第7章平穩(wěn)過程的譜分析第7章平穩(wěn)過程的譜分析1內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的譜密度譜密度的性質(zhì)窄帶過程和白噪聲過程聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的譜密度27.1平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(t)的譜分析能譜密度功率密度截尾函數(shù)：平均功率7.1平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(3平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密度平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密4功率譜密度[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)的隨機過程，稱

為X(t)的平均功率。稱

為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。當(dāng)X(t)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程時，功率譜密度[定義]設(shè){X(t),<t<5[解][例1](例7.1)設(shè)有隨機過程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

為常數(shù)，在下列情況下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量；

(2)是在(0,/2)上服從均勻分布的隨機變量。(1)隨機過程X(t)是平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平穩(wěn)過程[解][例1](例7.1)設(shè)有隨機過程X(t)=a6對平穩(wěn)隨機序列，均值為0，如果當(dāng)在上取值時，若絕對一致收斂，則是上的連續(xù)函數(shù)，稱為平穩(wěn)序列的譜密度。這時目錄對平穩(wěn)隨機序列，77.2功率譜密度的性質(zhì)設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，RX

()為它的相關(guān)函數(shù)，其功率譜密度sX

()具有如下性質(zhì)：(1)（維納-辛欽定理）若，則sX

()是RX

()的傅里葉變換；當(dāng)X(t)為實平穩(wěn)過程時，7.2功率譜密度的性質(zhì)設(shè){X(t),<t8譜密度的性質(zhì)sX

()是的實值非負(fù)函數(shù)；實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；(4)當(dāng)sX

()是的有理函數(shù)時，其形式必為其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)為常數(shù)，且a2n>0,m>n，分母無實根。譜密度的性質(zhì)sX()是的實值非負(fù)函數(shù)；(4)9sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度

sX

()是偶函數(shù)，因而可將負(fù)的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。GX()sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度sX10例2(例7.2)[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，其中a>0,0

為常數(shù)，求譜密度sX().例2(例7.2)[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為11例3(例7.3)已知平穩(wěn)過程的譜密度為，求相關(guān)函數(shù)RX()及平均功率2.例3(例7.3)已知平穩(wěn)過程的譜密度為12例4(例7.5)設(shè)平穩(wěn)隨機序列的譜密度為求相關(guān)函數(shù)RX(n).目錄例4(例7.5)設(shè)平穩(wěn)隨機序列的譜密度為13常見的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及相應(yīng)的譜密度參見表7.1（P120）常見的平穩(wěn)過程的147.3窄帶過程及白噪聲過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。譜密度：sX()s012-2-10RX()07.3窄帶過程及白噪聲過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度15函數(shù)具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為函數(shù)：[注]

1與()是一對傅式變換。函數(shù)有一個重要的運算性質(zhì)，即對任何連續(xù)函數(shù)f(x):或因此函數(shù)具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為函數(shù)：[注]1與()16白噪聲過程[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即sX

()=N0(<<)

，則稱X(t)為白噪聲過程。相關(guān)函數(shù)：[定義′]

稱均值為零、相關(guān)函數(shù)RX

()=N0()的實平穩(wěn)過程為白噪聲過程。目錄白噪聲過程[定義]設(shè){X(t),<t<177.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是聯(lián)合平穩(wěn)（平穩(wěn)相關(guān)）的，若它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()滿足，則稱

是X(t)和Y(t)的互功率譜密度，簡稱互譜密度。7.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和18互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，則(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函數(shù)，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函數(shù)；互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和Y19聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若

X(t)和Y(t)相互正交，則設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是平穩(wěn)相關(guān)的，W(t)=X(t)+Y(t)，則聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若X(t)和Y(t)相互正交，20[例3]

如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)的平穩(wěn)性，并求Y(t)的譜密度。[解]Y(t)是平穩(wěn)過程。X(t)Y(t)延遲T目錄[例3]如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)21

線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：時不變系統(tǒng)：7.5平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：時不變系統(tǒng)：7.5平穩(wěn)過程22

下列微分算子和積分算子是線性時不變的（1）（2）下列微分算子和積分算子是線性時不變的（1）（2）23頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，輸出

y(t)等于輸入

x(t)與單位脈沖響應(yīng)

h(t)的卷積，傅式變換——輸出頻譜Y

()與輸入頻譜

X()的關(guān)系：頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，輸出y(t)等于24定理1設(shè)L為線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個諧波信號x(t)=eit時，則輸出為其中定理1設(shè)L為線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個諧波信號x(t)=e25隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(t)，當(dāng)輸入一個隨機過程X(t)時，其輸出隨機過程Y(t)為傅式變換：隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(26線性系統(tǒng)輸出的均值設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的均值為mX(t)，則其輸出過程Y(t)的均值為當(dāng)輸入過程X(t)為均值平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)輸出的均值設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的均27線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為RX(t1,t2)，則其輸出過程Y(t)的相關(guān)函數(shù)為當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)28輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)同理，當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)平穩(wěn)時，輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)同理，當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)29輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù)30輸出過程的平穩(wěn)特性當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程X(t)時，其輸出過程Y(t)的均值mY(t)為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)RY(t1,t2)=RY()只與時間差有關(guān)，故輸出過程Y(t)也是平穩(wěn)的。由于互相關(guān)函數(shù)RYX()和RXY()也都只與時間差有關(guān)，故輸出過程Y(t)與輸入過程X(t)之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。輸出過程的平穩(wěn)特性當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程X(t)時，31例4

(例7.14)（h(t)的估計）設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程

X(t)，其相關(guān)函數(shù)為RX()=N0

()，則假定過程X

(t)和Y

(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，例4(例7.14)（h(t)的估計）設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白32線性系統(tǒng)的譜密度設(shè)線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H()，當(dāng)輸入平穩(wěn)過程X(t)具有譜密度sX()時，則輸出平穩(wěn)過程Y(t)的譜密度為線性系統(tǒng)的譜密度設(shè)線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H()，當(dāng)輸入平33[例5](例7.15)如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓X(t)，其相關(guān)函數(shù)為RX()=N0

()，求輸出電壓Y(t)的相關(guān)函數(shù)和平均功率。[解]X(t)Y(t)RC[例5](例7.15)如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓X34[例6](例7.17)如圖有兩個LTI系統(tǒng)H1()和H2()，若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程X(t)，它們的輸出分別為Y1(t)和Y2(t)。如何設(shè)計H1()和H2()才能使Y1(t)和Y2(t)互不相關(guān)？[解]X(t)Y1(t)H1()H2()Y2(t)互不相關(guān)協(xié)方差為零當(dāng)兩個LTI系統(tǒng)的幅頻特性互不重疊時，則它們的輸出Y1(t)和Y2(t)互不相關(guān)。目錄[例6](例7.17)如圖有兩個LTI系統(tǒng)H1()和H235第7章平穩(wěn)過程的譜分析第7章平穩(wěn)過程的譜分析36內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的譜密度譜密度的性質(zhì)窄帶過程和白噪聲過程聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的譜密度377.1平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(t)的譜分析能譜密度功率密度截尾函數(shù)：平均功率7.1平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(38平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密度平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密39功率譜密度[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)的隨機過程，稱

為X(t)的平均功率。稱

為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。當(dāng)X(t)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程時，功率譜密度[定義]設(shè){X(t),<t<40[解][例1](例7.1)設(shè)有隨機過程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

為常數(shù)，在下列情況下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量；

(2)是在(0,/2)上服從均勻分布的隨機變量。(1)隨機過程X(t)是平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平穩(wěn)過程[解][例1](例7.1)設(shè)有隨機過程X(t)=a41對平穩(wěn)隨機序列，均值為0，如果當(dāng)在上取值時，若絕對一致收斂，則是上的連續(xù)函數(shù)，稱為平穩(wěn)序列的譜密度。這時目錄對平穩(wěn)隨機序列，427.2功率譜密度的性質(zhì)設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，RX

()為它的相關(guān)函數(shù)，其功率譜密度sX

()具有如下性質(zhì)：(1)（維納-辛欽定理）若，則sX

()是RX

()的傅里葉變換；當(dāng)X(t)為實平穩(wěn)過程時，7.2功率譜密度的性質(zhì)設(shè){X(t),<t43譜密度的性質(zhì)sX

()是的實值非負(fù)函數(shù)；實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；(4)當(dāng)sX

()是的有理函數(shù)時，其形式必為其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)為常數(shù)，且a2n>0,m>n，分母無實根。譜密度的性質(zhì)sX()是的實值非負(fù)函數(shù)；(4)44sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度

sX

()是偶函數(shù)，因而可將負(fù)的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。GX()sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度sX45例2(例7.2)[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，其中a>0,0

為常數(shù)，求譜密度sX().例2(例7.2)[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為46例3(例7.3)已知平穩(wěn)過程的譜密度為，求相關(guān)函數(shù)RX()及平均功率2.例3(例7.3)已知平穩(wěn)過程的譜密度為47例4(例7.5)設(shè)平穩(wěn)隨機序列的譜密度為求相關(guān)函數(shù)RX(n).目錄例4(例7.5)設(shè)平穩(wěn)隨機序列的譜密度為48常見的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及相應(yīng)的譜密度參見表7.1（P120）常見的平穩(wěn)過程的497.3窄帶過程及白噪聲過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。譜密度：sX()s012-2-10RX()07.3窄帶過程及白噪聲過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度50函數(shù)具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為函數(shù)：[注]

1與()是一對傅式變換。函數(shù)有一個重要的運算性質(zhì)，即對任何連續(xù)函數(shù)f(x):或因此函數(shù)具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為函數(shù)：[注]1與()51白噪聲過程[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即sX

()=N0(<<)

，則稱X(t)為白噪聲過程。相關(guān)函數(shù)：[定義′]

稱均值為零、相關(guān)函數(shù)RX

()=N0()的實平穩(wěn)過程為白噪聲過程。目錄白噪聲過程[定義]設(shè){X(t),<t<527.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是聯(lián)合平穩(wěn)（平穩(wěn)相關(guān)）的，若它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()滿足，則稱

是X(t)和Y(t)的互功率譜密度，簡稱互譜密度。7.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和53互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，則(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函數(shù)，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函數(shù)；互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和Y54聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若

X(t)和Y(t)相互正交，則設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是平穩(wěn)相關(guān)的，W(t)=X(t)+Y(t)，則聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若X(t)和Y(t)相互正交，55[例3]

如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)的平穩(wěn)性，并求Y(t)的譜密度。[解]Y(t)是平穩(wěn)過程。X(t)Y(t)延遲T目錄[例3]如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)56

線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：時不變系統(tǒng)：7.5平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的分析線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：時不變系統(tǒng)：7.5平穩(wěn)過程57

下列微分算子和積分算子是線性時不變的（1）（2）下列微分算子和積分算子是線性時不變的（1）（2）58頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，輸出

y(t)等于輸入

x(t)與單位脈沖響應(yīng)

h(t)的卷積，傅式變換——輸出頻譜Y

()與輸入頻譜

X()的關(guān)系：頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，輸出y(t)等于59定理1設(shè)L為線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個諧波信號x(t)=eit時，則輸出為其中定理1設(shè)L為線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個諧波信號x(t)=e60隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(t)，當(dāng)輸入一個隨機過程X(t)時，其輸出隨機過程Y(t)為傅式變換：隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(61線性系統(tǒng)輸出的均值設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的均值為mX(t)，則其輸出過程Y(t)的均值為當(dāng)輸入過程X(t)為均值平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)輸出的均值設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的均62線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為RX(t1,t2)，則其輸出過程Y(t)的相關(guān)函數(shù)為當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)63輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)同理，當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)平穩(wěn)時，輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)同理，當(dāng)輸入過程X(t)為自相關(guān)64輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù)65輸出過程的平穩(wěn)特性當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程X(t)時，其輸出過程Y