學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3變量的相關(guān)性學(xué)習(xí)目標1。了解變量間的相關(guān)關(guān)系,會畫散點圖.2。根據(jù)散點圖，能判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系。3.了解線性回歸思想，會求回歸直線的方程．知識點一變量間的相關(guān)關(guān)系思考1糧食產(chǎn)量與施肥量間的相關(guān)關(guān)系是正相關(guān)還是負相關(guān)？答案在施肥不過量的情況下，施肥越多，糧食產(chǎn)量越高，所以是正相關(guān)．思考2怎樣判斷一組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系?答案畫出散點圖,若點大致分布在一條直線附近，就說明這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，否則不具有線性相關(guān)關(guān)系．梳理1．相關(guān)關(guān)系的定義變量間確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機性的，那么這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系，兩個變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．2．散點圖將樣本中n個數(shù)據(jù)點（xi,yi)(i＝1,2，…，n）描在平面直角坐標系中得到的圖形叫做散點圖．3．正相關(guān)與負相關(guān)(1)正相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大,這種相關(guān)稱為正相關(guān)．(2)負相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負相關(guān)．知識點二兩個變量的線性相關(guān)思考任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？答案用最小二乘法求回歸直線方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點圖來判斷)，否則求出的回歸直線方程是無意義的．梳理回歸直線方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．（2)回歸直線方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．（3)最小二乘法:求回歸直線方程eq\o（y，\s\up6（^)）＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6(^）)時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的離差平方和最小的方法叫做最小二乘法．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\o（b，\s\up6（^））＝\f(\i\su(i＝1，n，）xi－\x\to（x）yi－\x\to（y),\i\su（i＝1，n，)xi－\x\to(x）2）＝\f(\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y),\i\su（i＝1,n,x）\o\al(2，i）－n\x\to(x）2），，\o(a,\s\up6（^）)＝\x\to(y）－\o(b,\s\up6（^）)\x\to(x），）)其中，eq\o(b，\s\up6(^)）是回歸直線方程的斜率，eq\o（a,\s\up6（^))是回歸直線方程在y軸上的截距．1．人的身高與年齡之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．（×）2．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．(√)3．回歸直線過樣本點中心（eq\x\to（x)，eq\x\to(y）)．(√)類型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1下列兩個變量之間是相關(guān)關(guān)系的是()A．圓的面積與半徑之間的關(guān)系B．球的體積與半徑之間的關(guān)系C．角度與它的正弦值之間的關(guān)系D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系答案D解析由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關(guān)系S＝πr2，B表示球的體積與半徑之間的關(guān)系V＝eq\f(4πr3，3），C表示角度與它的正弦值之間的關(guān)系y＝sinα，都是確定的函數(shù)關(guān)系，只有D是相關(guān)關(guān)系,故選D。反思與感悟函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1下列兩個變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（)A．正方體的棱長與體積B．角的度數(shù)與它的正切值C．單產(chǎn)為常數(shù)時，土地面積與糧食總產(chǎn)量D．日照時間與水稻的單位產(chǎn)量答案D解析函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系都是指兩個變量之間的關(guān)系，但是這兩種關(guān)系是不同的,函數(shù)關(guān)系是指當(dāng)自變量一定時，函數(shù)值是確定的,是一種確定性的關(guān)系．因為A項V＝a3,B項y＝tanα，C項y＝ax（a＞0，且a為常數(shù)），所以這三項均是函數(shù)關(guān)系．D項是相關(guān)關(guān)系．類型二散點圖的應(yīng)用例25名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績（單位：分)如下：學(xué)生成績ABCDE數(shù)學(xué)成績8075706560物理成績7066686462判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，得相應(yīng)的散點圖如圖所示．由散點圖可知，各點分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系．反思與感悟（1）判斷兩個變量x和y間具有哪種相關(guān)關(guān)系，最簡便的方法是繪制散點圖．變量之間可能是線性的，也可能是非線性的（如二次函數(shù)），還可能不相關(guān)．(2）畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形偏大或偏小，或者是點的坐標在坐標系中畫不準,使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2下列圖形中兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是（）答案C解析A是一種函數(shù)關(guān)系;B也是一種函數(shù)關(guān)系；C中從散點圖中可看出所有點看上去都在某條直線附近波動，具有相關(guān)關(guān)系，而且是一種線性相關(guān)；D中所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，因此變量間是不相關(guān)的．類型三回歸直線的求解與應(yīng)用例3一臺機器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點的零件的多少隨機器運轉(zhuǎn)速度的變化而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒）1614128每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件)11985(1)畫出散點圖；（2）如果y對x有線性相關(guān)關(guān)系，請畫出一條直線近似地表示這種線性關(guān)系；（3）在實際生產(chǎn)中，若它們的近似方程為y＝eq\f(51，70）x－eq\f(6,7）,允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10件,那么機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1）散點圖如圖所示:(2）近似直線如圖所示：（3)由y≤10得eq\f(51,70)x－eq\f(6，7)≤10，解得x≤14。9，所以機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在14轉(zhuǎn)/秒內(nèi)．引申探究1．本例中近似方程不變，若每增加一個單位的轉(zhuǎn)速，生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)近似增加多少？解因為y＝eq\f（51，70)x－eq\f(6,7)，所以當(dāng)x增加一個單位時，y大約增加eq\f(51，70)。2．本例中近似方程不變,每小時生產(chǎn)有缺點的零件件數(shù)是7，估計機器的轉(zhuǎn)速．解因為y＝eq\f（51，70)x－eq\f(6,7)，所以當(dāng)y＝7時,7＝eq\f(51，70)x－eq\f(6,7），解得x≈11.反思與感悟求回歸直線方程的一般步驟(1）收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為（xi，yi)（i＝1,2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出）．(2）作出散點圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3）把數(shù)據(jù)制成表格xi，yi,xeq\o\al（2，i)，xiyi。(4）計算eq\x\to（x），eq\x\to(y）,eq\i\su（i＝1,n，x)eq\o\al(2，i)，eq\i\su（i＝1，n，x)iyi。（5）代入公式計算eq\o(b,\s\up6（^））,eq\o(a,\s\up6（^））,公式為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\o（b，\s\up6（^）)＝\f(\i\su(i＝1,n，x)iyi－n\x\to（x）\x\to(y）,\i\su(i＝1,n,x）\o\al(2，i）－n\x\to(x)2),，\o（a，\s\up6(^）)＝\x\to(y）－\o(b,\s\up6(^）)\x\to(x）。））(6）寫出回歸直線方程eq\o（y，\s\up6(^））＝eq\o（b，\s\up6(^)）x＋eq\o(a,\s\up6（^）).跟蹤訓(xùn)練3某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元）與銷售額y(單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070（1)畫出散點圖；（2）求回歸直線方程．解(1）散點圖如圖所示．（2）列出下表，并用科學(xué)計算器進行有關(guān)計算。i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al（2,i）416253664eq\x\to（x）＝5，eq\x\to（y）＝50，eq\i\su(i＝1,5,x）eq\o\al（2，i）＝145，eq\i\su（i＝1，5，x）iyi＝1380于是可得，eq\o(b，\s\up6（^））＝eq\f(\i\su（i＝1，5，x）iyi－5\x\to(x)\x\to(y）,\i\su(i＝1，5,x）\o\al（2,i）－5\x\to（x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52）＝6。5，eq\o(a,\s\up6(^））＝eq\x\to（y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to（x)＝50－6。5×5＝17。5。于是所求的回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^)）＝6。5x＋17。5.1．設(shè)有一個回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝2－1。5x，則變量x增加1個單位時,y平均(）A．增加1.5個單位 B．增加2個單位C．減少1。5個單位 D．減少2個單位答案C2．工人工資y(元）與勞動生產(chǎn)率x（千元)的相關(guān)關(guān)系的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝50＋80x，下列判斷正確的是()A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工人工資為130元B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元答案B解析因為回歸直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元．3．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝0.85x－85。71,則下列結(jié)論中不正確的是(）A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點中心（eq\x\to（x），eq\x\to（y)）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg答案D解析當(dāng)x＝170時,eq\o（y，\s\up6(^)）＝0。85×170－85.71＝58。79,體重的估計值為58.79kg.4．已知回歸直線的斜率的估計值是1。23,且過定點(4,5），則回歸直線方程是________．答案eq\o（y，\s\up6(^））＝1.23x＋0。08解析回歸直線的斜率的估計值為1.23，即eq\o(b,\s\up6（^）)＝1。23，又回歸直線過定點（4,5)，∴eq\o(a，\s\up6(^）)＝5－1.23×4＝0.08,∴eq\o（y，\s\up6（^))＝1。23x＋0。08。5．某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合eq\o(y，\s\up6(^)）＝0。8x＋0。1（單位：億元），預(yù)計今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計是________億元．答案12.1解析將x＝15代入eq\o（y，\s\up6（^)）＝0。8x＋0.1，得eq\o（y,\s\up6(^）)＝12。1.1．判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據(jù)散點圖，可以很容易看出兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負相關(guān)．2．求回歸直線方程時應(yīng)注意的問題(1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系,無需進行相關(guān)性檢驗,否則應(yīng)首先進行相關(guān)性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)測的量也是不可信的．（2)用公式計算eq\o（a，\s\up6(^）)，eq\o(b，\s\up6（^）)的值時，要先計算eq\o(b，\s\up6（^）)，然后才能算出eq\o(a，\s\up6(^）)。3．利用回歸直線方程，我們可以進行估計和預(yù)測．例如，若回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6(^)）＝eq\o（b,\s\up6(^））x＋eq\o(a，\s\up6（^)),則x＝x0處的估計值為eq\o（y，\s\up6（^))0＝eq\o（b,\s\up6（^))x0＋eq\o(a，\s\up6(^)).一、選擇題1．某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件)負相關(guān)，則其回歸直線方程可能是()A.eq\o（y，\s\up6（^)）＝－10x＋200 B。eq\o（y,\s\up6（^)）＝10x＋200C.eq\o(y，\s\up6（^）)＝－10x－200 D。eq\o（y,\s\up6(^））＝10x－200答案A解析x的系數(shù)為負數(shù),表示負相關(guān)，排除B,D，由實際意義可知x＞0，y＞0，C中，散點圖在第四象限無意義，故選A.2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)（i＝1,2，3，…,10），得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，3，…,10)，得散點圖2，由這兩個散點圖可以斷定（）A．x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C．x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D．x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)答案C解析由圖1可知，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點整體呈遞減趨勢，故x與y負相關(guān)；由圖2可知，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點整體呈遞增趨勢,故u與v正相關(guān)．3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123ym35.57已求得關(guān)于y與x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝2。2x＋0。7，則m的值為（)A．1B．0。85C．0.7D．0.5答案D解析eq\x\to（x）＝eq\f(0＋1＋2＋3，4)＝1.5，eq\x\to（y）＝eq\f(m＋3＋5.5＋7,4)，將其代入eq\o（y,\s\up6(^））＝2。2x＋0.7,可得m＝0.5，故選D.4．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4。02.5－0.50。5－2.0－3。0得到的回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o（a,\s\up6（^））,則（）A。eq\o（a,\s\up6(^)）＞0，eq\o（b,\s\up6（^))＞0 B.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o（b，\s\up6(^))＜0C.eq\o(a，\s\up6(^））＜0，eq\o（b,\s\up6(^）)＞0 D.eq\o(a，\s\up6(^)）＜0,eq\o(b,\s\up6（^））＜0答案B解析畫出散點圖,知eq\o（a,\s\up6（^)）＞0,eq\o(b,\s\up6（^）)＜0.5．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to（x）＝3，eq\x\to（y）＝3。5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的回歸直線方程可能是（）A.eq\o(y,\s\up6(^）)＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up6（^)）＝2x－2.4C。eq\o(y,\s\up6（^))＝－2x＋9.5 D。eq\o（y,\s\up6（^))＝－0。3x＋4.4答案A解析由變量x與y正相關(guān)知C，D均錯，又回歸直線經(jīng)過樣本點的中心(3，3.5)，代入驗證得A正確，B錯誤．故選A.6．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357若y與x線性相關(guān)，則y與x的回歸直線eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^））x＋eq\o(a，\s\up6(^）)必過()A．點（2，2）B．點(1.5,0)C．點（1，2)D．點（1。5,4）答案D解析∵eq\x\to（x)＝eq\f（0＋1＋2＋3,4）＝1。5，eq\x\to(y)＝eq\f（1＋3＋5＋7,4）＝4，∴回歸直線必過點(1。5，4）．故選D.7．已知x，y的取值如表所示：x234y645如果y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6（^))＝eq\o（b,\s\up6(^））x＋eq\f(13,2），則eq\o（b，\s\up6(^）)等于（）A．－eq\f(1，2）B.eq\f（1,2)C．－eq\f(1，10)D.eq\f（1,10）答案A解析∵eq\x\to(x）＝eq\f(2＋3＋4,3)＝3,eq\x\to（y)＝eq\f（6＋4＋5,3）＝5，∴回歸直線過點(3,5)，∴5＝3eq\o(b,\s\up6(^）)＋eq\f(13，2)，∴eq\o（b，\s\up6(^))＝－eq\f（1，2），故選A。8．某產(chǎn)品的廣告費用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x4235銷售額y49263954A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67。7萬元 D．72。0萬元答案B二、填空題9．為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖規(guī)律,得到了下表中的數(shù)據(jù)，計算得回歸直線方程為eq\o（y,\s\up6(^）)＝0.85x－0.25.由以上信息,可得表中c的值為________.天數(shù)x34567繁殖數(shù)量y（千個)2.5344。5c答案6解析eq\x\to(x）＝eq\f（3＋4＋5＋6＋7,5）＝5，eq\x\to（y)＝eq\f(2。5＋3＋4＋4.5＋c，5）＝eq\f(14＋c,5)，代入回歸直線方程中得eq\f（14＋c，5）＝0。85×5－0。25，解得c＝6。

10．如圖所示的五組數(shù)據(jù)（x,y）中，去掉________后，剩下的四組數(shù)據(jù)相關(guān)性增強．答案（4,10）解析去掉點（4,10）后，其余四點大致在一條直線附近，相關(guān)性增強．11．在一次試驗中測得（x,y)的四組數(shù)據(jù)如下：x16171819y50344131根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y，\s\up6（^))＝－5x＋eq\o（a,\s\up6(^)）,據(jù)此模型預(yù)報當(dāng)x＝20時,y的值為________．答案26.5解析eq\x\to(x）＝eq\f(16＋17＋18＋19,4)＝17.5，eq\x\to(y）＝eq\f（50＋34＋41＋31，4）＝39,∴回歸直線過點（17.5，39),∴39＝－5×17.5＋eq\o(a,\s\up6(^)），∴eq\o（a，\s\up6(^)）＝126。5，∴當(dāng)x＝20時,y＝－5×20＋126.5＝26.5。12．某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x（千件）2356成本y（萬元）78912由表中數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程eq\o（y，\s\up6(^）)＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o（a,\s\up6（^））中eq\o（b,\s\up6（^）)＝1.1，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量為9千件時，成本約為________萬元．答案14.5解析由表中數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝4,eq\x\to（y)＝9，代入回歸直線方程得eq\o(a，\s\up6（^）)＝4。6，∴當(dāng)x＝9時,eq\o(y,\s\up6（^)）＝1。1×9＋4.6＝14。5.三、解答題13．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：第x年12345需求量y（萬噸)36578（1）利用所給數(shù)據(jù)求兩變量之間的回歸直線方程eq\o(y，\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^））x＋eq\o（a,\s\up6（^)）；（2)利用(1）中所求出的回歸直線方程預(yù)測該地第6年的糧食需求量．解（1)由所給數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝3，eq\x\to（y）＝5.8，eq\o（b,\s\up6(^))＝eq\f（\i\su(i＝1,5,）xi－\x\to（x）yi－\x\to（y),\i\su（i＝1,5，)xi－\x\to（x)2)＝1.1，eq\o（a，\s\up6(^）)＝eq\x\t