第零章第二節(jié)德州學院重點建設(shè)課程矢量場論復習第零章第二節(jié)德州學院重點建設(shè)課程矢量場論復習1一、場的概念§2矢量場論復習

描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。如：強度場、速度場、引力場、電磁場。場用一個空間和時間坐標的函數(shù)來描述：穩(wěn)恒場（穩(wěn)定場、靜場）：場與時間無關(guān)變化場（時變場）：場函數(shù)與時間有關(guān)一、場的概念§2矢量場論復習描述一定空間中連續(xù)分布的物2已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。已知場函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場函數(shù)，

這是電動力學求解電磁場的主要方法。二、標量場的梯度

在空間任意靠近兩點函數(shù)的全微分在空間某點的任意方向上，導數(shù)有無窮多個，其中有一個值最大，這個方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度：

已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋3

梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率，刻畫了標量場的空間分布特征等值面：常數(shù)的曲面稱為等值面。梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子

既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì)

注意：它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率等值面：4解：=？例1：解：=？例1：5解：例2：=？解：例2：=？6四、高斯定理與矢量場的散度

矢量族

在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個矢量族。

矢量場的通量

面元的通量：

有限面積的通量

意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具有局域性質(zhì)，不能反映空間一點的情況。有源無源負源

閉合曲面的通量

四、高斯定理與矢量場的散度矢量族在矢量場中對于7高斯公式

矢量場的散度

縮小到一點若空間各點處處則稱為無源場。該點有源該點無源該點為負源

高斯公式矢量場的散度縮小到一點若空間各點處處則稱8例子：求求例子：求求9

證明證：證明證：10五、斯托克斯公式與矢量場的旋度

矢量場的環(huán)量（環(huán)流）

表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場線不閉合表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場線閉合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一閉合曲線的積分稱為環(huán)量五、斯托克斯公式與矢量場的旋度矢量場的環(huán)量（環(huán)流）表明在11定義為矢量場的旋度，它在法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量。刻畫矢量場場線在空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點，則稱為無旋場。

矢量場的旋度

當L無限?。?/p>

定義為矢量場的旋度，它在法線方向上的分量為12例子：證明同理證=0例子：證明同理證=013證明

證：證明證：14六、有關(guān)場的四個定理關(guān)于散度旋度的兩個定理正定理：標量場的梯度必為無旋場，即逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。即若，則，稱為無旋場的標量勢函數(shù)。2.正定理:矢量場的旋度必為無散場，即逆定理:無源場必可表示為某個矢量場的旋度。即若，則，稱為無源場的矢量勢函數(shù)。

六、有關(guān)場的四個定理關(guān)于散度旋度的兩個定理正定理：標量場的梯15亥姆霍茲定理

任意矢量場[]均可分解為無旋場和無源場之和。即可分解為[]。又稱為的橫場部分，可引入標勢，

又稱為的縱場部分，可引入矢勢，亥姆霍茲定理任意矢量場[16唯一性定理

定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量，則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。

V唯一性定理定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及則17

1795~1799年在哥廷根大學學習，1799年獲博士學位。1870年任哥廷根大學數(shù)學教授和哥廷根天文臺臺長，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，提出404項科學創(chuàng)見（發(fā)表178項），在各領(lǐng)域的主要成就有：（1）關(guān)于靜電學溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度質(zhì)量和時間）法則量度非力學量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學知識研究光學系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯定理光學；（3）天文學和大地測量學中，如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等；（4）結(jié)合試驗數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯定理誤差曲線。此外，在純數(shù)學方面，對數(shù)論、代數(shù)、幾何學的若干基本定理作出嚴格證明。德國數(shù)學家和物理學家。1777年4月30日生于德國布倫瑞克，幼時家境貧困，聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。高

斯1795~1799年在哥廷根大學學習，1799年獲博士18第零章第二節(jié)德州學院重點建設(shè)課程矢量場論復習第零章第二節(jié)德州學院重點建設(shè)課程矢量場論復習19一、場的概念§2矢量場論復習

描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。如：強度場、速度場、引力場、電磁場。場用一個空間和時間坐標的函數(shù)來描述：穩(wěn)恒場（穩(wěn)定場、靜場）：場與時間無關(guān)變化場（時變場）：場函數(shù)與時間有關(guān)一、場的概念§2矢量場論復習描述一定空間中連續(xù)分布的物20已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。已知場函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場函數(shù)，

這是電動力學求解電磁場的主要方法。二、標量場的梯度

在空間任意靠近兩點函數(shù)的全微分在空間某點的任意方向上，導數(shù)有無窮多個，其中有一個值最大，這個方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度：

已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋21

梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率，刻畫了標量場的空間分布特征等值面：常數(shù)的曲面稱為等值面。梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子

既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì)

注意：它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率等值面：22解：=？例1：解：=？例1：23解：例2：=？解：例2：=？24四、高斯定理與矢量場的散度

矢量族

在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個矢量族。

矢量場的通量

面元的通量：

有限面積的通量

意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具有局域性質(zhì)，不能反映空間一點的情況。有源無源負源

閉合曲面的通量

四、高斯定理與矢量場的散度矢量族在矢量場中對于25高斯公式

矢量場的散度

縮小到一點若空間各點處處則稱為無源場。該點有源該點無源該點為負源

高斯公式矢量場的散度縮小到一點若空間各點處處則稱26例子：求求例子：求求27

證明證：證明證：28五、斯托克斯公式與矢量場的旋度

矢量場的環(huán)量（環(huán)流）

表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場線不閉合表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場線閉合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一閉合曲線的積分稱為環(huán)量五、斯托克斯公式與矢量場的旋度矢量場的環(huán)量（環(huán)流）表明在29定義為矢量場的旋度，它在法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄鰣鼍€在空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點，則稱為無旋場。

矢量場的旋度

當L無限?。?/p>

定義為矢量場的旋度，它在法線方向上的分量為30例子：證明同理證=0例子：證明同理證=031證明

證：證明證：32六、有關(guān)場的四個定理關(guān)于散度旋度的兩個定理正定理：標量場的梯度必為無旋場，即逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。即若，則，稱為無旋場的標量勢函數(shù)。2.正定理:矢量場的旋度必為無散場，即逆定理:無源場必可表示為某個矢量場的旋度。即若，則，稱為無源場的矢量勢函數(shù)。

六、有關(guān)場的四個定理關(guān)于散度旋度的兩個定理正定理：標量場的梯33亥姆霍茲定理

任意矢量場[]均可分解為無旋場和無源場之和。即可分解為[]。又稱為的橫場部分，可引入標勢，

又稱為的縱場部分，可引入矢勢，亥姆霍茲定理任意矢量場[34唯一性定理

定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量，則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。

V唯一性定理定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及則35

1795~1799年在哥廷根大學學習，1799年獲博士學位。1870年任哥廷根大學數(shù)學教授和哥廷根天文臺臺長，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，提出404項科學創(chuàng)見（發(fā)表178項），在各領(lǐng)域的主要成就有：（1）關(guān)于靜電學溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度質(zhì)量和時間）法則量度非力學量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學知識研究