量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答1緒論補充：1.證明Plank公式在高頻區(qū)化為Wein公式，在低頻區(qū)化為Rayley-Jeans公式。證明：Plank公式為

或?qū)憺?/p>

其中,

在高頻區(qū),,----Wein公式在低頻區(qū)，----R-J公式緒論補充：22.由玻爾角動量量子化條件導(dǎo)出氫原子能級公式解：角動量量子化條件，2.由玻爾角動量量子化條件導(dǎo)出氫原子能級公式33.粒子被限制在長寬高分別為的箱中動，試由駐波條件求粒子能量的可能值。解：駐波條件同理，3.粒子被限制在長寬高分別為的箱中4第一章補充：1.設(shè)和分別表示微觀粒子的兩個可能狀態(tài)，求當(dāng)粒子處于疊加態(tài)時的相對幾率分布。a，b為復(fù)常數(shù)，為實函數(shù)。解：第一章補充：1.設(shè)52.試將下列波函數(shù)歸一化：解：<1><2>2.試將下列波函數(shù)歸一化：6<3>量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件7第二章2.1證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。證：第二章2.1證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。82.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度，并從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)傳播的球面波。解：2.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度，并從所得結(jié)果說92.3一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。其中解：定態(tài)schr.eq由波函數(shù)有限性要求，(1)式改寫為uoaⅠⅡⅢuoaⅠⅡⅢ10量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件11

2.4證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是。證：

122.7一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程(分別求出奇宇稱和偶宇稱解)。解：定態(tài)schr.eqoa-au0ⅠⅢⅡ2.7一粒子在一維勢阱中運動，oa-au0ⅠⅢⅡ13量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件14所以，(12)+(13)和(13)+(14)分別為確定奇偶宇稱束縛態(tài)能級的兩組超越方程，經(jīng)圖解法求出束縛態(tài)的后，可由(15)得出對應(yīng)的能級。2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似的表示為求束縛態(tài)能級滿足的方程。量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件15解：xbaou0ⅠⅡⅢⅣ-u1解：xbaou0ⅠⅡⅢⅣ-u116根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件17補充：1.方勢阱的透射與共振：入射粒子E>0，勢阱深度-V0，寬a。求透射系數(shù)T，并討論T的極大，極小條件。解：E-V0oaxE-V0oax18當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數(shù)為：，其中此公式也適用于勢阱的透射，只須改定義即在k′表達式中以-V0替代勢壘高度u0。討論:(1)V0=0時，k′=k，T=1，此時無勢阱。T=1驗證公式正確(2)V0≠0時，T<1，粒子不能以100％的幾率透過勢阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學(xué)特有的效應(yīng)。(3)當(dāng)，即，T=1，取極大值，稱為共振透射;;當(dāng)V0較大，n較

小，則可能存在En<0狀態(tài)，即束縛態(tài)。當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數(shù)19當(dāng)，即，T取極小值;。2.利用厄米多項式的遞推關(guān)系證明線性諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系：證：(1)當(dāng)，即20(2)量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件213.二維各向同性線性諧振子的哈密頓算符為：試求其本征函數(shù)和相應(yīng)的本證值。解：由定態(tài)schr.eq：3.二維各向同性線性諧振子的哈密頓算符為：22所以原方程可以分離變量，設(shè)E=E1+E2，其中E1，E2分別是與的本征值，本征函數(shù)可表達為兩項之積：由于，數(shù)學(xué)形式完全相同，各自為一維線性諧振子的哈密頓算符，所以：零點能與能級間距均為簡并度：所以原方程可以分離變量，設(shè)E=E1+E2，其中E1，E2分別232.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：2.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。24第三章3.3證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球坐標(biāo)中的分量是：證：由定義，電子電荷在球坐標(biāo)下，第三章3.3證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球坐標(biāo)中的253.4由上題可知氫原子中的電流可以看作由許多圓周電流組成的（如圖）(1)求一圓周電流的磁矩(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動量之比為解:(1)，其中為環(huán)形電流所包圍的面積。zyxorzyxor26(2)整個原子的磁矩回轉(zhuǎn)磁比率：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件273.9設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量，角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。解：能量可能值：，二度簡并，幾率為1。能量平均值：角動量平方的可能值：角動量z分量可能值：幾率：1/43/4，二度簡并3.9設(shè)氫原子處于狀態(tài)28補充：證明證：3.1一維諧振子處在基態(tài)，求(1)勢能的平均值(2)動能的平均值(3)動量的幾率分布函數(shù)解:(1)補充：證明29(2)平均動能量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件30利用利用積分公式和

的厄米性，又解：(3)可用動量本征函數(shù)來展開：利用利用積分公式和31動量幾率密度(動量取值在p附近單位動量區(qū)間的幾率密度)：實際上，就是以p為變量的諧振子的波函數(shù)量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件32又解，利用求和（平均動能）3.2氫原子處于基態(tài)，求(1)r的平均值(2)勢能的平均值(3)最可幾半徑(4)動量平均值(5)動量的幾率分布函數(shù)解:(1)由公式又解，利用求和（平均動能）33(2)(3)在半徑r~r+dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件34代回中，可見為極小點（w=0）∴最可幾半徑（幾率密度最大處）：r=a0

(4)動能平均值：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件35(5)(5)36∴動量空間的幾率分布（動量在p~p+dp球殼內(nèi)的幾率）：3.8在一維無限深勢阱中運動的粒子的狀態(tài)波函數(shù)為其中a為勢阱寬度，A為歸一化常數(shù)。求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。解：先歸一化：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件37即，粒子在無限深勢阱中的能級是分立的En，所以，其中為無限深勢阱中粒子的能量本征函數(shù)。即，38即∴能量的幾率分布：能量平均值：又解：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件393.5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量表達式為，L為角動量。求量子轉(zhuǎn)子在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)。(1)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動；(2)轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動。解:(1)設(shè)轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動，則能量本征值方程：利用自然邊界條件：歸一化形式為為整數(shù)。解二：已知的本征函數(shù)為3.5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量表達式為40而的本征函數(shù)也是，且本征值(2)轉(zhuǎn)子繞固定點轉(zhuǎn)動，均改變，∵的本征函數(shù)為球諧函數(shù)，而∴的本征函數(shù)也是，且本征值3.6設(shè)t=0時粒子狀態(tài)為，求此時粒子的平均動量和平均動能。解：而的本征函數(shù)也是，且本41其中當(dāng)取分立值：共5個值時即有式。要求歸一化：，即平均動能：其中42補充題：1.計算下列積分。其中為一維線性諧振子的波函數(shù)（能量本征波函數(shù)）解：由公式利用諧振子哈密頓算符本征函數(shù)的正交歸一性，可得：(1)補充題：43(2)實際上分別是算符和在諧振子能量表象中的矩陣元2.證明：證：(2)443.13利用測不準關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。解：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件45量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件46量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件47量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答48緒論補充：1.證明Plank公式在高頻區(qū)化為Wein公式，在低頻區(qū)化為Rayley-Jeans公式。證明：Plank公式為

或?qū)憺?/p>

其中,

在高頻區(qū),,----Wein公式在低頻區(qū)，----R-J公式緒論補充：492.由玻爾角動量量子化條件導(dǎo)出氫原子能級公式解：角動量量子化條件，2.由玻爾角動量量子化條件導(dǎo)出氫原子能級公式503.粒子被限制在長寬高分別為的箱中動，試由駐波條件求粒子能量的可能值。解：駐波條件同理，3.粒子被限制在長寬高分別為的箱中51第一章補充：1.設(shè)和分別表示微觀粒子的兩個可能狀態(tài)，求當(dāng)粒子處于疊加態(tài)時的相對幾率分布。a，b為復(fù)常數(shù)，為實函數(shù)。解：第一章補充：1.設(shè)522.試將下列波函數(shù)歸一化：解：<1><2>2.試將下列波函數(shù)歸一化：53<3>量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件54第二章2.1證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。證：第二章2.1證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。552.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度，并從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)傳播的球面波。解：2.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度，并從所得結(jié)果說562.3一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。其中解：定態(tài)schr.eq由波函數(shù)有限性要求，(1)式改寫為uoaⅠⅡⅢuoaⅠⅡⅢ57量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件58

2.4證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是。證：

592.7一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程(分別求出奇宇稱和偶宇稱解)。解：定態(tài)schr.eqoa-au0ⅠⅢⅡ2.7一粒子在一維勢阱中運動，oa-au0ⅠⅢⅡ60量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件61所以，(12)+(13)和(13)+(14)分別為確定奇偶宇稱束縛態(tài)能級的兩組超越方程，經(jīng)圖解法求出束縛態(tài)的后，可由(15)得出對應(yīng)的能級。2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似的表示為求束縛態(tài)能級滿足的方程。量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件62解：xbaou0ⅠⅡⅢⅣ-u1解：xbaou0ⅠⅡⅢⅣ-u163根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件64補充：1.方勢阱的透射與共振：入射粒子E>0，勢阱深度-V0，寬a。求透射系數(shù)T，并討論T的極大，極小條件。解：E-V0oaxE-V0oax65當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數(shù)為：，其中此公式也適用于勢阱的透射，只須改定義即在k′表達式中以-V0替代勢壘高度u0。討論:(1)V0=0時，k′=k，T=1，此時無勢阱。T=1驗證公式正確(2)V0≠0時，T<1，粒子不能以100％的幾率透過勢阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學(xué)特有的效應(yīng)。(3)當(dāng)，即，T=1，取極大值，稱為共振透射;;當(dāng)V0較大，n較

小，則可能存在En<0狀態(tài)，即束縛態(tài)。當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數(shù)66當(dāng)，即，T取極小值;。2.利用厄米多項式的遞推關(guān)系證明線性諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系：證：(1)當(dāng)，即67(2)量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件683.二維各向同性線性諧振子的哈密頓算符為：試求其本征函數(shù)和相應(yīng)的本證值。解：由定態(tài)schr.eq：3.二維各向同性線性諧振子的哈密頓算符為：69所以原方程可以分離變量，設(shè)E=E1+E2，其中E1，E2分別是與的本征值，本征函數(shù)可表達為兩項之積：由于，數(shù)學(xué)形式完全相同，各自為一維線性諧振子的哈密頓算符，所以：零點能與能級間距均為簡并度：所以原方程可以分離變量，設(shè)E=E1+E2，其中E1，E2分別702.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：2.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。71第三章3.3證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球坐標(biāo)中的分量是：證：由定義，電子電荷在球坐標(biāo)下，第三章3.3證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球坐標(biāo)中的723.4由上題可知氫原子中的電流可以看作由許多圓周電流組成的（如圖）(1)求一圓周電流的磁矩(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動量之比為解:(1)，其中為環(huán)形電流所包圍的面積。zyxorzyxor73(2)整個原子的磁矩回轉(zhuǎn)磁比率：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件743.9設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量，角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。解：能量可能值：，二度簡并，幾率為1。能量平均值：角動量平方的可能值：角動量z分量可能值：幾率：1/43/4，二度簡并3.9設(shè)氫原子處于狀態(tài)75補充：證明證：3.1一維諧振子處在基態(tài)，求(1)勢能的平均值(2)動能的平均值(3)動量的幾率分布函數(shù)解:(1)補充：證明76(2)平均動能量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件77利用利用積分公式和

的厄米性，又解：(3)可用動量本征函數(shù)來展開：利用利用積分公式和78動量幾率密度(動量取值在p附近單位動量區(qū)間的幾率密度)：實際上，就是以p為變量的諧振子的波函數(shù)量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件79又解，利用求和（平均動能）3.2氫原子處于基態(tài)，求(1)r的平均值(2)勢能的平均值(3)最可幾半徑(4)動量平均值(5)動量的幾率分布函數(shù)解:(1)由公式又解，利用求和（平均動能）80(2)(3)在半徑r~r+dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件81代回中，可見為極小點（w=0）∴最可幾半徑（幾率密度最大處）：r=a0

(4)動能平均值：量子力學(xué)經(jīng)典題目及解答課件82(5)(5)83∴動量空間的幾率分布（動量在p~p+dp球殼內(nèi)的幾率）：3.8在一維無限深勢