資產(chǎn)組合選擇HarryMarkowitz資產(chǎn)組合選擇過程可以分為兩個(gè)階段。第一個(gè)階段是從觀察和經(jīng)驗(yàn)形成對(duì)可供出售的證券未來表現(xiàn)的信任，第二個(gè)階段是從對(duì)未來表現(xiàn)的有關(guān)信任形成資產(chǎn)組合選擇。本文關(guān)注的是第二個(gè)階段。我們首先考慮投資者使用（或者應(yīng)當(dāng)使用）最大化折現(xiàn)期望或預(yù)期回報(bào)的準(zhǔn)則，這一準(zhǔn)則不足以作為立論的前提假設(shè)和引領(lǐng)投資者行為的最大化原則。接下來，我們考慮投資者使用（或者應(yīng)當(dāng)使用）追求期望回報(bào)，回避回報(bào)方差的準(zhǔn)則。這一準(zhǔn)則作為投資者行為最大化原則和前提假設(shè)具有許多優(yōu)點(diǎn)。我們用幾何方法表示了信任和資產(chǎn)組合選擇之間依照期望回報(bào)——回報(bào)方差”準(zhǔn)則形成的關(guān)系。資產(chǎn)組合選擇的一種準(zhǔn)則是投資者使用（或者應(yīng)當(dāng)使用）最大化未來回報(bào)的折現(xiàn)（或資本化）價(jià)值1。既然未來是不可確定的，我們所折現(xiàn)的必然是期望”或預(yù)期”回報(bào)。也可以討論該種準(zhǔn)則的變化后形式，我們按照Hicks的方法，讓預(yù)期”回報(bào)包含一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償2?；蛘?，我們可以讓資本化特定證券回報(bào)的比率隨著風(fēng)險(xiǎn)而變化。投資者采?。ɑ蛘邞?yīng)當(dāng)采?。┳畲蠡郜F(xiàn)回報(bào)的假設(shè)（或最大化原則）必須被拋棄。如果我們忽略市場(chǎng)的不完善，前面的準(zhǔn)則不能說明存在一個(gè)優(yōu)于所有非分散化組合的分散化資產(chǎn)組合。分散化既是可以觀察到的，也是可以認(rèn)識(shí)的，一個(gè)不能得出分散化優(yōu)越性的行為準(zhǔn)則不能作為前提假設(shè)和最大化原則。上述準(zhǔn)則不能說明分散化這個(gè)結(jié)果。無論預(yù)期回報(bào)如何形成，無論是否對(duì)不同證券使用相同的或不同的折現(xiàn)率，也無論這些折現(xiàn)率是如何確定的或者如何隨時(shí)間而變化3,假設(shè)必然得出投資者將他的所有資金投入到具有最大折現(xiàn)價(jià)值的證券上。如果兩個(gè)或多個(gè)證券具有同樣的價(jià)值，那么其中的任何一個(gè)或者組合當(dāng)中的任何一個(gè)都與其它的同樣好。我們能看到這樣的分析：假設(shè)有N種證券，rit為在t時(shí)間投資于證券i的每一美元的預(yù)期回報(bào)（不管其如何確定），dit為第i個(gè)證券在時(shí)間t內(nèi)折現(xiàn)為現(xiàn)值的比率，Xi為投資于證券i的相對(duì)數(shù)量。我們排除賣空的可能，因此，對(duì)所有的i有Xi>0。資產(chǎn)組合的折現(xiàn)預(yù)期回報(bào)為：玦=￡心0是第i個(gè)證券的折現(xiàn)回報(bào)，因此，4=EX「Ri，這里Ri獨(dú)立于Xi。因?yàn)閷?duì)所有的i有Xi>0并且1，所以R是以非負(fù)的Xi為權(quán)數(shù)的Ri的加權(quán)平均。為了最大化R，我們對(duì)Ri最大的i取Xi=1。如果某些Raa，a=1，…，K最大，那么只要滿足KZ琴也==1都可以最大化R。無論如何分散化的資產(chǎn)組合不能優(yōu)于所有的非分散化組合4這將方便去考察靜態(tài)模型。我們不說第i個(gè)證券回報(bào)的時(shí)間序列（ri1，ri2,…，rin，…），而說第i個(gè)證券的回報(bào)流（ri）。資產(chǎn)組合整體的回報(bào)流是R=三足*。在動(dòng)態(tài)情況下，如果投資者希望最大化資產(chǎn)組合期望回報(bào)，他會(huì)將所有的資金投入具有最大期望回報(bào)的證券。這有一個(gè)準(zhǔn)則可以同時(shí)滿足投資者應(yīng)當(dāng)分散化投資和應(yīng)當(dāng)最大化期望回報(bào)。該準(zhǔn)則是說投資者采用（或者應(yīng)當(dāng)采用）將其資金分散在所有提供最大期望回報(bào)的證券上面。大數(shù)法則確保資產(chǎn)組合的真實(shí)收益幾乎與期望收益相同5。該法則是期望回報(bào)一回報(bào)方差準(zhǔn)則（下面即將表述）的特例，它假設(shè)存在最大期望回報(bào)和最小方差的資產(chǎn)組合，這一組合正好適合投資者。將大數(shù)法則用于資產(chǎn)組合的假設(shè)是不能接受的。證券回報(bào)的關(guān)聯(lián)性太強(qiáng)，分散化就不能抵消所有的方差。具有最大期望回報(bào)的資產(chǎn)組合不一定具有最小方差。存在一個(gè)投資者可以在控制方差來獲得期望回報(bào)，或者在放棄期望回報(bào)來減少方差的率。我們已經(jīng)看到期望回報(bào)或預(yù)期回報(bào)準(zhǔn)則是不合適的。讓我們考察期望回報(bào)-回報(bào)方差（E-V）準(zhǔn)則。首先，必須給出一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念和結(jié)果，接下來我們揭示E-V準(zhǔn)則的含義，隨后我們討論其合理性。在我們的描述中我們力圖避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)表述和證明，嚴(yán)格而且一般性的術(shù)語需要花費(fèi)一定的代價(jià)。由此形成的主要局限有：（1）我們并非從分析n種證券的情況，而是以幾何方式分析3到4種證券得到結(jié)果；（2）我們假設(shè)靜態(tài)的概率信念。在一般情況下，我們必須認(rèn)識(shí)到各種證券收益的概率分布是時(shí)間的函數(shù)。作者力圖在將來展示一般性的數(shù)學(xué)處理，以消除這些局限。我們需要下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念和結(jié)論。Y是隨機(jī)變量，i?e,即其值是偶然性確定的變量。為簡(jiǎn)化，設(shè)Y可以取有限個(gè)值3"為一,，為。y=y1的概率為pl，Y=y2的概率為p2等等。Y的期望值（均值）定義為：￡=四力+企為+?■…十/wmY的方差定義為：V=夕11— +山（北一五）'+…+夕的g—E）2.V是Y的其期望值的平均平方偏差。V一般用于測(cè)度分散程度，其他與V有關(guān)的測(cè)度分散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差廣=*『和方差系數(shù)。假設(shè)我們有一列隨機(jī)變量Rl，R2，…，Rn，如果R是Ri的加權(quán)和（線性組合）：an苗試］+a』抵w+..■+ 希那么R也是隨機(jī)變量。（例如，R1為51個(gè)單位的數(shù)，礎(chǔ)為占另一個(gè)單位的數(shù)，R為這些數(shù)的和。在這種情況下，n=2,al=a2=1）。知道期望值和加權(quán)和（R）的方差與Rl，R2，…，Rn的概率分布的關(guān)系對(duì)于我們來說非常重要。下面我們給出這些關(guān)系，讀者可參考標(biāo)準(zhǔn)教科書的證明6。加權(quán)和的期望值是期望值的加權(quán)和。即代芯—叫&項(xiàng)1.）?「頃占;'.M）—.…+叫￡?：*,[。加權(quán)和的方差并不簡(jiǎn)單，為了表述它，我們必須定義協(xié)方差。R1和R2的協(xié)方差為：^=E{[R^E（Ri）1即R1與其均值的差乘以R2與其均值的差的期望值。一般地，我們定義Ri和Rj的協(xié)方差為：山=研園一￡困）1囪-E俱,）2bij可以用熟悉的相關(guān)系數(shù)（pij）來表示。Ri和Rj的協(xié)方差等于它們的相關(guān)系數(shù)乘以Ri的標(biāo)準(zhǔn)差再乘以Rj的標(biāo)準(zhǔn)差。加權(quán)和的方差為：如果我們運(yùn)用Ri的方差為bi的事實(shí)，那么FK）-￡±■ifJ=^LRi為第i個(gè)證券的回報(bào)，pi為Ri的期望值；bij為Ri和Rj的協(xié)方差（因此^i為Ri的方差），Xi為分配到第i個(gè)證券上的投資者資產(chǎn)的比例。資產(chǎn)組合整體的收益（R）為：將Ri（以及R）作為隨機(jī)變量7,Xi不是隨機(jī)變量，由投資者決定。因?yàn)閄i是比例，我們有ZXi=1o在我們的分析中，我們將不排除Xi的負(fù)值（即賣空）的可能，因此對(duì)所有的i，Xie資產(chǎn)組合整體的回報(bào)（R）是隨機(jī)變量的加權(quán)和（投資者可以選擇權(quán)數(shù)）。從我們對(duì)加權(quán)和的討論可以看出資產(chǎn)組合整體的期望回報(bào)E是：i=l方差是：

MNglJ=1對(duì)固定的主觀概率（Ri,bij）,投資者所選擇E和V的各種組合決定于選擇資產(chǎn)組合的XI，X2,…，XN。假設(shè)所有可行（E，V）組合集如圖1所示。E-V準(zhǔn)則得出投資者將（或者應(yīng)當(dāng)）希望選擇這些組合中最有效率的一個(gè)，也就是給給定Ri和bij時(shí)，計(jì)算有效資產(chǎn)組合和有效（E，V）組合集的技術(shù)是存在的。在這里我們不給出這些技術(shù)。但是，我們用幾何方法列舉當(dāng)N（可選證券數(shù)）較小時(shí)有效表面的性質(zhì)。有效表面的計(jì)算可能會(huì)有實(shí)際的用途?；蛟S存在著通過將統(tǒng)計(jì)技術(shù)和專家判斷相結(jié)合形成合理的概率信任？（Ri，bij）的方法，我們將利用這些信任？計(jì)算可行的有效組合（E，V）。投資者在被告知哪些（E，V）組合是可行的之后，能夠聲明他所希望獲得的組合。我們能夠找到符合這種愿望組合的資產(chǎn)組合。在按照上述方式將有效表面運(yùn)用于實(shí)踐時(shí)，必須至少滿足兩個(gè)條件。首先，投資者必須依照E-V矩陣采取行動(dòng)。其次，我們必須達(dá)到合理的Ri和bij。我們隨后將回到這些主題上來。讓我們考慮三只證券的例子。在三只證券的情況下，我們的模型減少為：E=3X#「i=1（1i=1(2)i=1j=1(2)i=1j=1(3)z3Xi=1i=1(4)ijXXjxiN0對(duì)i=i,2,3從（3）我們得到3’）X3=1-X1-X2如果將（3’）代入（1）和（2），我們得到E和V的用X1和X2表示的函數(shù)形式。例如，我們發(fā)現(xiàn)：1’）E二日3+X1（日1-啟）+X2（日2-啟）在這里，精確的公式并非十分重要（V在下面給出）。我們可以簡(jiǎn)化寫做：a） E=E（X1，X2）b） V=V（X1，X2）c） x1>0,X2>0,1-x1-X2>0利用關(guān)系式（a）、（b）、（c），我們用二維幾何來表示。資產(chǎn)組合可行集合由所有滿足約束（c）和（3’）（或等價(jià)地（3）和（4））的組合構(gòu)成。X1和X2的可行組合由圖2中的三角形acb來表示。X2軸左邊的任何點(diǎn)都是不可行的，因?yàn)椴粷M足X1>0的條件。X1軸下邊的任何點(diǎn)都是不可行的，因?yàn)椴粷M足X2>0的條件。直線（】―X1-X2>0）上方的任何點(diǎn)都是不可行的，因?yàn)椴粷M足X3=1-X1-X2>0的條件。*dir&ctlMofincreasingEdep^ndion皿松.火Fig.2我們將給定期望回報(bào)時(shí)所有點(diǎn)（資產(chǎn)組合）構(gòu)成的集合定義為等均值線。同樣，將給定回報(bào)方差時(shí)所有點(diǎn)構(gòu)成的集合定義為等方差線。考察E和V的公式，我們知道等均值線和等方差線的形狀。具體而言，通常等均值線是一簇平行直線；等方差線是一簇同心橢圓（參見圖2）。例如，如果^2豐^3，方程1’可以寫做熟悉的形式X2=a+bX1，具體而言（1）是：E~^3-陣―日3X^FKK^K因此￡=E0時(shí)，等均值線的斜率為-（叩-啟）/（^2-啟），截距為（E0-啟）/（^2-啟）。如果我們改變E，截距會(huì)改變但是等均值線的斜率不會(huì)改變。這就確定了等均值線構(gòu)成一簇平行直線的結(jié)論。同樣地，通過簡(jiǎn)單地應(yīng)用幾何分析，我們也可以確定等方差線的形狀構(gòu)成是一簇同心橢圓。曲線簇的中心是最小化V的點(diǎn)，我們將該點(diǎn)標(biāo)記為X，將它的期望回報(bào)和方差標(biāo)記為E和V。偏離X越遠(yuǎn)時(shí)，方差會(huì)增加，更精確地講，如果一條等方差線C1較另一條C2更接近X，那么C1的方差就小于C2的方差。利用前述幾何工具，我們來求解有效集合。等方差橢圓簇的中心乂可能落在可行集之內(nèi)或之外。圖4顯示了一個(gè)X落在可行集之內(nèi)的例子，在這種情況下X是有效的。不存在V小于X的其它資產(chǎn)組合；因此不存在具有更小的V（E相同或更大時(shí)）或者在V相同或更小時(shí)具有更大的￡的資產(chǎn)組合。不存在期望回報(bào)E小于有效E的點(diǎn)（組合），因?yàn)槲覀冇蠩>E和V<Vo?考慮給定期望回報(bào)E的所有點(diǎn)，即所有在E的等均值線上的點(diǎn)。等均值線上V取最小值的點(diǎn)是等均值線與一條等方差線相切的點(diǎn)，我們稱該點(diǎn)為、X（E）o我們讓E變動(dòng)，X（E）的軌跡構(gòu)成一條曲線。代數(shù)推導(dǎo)（我們?cè)诖寺匀ィ╋@示該曲線為一條直線，我們稱之為臨界線（criticalline）L。臨界線通過X,因?yàn)樵擖c(diǎn)在所有滿足E（X1,X2）=E的點(diǎn)中使得V最小。從X沿著L的任何方向，V都將遞增。在臨界線上從X到臨界線通過可行集邊界點(diǎn)的線段構(gòu)成有效集的一部分，有效集的其余部分（在所顯示的情況下）是ab直線上從d到b的線段。b是可行的E最大的點(diǎn)。在圖3中，X位于可行域之外，但是臨界線與可行域相交。有效直線的端點(diǎn)是具有最小方差的可行點(diǎn)（在ab直線上的這種情況）。它向b點(diǎn)延伸直到與臨界線相交，沿著臨界線延伸到與邊界相交并最終沿著邊界達(dá)到bo讀者可能希望構(gòu)建并觀察到下列情況：（1）X位于可行集之外并且臨界線不與可行集相交。在這種情況下，存在一只不會(huì)包括在任何有效組合當(dāng)中的證券。（2）兩只證券具有相同的io在這種情況下，等均值線與邊界線平行?？赡軙?huì)發(fā)生具有最大￡的有效組合是分散化組合的情況。（3）僅有一個(gè)組合是有效的情況。具有4只證券的有效集合，如同具有3只證券和N只證券的情形一樣，是一系列折線段。有效集合的一端是方差最小的點(diǎn)，另一端是期望回報(bào)最大的點(diǎn)（參見圖4）oFig.3Fig,4現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了有效組合的性質(zhì)，那么了解有效（E,V）組合的性質(zhì)也就不太困難了。在這三種證券的情況下，E=a0+a1X1+a2X2是一個(gè)平面；V=b+bX+bX+bXX+bX+bX是一條拋物線［「如圖5所示，E-平面在有效0 1 1 2 2 12 1 2 11 21 22 22 11組合集之上的部分是一系列折線段。V-拋物線在有效組合集之上的部分是一系列拋物折線。如果我們按照有效組合的E畫出V，那么我們也將再次得到一系列拋物折線（見圖6）。任何數(shù)量的證券都將是這個(gè)結(jié)果。使用回報(bào)的期望回報(bào)-方差準(zhǔn)則有各種理由，包括可以作為很好地解釋投資行為的假設(shè)，以及作為個(gè)人行動(dòng)的指南。我們即將看到該準(zhǔn)則很好地解釋和引導(dǎo)與投機(jī)行為迥然相異的投資行為。在前面，我們摒棄了期望回報(bào)準(zhǔn)則，因?yàn)樗荒艿贸龇稚⒒膬?yōu)越性。與此相對(duì)，回報(bào)的期望回報(bào)-方差準(zhǔn)則蘊(yùn)含著相對(duì)H，b一定取值范圍的分散化。這并非意味著E-V準(zhǔn)則否定了非分散化組合的優(yōu)越性?？梢韵胂笠恢槐人衅渌C券具有高得多的收益和更小方差的證券，因此一個(gè)特定的未分散化的組合就具有了最大￡和最小V。但是對(duì)于大型的、假定具有代表性取值范圍的R，b，E-V準(zhǔn)則得出的有效資產(chǎn)組合幾乎都是分散化的。 1 "E-V準(zhǔn)則不僅蘊(yùn)含著分散化，而且蘊(yùn)含著由“正確性原因”引起的分散化的“正確性”。投資者并非僅僅根據(jù)持有不同證券的數(shù)量來運(yùn)用分散化。例如，一只包含六十只鐵路證券的組合的分散化效果比不上同樣規(guī)模但包含鐵路、公用事業(yè)、采掘、各種實(shí)業(yè)等的證券組合。原因在于同一產(chǎn)業(yè)內(nèi)的公司比不同產(chǎn)業(yè)間的公司在同一時(shí)期內(nèi)的表現(xiàn)通常來講有可能更差。同樣，為了降低方差，投資于多個(gè)證券是不夠的。必須避免投資于具有很高相關(guān)性的證券。我們應(yīng)當(dāng)在產(chǎn)業(yè)間進(jìn)行分散化，因?yàn)椴煌a(chǎn)業(yè)的公司，尤其是經(jīng)濟(jì)特性不同的產(chǎn)業(yè)，比同一產(chǎn)業(yè)內(nèi)的公司具有更低的相關(guān)性?！笆找妗焙汀帮L(fēng)險(xiǎn)”的概念頻繁見諸于金融著作中。通常如果用“期望收益”或“期望回報(bào)”替代“收益”，用“回報(bào)方差”替代“風(fēng)險(xiǎn)”，不會(huì)引起表面含義的變化。方差是一個(gè)廣為人知的測(cè)度回報(bào)分散度的指標(biāo)。如果投資者不使用方差，而是使用標(biāo)準(zhǔn)誤差。=插,或分散參數(shù)。/E,其選擇依然位于有效資產(chǎn)組合集當(dāng)中。假設(shè)投資者在兩個(gè)組合之間進(jìn)行分散化(即他將一部分資金投入一個(gè)組合，將其余的資金投入另一個(gè)組合。在組合之間進(jìn)行分散化的一個(gè)例子是買入兩個(gè)不同投資公司的股份)。如果兩個(gè)原始組合的方差相等，那么一般地12最終的(復(fù)合)組合的方差將小于任何一個(gè)原始組合的方差。圖7顯示了這一情況。為了解釋圖7,我們注意到一個(gè)組合(P)基于兩個(gè)組合P’=(X,1,X,2)和P’’=(X,],X,,2)按照P=入P，+(1-X)P，，=(入X,1+(1-X)X,2，入X」+(2i-x)x,,2)的形式構(gòu)建而成。P位于聯(lián)結(jié)P,和P”的直線上。 2 1 2E-V準(zhǔn)則作為與投機(jī)行為相區(qū)別的投資行為準(zhǔn)則更為合理。回報(bào)概率分布對(duì)于組合的三階距M313反映了賭博傾向。例如，如果投資者根據(jù)E和V最大化效用(v)(u=u(e,v),au/ae>0