2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（二）

編輯ppt知識(shí)回顧1.如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和.

編輯ppt知識(shí)探究：標(biāo)準(zhǔn)差

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.編輯ppt

數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述。

為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度，通常要求出樣本方差或者它的算術(shù)平方根.編輯ppt（1）方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方分別是

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。那么我們用它們的平均數(shù)，即編輯ppt（2）標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：S2算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差（i=1，2，……，n）；S1算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x；編輯pptS3算出（i=1，2，…，n）；S4算出（i=1，2，…，n）這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；S5算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。編輯ppt的平均數(shù)為，（2）新數(shù)據(jù)方差為

．，方差仍為．（1）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．的平均數(shù)為（3）新數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（3）方差的運(yùn)算性質(zhì)：編輯ppt例1.計(jì)算數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差.解：S1x=———————=85+7+7+8+10+116數(shù)據(jù)xiS1xS2xi－xS3(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839編輯pptS4s2=———————=4；9+1+1+0+4+96S5.所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2.編輯ppt例2.計(jì)算數(shù)據(jù)89，93，88，91，94，90，88，87的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果精確到0.1）解：.

所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3.編輯ppt例3.從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人乘積射擊比賽，對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同的條件下各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.（1）計(jì)算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）比較兩人的成績(jī)，然后決定選擇哪一人參賽.編輯ppt解：（1）計(jì)算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲、乙兩人平均成績(jī)相等，但s乙<s甲，這表明乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定一些，從成績(jī)的穩(wěn)定性考慮，可以選乙參賽。編輯ppt（3）標(biāo)準(zhǔn)差和頻率直方圖的關(guān)系

從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差得0，這表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；若個(gè)體的值與平均數(shù)的差的絕對(duì)值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也很大，數(shù)據(jù)的離散程度很高，因此標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度。編輯pptAB樣本數(shù)據(jù)3333311355平均數(shù)33標(biāo)準(zhǔn)差01.79頻率分布直方圖數(shù)據(jù)沒有離散度數(shù)據(jù)離散程度很高編輯ppt

再看鋼管內(nèi)徑尺寸的例子，它的樣本平均數(shù)是25.401，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是0.056，再直方圖中用虛線標(biāo)出平均數(shù)所在的位置，并畫出距平均數(shù)兩側(cè)各一倍標(biāo)準(zhǔn)差和兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間?？梢钥吹酱蠹s有70%的鋼管內(nèi)徑尺寸落在距平均數(shù)兩側(cè)各一倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)，即(x－s,x+s)

大約有95%的鋼管內(nèi)徑尺寸落在距平均數(shù)兩側(cè)各兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)，即(x－2s,x+2s)。編輯pptss2s2sx編輯ppt練習(xí)1．甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為[(9.8－10)2+(9.9－10)2+(10.1－10)2+(10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.編輯ppt乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為[(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+(9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.

因?yàn)?.24>0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。編輯ppt練習(xí)2．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)150~180180~210210~240240~270270~300300~330330~360360~390燈泡數(shù)1111820251672編輯ppt解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)這些組中值的方差為[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16×(315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2]÷100=2128.60(天2).編輯ppt故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約（天）答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.編輯ppt3.(2011年高考江蘇卷6)某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差（）3.2編輯ppt4.（2011年高考遼寧卷文科19)(本小題滿分12分)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物．為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)，選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中．隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙(Ⅰ)假設(shè)n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率：(Ⅱ)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊．即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位kg／hm2)如下：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種?附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2…xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)。編輯ppt由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙。編輯ppt5．(2011年高考北京卷理科17)本小題共13分以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。（Ⅰ）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率． 解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為編輯ppt6．(2011年高考廣東卷文科17)（本小題滿分13分）在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢海?）求第6位同學(xué)成績(jī)，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中的概率．編號(hào)n

12345成績(jī)

7076727072編輯ppt6.練習(xí)：（3）若k1,k2,…,k8的方差為3，則2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的方差為________43212編輯pptAB編輯ppt7。在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為