第一講集合與集合的表示方法第一課時(shí)集合的概念［學(xué)習(xí)目標(biāo)］了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的關(guān)系.掌握集合中元素的兩個(gè)特性.記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.［知識(shí)鏈接］在初中，我們學(xué)習(xí)數(shù)的分類(lèi)時(shí)，學(xué)過(guò)自然數(shù)的集合，正數(shù)的集合，負(fù)數(shù)的集合，有理數(shù)的集合.在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時(shí)，說(shuō)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合.解不等式2x-1>3得x>2,即所有大于2的實(shí)數(shù)合在一起稱(chēng)為這個(gè)不等式的解集.一元二次方程X2—3x+2=0的解是x=1，x=2.［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］元素與集合的概念集合：把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合(或集).元素：構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.⑶集合元素的特性:確定性、互異性.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa^Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合AagAa不屬于集合A3.集合的分類(lèi)空集：不含任何元素的集合，記作￡非空集合：有限集：含有有限個(gè)元素的集合.無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合.常用數(shù)集的表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)N、或N*ZQR典型例題要點(diǎn)一集合的基本概念例1下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：我們班的所有高個(gè)子同學(xué)；不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)；(4h；3的近似值的全體.解(1)“高個(gè)子”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，因此不能構(gòu)成集合.(2)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x,可以明確地判斷是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，即“0WxW20”與“x>20或xV0”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合；(3)“一些點(diǎn)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無(wú)法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；(4)“氣/3的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以氣布的近似值”不能構(gòu)成集合.規(guī)律方法判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對(duì)象是“確定無(wú)疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無(wú)疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.跟蹤演練1下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是.所有正三角形；必修1課本上的所有難題；比較接近1的正整數(shù)全體；某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生.答案(1)(4)解析序號(hào)能否構(gòu)成集合理由(1)能其中的元素是“三條邊相等的三角形”(2)不能“難題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，所以所給對(duì)象不確定，故不能構(gòu)成集合(3)不能“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以所給對(duì)象不確定，故不能構(gòu)成集合(4)能其中的元素是“16歲以下的學(xué)生”要點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系例2所給下列關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是（）①一2^R;②?2￡Q；③0EN*:④|—3|機(jī)*.1B.2C.3D.4答案B解析一；是實(shí)數(shù)，是無(wú)理數(shù)，...①②正確.N*表示正整數(shù)集，...③和④不正確.乙規(guī)律方法1.由集合中元素的確定性可知，對(duì)任意的元素a與集合A,在“aeA”與“a￡A”這兩種情況中必有一種且只有一種成立.符號(hào)“￡”和緝”只表示元素與集合之間的關(guān)系，而不能用于表示其他關(guān)系“仁”和“￡”具有方向性，左邊是元素，右邊是集合.跟蹤演練2設(shè)不等式3-2x<0的解集為M，下列關(guān)系中正確的是（）A.0eM,2eMB.0￡M,2eMC.0eM,2珈D.0珈,2珈答案B解析本題是判斷0和2與集合M間的關(guān)系，因此只需判斷0和2是否是不等式3-2x<0的解即可，當(dāng)x=0時(shí)，3-2x=3>0，所以0珈；當(dāng)x=2時(shí)，3-2x=—1<0，所以2EM.要點(diǎn)三集合中元素的特性及應(yīng)用例3已知集合B含有兩個(gè)元素a—3和2a—1，若一3eB，試求實(shí)數(shù)a的值.解,「一3eB，.，?一3=a—3或一3=2a—1.若一3=a—3，則a=0.此時(shí)集合B含有兩個(gè)元素一3,一1,符合題意;若一3=2a—1,則a=—1.此時(shí)集合B含有兩個(gè)元素一4,—3，符合題意.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或一1.規(guī)律方法1.由于集合B含有兩個(gè)元素，一3EB，本題以一3是否等于a—3為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類(lèi)，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)元素進(jìn)行檢驗(yàn).2.解決含有字母的問(wèn)題，常用到分類(lèi)討論的思想，在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，務(wù)必明確分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).跟蹤演練3己知集合A={a+1，a2-1}，若0eA，則實(shí)數(shù)a的值為.答案1解析?.?0EA，.，?0=a+1或0=a2-1.當(dāng)0=a+1時(shí)，a=—1，此時(shí)a2-1=0，A中元素重復(fù)，不符合題意.當(dāng)a2-1=0時(shí)，a=±1.a=—1（舍），.?.a=1.此時(shí)，A={2,0}，符合題意.尹當(dāng)堂檢測(cè)重當(dāng)堂訓(xùn)體驗(yàn)成功下列能構(gòu)成集合的是（）中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人我市跑得快的汽車(chē)上海市所有的中學(xué)生香港的高樓答案C解析A、B、D中研究的對(duì)象不確定，因此不能構(gòu)成集合.集合A中只含有元素a，則下列各式一定正確的是（）A.0EAB.aAC.aeAD.a=A答案C解析由題意知A中只有一個(gè)元素a,???aeA,元素a與集合A的關(guān)系不能用“=”,a是否等于0不確定，因?yàn)?是否屬于A不確定，故選C.設(shè)A表示“中國(guó)所有省會(huì)城市”組成的集合，則深圳A；廣州A（填e或g）.答案ge解析深圳不是省會(huì)城市，而廣州是廣東省的省會(huì).已知①仍eR；②1eQ；③0eN:④neQ；⑤一3gZ.正確的個(gè)數(shù)為.3答案3解析①②③是正確的；④⑤是錯(cuò)誤的.已知le{a2，a}，則Qa=.答案T解析當(dāng)a2=1時(shí)，a=±1，但a=1時(shí)，a2=a，由元素的互異性知a=—1.第二課時(shí)集合的表示方法［學(xué)習(xí)目標(biāo)］掌握集合的兩種表示方法（列舉法、描述法）.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.［知識(shí)鏈接］質(zhì)數(shù)又稱(chēng)素?cái)?shù)，指在大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他正整數(shù)整除的數(shù).函數(shù)y=X2—2x—1的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y=x2—2x+1的圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y=x2—x+1的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］列舉法把有限集合中的所有元素都列舉出來(lái)，寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)表示這個(gè)集合的方法.描述法集合的特征性質(zhì)如果在集合I中，屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p(x)，則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì).特征性質(zhì)描述法集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)描述為{x^I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)P(x)的所有元素構(gòu)成的.這種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱(chēng)描述法.典型例題要點(diǎn)一用列舉法表示集合例1用列舉法表示下列集合：⑴小于10的所有自然數(shù)組成的集合；方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；由1?20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.解(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.⑵設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么B={0,1}.⑶設(shè)由1?20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C，那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.規(guī)律方法對(duì)于元素個(gè)數(shù)較少的集合或元素個(gè)數(shù)不確定但元素間存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法.應(yīng)用列舉法時(shí)要注意：①元素之間用“，”而不是用“、”隔開(kāi)；②元素不能重復(fù).跟蹤演練1用列舉法表示下列集合：我國(guó)現(xiàn)有的所有直轄市；絕對(duì)值小于3的整數(shù)的集合；24一次函數(shù)y=x—1與y=一矽+^的圖象父點(diǎn)組成的集合.33解(1){北京，上海，天津，重慶};(2){—2，—1,0,1,2}；y=x—1,方程組j2|4ly=-3x+3的解是，X=5,2y=5,所求集合為([7,H[155』要點(diǎn)二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：正偶數(shù)集；被3除余2的正整數(shù)的集合；平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.解(1)偶數(shù)可用式子x=2n,nez表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定neN*,所以正偶數(shù)集可表示為{x|x=2n,neN*}.⑵設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3n+2,neZ，但元素為正整數(shù)，故x=3n+2,neN,所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x=3n+2,neN}.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x,y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0,即xy=0,故坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x,y)|xy=0}.規(guī)律方法用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：①“豎線”前面的xeR可簡(jiǎn)記為x；②“豎線”不可省略；③)(x)可以是文字語(yǔ)言，也可以是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的盡量用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；④同一個(gè)集合，描述法表示可以不唯一.跟蹤演練2用描述法表示下列集合：所有被5整除的數(shù)；方程6x2—5x+1=0的實(shí)數(shù)解集；集合{—2,—1,0,1,2}.解(1){x|x=5n,neZ}；{x|6x2—5x+1=0}；{xeZ||x|W2}.要點(diǎn)三列舉法與描述法的綜合運(yùn)用例3集合A={x|kx2—8x+16=0},若集合A只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.解(1)當(dāng)k=0時(shí)，原方程為16—8x=0..*.x=2,此時(shí)A=⑵.(2)當(dāng)k尹0時(shí)，由集合A中只有一個(gè)元素，?'?方程kx2—8x+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根.則乙=64—64k=0，即k=1.從而x1=x2=4，.集合A={4}.綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k=0時(shí)，A={2}；當(dāng)k=1時(shí)，A={4}.規(guī)律方法1.(1)本題在求解過(guò)程中，常因忽略討論k是否為0而漏解.(2)kx2—8x+16=0的二次項(xiàng)系數(shù)k不確定，需分k=0和k尹0展開(kāi)討論，從而做到不重不漏.2.解答與描述法有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點(diǎn).跟蹤演練3把本例中條件“有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，求實(shí)數(shù)k取值范圍的集合.解由題意可知方程kx2—8x+16=0有兩個(gè)不等實(shí)根....件0，〔△=64—64k>0，解得kV1，且k尹0.所以k取值范圍的集合為{k|kV1，且k尹0}.三當(dāng)堂檢測(cè)W當(dāng)堂訓(xùn)練.體驗(yàn)成功集合{xEN*|x—3V2}用列舉法可表示為(A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案B解析{xEN*|x—3V2}={xEN*|xV5}={1,2,3,4}.已知集合A={xEN|一胰WxW-...*},則有()A.—1eAB.0eAC.展eAD.2eA答案B解析?.?0eN且一?\"0W&：?0wA.用描述法表示方程xV—x—3的解集為.3答案(x|x<—-}3解析?x<—x—3,?.x<—^.乙3?.?解集為｛x|x<一".乙已知xEN,則方程x