（新高考）此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學（九）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．2．已知全集，集合，，則下圖陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知陰影部分表示的集合是，由，得，所以，由，得，所以，所以或，所以，故選C．3．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，即，則，故選A．4．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）A．543 B．546 C．1013 D．1022【答案】A【解析】∵，∴，兩式相減得，即，，又當時，有，可得，∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，，∴，∴，故選A．5．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)，則，當時，，當時，單調(diào)遞增，又，，，故選C．6．已知的外心為，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，即，則為的中點，又因為為的外心，則，所以為直角三角形，且，如下圖所示：，所以為等邊三角形，則，由勾股定理可得，，故選D．7．在一次試驗中，向如圖所示的正方形中隨機撒一大把豆子．經(jīng)過統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)落在正方形中的豆子有粒，其中有()粒豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)，以此估計的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積等于4．因為陰影部分的面積等于，所以，故選A．8．若是正奇數(shù)，則被9除的余數(shù)為（）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】C【解析】由題可知：原式，因為為正奇數(shù)，所以上式可化簡為：，所以該式除以9，余數(shù)為7，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BD【解析】對于A，若，，，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，，，則由線面平行的性質(zhì)得，故B正確；對于C，若，，，則或，故C錯誤；對于D，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確，故選BD．10．銳角中三個內(nèi)角分別是A，B，C且，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)中三個內(nèi)角A，B，C分別對的邊為，由正弦定理得，所以，所以A正確；因為函數(shù)在上為減函數(shù)，且，所以，所以B錯誤；在銳角中，因為，所以，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，所以C正確；同理可得，所以D正確，故選ACD．11．以下四個命題表述正確的是（）A．直線恒過定點B．圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點P為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】BCD【解析】對于選項A：由可得：，由，可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得，故選項C正確；對于選項D：設(shè)點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得，與已知圓相減可得，消去可得，即，由，可得，所以直線經(jīng)過定點，故選項D正確，故選BCD．12．若函數(shù)，值域為，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，當，，則恒成立，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，故，故選項A正確；且，故當時，值域為，對于C，當時，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，又的值域為，所以，故，故選項C正確；對于B，由選項C可知，，故，所以，，令，()，所以，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，此時，故選項B錯誤；對于D，設(shè)，則，令，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，因此時，，，∴是減函數(shù)，又，∴，即，所以，則D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】，，，又，所求的切線方程為，即，故答案為．14．如圖是一個由正方體截得八面體的平面展開圖，它由六個等腰直角三角形和兩個正三角形構(gòu)成，若正三角形的邊長為，則這個八面體中有下列結(jié)論：①平面平面；②多面體是三棱柱；③直線與直線所成的角為；④棱所在直線與平面所成的角為．以上結(jié)論正確的是________．【答案】①③【解析】根據(jù)平面展開圖結(jié)合正方體可得如圖所示的幾何體（如左圖所示）．在正方體中，因為，而平面，平面，故平面，同理平面，而，故平面平面，故①正確；根據(jù)棱柱的定義可知，多面體不是三棱柱，故②錯誤；因為，且，故直線與直線所成的角為，故③正確；因為，故與平面所成的角，即為與平面所成的角，因為且平面與平面不垂直，故與平面所成的角小于，故④錯誤，故答案為①③．15．已知函數(shù)，恰有四個不相等的實數(shù)根，，，且滿足，則______；的最小值為______．【答案】，【解析】由解析式可得圖象如下圖所示：恰有個不等實根等價于與恰有個不同交點，由圖象可知：，，，則，即，，即，；關(guān)于對稱，，（當且僅當，即時取等號），當時，，滿足與恰有個不同交點，的最小值為．16．已知、分別為拋物線與圓上的動點，拋物線的焦點為，、為平面內(nèi)兩點，且當取得最小值時，點與點重合；當取得最大值時，點與點重合，則的面積為______．【答案】【解析】拋物線的焦點為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：拋物線的準線為，過點作拋物線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，當時，取最小值，此時取最小值，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，點到圓上任意一點的距離，當且僅當為射線與圓的交點，且為線段上的點，所以，，當且僅當為射線與拋物線的交點，且為射線與圓的交點（為線段上的點），取得最大值．直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的斜率為，直線的方程為，即，，點到直線的距離為，因此，，故答案為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在銳角中，角、，所對的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，結(jié)合余弦定理，得，即，由正弦定理得，所以，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，即．（2）由（1）知，所以，又為銳角三角形，所以，即，所以，由正弦定理可知中，所以．18．（12分）已知正項數(shù)列，其前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，①所以有，②②-①，得，即，∴，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又，∴，所以．（2）由（1）得，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，，綜上所述，．19．（12分）已知四邊形是直角梯形，，，，，分別為的中點（如圖1），以為折痕把折起，使點到達點的位置且平面平面（如圖2）．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：由題意得，，，由余弦定理得，所以．如圖，連接，易知，于，所以，所以，即，所以．因為平面平面，平面平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，，令，；，令，，所以二面角的余弦值為．20．（12分）已知曲線，與直線．（1）若直線與曲線相切，求的值；（2）若直線與曲線交于兩點，點，為坐標原點，當為何值時，？【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）設(shè)直線與曲線相切于點，由，則，所以，解得，所以，即．將點代入直線的方程，解得．（2）設(shè)，，直線的斜率分別為，．將代入曲線的方程，整理得，所以，，且，即．①當直線交軸于非負半軸時，若過點，則點三點共線，顯然有，代入直線方程得；②當直線交軸與負半軸時，若，則，所以，代入，解得，綜上所述，或時，．21．（12分）設(shè)是給定的正整數(shù)（），現(xiàn)有個外表相同的袋子，里面均裝有個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回）．（1）若，假設(shè)已知選中的恰為第2個袋子，求第三次取出為白球的概率；（2）若，求第三次取出為白球的概率；（3）對于任意的正整數(shù)，求第三次取出為白球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）時，第二個袋中有2白2紅，共4個球，從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回）．第三次取出為白球的情況有：紅紅白，紅白白，白紅白，∴第三次取出為白球的概率．（2）設(shè)選出的是第個袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），取法數(shù)為，（白，紅，白），取法數(shù)為，（紅，白，白），取法數(shù)為，（紅，紅，白），取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：，則在第個袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個袋子的概率為，故所求概率為．（3）設(shè)選出的是第個袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），取法數(shù)為，（白，紅，白），取法數(shù)為，（紅，白，白），取法數(shù)為，（紅，紅，白），取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：，則在第個袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個袋子的概率為，故所求概率為．22．（12分）已知函數(shù)，，，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時