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文檔簡介

習(xí)題課多元函數(shù)積分學(xué)一、二重積分的計算二、三重積分的計算三、曲線積分與曲面積分四、各種積分之間的聯(lián)系一、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（１）直角坐標系下

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］（２）極坐標系下5、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積二、三重積分的計算(１)直角坐標(２)柱面坐標(３)球面坐標例1解先去掉絕對值符號，如圖例2解例3解例

證

例解由于被積函數(shù)含有抽象函數(shù),因此要采用法一故無法直接積出.一些技巧.奇函數(shù)奇函數(shù)法二（畫第二象限部分）（如圖）則有對稱性作曲線證所以,

例4思考題解令不能直接積出,改變積分次序.法一故法二設(shè)則則例5

解解例6解例7旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零,

其中

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證明例8

(1)解

因為球極坐標

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零

所以,

單調(diào)增加.

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證

因

(2)證明要證明只需證明即令則故

單調(diào)增加.因為所以因此,

(2)證明

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零

曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計算三代一定二代一定(與方向有關(guān))三、曲線積分與曲面積分與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題

曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯(lián)系計算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式四、各種積分之間的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系定積分二重積分曲面積分曲線積分三重積分曲線積分計算上的聯(lián)系其中理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式思路:閉合非閉閉合非閉補充曲線

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