第三章參數(shù)估計(jì)

ParametricEstimation數(shù)理統(tǒng)計(jì)課題組第三章參數(shù)估計(jì)

ParametricEstimation本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念置信區(qū)間估計(jì)的基本概念兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法有效估計(jì)和C-R下界充分統(tǒng)計(jì)量本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念學(xué)習(xí)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)解決問(wèn)題的基本思想;幾種點(diǎn)估計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn);常見(jiàn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià);掌握大樣本極大似然估計(jì)的近似分布;置信區(qū)間估計(jì)的定義和常用求法;點(diǎn)估計(jì)與置信區(qū)間估計(jì)的主要區(qū)別.學(xué)習(xí)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)解決問(wèn)題的基本思想;本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)極大似然估計(jì)多項(xiàng)分布的極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的漸進(jìn)分布置信區(qū)間估計(jì)的基本概念樞軸量的概念小樣本置信區(qū)間求法極大似然估計(jì)的置信區(qū)間解法有效估計(jì)和C-R下界充分統(tǒng)計(jì)量因子分解定理Rao-Blackwell定理本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念1.點(diǎn)估計(jì)的基本概念(PointEstimator)

點(diǎn)估計(jì):就是由樣本x1,x2,…xn確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

用它估計(jì)總體的未知參數(shù)，稱(chēng)為總體參數(shù)的估計(jì)量。當(dāng)具體的樣本抽出后，可求得出樣本統(tǒng)計(jì)量的值。用它作為總體參數(shù)的估計(jì)值，稱(chēng)作總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。1.點(diǎn)估計(jì)的基本概念(PointEstimator)2.兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)(MomentEstimator)極大似然估計(jì)

(MaximumLikelihoodestimator)多項(xiàng)分布的極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的漸進(jìn)分布極大似然估計(jì)的置信區(qū)間解法2.兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)(MomentEstimat設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。稱(chēng)為樣本的階原點(diǎn)矩。若存在，則稱(chēng)之為X的階原點(diǎn)矩。記作若存在，則稱(chēng)之為X的階中心矩。記作稱(chēng)為樣本的階中心矩。矩法估計(jì)：1）矩估計(jì)法2點(diǎn)估計(jì)的常用方法設(shè)是一隨機(jī)變量，設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。稱(chēng)為樣本的階原點(diǎn)矩。若存在，則稱(chēng)之為X的階原點(diǎn)矩。記作若存在，則稱(chēng)之為X的階中心矩。記作稱(chēng)為樣本的階中心矩。矩法估計(jì)：1）矩估計(jì)法2點(diǎn)估計(jì)的常用方法設(shè)是一隨機(jī)變量，極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件矩估計(jì)的原理：經(jīng)驗(yàn)分布趨向于理論分布;

由辛欽大數(shù)定律知矩估計(jì)的原理：例1設(shè)某少年兒童出版社每本書(shū)發(fā)生錯(cuò)字的次數(shù)X服從例1設(shè)某少年兒童出版社每本書(shū)發(fā)生錯(cuò)字的次數(shù)X服從極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件例2解：例2解：解得：例2（續(xù)）解得：例2（續(xù)）2）．極大似然估計(jì)法

設(shè)總體X的概率分布為

或概率密度為其中是未知參數(shù)。

如何求極大似然估計(jì)量呢？2點(diǎn)估計(jì)的常用方法2）．極大似然估計(jì)法或概率密度為其中是未知參數(shù)。如何求2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)含多個(gè)參數(shù)令似然方程或最大似然解2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)含多個(gè)參數(shù)令似然方程或最大似然解2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極多項(xiàng)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

很多情況下,假定一個(gè)變量X可能取m個(gè)狀態(tài),m>2,每個(gè)狀態(tài)假定可能性為p1,…,pm,,獨(dú)立進(jìn)行n次試驗(yàn),用Xi表示第i種狀態(tài)出現(xiàn)的頻數(shù),X1,…,Xm會(huì)有多項(xiàng)分布,多項(xiàng)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)很多情況下,假定一極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件例7:Hardy-Weinberg平衡定律

假定基因的頻率在自然界是固定的,基因類(lèi)型三類(lèi):AA,Aa,aa,它們出現(xiàn)的可能性為

其中是父代為A的可能性,是父代為a的可能性需要給出父代的MLE.

AAAaaa

合計(jì)3425001871029例7:Hardy-Weinberg平衡定律假定基因解:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為極大似然估計(jì)的理論結(jié)果

極大似然估計(jì)的分布有漸進(jìn)的正態(tài)分布極大似然估計(jì)的理論結(jié)果

極大似然估計(jì)的分布有漸進(jìn)的3.置信區(qū)間估計(jì)的基本概念

(ConfidentialInterval)

樞軸量的概念小樣本置信區(qū)間求法拔靴法置信區(qū)間求法3.置信區(qū)間估計(jì)的基本概念

(ConfidentialIn置信區(qū)間估計(jì)的概念樣本使得置信度1-α3.置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì)的概念樣本使得置信度1-α3.置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間的含義樣本分布區(qū)間（X-ZX

，X+ZX

）該隨機(jī)區(qū)間以(1-)%包含,以

%不包含.置信區(qū)間的含義樣本分布區(qū)間（X-ZX，X構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法

(pilotfunction)1.構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法

(pilotfunction)1.一.總體均值的區(qū)間估計(jì) 總體服從正態(tài)分布,σ2已知時(shí),當(dāng)

時(shí)，根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，在1－α置信度下，總體均值μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)我豢傮w參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一.總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，在1－α置信即：從而有

即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)蝹€(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)從而有即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)蝹€(gè)總體參數(shù)的注意:有很多滿(mǎn)足置信度的置信區(qū)間+1.65x+2.58xx_X+1.96x-2.58x-1.65x-1.96x注意:有很多滿(mǎn)足置信度的置信區(qū)間+1.65x1. 數(shù)據(jù)的分布離散程度Measuredby2. 樣本容量X=/n3. 置信水平

(1-)AffectsZ影響到區(qū)間精度的量X-ZXtoX+ZX

?1984-1994T/MakerCo.1. 數(shù)據(jù)的分布離散程度影響到區(qū)間精度的量X-ZX[例8]

已知某零件的直徑服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測(cè)得平均直徑為202.5mm，已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.5mm，試建立該種零件平均直徑的置信區(qū)間，給定置信度為0.95。 解：已知=202.5,

n=10,1－α=0.95

單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[例8]=202.5,

n=10,1－α=0.95單個(gè)

即計(jì)算結(jié)果為：[200.95,204.05]單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)計(jì)算結(jié)果為：[200.95,204.05]單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)σ2未知時(shí)

（1）n≥30時(shí)，只需將σ2由S2代替即可.中的σ用S近似(2)n<30時(shí)，由所以即單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)σ2未知時(shí)中的σ用S近似(2)n<30時(shí)，由[例9]某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取30人，調(diào)查到他們平均每人每天完成作業(yè)時(shí)間為120分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30分鐘，試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天完成作業(yè)時(shí)間。解：

1-α=0.95tα/2=2.04在95％的置信度下，μ的置信區(qū)間為單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)舉例[例9]某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取30人，調(diào)查到他們平均每人二.總體方差的區(qū)間估計(jì)

單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)二.總體方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)所以在1-α置信度下：σ2的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信區(qū)間為單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)所以在1-α置信度下：σ2的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差σ單個(gè)總體參數(shù)比例的置信區(qū)間的例子400個(gè)畢業(yè)生中有32名進(jìn)入研究生學(xué)習(xí)，構(gòu)造p的95%置信區(qū)間估計(jì)：R程序:

p.hat=32/400n=400alpha=0.05L=p.hat-qnorm(1-alpha/2,0,1)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n)U=p.hat+qnorm(1-alpha/2,0,1)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n)比例的置信區(qū)間的例子400個(gè)畢業(yè)生中有32名進(jìn)入研究生學(xué)樣本量由1、正態(tài)：2、比例：（1）總體的方差越大，需要的樣本量越大。（2）樣本量n和置信區(qū)間長(zhǎng)度的平方成反比。（3）置信度越高，樣本量越大。在總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，半置信區(qū)間的寬度為：樣本量由1、正態(tài)：在總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，半置信區(qū)間的需要考慮問(wèn)題：(1)要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間？(2)對(duì)于構(gòu)造的置信區(qū)間來(lái)說(shuō)，想要多大的置信度？即我們想要多大的可靠度？樣本量的確定需要考慮問(wèn)題：(1)要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間樣本容量n與總體方差、允許誤差、置信度有以下關(guān)系：必要樣本容量n與總體方差成正比。2．在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越小。3.樣本容量n與置信度成正比。估計(jì)總體均值時(shí)，樣本量的確定樣本容量n與總體方差、允許誤差、置信度有以下關(guān)系：必要樣本容[例10]一家廣告公司想估計(jì)某類(lèi)商店去年所花的平均廣告費(fèi)有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000。如置信度取95%，并要使估計(jì)值處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？解：已知這家廣告公司應(yīng)抽選28個(gè)商店作樣本（注意抽取樣本數(shù)總是整數(shù)，所以n應(yīng)圓整成整數(shù)）。估計(jì)總體均值時(shí)，樣本量的確定[例10]一家廣告公司想估計(jì)某類(lèi)商店去年所花的平均廣告費(fèi)估計(jì)總體比例時(shí)，允許誤差為：由上式可得出估計(jì)總體比例時(shí)，確定必要樣本容量的公式。由于總體比率是未知的，因此要用樣本比率代替估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定估計(jì)總體比例時(shí)，允許誤差為：由上式可得出估計(jì)總體比例時(shí)，確定[例11]一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有健身器材的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)p

的估計(jì)誤差不超過(guò)0.05,要求的可靠程度為95%，應(yīng)取多大量的樣本？沒(méi)有可利用的估計(jì)值。

解：對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)，其方差達(dá)到最大值。因此，在無(wú)法得到值時(shí)，可以用計(jì)算。已知：由于的估計(jì)值未知，可以采用計(jì)算必要的樣本量：估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定[例11]一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有健身器材的家庭所占故為了以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，應(yīng)取385戶(hù)進(jìn)行調(diào)查。估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定故為了以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，應(yīng)取385注意：比例近似正態(tài)分布時(shí)所要求的樣本量注意：比例近似正態(tài)分布時(shí)所要求的樣本量一、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)設(shè)兩總體X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，由兩總體分別獨(dú)立的抽取容量為n1和n2的樣本，？？?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較一、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)設(shè)兩總體X～N(μ1，σ12)，Y1.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，已知，

在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較1.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，已知，在1-α置信度下，μ2.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，且兩樣本容量均≥30，由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可（2）σ12=σ22=σ2，σ2未知，兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較2.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，σ12≠σ22且兩樣本均很大時(shí)由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12≠σ22由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可σ12=σ22=σ2σ2未知在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12=σ22=σ2在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較二、兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間估計(jì)由于兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較二、兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間估計(jì)由于兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)三、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)設(shè)兩個(gè)總體比例分別為P1和P2，為了估計(jì)P1-P2，分別從兩個(gè)總體中各隨機(jī)抽取容量為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，并計(jì)算兩個(gè)樣本的比例兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較三、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)設(shè)兩個(gè)總體比例分別為P1和P其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為

兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總[例12]某減肥用品公司對(duì)其所作的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，其分別從兩個(gè)城市中隨機(jī)抽取了800名成年人，其中看過(guò)該廣告的比例分別為,,試求:兩城市中看過(guò)該廣告的成年人比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間:解：由于n1，n2均為大樣本，1-α=0.95，μα/2=1.96兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較[例12]某減肥用品公司對(duì)其所作的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)p1-p2的置信區(qū)間為故在95%置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為（0.011，0.049）。兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較p1-p2的置信區(qū)間為故在95%置信度下，p1-p2的置信區(qū)4.有效估計(jì)和C-R下界有效估計(jì)Cramer-Rao下界4.有效估計(jì)和C-R下界有效估計(jì)羅—克拉美不等式(Cramer-Rao)兩個(gè)以上的無(wú)偏估計(jì)量具有最小方差最小方差無(wú)偏估計(jì)量一個(gè)估計(jì)量羅—克拉美不等式檢驗(yàn)非最佳無(wú)偏估計(jì)量2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)羅—克拉美不等式(Cramer-Rao)兩個(gè)以上的具有最小方羅—克拉美不等式 對(duì)于一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的方差在分布為正則的條件下，其方差不會(huì)小于一個(gè)正數(shù)，這個(gè)正數(shù)是的下限，它依賴(lài)于總體的概率密度函數(shù)和樣本量n

即:注：當(dāng)?shù)扔诓坏仁接叶藭r(shí)，這時(shí)稱(chēng)為最佳 無(wú)偏估計(jì)量。2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)羅—克拉美不等式注：當(dāng)?shù)扔诓坏仁接叶藭r(shí)，這時(shí)稱(chēng)[例1]若，是總體均值的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量。［證］2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)[例1]若，是總體均值的5.充分統(tǒng)計(jì)量的概念(Sufficiency)充分統(tǒng)計(jì)量因子分解定理Rao-Blackwell定理5.充分統(tǒng)計(jì)量的概念(Sufficiency)充分統(tǒng)計(jì)量如何改進(jìn)你的估計(jì)

(Rao-Blackwell定理)如果你設(shè)計(jì)了一個(gè)估計(jì)假定T是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量,那么不等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)如何改進(jìn)你的估計(jì)

(Rao-Blackwell定理)如果你1).無(wú)偏性(unbiasedness)

設(shè)為總體未知參數(shù)的估計(jì)量若則稱(chēng)是的無(wú)偏估計(jì)量，稱(chēng)具有無(wú)偏性。如果是有偏估計(jì)量，則它的偏差為偏差=4.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)1).無(wú)偏性(unbiasedness)則稱(chēng)是的無(wú)偏估注:具有無(wú)偏性。

，對(duì)于

，具有無(wú)偏性2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)但S不是的無(wú)偏估計(jì)注:具有無(wú)偏性。，對(duì)于，具有無(wú)偏性2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)2)．一致性（consistency） 如果對(duì)任意小的正數(shù)，有則稱(chēng)是的一致估計(jì)量，稱(chēng)具有一致性，可以證明均具有一致性。2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)2)．一致性（consistency）則稱(chēng)是的一致估計(jì)量，稱(chēng)3)．有效性

若都是的無(wú)偏估計(jì)量且

或

則稱(chēng)較為有效估計(jì)量。的有效估計(jì)量2.衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)3)．有效性若都是的無(wú)偏估計(jì)量且羅—克拉美下限值為

為的最佳無(wú)偏估計(jì)2衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)羅—克拉美下限值為為的最佳無(wú)偏估計(jì)2衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)本章小結(jié)點(diǎn)估計(jì)的基本概念與常用求解方法置信區(qū)間估計(jì)的概念與應(yīng)用兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法有效估計(jì)和C-R下界充分統(tǒng)計(jì)量本章小結(jié)點(diǎn)估計(jì)的基本概念與常用求解方法第三章參數(shù)估計(jì)

ParametricEstimation數(shù)理統(tǒng)計(jì)課題組第三章參數(shù)估計(jì)

ParametricEstimation本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念置信區(qū)間估計(jì)的基本概念兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法有效估計(jì)和C-R下界充分統(tǒng)計(jì)量本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念學(xué)習(xí)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)解決問(wèn)題的基本思想;幾種點(diǎn)估計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn);常見(jiàn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià);掌握大樣本極大似然估計(jì)的近似分布;置信區(qū)間估計(jì)的定義和常用求法;點(diǎn)估計(jì)與置信區(qū)間估計(jì)的主要區(qū)別.學(xué)習(xí)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)解決問(wèn)題的基本思想;本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)極大似然估計(jì)多項(xiàng)分布的極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的漸進(jìn)分布置信區(qū)間估計(jì)的基本概念樞軸量的概念小樣本置信區(qū)間求法極大似然估計(jì)的置信區(qū)間解法有效估計(jì)和C-R下界充分統(tǒng)計(jì)量因子分解定理Rao-Blackwell定理本章大綱點(diǎn)估計(jì)的基本概念1.點(diǎn)估計(jì)的基本概念(PointEstimator)

點(diǎn)估計(jì):就是由樣本x1,x2,…xn確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

用它估計(jì)總體的未知參數(shù)，稱(chēng)為總體參數(shù)的估計(jì)量。當(dāng)具體的樣本抽出后，可求得出樣本統(tǒng)計(jì)量的值。用它作為總體參數(shù)的估計(jì)值，稱(chēng)作總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。1.點(diǎn)估計(jì)的基本概念(PointEstimator)2.兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)(MomentEstimator)極大似然估計(jì)

(MaximumLikelihoodestimator)多項(xiàng)分布的極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的漸進(jìn)分布極大似然估計(jì)的置信區(qū)間解法2.兩種基本的點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)(MomentEstimat設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。稱(chēng)為樣本的階原點(diǎn)矩。若存在，則稱(chēng)之為X的階原點(diǎn)矩。記作若存在，則稱(chēng)之為X的階中心矩。記作稱(chēng)為樣本的階中心矩。矩法估計(jì)：1）矩估計(jì)法2點(diǎn)估計(jì)的常用方法設(shè)是一隨機(jī)變量，設(shè)是一隨機(jī)變量，是它的一個(gè)樣本。稱(chēng)為樣本的階原點(diǎn)矩。若存在，則稱(chēng)之為X的階原點(diǎn)矩。記作若存在，則稱(chēng)之為X的階中心矩。記作稱(chēng)為樣本的階中心矩。矩法估計(jì)：1）矩估計(jì)法2點(diǎn)估計(jì)的常用方法設(shè)是一隨機(jī)變量，極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件矩估計(jì)的原理：經(jīng)驗(yàn)分布趨向于理論分布;

由辛欽大數(shù)定律知矩估計(jì)的原理：例1設(shè)某少年兒童出版社每本書(shū)發(fā)生錯(cuò)字的次數(shù)X服從例1設(shè)某少年兒童出版社每本書(shū)發(fā)生錯(cuò)字的次數(shù)X服從極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件例2解：例2解：解得：例2（續(xù)）解得：例2（續(xù)）2）．極大似然估計(jì)法

設(shè)總體X的概率分布為

或概率密度為其中是未知參數(shù)。

如何求極大似然估計(jì)量呢？2點(diǎn)估計(jì)的常用方法2）．極大似然估計(jì)法或概率密度為其中是未知參數(shù)。如何求2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)含多個(gè)參數(shù)令似然方程或最大似然解2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極大似然估計(jì)含多個(gè)參數(shù)令似然方程或最大似然解2.點(diǎn)估計(jì)的常用方法-極多項(xiàng)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

很多情況下,假定一個(gè)變量X可能取m個(gè)狀態(tài),m>2,每個(gè)狀態(tài)假定可能性為p1,…,pm,,獨(dú)立進(jìn)行n次試驗(yàn),用Xi表示第i種狀態(tài)出現(xiàn)的頻數(shù),X1,…,Xm會(huì)有多項(xiàng)分布,多項(xiàng)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)很多情況下,假定一極大似然估計(jì)-統(tǒng)計(jì)之都課件例7:Hardy-Weinberg平衡定律

假定基因的頻率在自然界是固定的,基因類(lèi)型三類(lèi):AA,Aa,aa,它們出現(xiàn)的可能性為

其中是父代為A的可能性,是父代為a的可能性需要給出父代的MLE.

AAAaaa

合計(jì)3425001871029例7:Hardy-Weinberg平衡定律假定基因解:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為極大似然估計(jì)的理論結(jié)果

極大似然估計(jì)的分布有漸進(jìn)的正態(tài)分布極大似然估計(jì)的理論結(jié)果

極大似然估計(jì)的分布有漸進(jìn)的3.置信區(qū)間估計(jì)的基本概念

(ConfidentialInterval)

樞軸量的概念小樣本置信區(qū)間求法拔靴法置信區(qū)間求法3.置信區(qū)間估計(jì)的基本概念

(ConfidentialIn置信區(qū)間估計(jì)的概念樣本使得置信度1-α3.置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì)的概念樣本使得置信度1-α3.置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間的含義樣本分布區(qū)間（X-ZX

，X+ZX

）該隨機(jī)區(qū)間以(1-)%包含,以

%不包含.置信區(qū)間的含義樣本分布區(qū)間（X-ZX，X構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法

(pilotfunction)1.構(gòu)造置信區(qū)間的一般方法

(pilotfunction)1.一.總體均值的區(qū)間估計(jì) 總體服從正態(tài)分布,σ2已知時(shí),當(dāng)

時(shí)，根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，在1－α置信度下，總體均值μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)我豢傮w參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一.總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，在1－α置信即：從而有

即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)蝹€(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)從而有即在1－α置信度下，μ的置信區(qū)間為：?jiǎn)蝹€(gè)總體參數(shù)的注意:有很多滿(mǎn)足置信度的置信區(qū)間+1.65x+2.58xx_X+1.96x-2.58x-1.65x-1.96x注意:有很多滿(mǎn)足置信度的置信區(qū)間+1.65x1. 數(shù)據(jù)的分布離散程度Measuredby2. 樣本容量X=/n3. 置信水平

(1-)AffectsZ影響到區(qū)間精度的量X-ZXtoX+ZX

?1984-1994T/MakerCo.1. 數(shù)據(jù)的分布離散程度影響到區(qū)間精度的量X-ZX[例8]

已知某零件的直徑服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測(cè)得平均直徑為202.5mm，已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.5mm，試建立該種零件平均直徑的置信區(qū)間，給定置信度為0.95。 解：已知=202.5,

n=10,1－α=0.95

單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[例8]=202.5,

n=10,1－α=0.95單個(gè)

即計(jì)算結(jié)果為：[200.95,204.05]單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)計(jì)算結(jié)果為：[200.95,204.05]單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)σ2未知時(shí)

（1）n≥30時(shí)，只需將σ2由S2代替即可.中的σ用S近似(2)n<30時(shí)，由所以即單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)σ2未知時(shí)中的σ用S近似(2)n<30時(shí)，由[例9]某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取30人，調(diào)查到他們平均每人每天完成作業(yè)時(shí)間為120分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30分鐘，試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天完成作業(yè)時(shí)間。解：

1-α=0.95tα/2=2.04在95％的置信度下，μ的置信區(qū)間為單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)舉例[例9]某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取30人，調(diào)查到他們平均每人二.總體方差的區(qū)間估計(jì)

單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)二.總體方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)所以在1-α置信度下：σ2的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信區(qū)間為單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)所以在1-α置信度下：σ2的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差σ單個(gè)總體參數(shù)比例的置信區(qū)間的例子400個(gè)畢業(yè)生中有32名進(jìn)入研究生學(xué)習(xí)，構(gòu)造p的95%置信區(qū)間估計(jì)：R程序:

p.hat=32/400n=400alpha=0.05L=p.hat-qnorm(1-alpha/2,0,1)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n)U=p.hat+qnorm(1-alpha/2,0,1)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n)比例的置信區(qū)間的例子400個(gè)畢業(yè)生中有32名進(jìn)入研究生學(xué)樣本量由1、正態(tài)：2、比例：（1）總體的方差越大，需要的樣本量越大。（2）樣本量n和置信區(qū)間長(zhǎng)度的平方成反比。（3）置信度越高，樣本量越大。在總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，半置信區(qū)間的寬度為：樣本量由1、正態(tài)：在總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，半置信區(qū)間的需要考慮問(wèn)題：(1)要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間？(2)對(duì)于構(gòu)造的置信區(qū)間來(lái)說(shuō)，想要多大的置信度？即我們想要多大的可靠度？樣本量的確定需要考慮問(wèn)題：(1)要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間樣本容量n與總體方差、允許誤差、置信度有以下關(guān)系：必要樣本容量n與總體方差成正比。2．在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越小。3.樣本容量n與置信度成正比。估計(jì)總體均值時(shí)，樣本量的確定樣本容量n與總體方差、允許誤差、置信度有以下關(guān)系：必要樣本容[例10]一家廣告公司想估計(jì)某類(lèi)商店去年所花的平均廣告費(fèi)有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000。如置信度取95%，并要使估計(jì)值處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？解：已知這家廣告公司應(yīng)抽選28個(gè)商店作樣本（注意抽取樣本數(shù)總是整數(shù)，所以n應(yīng)圓整成整數(shù)）。估計(jì)總體均值時(shí)，樣本量的確定[例10]一家廣告公司想估計(jì)某類(lèi)商店去年所花的平均廣告費(fèi)估計(jì)總體比例時(shí)，允許誤差為：由上式可得出估計(jì)總體比例時(shí)，確定必要樣本容量的公式。由于總體比率是未知的，因此要用樣本比率代替估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定估計(jì)總體比例時(shí)，允許誤差為：由上式可得出估計(jì)總體比例時(shí)，確定[例11]一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有健身器材的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)p

的估計(jì)誤差不超過(guò)0.05,要求的可靠程度為95%，應(yīng)取多大量的樣本？沒(méi)有可利用的估計(jì)值。

解：對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)，其方差達(dá)到最大值。因此，在無(wú)法得到值時(shí)，可以用計(jì)算。已知：由于的估計(jì)值未知，可以采用計(jì)算必要的樣本量：估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定[例11]一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有健身器材的家庭所占故為了以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，應(yīng)取385戶(hù)進(jìn)行調(diào)查。估計(jì)總體比例時(shí)，樣本量的確定故為了以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，應(yīng)取385注意：比例近似正態(tài)分布時(shí)所要求的樣本量注意：比例近似正態(tài)分布時(shí)所要求的樣本量一、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)設(shè)兩總體X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，由兩總體分別獨(dú)立的抽取容量為n1和n2的樣本，？？?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較一、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)設(shè)兩總體X～N(μ1，σ12)，Y1.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，已知，

在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較1.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，已知，在1-α置信度下，μ2.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，且兩樣本容量均≥30，由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可（2）σ12=σ22=σ2，σ2未知，兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較2.兩個(gè)總體方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，σ12≠σ22且兩樣本均很大時(shí)由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12≠σ22由S12和S22分別估計(jì)σ12和σ22，即可σ12=σ22=σ2σ2未知在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較σ12=σ22=σ2在1-α置信度下，μ1-μ2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較二、兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間估計(jì)由于兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較二、兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間估計(jì)由于兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)三、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)設(shè)兩個(gè)總體比例分別為P1和P2，為了估計(jì)P1-P2，分別從兩個(gè)總體中各隨機(jī)抽取容量為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，并計(jì)算兩個(gè)樣本的比例兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較三、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)設(shè)兩個(gè)總體比例分別為P1和P其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為

兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的比較其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信區(qū)間為兩個(gè)正態(tài)總[例12]某減肥用品公司對(duì)其所作的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行