事件A的概率，非負(fù)性完備性可列可加性二、、概率的定義（公理化定義）要求集合函數(shù)滿足下列三個公理：設(shè)E,S,對于81三、概率的性質(zhì)分解思想求概率的迂回戰(zhàn)術(shù)三、概率的性質(zhì)分解思想求概率的迂回戰(zhàn)術(shù)82SBA性質(zhì)4:特別地:概率的單調(diào)性P(A1A2…An)≤P(A1A2…An-1)≤…≤

P(A1A2)≤

P(A1)SBA性質(zhì)4:特別地:概率的單調(diào)性P(A1A2…An)≤83SABABA性質(zhì)6(加法公式):SSSBASABABA性質(zhì)6(加法公式):SSSBA84加法公式的推廣加法公式的推廣85課堂練習(xí)－習(xí)題1－2，4題問題：課堂練習(xí)－習(xí)題1－2，4題問題：86例5：利用分解思想例5：利用分解思想87回顧：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)；★概率的統(tǒng)計定義；★概率的公理化定義；★概率的性質(zhì)思考：★當(dāng)采用“頻率的穩(wěn)定值”近似得到事件的概率值方法時，會有哪些局限性？★試驗次數(shù)n究竟要大到什么程度？頻率究竟在什么意義下趨近于概率？§1.3學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：排列與組合計數(shù)方法回顧：§1.2隨機(jī)事件的概率★頻率及其性質(zhì)；88§1.3古典概型與幾何概型古典概型（含有限個樣本點(diǎn)）該模型中概率的計算依據(jù)：建立在對稱性基礎(chǔ)上的等可能性幾何概型（含無限個樣本點(diǎn)）§1.3古典概型與幾何概型古典概型（含有限個樣本點(diǎn)）幾89一、古典概型古典概型 隨機(jī)試驗E：樣本空間S①（有限性）

S只含有限個樣本點(diǎn)

②（等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等一、古典概型古典概型 隨機(jī)試驗E：樣本空間S90計算方法若事件A

包含k

個基本事件則事件A發(fā)生的概率計算方法若事件A包含k個基本事件則事件A發(fā)生的概91計算古典概率－例2基本事件總數(shù)放球的所有可能結(jié)果：A:每個杯子最多放1個球；B:每個杯子最多放2個球；C:每個杯子最多放3個球；（本例目的：求事件B的概率的方法）計算古典概率－例2基本事件總數(shù)放球的所有可能結(jié)果：A:每個杯92古典概型計算概率時應(yīng)注意的問題：計算樣本空間和事件A所包含的基本事件數(shù)時，分清排列與組合，不重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏；當(dāng)直接計算遇到困難時，可以選擇：將復(fù)雜的事件分成若干個簡單事件的和，再利用概率的加法公式或有限可加性；選擇先計算其對立事件的概率，再利用性質(zhì)3古典概型計算概率時應(yīng)注意的問題：計算樣本空間和事件A所包含的93三、幾何概型古典概型必須假定試驗結(jié)果是有限個，這限制了它的使用范圍。推廣：保留等可能性，允許試驗結(jié)果為無限個，這種試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?。法國?shù)學(xué)家蒲豐提出:將隨機(jī)事件與幾何結(jié)合起來.三、幾何概型古典概型必須假定試驗結(jié)果是有限個，這限制了它的使94何為幾何概型？往區(qū)域S內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)何為幾何概型？往區(qū)域S內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)95例6例696課堂練習(xí)【問題】：任取兩個真分?jǐn)?shù)，求它們的乘積不大于1/4的概率課堂練習(xí)【問題】：97在實際問題中常常需要考慮在固定試驗條件下，外加某些條件時隨機(jī)事件發(fā)生的概率。§1.4、條件概率條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式概率性質(zhì)：有限可加性注意對此種條件概率的理解在實際問題中常常需要考慮在固定試驗條件下，外加某些條件時隨機(jī)98S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B={HH,TT}連拋硬幣2次，觀察向上面出現(xiàn)的情況。求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率？一、引例事件AB中樣本點(diǎn)的數(shù)目事件A中樣本點(diǎn)的數(shù)目S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B99定義1：設(shè)A，B兩個事件，P(A)>0，將已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率記為P(B|A)二、條件概率的定義條件概率的兩種計算方法1、通過定義，在樣本空間S中，先計算出P(AB)、P(A)，再利用定義計算P（B|A）＝P(AB)/P(A)。2、在A已經(jīng)發(fā)生的條件下，將S縮減為A（即事件A所包含的基本事件全體）中，直接計算B發(fā)生的概率。定義1：二、條件概率的定義條件概率的兩種計算方法1、通過定義1001.對于任一事件B，有1≥P(B|A)≥02.P(S|A)＝13.設(shè)兩兩互不相容條件概率性質(zhì)設(shè)事件A滿足P（A）>0，則1.對于任一事件B，有1≥P(B|A)≥02.P(101條件概率P(B|A)與無條件P(B)的區(qū)別P(B)是在原始試驗條件下事件B發(fā)生的可能性大小。P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的環(huán)境不同,它們是兩個不同的角度考慮的概率，在數(shù)值上一般也不同。條件概率P(B|A)是在原始條件下又添加“A發(fā)生”這個條件時B發(fā)生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率。一般的，P(B|A)≠P(B)條件概率P(B|A)與無條件P(B)的區(qū)別P(B)是在原始試102有關(guān)條件概率的三公式乘法定理（同時發(fā)生的事件的概率）全概率公式（如何以全局的觀點(diǎn)認(rèn)識事件的發(fā)生）貝葉斯公式（※）有關(guān)條件概率的三公式乘法定理（同時發(fā)生的事件的概率）103三、乘法公式作用：計算兩個事件同時發(fā)生的概率三、乘法公式作用：計算兩個事件同時發(fā)生的概率104例3：求兩次取到均為黑球的概率1、古典概型方法：2、乘法公式方法：解：例3：求兩次取到均為黑球的概率1、古典概型方法：2、乘法公式105乘法公式的推廣-P20（4.4式）對于任一n>1，如果則有乘法公式適用范圍：求若干事件的積事件的概率，如果這些事件之間存在“順序”，可以考慮“順序”造成的概率影響，利用乘法公式求概率。乘法公式的推廣-P20（4.4式）對于任一n>1，如果則有106四、全概率公式完備事件組：對于任一事件B，有四、全概率公式完備事件組：對于任一事件B，有107全概率公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的“結(jié)果”，若已知每一原因發(fā)生的概率，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率．A1,A2,…,An為導(dǎo)致結(jié)果B產(chǎn)生的原因,由“原因”推“結(jié)果”全概率公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的“結(jié)果”，若108五、貝葉斯公式例5：續(xù)若當(dāng)前無法得知利率是否上漲，但是已知該只股票上漲了，分析利率上漲的概率。分析：由例5得知，現(xiàn)在是已經(jīng)知道結(jié)果，逆向分析某種原因造成的概率五、貝葉斯公式例5：續(xù)若當(dāng)前無法得知利率是否上漲，但是已知該109有完備事件組：對于任一事件B，，有乘法定理全概率公式定理2（貝葉斯公式）：有完備事件組：對于任一事件B，110Bayes公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，求此時是由第i個原因Ai引起B(yǎng)的概率(后驗概率)，則用Bayes公式A1,A2,…,An為導(dǎo)致結(jié)果B產(chǎn)生的原因若已知每一原因發(fā)生的概率(先驗概率)，是對先驗概率的一種校正Bayes公式的應(yīng)用環(huán)境我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，而且111擴(kuò)展：貝葉斯判別法例：為了判斷一根木材是樺木還是桉木，通常采用先抽取它的某一個特征（例如平均亮度X），然后再根據(jù)這個特征作出判別。A1：木材是樺木；A2：木材是桉木；事先掌握了

P(A1)，P(A2)，P(X|A1)，P(X|A2)；再根據(jù)貝葉斯公式計算出P(A1|X)，P(A2|

X)；若P(A1|X)>P(A2|

X)，則具有特征X的木材是樺木。擴(kuò)展：貝葉斯判別法例：為了判斷一根木材是樺木還是桉木，通常采112回顧：全局觀點(diǎn)，由因至果“順序”結(jié)構(gòu)由果溯因回顧：全局觀點(diǎn)，由因至果“順序”結(jié)構(gòu)由果溯因113§1.5事件的獨(dú)立性★事件獨(dú)立性 ★試驗序列獨(dú)立性獨(dú)立性是概率論中應(yīng)用即為廣泛的重要概念，其重要性主要表現(xiàn)在：1、概率論中的許多重要普遍規(guī)律，最初是在獨(dú)立性條件下發(fā)現(xiàn)的；2、從帶有獨(dú)立性條件的特殊概型中看出的許多本質(zhì)，?？梢宰鳛檠芯恳话愀判偷木€索；3、在數(shù)理統(tǒng)計中，樣本的抽取總是要求在一定的獨(dú)立性條件下進(jìn)行；4、獨(dú)立性的概念有助于簡化概率計算。§1.5事件的獨(dú)立性★事件獨(dú)立性 ★試驗序列獨(dú)立性獨(dú)114引例:（例1）A:抽到KB:抽到的牌是黑色的引例:（例1）A:抽到KB:抽到的牌是黑色的115一、兩個事件的獨(dú)立若兩事件A，B滿足則稱A，B獨(dú)立,或稱相互獨(dú)立

注：事件互不相容、相互獨(dú)立是完全不同的兩個概念兩個事件相互獨(dú)立性質(zhì)【定理1】：設(shè)A，B是兩事件，若A，B相互獨(dú)立，則【定理2】：若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，則獨(dú)立一、兩個事件的獨(dú)立若兩事件A，B滿足則稱A，B獨(dú)立,或稱相116二、有限個事件的獨(dú)立性對于任意n個事件A1，A2，…，An，若