第六章模擬濾波器內(nèi)容提要

信號無失真?zhèn)鬏敆l件濾波器的理想與實際特性濾波器設(shè)計方法巴特沃思濾波器設(shè)計切比雪夫濾波器設(shè)計返回目錄第六章模擬濾波器內(nèi)容提要返回目錄1§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信號處理中，濾波器技術(shù)是用以從接收到的各種信號中提取所需要的信號，抑制或消除不必要的干擾信號。濾波器分模擬濾波器數(shù)字濾波器處理的信號均為模擬信號處理的信號均為數(shù)字信號下面以工業(yè)控制中常用的簡單RC無源低通濾波器說明其原理本章主要討論線性時不變模擬系統(tǒng)§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信2濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決定的濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決3濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函數(shù)H(s),得令s=j代入上式得：其幅頻和相頻特性為濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函4濾波器原理

x(t)y(t)

y(t)=x(t)y(t)

Y(s)=[y(t)]=X(s)H(s)Y()=F

[y(t)]=X()H()h(t)經(jīng)典的模擬濾波器種類很多，一般按其功能分為：低通濾波器（LP），高通濾波器（HP），帶通濾波器（BP），帶阻濾波器（BS），全通濾波器（LP）。分別示于后。作為一個線性時不變連續(xù)系統(tǒng)，模擬濾波器的傳輸特性分別在時域和頻域表示為單位沖激響應(yīng)h(t)和傳遞函數(shù)H(s)或頻率響應(yīng)H()。濾波器原理x(t)5濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻響應(yīng)分類濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻62.信號不失真?zhèn)鬏敆l件信號不失真條件：y(t)=Kx(t-t0)K為常數(shù)，表示輸入與輸出的波形無畸變。輸出波形只是在時間上有一定的滯后。2.信號不失真?zhèn)鬏敆l件信號不失真條件：y(t)=Kx(7信號不失真?zhèn)鬏敆l件對y(t)=Kx(t-t0

)

兩邊進(jìn)行FT有：上式為線性系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏敆l件，即；幅頻特性|H()|為一常數(shù)K，相頻特性()與成正比。如左圖示。信號不失真?zhèn)鬏敆l件對y(t)=Kx(t-t08信號不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號不失真?zhèn)鬏敆l件，線性系統(tǒng)中信號的傳輸會產(chǎn)生幅度失真和相位失真。幅度失真：相位失真：指系統(tǒng)對信號中各頻率分量產(chǎn)生不同程度的衰減，造成各頻率分量幅度的相對比例產(chǎn)生變化。指系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。如圖表示一含有基波和二次諧波的輸入信號x(t),通過不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)后，輸出信號y(t)中基波和二次諧波分量的幅度關(guān)系保持不變，延遲時間也相同，均為t0，無失真。信號不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號不失真?zhèn)鬏敆l件9信號不失真?zhèn)鬏敆l件對上圖具體分析如下：設(shè)x(t)

表達(dá)式為當(dāng)其通過一線性系統(tǒng)后，各諧波分量幅度均放大Ｋ倍，同時各頻率分量產(chǎn)生相同的相移，輸出信號y(t)為為使基波和二次諧波產(chǎn)生相同的延遲時間t0，應(yīng)有說明諧波的相移應(yīng)滿足以下關(guān)系信號不失真?zhèn)鬏敆l件對上圖具體分析如下：設(shè)x(t)表達(dá)式為10信號不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的情況，得出結(jié)論：為使信號傳輸時不產(chǎn)生相位失真，信號通過系統(tǒng)時各次諧波的相移必須與其頻率成正比。即而信號通過系統(tǒng)的延遲時間即為相頻特性的斜率，又稱群延遲。綜上所述，不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的理想條件為：系統(tǒng)應(yīng)具有無限帶寬的恒定幅頻特性和線性相頻特性。實際系統(tǒng)的頻率特性無法滿足上述理想條件。一般只能要求在信號占有的有效頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻和相頻特性基本上滿足要求即可。信號不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的113.濾波器的理想特性與實際特性理想濾波器應(yīng)具備完全抑制無用的干擾信號，不失真?zhèn)鬏斢行盘柕墓δ芴匦?。從理想濾波器頻域范圍考慮在一般情況下有用信號和無用信號分別占有不同頻帶。因此理想濾波器只須在有用信號的頻帶內(nèi)保持幅值為一常數(shù)，相位為線性。而在該頻帶以外幅值應(yīng)下降為零，相位則無關(guān)緊要。故稱理想濾波器中使信號容易通過的頻帶為通頻帶，抑制信號通過的頻帶為阻帶。理想濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因此是物理不可實現(xiàn)的，下面以一個例子加以說明。設(shè)一理想低通濾波器的頻率特性表示為其中：c—理想低通濾波器通帶截止頻率；

td—延遲時間。以下通過理想低通濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行分析，并設(shè)K=1；3.濾波器的理想特性與實際特性理想濾波器應(yīng)12濾波器的理想特性與實際特性h(t)

波形示于后面的圖中。從圖中可見在t=0瞬間輸入信號為一單位沖激激勵信號(t)

，在延遲了t0

后響應(yīng)h(t)

波形才達(dá)到最大值。且當(dāng)t<0時，h(t)

0，說明當(dāng)t<0時也存在響應(yīng)，不符合因果系統(tǒng)條件，因此該理想濾波器物理上無法實現(xiàn)。濾波器的理想特性與實際特性h(t)波形示13濾波器的理想特性與實際特性因果性在時域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在激勵之后。因果系統(tǒng)的幅頻特性|H()|滿足：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)且還應(yīng)滿足下面關(guān)系式：稱之為“佩利-維納”準(zhǔn)則不滿足因果性濾波器的理想特性與實際特性因果性在時域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在14濾波器的理想特性與實際特性可以看出，如果系統(tǒng)的幅頻特性|H()|在某一有限頻帶中為零，則|ln|H()||

,“佩利-維納”準(zhǔn)則式中的積分不再是有限值，而是趨于無窮大，系統(tǒng)不滿足因果性故在物理上不可實現(xiàn)。結(jié)論：理想濾波器都是物理上不可實現(xiàn)的。如果系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，其幅頻特性只能在某些頻率點上為零，而不能在一個有限頻帶內(nèi)為零。

虛線表示：

理想濾波器實線表示：實際濾波器濾波器的理想特性與實際特性可以看出，如果系統(tǒng)15§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計的一般方法1.

幅度平方函數(shù)及性質(zhì)

通過求

|H(jω)|2

尋找|H(s)|，從而求出

h(t)=-1[H(s)]。由于|H(jω)|

具有共軛對稱性，即

得

令稱|H(jω)|2

為幅度平方函數(shù)上式說明幅度平方函數(shù)是以ω為變量的有理函數(shù)§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計的一般方法1.幅度平方函數(shù)及性質(zhì)162.由幅度平方函數(shù)A(2)求傳遞函數(shù)H(s)

按幅度平方函數(shù)和傳遞函數(shù)的關(guān)系，得比較以上兩式，得由上式可知，將幅度平方函數(shù)A(2)中的2用-s2代入即可求出A(-s2)，并求出其零極點再恰當(dāng)?shù)姆峙浣oH(s)和H(-s)，便可求出H(s)。但是如果要求H(s)為具有最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，H(s)

的零點亦應(yīng)選擇左半平面，則H(s)的選擇就是唯一的。為使濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定，須將左半平面的極點分配給H(s)

，右半平面極點分配給H(-s)。零點選擇無此限制。2.由幅度平方函數(shù)A(2)求傳遞函數(shù)H(s)按幅度平方17§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：或式中：n為正整數(shù)，c為截止角頻率。可見c對應(yīng)的|H(c)|，其衰減為(c)=-20lg|H(c)|=3dB,稱c是濾波器電壓-3dB點或半功率點。由巴特沃思濾波器特性曲線得出不同階次的濾波器幅頻特性有以下特點：§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴18巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系在=0處|H(j)|的前(2n-1)階導(dǎo)數(shù)都為零，表明巴特沃思濾波器在=0附近的一段范圍內(nèi)是非常平直的。在=c處|H(jc)|=0.707，即幅頻特性曲線在c點下降3dB。隨著n的增加通帶下降愈陡峭接近理想，但總是通過-3dB點。當(dāng)>c時，幅頻特性以20ndB/dec速率下降。|H(j)|在通帶和阻帶上的單調(diào)性，說明該濾波器有較好的相頻特性。巴特沃思濾波器幅度平方函數(shù)|H(j)|2無零點分布，極點為2n個且成等角度分布在以|s|=c為半徑的圓周上，稱為巴特沃思圓。具體分析如后：（1）最大平坦性（2）3dB不變性（3）通帶、阻帶下降單調(diào)性巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點19巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系令j=s有為求出|H(s)|2的2n個極點，可由下面的推導(dǎo)得出；當(dāng)n為偶數(shù)，有當(dāng)n為奇數(shù)，有巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系令j=s有為求出|20巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系Sk即為|H(s)|2的極點，極點分布有以下特點：

|H(s)|2

的２n個極點以／n為間隔均勻分布在半徑|s|=c的圓周上，稱為巴特沃思圓。所有極點以虛軸為對稱軸分布，且虛軸上無極點。當(dāng)n

為奇數(shù)時，有兩個極點分布在s=c的實軸上；當(dāng)n為偶數(shù)時，實軸上無極點，所有極點均以虛軸呈對稱分布。此圖給出了n=3,n=4|H(s)|2極點分布巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系Sk即為|H(s)|21巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取|H(s)|2的左半平面極點；即將分子、分母分別除cn

，并令s=s/c

，s

稱為歸一化復(fù)頻率；得巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取22巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系將以上兩式的分母多項式制成相應(yīng)的表格6.3-1，稱該分母多項式為巴特沃思多項式（此處s仍寫為s)。巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系將以上兩23表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項式形式n

巴特沃思多項式Bn(s)1s+12s2+2s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.445s+1)(s2+1.247s+1)(s2+1.802s+1)8(s2+0.3902s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.1663s+1)(s2+1.9616s+1)設(shè)計者只需根據(jù)設(shè)計要求，選擇合適的濾波器，查索圖表即可得到符合要求的傳遞函數(shù)。表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項式形式n24§6-4切比雪夫濾波器巴特沃思濾波器的幅頻特性隨的增加而單調(diào)衰減，若n較小，阻帶幅頻特性下降較慢。與理想濾波器的特性相差較大。如果要求阻帶特性迅速衰減，就需增加濾波器的階數(shù)，則濾波器實現(xiàn)的硬件結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜。而切比雪夫濾波器因其在通帶內(nèi)的等波紋幅度特性及在阻帶內(nèi)具有更大的衰減特性，也得到廣泛的應(yīng)用。

故又稱之為通帶等波紋濾波器6.4-1切比雪夫多項式切比雪夫多項式Tn()定義：其中：n為切比雪夫多項式階次若記x=arccos

，則可得||1時Tn()的各階多項式為：§6-4切比雪夫濾波器巴特沃思濾波器的幅25切比雪夫濾波器此式稱為三項遞推公式，利用它可求得||1時的任意階次的切比雪夫多項式切比雪夫濾波器此式稱為三項遞推公式，利用它可求26切比雪夫多項式nTn()1222-1343–3484-82+15165-203–56326-484+182–17647-1125+563-781288-2566+1604-322+192569-5767+4325-1203+91051210-12808+11206-4004+50-1表6.4-1||1時切比雪夫多項式這里給出了110階的切比雪夫多項式切比雪夫多項式nTn()1222-1343–3427切比雪夫多項式曲線圖中分別畫出了||1及n=1,2,3,4時的切比雪夫多項式T1()T4()的曲線從切比雪夫多項式Tn()和上圖可以發(fā)現(xiàn)Tn()有如下特點：切比雪夫多項式曲線圖中分別畫出了|28切比雪夫多項式特點（1）||1時，Tn()在1之間波動；（2）=1時，Tn(1)=1；（3）=0時，若n為奇數(shù)，Tn(0)=0；若n為偶數(shù)，Tn(0)=1；（4）n為奇數(shù)，Tn()為奇函數(shù)；n為奇數(shù)，Tn()為偶函數(shù)；（5）||>1時，Tn()隨增加而單調(diào)增大，n越大Tn()增加的越迅速。Tn()特點切比雪夫多項式特點（1）||1時，Tn()在296.4-2切比雪夫濾波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/c)

為切比雪夫多項式；n為濾波器階數(shù)；c

為通帶截止角頻率，是被通帶所限制的最高角頻率，且c3dB

；0<<1

表示通帶內(nèi)幅度波動程度；

越小，幅度波動越小。切比雪夫幅度平方函數(shù)n=3n=4n=5右圖是按上面定義中的公式畫出的切比雪夫濾波器幅頻特性6.4-2切比雪夫濾波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/30切比雪夫濾波器的幅頻特性下圖為

n=5時通帶內(nèi)幅頻特性曲線與Tn(/c)

的關(guān)系：此為歸一化形式的|H(j/c)|與T5(/c)之間關(guān)系曲線。切比雪夫濾波器的幅頻特性下圖為n=5時通帶內(nèi)幅頻特性31切比雪夫濾波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j)|有如下特性：在0c1之間在1~(1+2)-?

范圍內(nèi)等幅波動，越小，波動幅度越??；在=0時，n為奇數(shù)，|H(0)|=(1+2)-?

；無論n為何值，當(dāng)=c時，|H(0)|=(1+2)-?

；當(dāng)>c時，曲線以20ndB/Dec呈單邊下降趨勢，n越大，曲線衰減越快；由于通帶內(nèi)的起伏性，因而使通帶內(nèi)相位特性也有相應(yīng)的起伏波動狀態(tài)，即相位是非線性的，它對信號傳輸時帶來線性畸變，所以在要求群延時為常數(shù)時不宜采用該濾波器。切比雪夫濾波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j)|有如326.4-3切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布利用切比雪夫幅度平方函數(shù)定義求其系統(tǒng)函數(shù)H(s)。將=-js代入中的定義式得；為求上式的極點分布需求解方程考慮到–js/是復(fù)變量，因此設(shè)6.4-3切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布利用切比雪夫幅33切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將–js/=cos代入Tn()中任一個，且令此式等于±j-1，求解、得；得：解得滿足上式的、為；切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將–js/=cos代34切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將、

代回求得極點值為；Sk

就是切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)H(s)H(-s)的極點，且實部和虛部分別為；切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將、代回求得極點值為35切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將k

除以a，k除以

b，再平方相加得上式是一個在S平面上的橢圓方程，其長軸和短軸分別位于實軸和虛軸上。H(s)·H(-s)

的極點分布在橢圓的圓周上。給定，n及

c

即可由k

、k求出全部極點Sk，取左半平面的極點，可得出H(s)的表達(dá)式為令其中：Sk=k+jk。A為待求常數(shù)，按定義可得切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將k除以a，k36切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布考慮到Tn(-js/c)是-js/c的多項式，最高階次系數(shù)為2n-1，因此常數(shù)A滿足則切比雪夫濾波器的傳遞函數(shù)H(s)表示為下面的圖畫出了n=3、n=4時切比雪夫濾波器的極點分布。極點所在的橢圓可以和半徑為a的圓與半徑為b的圓聯(lián)系起來，這兩個圓分別稱為巴特沃思小圓和巴特沃思大圓。切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布考慮到Tn(-js/c)37切比雪夫濾波器極點分布切比雪夫濾波器的截止角頻率c不同于巴特沃思濾波器所規(guī)定的-3dB處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。當(dāng)紋波參數(shù)滿足切比雪夫濾波器極點分布可以求得-3dB處角頻率為切比雪夫濾波器極點分布切比雪夫濾波器的截止角頻率c不同于巴38歸一化切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)和巴特沃思濾波器一樣，令s’=s/

c所表示的H(s’)是歸一化的切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)。將H(s’)的分母多項式Bn(s)在不同的n時制成如下所示的表格，可供設(shè)計時參考。由于紋波參數(shù)的不同，有大量的這種設(shè)計表格，此處只列出通帶起伏為1dB時H(s’)的分母多項式Bn(s)與n的關(guān)系。則歸一化切比雪夫I型低通原型濾波器傳遞函數(shù)為：Bn(s)(1dB波紋，=0.508874)na0a1a2a3a4a5a611.965221.10251.099730.49131.23840.988340.27560.74261.45390.952850.12280.58050.97441.68880.936860.06890.30710.93931.20211.93080.928370.03070.21370.54861.35751.42882.17610.9231歸一化切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)和巴特沃思濾波器一樣，令s’=39§6-4模擬濾波器的頻率變換在實際工程設(shè)計中，是利用低通原型濾波器設(shè)計高通、帶通、帶阻濾波器。主要采用頻率變換法設(shè)計流程如下：所謂頻率變換是指其他各類型濾波器的H(s)與“低通原型濾波器”的H(s)中的頻率自變量之間的變換關(guān)系。通過這種頻率變換關(guān)系，高通、帶通、帶阻等濾波器的綜合設(shè)計問題都可轉(zhuǎn)化為低通設(shè)計的問題。模擬濾波器設(shè)計流程圖轉(zhuǎn)換為低通原型指標(biāo)設(shè)計低通原型濾波器模擬頻率變換設(shè)計要求的濾波器網(wǎng)絡(luò)與元件變換實現(xiàn)要求的濾波器低通原型濾波器實現(xiàn)給定技術(shù)指標(biāo)§6-4模擬濾波器的頻率變換在實際工程設(shè)40模擬濾波器的頻率變換我們在此只討論一種低通到高通的變換過程，其余類型的變換可仿此進(jìn)行，這里不再討論。按上面的設(shè)計流程圖，為尋求相應(yīng)的低通原型，用高通濾波器截止角頻率c對H(j)進(jìn)行歸一化處理，得到歸一化的高通濾波器傳遞函數(shù)Hh(j)。設(shè)低通濾波器傳遞函數(shù)為H(s)，角頻率為，截止角頻率為c；高通傳遞函數(shù)為Hh(s’)，角頻率為，截止角頻率為c；考慮到如下的變換關(guān)系；當(dāng)s’=j時這說明s’平面的虛軸正好映射到s平面的虛軸上，其頻率變換關(guān)系為：模擬濾波器的頻率變換我們在此只討論一種低通到高通的變41模擬濾波器的頻率變換與的關(guān)系曲線如下圖所示；當(dāng)=0，±±

，=0=

c

，=-c

=-c

，=c

變換的結(jié)果是：低通濾波器原型從直流到截止頻率的通帶內(nèi)的幅頻特性經(jīng)變換后被平移到c的高通頻帶內(nèi)。一般情況下，如選擇c=

c，則低通濾波器的截止頻率正好為高通通帶的導(dǎo)通頻率。模擬濾波器的頻率變換與的關(guān)系曲線如下圖所示；當(dāng)42模擬濾波器的頻率變換將高通濾波器的特性指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通原型濾波器的特性指標(biāo)；根據(jù)求得的低通原型指標(biāo)設(shè)計低通原型濾波器的傳遞函數(shù)H(s)。代入s=cc/s’，即可求出所要求的高通濾波器傳遞函數(shù)Hh(s’)（去歸一化）。利用這種變換方法得到高通濾波器的步驟為：將已知的高通通帶始點頻率c，阻帶始點頻率z代入，求得低通原型濾波器的通帶截止頻率c和阻帶始點頻率z，而高通濾波器的通帶衰減1及阻帶衰減2對應(yīng)的就是低通原型濾波器的阻帶衰減和通帶衰減。模擬濾波器的頻率變換將高通濾波器的特性指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通原型濾波43第六章模擬濾波器內(nèi)容提要

信號無失真?zhèn)鬏敆l件濾波器的理想與實際特性濾波器設(shè)計方法巴特沃思濾波器設(shè)計切比雪夫濾波器設(shè)計返回目錄第六章模擬濾波器內(nèi)容提要返回目錄44§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信號處理中，濾波器技術(shù)是用以從接收到的各種信號中提取所需要的信號，抑制或消除不必要的干擾信號。濾波器分模擬濾波器數(shù)字濾波器處理的信號均為模擬信號處理的信號均為數(shù)字信號下面以工業(yè)控制中常用的簡單RC無源低通濾波器說明其原理本章主要討論線性時不變模擬系統(tǒng)§6-1濾波器原理概述1.濾波器概述在信45濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決定的濾波器原理如下圖示RC電路的低通濾波特性是由其頻率響應(yīng)特性決46濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函數(shù)H(s),得令s=j代入上式得：其幅頻和相頻特性為濾波器原理具體分析如下：上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并求傳遞函47濾波器原理

x(t)y(t)

y(t)=x(t)y(t)

Y(s)=[y(t)]=X(s)H(s)Y()=F

[y(t)]=X()H()h(t)經(jīng)典的模擬濾波器種類很多，一般按其功能分為：低通濾波器（LP），高通濾波器（HP），帶通濾波器（BP），帶阻濾波器（BS），全通濾波器（LP）。分別示于后。作為一個線性時不變連續(xù)系統(tǒng)，模擬濾波器的傳輸特性分別在時域和頻域表示為單位沖激響應(yīng)h(t)和傳遞函數(shù)H(s)或頻率響應(yīng)H()。濾波器原理x(t)48濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻響應(yīng)分類濾波器原理低通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)高通系統(tǒng)帶阻系統(tǒng)全通系統(tǒng)濾波器幅頻492.信號不失真?zhèn)鬏敆l件信號不失真條件：y(t)=Kx(t-t0)K為常數(shù)，表示輸入與輸出的波形無畸變。輸出波形只是在時間上有一定的滯后。2.信號不失真?zhèn)鬏敆l件信號不失真條件：y(t)=Kx(50信號不失真?zhèn)鬏敆l件對y(t)=Kx(t-t0

)

兩邊進(jìn)行FT有：上式為線性系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏敆l件，即；幅頻特性|H()|為一常數(shù)K，相頻特性()與成正比。如左圖示。信號不失真?zhèn)鬏敆l件對y(t)=Kx(t-t051信號不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號不失真?zhèn)鬏敆l件，線性系統(tǒng)中信號的傳輸會產(chǎn)生幅度失真和相位失真。幅度失真：相位失真：指系統(tǒng)對信號中各頻率分量產(chǎn)生不同程度的衰減，造成各頻率分量幅度的相對比例產(chǎn)生變化。指系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。如圖表示一含有基波和二次諧波的輸入信號x(t),通過不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)后，輸出信號y(t)中基波和二次諧波分量的幅度關(guān)系保持不變，延遲時間也相同，均為t0，無失真。信號不失真?zhèn)鬏敆l件若不滿足信號不失真?zhèn)鬏敆l件52信號不失真?zhèn)鬏敆l件對上圖具體分析如下：設(shè)x(t)

表達(dá)式為當(dāng)其通過一線性系統(tǒng)后，各諧波分量幅度均放大Ｋ倍，同時各頻率分量產(chǎn)生相同的相移，輸出信號y(t)為為使基波和二次諧波產(chǎn)生相同的延遲時間t0，應(yīng)有說明諧波的相移應(yīng)滿足以下關(guān)系信號不失真?zhèn)鬏敆l件對上圖具體分析如下：設(shè)x(t)表達(dá)式為53信號不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的情況，得出結(jié)論：為使信號傳輸時不產(chǎn)生相位失真，信號通過系統(tǒng)時各次諧波的相移必須與其頻率成正比。即而信號通過系統(tǒng)的延遲時間即為相頻特性的斜率，又稱群延遲。綜上所述，不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的理想條件為：系統(tǒng)應(yīng)具有無限帶寬的恒定幅頻特性和線性相頻特性。實際系統(tǒng)的頻率特性無法滿足上述理想條件。一般只能要求在信號占有的有效頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻和相頻特性基本上滿足要求即可。信號不失真?zhèn)鬏敆l件將以上關(guān)系推廣到高次諧波的543.濾波器的理想特性與實際特性理想濾波器應(yīng)具備完全抑制無用的干擾信號，不失真?zhèn)鬏斢行盘柕墓δ芴匦浴睦硐霝V波器頻域范圍考慮在一般情況下有用信號和無用信號分別占有不同頻帶。因此理想濾波器只須在有用信號的頻帶內(nèi)保持幅值為一常數(shù)，相位為線性。而在該頻帶以外幅值應(yīng)下降為零，相位則無關(guān)緊要。故稱理想濾波器中使信號容易通過的頻帶為通頻帶，抑制信號通過的頻帶為阻帶。理想濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因此是物理不可實現(xiàn)的，下面以一個例子加以說明。設(shè)一理想低通濾波器的頻率特性表示為其中：c—理想低通濾波器通帶截止頻率；

td—延遲時間。以下通過理想低通濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行分析，并設(shè)K=1；3.濾波器的理想特性與實際特性理想濾波器應(yīng)55濾波器的理想特性與實際特性h(t)

波形示于后面的圖中。從圖中可見在t=0瞬間輸入信號為一單位沖激激勵信號(t)

，在延遲了t0

后響應(yīng)h(t)

波形才達(dá)到最大值。且當(dāng)t<0時，h(t)

0，說明當(dāng)t<0時也存在響應(yīng)，不符合因果系統(tǒng)條件，因此該理想濾波器物理上無法實現(xiàn)。濾波器的理想特性與實際特性h(t)波形示56濾波器的理想特性與實際特性因果性在時域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在激勵之后。因果系統(tǒng)的幅頻特性|H()|滿足：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)且還應(yīng)滿足下面關(guān)系式：稱之為“佩利-維納”準(zhǔn)則不滿足因果性濾波器的理想特性與實際特性因果性在時域中表現(xiàn)為響應(yīng)必須出現(xiàn)在57濾波器的理想特性與實際特性可以看出，如果系統(tǒng)的幅頻特性|H()|在某一有限頻帶中為零，則|ln|H()||

,“佩利-維納”準(zhǔn)則式中的積分不再是有限值，而是趨于無窮大，系統(tǒng)不滿足因果性故在物理上不可實現(xiàn)。結(jié)論：理想濾波器都是物理上不可實現(xiàn)的。如果系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，其幅頻特性只能在某些頻率點上為零，而不能在一個有限頻帶內(nèi)為零。

虛線表示：

理想濾波器實線表示：實際濾波器濾波器的理想特性與實際特性可以看出，如果系統(tǒng)58§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計的一般方法1.

幅度平方函數(shù)及性質(zhì)

通過求

|H(jω)|2

尋找|H(s)|，從而求出

h(t)=-1[H(s)]。由于|H(jω)|

具有共軛對稱性，即

得

令稱|H(jω)|2

為幅度平方函數(shù)上式說明幅度平方函數(shù)是以ω為變量的有理函數(shù)§6-2傳遞函數(shù)設(shè)計的一般方法1.幅度平方函數(shù)及性質(zhì)592.由幅度平方函數(shù)A(2)求傳遞函數(shù)H(s)

按幅度平方函數(shù)和傳遞函數(shù)的關(guān)系，得比較以上兩式，得由上式可知，將幅度平方函數(shù)A(2)中的2用-s2代入即可求出A(-s2)，并求出其零極點再恰當(dāng)?shù)姆峙浣oH(s)和H(-s)，便可求出H(s)。但是如果要求H(s)為具有最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，H(s)

的零點亦應(yīng)選擇左半平面，則H(s)的選擇就是唯一的。為使濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定，須將左半平面的極點分配給H(s)

，右半平面極點分配給H(-s)。零點選擇無此限制。2.由幅度平方函數(shù)A(2)求傳遞函數(shù)H(s)按幅度平方60§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)定義為：或式中：n為正整數(shù)，c為截止角頻率。可見c對應(yīng)的|H(c)|，其衰減為(c)=-20lg|H(c)|=3dB,稱c是濾波器電壓-3dB點或半功率點。由巴特沃思濾波器特性曲線得出不同階次的濾波器幅頻特性有以下特點：§6-3巴特沃思濾波器1.巴特沃思濾波器的幅頻特性巴61巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系在=0處|H(j)|的前(2n-1)階導(dǎo)數(shù)都為零，表明巴特沃思濾波器在=0附近的一段范圍內(nèi)是非常平直的。在=c處|H(jc)|=0.707，即幅頻特性曲線在c點下降3dB。隨著n的增加通帶下降愈陡峭接近理想，但總是通過-3dB點。當(dāng)>c時，幅頻特性以20ndB/dec速率下降。|H(j)|在通帶和阻帶上的單調(diào)性，說明該濾波器有較好的相頻特性。巴特沃思濾波器幅度平方函數(shù)|H(j)|2無零點分布，極點為2n個且成等角度分布在以|s|=c為半徑的圓周上，稱為巴特沃思圓。具體分析如后：（1）最大平坦性（2）3dB不變性（3）通帶、阻帶下降單調(diào)性巴特沃思濾波器的幅頻特性2.巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點62巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系令j=s有為求出|H(s)|2的2n個極點，可由下面的推導(dǎo)得出；當(dāng)n為偶數(shù)，有當(dāng)n為奇數(shù)，有巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系令j=s有為求出|63巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系Sk即為|H(s)|2的極點，極點分布有以下特點：

|H(s)|2

的２n個極點以／n為間隔均勻分布在半徑|s|=c的圓周上，稱為巴特沃思圓。所有極點以虛軸為對稱軸分布，且虛軸上無極點。當(dāng)n

為奇數(shù)時，有兩個極點分布在s=c的實軸上；當(dāng)n為偶數(shù)時，實軸上無極點，所有極點均以虛軸呈對稱分布。此圖給出了n=3,n=4|H(s)|2極點分布巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系Sk即為|H(s)|64巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取|H(s)|2的左半平面極點；即將分子、分母分別除cn

，并令s=s/c

，s

稱為歸一化復(fù)頻率；得巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系為得到穩(wěn)定的H(s)，取65巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系將以上兩式的分母多項式制成相應(yīng)的表格6.3-1，稱該分母多項式為巴特沃思多項式（此處s仍寫為s)。巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)與極點分布關(guān)系將以上兩66表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項式形式n

巴特沃思多項式Bn(s)1s+12s2+2s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.445s+1)(s2+1.247s+1)(s2+1.802s+1)8(s2+0.3902s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.1663s+1)(s2+1.9616s+1)設(shè)計者只需根據(jù)設(shè)計要求，選擇合適的濾波器，查索圖表即可得到符合要求的傳遞函數(shù)。表6.3-1巴特沃思濾波器傳遞函數(shù)分母多項式形式n67§6-4切比雪夫濾波器巴特沃思濾波器的幅頻特性隨的增加而單調(diào)衰減，若n較小，阻帶幅頻特性下降較慢。與理想濾波器的特性相差較大。如果要求阻帶特性迅速衰減，就需增加濾波器的階數(shù)，則濾波器實現(xiàn)的硬件結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜。而切比雪夫濾波器因其在通帶內(nèi)的等波紋幅度特性及在阻帶內(nèi)具有更大的衰減特性，也得到廣泛的應(yīng)用。

故又稱之為通帶等波紋濾波器6.4-1切比雪夫多項式切比雪夫多項式Tn()定義：其中：n為切比雪夫多項式階次若記x=arccos

，則可得||1時Tn()的各階多項式為：§6-4切比雪夫濾波器巴特沃思濾波器的幅68切比雪夫濾波器此式稱為三項遞推公式，利用它可求得||1時的任意階次的切比雪夫多項式切比雪夫濾波器此式稱為三項遞推公式，利用它可求69切比雪夫多項式nTn()1222-1343–3484-82+15165-203–56326-484+182–17647-1125+563-781288-2566+1604-322+192569-5767+4325-1203+91051210-12808+11206-4004+50-1表6.4-1||1時切比雪夫多項式這里給出了110階的切比雪夫多項式切比雪夫多項式nTn()1222-1343–3470切比雪夫多項式曲線圖中分別畫出了||1及n=1,2,3,4時的切比雪夫多項式T1()T4()的曲線從切比雪夫多項式Tn()和上圖可以發(fā)現(xiàn)Tn()有如下特點：切比雪夫多項式曲線圖中分別畫出了|71切比雪夫多項式特點（1）||1時，Tn()在1之間波動；（2）=1時，Tn(1)=1；（3）=0時，若n為奇數(shù)，Tn(0)=0；若n為偶數(shù)，Tn(0)=1；（4）n為奇數(shù)，Tn()為奇函數(shù)；n為奇數(shù)，Tn()為偶函數(shù)；（5）||>1時，Tn()隨增加而單調(diào)增大，n越大Tn()增加的越迅速。Tn()特點切比雪夫多項式特點（1）||1時，Tn()在726.4-2切比雪夫濾波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/c)

為切比雪夫多項式；n為濾波器階數(shù)；c

為通帶截止角頻率，是被通帶所限制的最高角頻率，且c3dB

；0<<1

表示通帶內(nèi)幅度波動程度；

越小，幅度波動越小。切比雪夫幅度平方函數(shù)n=3n=4n=5右圖是按上面定義中的公式畫出的切比雪夫濾波器幅頻特性6.4-2切比雪夫濾波器的幅頻特性定義：其中：Tn(/73切比雪夫濾波器的幅頻特性下圖為

n=5時通帶內(nèi)幅頻特性曲線與Tn(/c)

的關(guān)系：此為歸一化形式的|H(j/c)|與T5(/c)之間關(guān)系曲線。切比雪夫濾波器的幅頻特性下圖為n=5時通帶內(nèi)幅頻特性74切比雪夫濾波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j)|有如下特性：在0c1之間在1~(1+2)-?

范圍內(nèi)等幅波動，越小，波動幅度越小；在=0時，n為奇數(shù)，|H(0)|=(1+2)-?

；無論n為何值，當(dāng)=c時，|H(0)|=(1+2)-?

；當(dāng)>c時，曲線以20ndB/Dec呈單邊下降趨勢，n越大，曲線衰減越快；由于通帶內(nèi)的起伏性，因而使通帶內(nèi)相位特性也有相應(yīng)的起伏波動狀態(tài)，即相位是非線性的，它對信號傳輸時帶來線性畸變，所以在要求群延時為常數(shù)時不宜采用該濾波器。切比雪夫濾波器的幅頻特性由前面兩圖可以看出|H(j)|有如756.4-3切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布利用切比雪夫幅度平方函數(shù)定義求其系統(tǒng)函數(shù)H(s)。將=-js代入中的定義式得；為求上式的極點分布需求解方程考慮到–js/是復(fù)變量，因此設(shè)6.4-3切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布利用切比雪夫幅76切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將–js/=cos代入Tn()中任一個，且令此式等于±j-1，求解、得；得：解得滿足上式的、為；切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將–js/=cos代77切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將、

代回求得極點值為；Sk

就是切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)H(s)H(-s)的極點，且實部和虛部分別為；切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將、代回求得極點值為78切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將k

除以a，k除以

b，再平方相加得上式是一個在S平面上的橢圓方程，其長軸和短軸分別位于實軸和虛軸上。H(s)·H(-s)

的極點分布在橢圓的圓周上。給定，n及

c

即可由k

、k求出全部極點Sk，取左半平面的極點，可得出H(s)的表達(dá)式為令其中：Sk=k+jk。A為待求常數(shù)，按定義可得切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布將k除以a，k79切比雪夫濾波器傳遞函數(shù)與極點分布考慮到Tn(-js/c)是-js/c的多項式，最高階次系數(shù)為2n-1，因此常數(shù)A滿足則切比雪夫濾波器的傳遞函數(shù)H(s)表示為下面的圖畫出了n=3、n=4時切比雪夫濾波器的極點分布。極點所在的橢圓可以和半徑為a的圓與半徑為b的圓聯(lián)系起來，這