圓的復(fù)習(xí)圓的復(fù)習(xí)圓中的計(jì)算與圓有關(guān)的位置關(guān)系圓的基本性質(zhì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系扇形面積、弧長圓錐的側(cè)面積和全面積弧、弦與圓心角圓周角及其與同弧上圓心角圓的對(duì)稱性切線圓的切線切線長圓知識(shí)回顧一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圓中的計(jì)算與圓有圓的基點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與（五）、切線長定理二、主要定理（一）、相等的圓心角、等弧、等弦之間的關(guān)系及垂徑定理（二）、圓周角定理（三）、與圓有關(guān)的位置關(guān)系的判別定理（四）、切線的性質(zhì)與判別（五）、切線長定理二、主要定理（一）、相等的圓心角、等弧、等三、基本圖形（重要結(jié)論）輔助線一關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。OPAB┓三、基本圖形（重要結(jié)論）輔助線一關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心

在遇到與直徑有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮作出直徑或直徑所對(duì)的圓周角。這也是圓中的另一種輔助線添法。輔助線二CAB.O┓在遇到與直徑有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮作出直徑或直徑所對(duì)的圓周角

當(dāng)遇到已知切線和切點(diǎn)時(shí)，要注意連接圓心和切點(diǎn)，以便得到直角去幫助解題。輔助線三OA.┓當(dāng)遇到已知切線和切點(diǎn)時(shí)，要注意連接圓心和切點(diǎn)，以便得到直角OI特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=————a+b-c2ABCabc直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法等邊三角形外接圓、

內(nèi)切圓半徑的求法基本思路：構(gòu)造直角三角形BOD，BO為外接圓半徑，DO為內(nèi)切圓半徑。ABCODRr重要結(jié)論OI特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=典型例題1.已知，如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC,BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E,∠BAC=45°。給出下面五個(gè)結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤DE=DC。其中正確的是＿＿＿＿＿＿(填序號(hào))

.ABCDEO析：本題主要是應(yīng)用輔助線二，作出直徑所對(duì)的圓周角。連接ＡＤ、ＢＥ。則∠ＢＥＡ與∠ＡＤＢ均為９０°，求出各角，得解。①②④⑤典型例題1.已知，如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC,BC交２．在同圓中,若AB=2CD，則弦AB與2CD的大小關(guān)系是（）

︵

︵

BDCBAOM典型例題A.AB＞2CDB.AB＜2CDC.AB=2CDD.不能確定

分析:我們可取AB的中點(diǎn)M,則AM=BM=CD,弧相等則弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD＞AB.︵︵︵︵２．在同圓中,若AB=2CD，則弦AB與2CD的大小關(guān)系是典型例題3.已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直徑。

證明:作⊙O的直徑AE,連接BE,則∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直徑為8分析:解決此類問題時(shí),我們通常作出直徑以及它所對(duì)的圓周角,證明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA

.O┓.┓典型例題3.已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,A115°100°典型例題問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿

4.已知,如圖,銳角三角形ABC中,點(diǎn)O為形內(nèi)一定點(diǎn).∠A=50°O.ABC當(dāng)點(diǎn)O為外心時(shí)，則∠

A與∠

BOC為圓周角與圓心角的關(guān)系。如圖。所以∠

BOC=100°若點(diǎn)O為內(nèi)心，則應(yīng)用公式∠

BOC=90+0.5∠A，可得∠

BOC=115°115°100°典型例題問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，證明一：連接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵

︵

5.已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C為AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，交AE于F。求證：AF=CF⌒典型例題分析:要正線段相等,通常是證明兩角相等或三角形全等。該題是證兩角相等。AFCEBD證明二：延長CD交⊙O于GG若該點(diǎn)位N，你能證明AF=FN嗎？AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠

GCA，∴CF=AF︵

︵

︵

證明一：連接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又20°50°或130°問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠A=＿＿＿＿＿＿＿問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠A=＿＿＿＿＿＿＿小試牛刀

1.已知,三角形ABC中,點(diǎn)O為一定點(diǎn).∠BOC=100°.當(dāng)點(diǎn)O為內(nèi)心時(shí)，則根據(jù)公式∠BOC=∠A+90°，可得∠A=20°當(dāng)點(diǎn)O為外心時(shí)，則首先要考慮圓心是在三角形內(nèi)還是外，因此要分兩種情況求解。當(dāng)外心在三角形內(nèi)時(shí),∠

BOC=2∠

A，則∠

A=50°，當(dāng)外心在三角形外時(shí)，∠

A=180-∠

BOC=130°你做對(duì)了嗎？心動(dòng)不如行動(dòng)20°50°或130°問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠小試牛刀

2.已知，如圖，OA、OB為⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，C是AB的中點(diǎn)，過C作CD∥OA，交AB于D，求AD的度數(shù)。⌒BDOAC分析：求弧AD的度數(shù)，即求它所對(duì)的圓心角的度數(shù)。因此連接OD，延長DC交OB與E，可∠EDO=∠DOA=30°，所以弧AD為30°E心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀2.已知，如圖，OA、OB為⊙O的兩條小試牛刀BCA

.OＤ

.

3、已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,AC+AB=12,AD=3,設(shè)⊙O的半徑為y,AB為x，求y與x的關(guān)系式。分析：類似于例題，只要正△ABE與△ADC相似即可。相信你一定能解對(duì)！E答案：(3＜x＜9)心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀BCA典型例題OBADPEC

7.如圖，從⊙O外一點(diǎn)引圓的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，若PA=8㎝，C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作⊙O的切線，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，則△PDF的周長為＿＿＿＿＿︵

析：根據(jù)切線長定理可知，PA=PB，而DE切⊙O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，從而△PDE的周長=PD+DC+CE+PE=PA+PB解：∵PA、PB、DE為的切線，切點(diǎn)為A、B、C，則PA=PB；DA=DC；EC=EB。∴△PDE的周長=PA+PB=16㎝16

㎝典型例題OBADPEC7.如圖，從⊙O外一點(diǎn)典型例題8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C為圓心、r為半徑畫⊙C.若AC=3，BC=4,試問：⑴當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相切？⑵當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相交？⑶當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相離？HACB┓┓析：當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r，所以只要算出圓心到AB的距離即可。相離d＞r;相交d＜r.略解：d=CH=2.4

(1).d=2.4=r

(2).r＞2.4

(3).0＜r＜2.4典型例題8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C為圓典型例題9.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.求證DE為⊙O的切線。ODEBAC.分析：證明切線常用兩種方法；一為d=r;另一為切線的判定定理。該題已知DE與圓有公共點(diǎn)，故用第二種證法證一：連接OD∵OD=OB，AB=AC則∠B=∠C=∠BDO，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，所以DE為⊙O的切線證法二：連接OD、AD1324∵AB為直徑，∴∠BDA=90°又∵AB=AC，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)∴∠1=∠3，而∠2=∠3，DE⊥AC

∴∠1+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴DE為⊙O的切線典型例題9.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，

4.已知：如圖，AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C，∠A=50°，P為⊙O上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)為（）A.40°B.65°C.115°D.65°或115°小試牛刀分析：在解決此問題時(shí),應(yīng)注意點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),它可能在劣弧BC上,也可能在優(yōu)弧上,但萬變不離其中,應(yīng)用輔助線三,連接OB、OC得直角,即可求解。POBAC.65°P115°D心動(dòng)不如行動(dòng)4.已知：如圖，AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C5.如圖Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以點(diǎn)為圓心,4.8為半徑的圓與線段AB的位置關(guān)系是___________;D相切4.8＜r≤6r=4.8

或6＜r≤8小試牛刀當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB沒交點(diǎn);當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB僅有一交點(diǎn);設(shè)⊙O的半徑為r,則0＜r＜4.8或r＞8本題應(yīng)注意的是:圓與線段的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),而非與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).心動(dòng)不如行動(dòng)5.如圖Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以點(diǎn)為圓心,D乙甲典型例題10.如圖甲,A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn),OA=4,AB是⊙O的切線,B為切點(diǎn),弦BC∥OA,連接AC,求陰影部分的面積.解:如圖一:連接OB、OC.∵BC//OA，∴,S陰影=S扇形OBC,∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB.∵OA=4，OB=2，∴∠AOB=60°.∵BC//OA,∴∠AOB=∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC為正三角形,∴∠COB=60°,S陰影=60×4/360=2/3π

π乙甲典型例題10.如圖甲,A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn),OA=4小試牛刀6.如圖所示,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，求圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和。ππ分析：因?yàn)槲鍌€(gè)圓時(shí)等圓，所以根據(jù)扇形面積計(jì)算公式得：S==×（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=1.5∠Aπ∠B＋π

＋·π∠E∠Dπ∠C··＋π

＋心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀6.如圖所示,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D

11：如圖，已知⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角等于140o，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為__________.

70o或110oCC’典型例題錯(cuò)解:70°錯(cuò)因:忽視了弦所對(duì)的圓周角有兩類。.正解：當(dāng)圓周角在優(yōu)弧上時(shí)，圓周角為140°的一半70°；當(dāng)圓周角在劣弧上時(shí)，則與70°互補(bǔ)，為110°。誤區(qū)警示11：如圖，已知⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角等于140o，13、已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AB=2,AC=,在圖中畫出弦AD,使得AD=1,求∠CAD的度數(shù).ADCB45°D60°15°典型例題錯(cuò)解：105°錯(cuò)因：以A為頂點(diǎn)且長度為1的弦有兩條，其一與AC在直徑的同側(cè)，其二與AC在直徑的異側(cè)。應(yīng)分兩種情況討論。正解：當(dāng)在直徑的兩側(cè)時(shí)；連接BC，BD；則△ABC為等腰直角三角形，∠CBA=45°；在直角△ABD中2AD=AB，∴∠BAD=60°∴∠CAD=60°+45°=105°當(dāng)AC、AD在直徑的同側(cè)時(shí)，則∴∠CAD=60°－45°=15°┓┓誤區(qū)警示13、已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AB=2,AC=典型例題14.已知圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3，半徑為7。求腰長AB.錯(cuò)解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，連接OB,∵AB=AC,∴BD=DC.即AD垂直平分BC,∴AD過圓心O,∴AD=AO+OD=7+3=10在直角△OBD中，在直角△ABD中DAC.OB誤區(qū)警示典型例題14.已知圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，圓心O到BC典型例題錯(cuò)因分析：只考慮圓心△ABC在內(nèi)部，而忽略了圓心△ABC在外部的情況。正解：除上述第一種情況外，還有另一種情況。B.OACD如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，連接OB,由第一種情況可得:AD過圓心O,∴AD=AO-OD=7-3=4，在直角△ABD中綜上所述:腰AB長為或誤區(qū)警示典型例題錯(cuò)因分析：只考慮圓心△ABC在內(nèi)部，而忽略了圓心△A

7、在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.分析:本題是以垂徑定理為考查點(diǎn)的幾何應(yīng)用題，沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對(duì)稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)和(2)圖(1)中OC=120∴CD=80(mm)圖(2)中OC=120∴CD=OC+OD=320(mm)小試牛刀心動(dòng)不如行動(dòng)7、在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬15.在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖）現(xiàn)找出其中一種，測(cè)得∠C=90°，AC=AB=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑。（只要畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）CAB分類討論的思想感悟圓中的數(shù)學(xué)思想典型例題15.在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖分析：扇形要求弧線與三角形的邊相切，半徑都在三角形邊上，相切的情況有兩種（1）與其中一邊相切（直角邊相切、斜邊相切）（2）與其中兩邊相切（兩直角邊相切、一直角邊和一斜邊相切）并且盡量能使用邊角料（即找最大的扇形）（1）與一直角邊相切可如圖(1)所示（2）與一斜邊相切如圖(2)所示（3）與兩直角邊相切如圖(3)所示（4）與一直角邊和一斜邊相切如圖(4)所示典型例題分析：扇形要求弧線與三角形的邊相切，半徑都在三角形邊上，相切解：可以設(shè)計(jì)如下圖四種方案：

r1=4r2=2

r3=2r4=4-4(1)(3)(2)(4)解：可以設(shè)計(jì)如下圖四種方案：(1)(3)(2)(4)典型例題方程的思想16.如圖,殘破的輪片上,弓形的弦為480㎜,高為70㎜,求原輪片的直徑.(精確到1㎜)解:∵OC⊥AB,OC是半徑,∴2BD=AB=480㎜.設(shè)OB=R,在直角△OBD中,解得:R≈446∴原輪片的直徑為2R≈446×2=892㎜在解決此類問題時(shí),往往在直角三角形的基礎(chǔ)上,建立方程,應(yīng)用勾股定理求解.感悟圓中的數(shù)學(xué)思想OCADB典型例題方程的思想16.如圖,殘破的輪片上,弓形的弦為4典型例題轉(zhuǎn)化的思想17.如圖①,為一圓錐形糧堆,從正面看是邊長為6米的正三角形ABC,糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食,此時(shí),小貓正在B處,它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠,則小貓所經(jīng)過的最短路線是＿＿＿＿米.(結(jié)果保留根號(hào))解析:此類問題是將立體圖形問題轉(zhuǎn)化到平面圖形問題來解決.該題是將圓錐側(cè)面展開為扇形,如圖②.連接BP,則最短距離即為線段BP的長.

解:由已知條件可得圓錐的側(cè)面積為18π㎡,=18π,解得n=180°,則∠BAP=90°,又AB=6m,AP=3m,由勾股定理的BP=mPACB.感悟圓中的數(shù)學(xué)思想典型例題轉(zhuǎn)化的思想17.如圖①,為一圓錐形糧堆,從正面看是小試牛刀9.已知的⊙O半徑為3㎝,點(diǎn)P是直線上a的一點(diǎn),OP長為5㎝,則直線a與⊙O的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.相交、相切、相離都有可能由于OP與直線a的位置不確定，所以直線a與⊙O的位置關(guān)系可能有如下三種情況。aO5㎝PaPO5㎝aOP5㎝D相交相切相離心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀9.已知的⊙O半徑為3㎝,點(diǎn)P是直線上a的一點(diǎn),10.已知如圖(1)，圓錐的母線長為4，底面圓半徑為1，若一小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，求小蟲爬行的最短距離.(1)(2)小試牛刀本題是將圓錐側(cè)面展開，得一扇形，先求一圓心角。得解。你做對(duì)了嗎？解：側(cè)面展開圖如圖(2)2π×1=,n=90°SA=4，SC=2∴AC=2.即小蟲爬行的最短距離為2.心動(dòng)不如行動(dòng)10.已知如圖(1)，圓錐的母線長為4，底面圓半徑為1，若一18、一圓弧形橋拱，水面AB寬32米，當(dāng)水面上升4米后水面CD寬24米，此時(shí)上游洪水以每小時(shí)0.25米的速度上升，再通過幾小時(shí)，洪水將會(huì)漫過橋面？圓的實(shí)際應(yīng)用典型例題此題實(shí)際是應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的思想，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為圓的問題求解18、一圓弧形橋拱，水面AB寬32米，當(dāng)水面上升4米后水面C解：過圓心O作OE⊥AB于E，延長后交CD于F，交弧CD于H，設(shè)OE=x，連結(jié)OB，OD，由勾股定理得OB2=x2+162OD2=(x+4)2+122∴X2+162=(x+4)2+122∴X=12∴OB=20∴FH=44÷0.25=16（小時(shí)）答：再過16小時(shí)，洪水將會(huì)漫過橋面。解：過圓心O作OE⊥AB于E，延長后交CD于F，交弧CD于典型例題圓的實(shí)際應(yīng)用19.如圖所示，草地上一根長5m的繩子，一端拴在墻角的木樁上，另一端拴著一只小羊R。那么，小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域的面積是()㎡ππππ解析:小羊的活動(dòng)范圍如圖所示,為三個(gè)四分之一圓,中間一圓的半徑為5m,面積為；兩邊的半徑為1m，面積為；故總面積為πππB典型例題圓的實(shí)際應(yīng)用19.如圖所示，草地上一根長5m的繩子，小試牛刀11.如圖，在足球比賽場上，甲、乙兩名對(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A時(shí)，乙已跟隨沖到B點(diǎn)，此時(shí)甲是選擇自己射門命中率高，還是將球傳給乙，讓乙射門命中率高？分析：射門的命中率的高低與射門點(diǎn)對(duì)球門兩個(gè)邊框M、N的張角的大小有關(guān)，張角越大，命中率就越大，于是可以考慮過M、N以及A、B中的任一點(diǎn)作圓，比較∠MAN與∠MBN的大小。解：過點(diǎn)M、N、B作圓，顯然A點(diǎn)在圓的外部，設(shè)MA交圓于C，則∠MCN＞∠MAN，又∵∠

MCN=∠MBN，∴∠

MBN＞∠MAN。故在B點(diǎn)射門好。即甲將球傳向乙，讓乙射門命中率高。CBANM心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀11.如圖，在足球比賽場上，甲、乙兩名對(duì)員互相配合

12．古爾邦節(jié)，6位朋友均勻地圍坐在圓桌旁共度佳節(jié)．圓桌半徑為60cm，每人離圓桌的距離均為10cm，現(xiàn)又來了兩名客人，每人向后挪動(dòng)了相同的距離，再左右調(diào)整位置，使8人都坐下，并且8人之間的距離與原來6人之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．設(shè)每人向后挪動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意，可列方程（）．小試牛刀A、B、C、D、B心動(dòng)不如行動(dòng)12．古爾邦節(jié)，6位朋友均勻地圍坐在圓桌旁共度佳節(jié)．圓桌半

圓的復(fù)習(xí)圓的復(fù)習(xí)圓中的計(jì)算與圓有關(guān)的位置關(guān)系圓的基本性質(zhì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系扇形面積、弧長圓錐的側(cè)面積和全面積弧、弦與圓心角圓周角及其與同弧上圓心角圓的對(duì)稱性切線圓的切線切線長圓知識(shí)回顧一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圓中的計(jì)算與圓有圓的基點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與（五）、切線長定理二、主要定理（一）、相等的圓心角、等弧、等弦之間的關(guān)系及垂徑定理（二）、圓周角定理（三）、與圓有關(guān)的位置關(guān)系的判別定理（四）、切線的性質(zhì)與判別（五）、切線長定理二、主要定理（一）、相等的圓心角、等弧、等三、基本圖形（重要結(jié)論）輔助線一關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。OPAB┓三、基本圖形（重要結(jié)論）輔助線一關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心

在遇到與直徑有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮作出直徑或直徑所對(duì)的圓周角。這也是圓中的另一種輔助線添法。輔助線二CAB.O┓在遇到與直徑有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮作出直徑或直徑所對(duì)的圓周角

當(dāng)遇到已知切線和切點(diǎn)時(shí)，要注意連接圓心和切點(diǎn)，以便得到直角去幫助解題。輔助線三OA.┓當(dāng)遇到已知切線和切點(diǎn)時(shí)，要注意連接圓心和切點(diǎn)，以便得到直角OI特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=————a+b-c2ABCabc直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法等邊三角形外接圓、

內(nèi)切圓半徑的求法基本思路：構(gòu)造直角三角形BOD，BO為外接圓半徑，DO為內(nèi)切圓半徑。ABCODRr重要結(jié)論OI特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=典型例題1.已知，如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC,BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E,∠BAC=45°。給出下面五個(gè)結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤DE=DC。其中正確的是＿＿＿＿＿＿(填序號(hào))

.ABCDEO析：本題主要是應(yīng)用輔助線二，作出直徑所對(duì)的圓周角。連接ＡＤ、ＢＥ。則∠ＢＥＡ與∠ＡＤＢ均為９０°，求出各角，得解。①②④⑤典型例題1.已知，如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC,BC交２．在同圓中,若AB=2CD，則弦AB與2CD的大小關(guān)系是（）

︵

︵

BDCBAOM典型例題A.AB＞2CDB.AB＜2CDC.AB=2CDD.不能確定

分析:我們可取AB的中點(diǎn)M,則AM=BM=CD,弧相等則弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD＞AB.︵︵︵︵２．在同圓中,若AB=2CD，則弦AB與2CD的大小關(guān)系是典型例題3.已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直徑。

證明:作⊙O的直徑AE,連接BE,則∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直徑為8分析:解決此類問題時(shí),我們通常作出直徑以及它所對(duì)的圓周角,證明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA

.O┓.┓典型例題3.已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,A115°100°典型例題問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿

4.已知,如圖,銳角三角形ABC中,點(diǎn)O為形內(nèi)一定點(diǎn).∠A=50°O.ABC當(dāng)點(diǎn)O為外心時(shí)，則∠

A與∠

BOC為圓周角與圓心角的關(guān)系。如圖。所以∠

BOC=100°若點(diǎn)O為內(nèi)心，則應(yīng)用公式∠

BOC=90+0.5∠A，可得∠

BOC=115°115°100°典型例題問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，證明一：連接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵

︵

5.已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C為AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，交AE于F。求證：AF=CF⌒典型例題分析:要正線段相等,通常是證明兩角相等或三角形全等。該題是證兩角相等。AFCEBD證明二：延長CD交⊙O于GG若該點(diǎn)位N，你能證明AF=FN嗎？AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠

GCA，∴CF=AF︵

︵

︵

證明一：連接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又20°50°或130°問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠A=＿＿＿＿＿＿＿問題一:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠A=＿＿＿＿＿＿＿小試牛刀

1.已知,三角形ABC中,點(diǎn)O為一定點(diǎn).∠BOC=100°.當(dāng)點(diǎn)O為內(nèi)心時(shí)，則根據(jù)公式∠BOC=∠A+90°，可得∠A=20°當(dāng)點(diǎn)O為外心時(shí)，則首先要考慮圓心是在三角形內(nèi)還是外，因此要分兩種情況求解。當(dāng)外心在三角形內(nèi)時(shí),∠

BOC=2∠

A，則∠

A=50°，當(dāng)外心在三角形外時(shí)，∠

A=180-∠

BOC=130°你做對(duì)了嗎？心動(dòng)不如行動(dòng)20°50°或130°問題二:當(dāng)點(diǎn)O為△ABC的外心時(shí)，∠小試牛刀

2.已知，如圖，OA、OB為⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，C是AB的中點(diǎn)，過C作CD∥OA，交AB于D，求AD的度數(shù)。⌒BDOAC分析：求弧AD的度數(shù)，即求它所對(duì)的圓心角的度數(shù)。因此連接OD，延長DC交OB與E，可∠EDO=∠DOA=30°，所以弧AD為30°E心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀2.已知，如圖，OA、OB為⊙O的兩條小試牛刀BCA

.OＤ

.

3、已知,ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,AC+AB=12,AD=3,設(shè)⊙O的半徑為y,AB為x，求y與x的關(guān)系式。分析：類似于例題，只要正△ABE與△ADC相似即可。相信你一定能解對(duì)！E答案：(3＜x＜9)心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀BCA典型例題OBADPEC

7.如圖，從⊙O外一點(diǎn)引圓的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，若PA=8㎝，C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作⊙O的切線，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，則△PDF的周長為＿＿＿＿＿︵

析：根據(jù)切線長定理可知，PA=PB，而DE切⊙O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，從而△PDE的周長=PD+DC+CE+PE=PA+PB解：∵PA、PB、DE為的切線，切點(diǎn)為A、B、C，則PA=PB；DA=DC；EC=EB?！唷鱌DE的周長=PA+PB=16㎝16

㎝典型例題OBADPEC7.如圖，從⊙O外一點(diǎn)典型例題8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C為圓心、r為半徑畫⊙C.若AC=3，BC=4,試問：⑴當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相切？⑵當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相交？⑶當(dāng)r滿足什么條件時(shí)，則⊙C與直線AB相離？HACB┓┓析：當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r，所以只要算出圓心到AB的距離即可。相離d＞r;相交d＜r.略解：d=CH=2.4

(1).d=2.4=r

(2).r＞2.4

(3).0＜r＜2.4典型例題8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C為圓典型例題9.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.求證DE為⊙O的切線。ODEBAC.分析：證明切線常用兩種方法；一為d=r;另一為切線的判定定理。該題已知DE與圓有公共點(diǎn)，故用第二種證法證一：連接OD∵OD=OB，AB=AC則∠B=∠C=∠BDO，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，所以DE為⊙O的切線證法二：連接OD、AD1324∵AB為直徑，∴∠BDA=90°又∵AB=AC，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)∴∠1=∠3，而∠2=∠3，DE⊥AC

∴∠1+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴DE為⊙O的切線典型例題9.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，

4.已知：如圖，AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C，∠A=50°，P為⊙O上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)為（）A.40°B.65°C.115°D.65°或115°小試牛刀分析：在解決此問題時(shí),應(yīng)注意點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),它可能在劣弧BC上,也可能在優(yōu)弧上,但萬變不離其中,應(yīng)用輔助線三,連接OB、OC得直角,即可求解。POBAC.65°P115°D心動(dòng)不如行動(dòng)4.已知：如圖，AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C5.如圖Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以點(diǎn)為圓心,4.8為半徑的圓與線段AB的位置關(guān)系是___________;D相切4.8＜r≤6r=4.8

或6＜r≤8小試牛刀當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB沒交點(diǎn);當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)______________時(shí),⊙O與線段AB僅有一交點(diǎn);設(shè)⊙O的半徑為r,則0＜r＜4.8或r＞8本題應(yīng)注意的是:圓與線段的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),而非與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).心動(dòng)不如行動(dòng)5.如圖Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以點(diǎn)為圓心,D乙甲典型例題10.如圖甲,A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn),OA=4,AB是⊙O的切線,B為切點(diǎn),弦BC∥OA,連接AC,求陰影部分的面積.解:如圖一:連接OB、OC.∵BC//OA，∴,S陰影=S扇形OBC,∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB.∵OA=4，OB=2，∴∠AOB=60°.∵BC//OA,∴∠AOB=∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC為正三角形,∴∠COB=60°,S陰影=60×4/360=2/3π

π乙甲典型例題10.如圖甲,A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn),OA=4小試牛刀6.如圖所示,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，求圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和。ππ分析：因?yàn)槲鍌€(gè)圓時(shí)等圓，所以根據(jù)扇形面積計(jì)算公式得：S==×（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=1.5∠Aπ∠B＋π

＋·π∠E∠Dπ∠C··＋π

＋心動(dòng)不如行動(dòng)小試牛刀6.如圖所示,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D

11：如圖，已知⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角等于140o，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為__________.

70o或110oCC’典型例題錯(cuò)解:70°錯(cuò)因:忽視了弦所對(duì)的圓周角有兩類。.正解：當(dāng)圓周角在優(yōu)弧上時(shí)，圓周角為140°的一半70°；當(dāng)圓周角在劣弧上時(shí)，則與70°互補(bǔ)，為110°。誤區(qū)警示11：如圖，已知⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角等于140o，13、已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AB=2,AC=,在圖中畫出弦AD,使得AD=1,求∠CAD的度數(shù).ADCB45°D60°15°典型例題錯(cuò)解：105°錯(cuò)因：以A為頂點(diǎn)且長度為1的弦有兩條，其一與AC在直徑的同側(cè)，其二與AC在直徑的異側(cè)。應(yīng)分兩種情況討論。正解：當(dāng)在直徑的兩側(cè)時(shí)；連接BC，BD；則△ABC為等腰直角三角形，∠CBA=45°；在直角△ABD中2AD=AB，∴∠BAD=60°∴∠CAD=60°+45°=105°當(dāng)AC、AD在直徑的同側(cè)時(shí)，則∴∠CAD=60°－45°=15°┓┓誤區(qū)警示13、已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AB=2,AC=典型例題14.已知圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3，半徑為7。求腰長AB.錯(cuò)解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，連接OB,∵AB=AC,∴BD=DC.即AD垂直平分BC,∴AD過圓心O,∴AD=AO+OD=7+3=10在直角△OBD中，在直角△ABD中DAC.OB誤區(qū)警示典型例題14.已知圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，圓心O到BC典型例題錯(cuò)因分析：只考慮圓心△ABC在內(nèi)部，而忽略了圓心△ABC在外部的情況。正解：除上述第一種情況外，還有另一種情況。B.OACD如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，連接OB,由第一種情況可得:AD過圓心O,∴AD=AO-OD=7-3=4，在直角△ABD中綜上所述:腰AB長為或誤區(qū)警示典型例題錯(cuò)因分析：只考慮圓心△ABC在內(nèi)部，而忽略了圓心△A

7、在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.分析:本題是以垂徑定理為考查點(diǎn)的幾何應(yīng)用題，沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對(duì)稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)和(2)圖(1)中OC=120∴CD=80(mm)圖(2)中OC=120∴CD=OC+OD=320(mm)小試牛刀心動(dòng)不如行動(dòng)7、在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬15.在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖）現(xiàn)找出其中一種，測(cè)得∠C=90°，AC=AB=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑。（只要畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）CAB分類討論的思想感悟圓中的數(shù)學(xué)思想典型例題15.在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖分析：扇形要求弧線與三角形的邊相切，半徑都在三角形邊上，相切的情況有兩種（1）與其中一邊相切（直角邊相切、斜邊相切）（2）與其中兩邊相切（兩直角邊相切、一直角邊和一斜邊相切）并且盡量能使用邊角料（即找最大的扇形）（1）與一直角邊相切可如圖(1)所示（2）與一斜邊相切如圖(2)所示（3）與兩直角邊相切如圖(3)所示（4）與一直角邊和一斜邊相切如圖(4)所示典型例題分析：扇形要求弧線與三角形的邊相切，半徑都在三角形邊上，相切解：可以設(shè)計(jì)如下圖四種方案：

r1=4r2=2

r3=2r4=4-4(1)(3)(2)(4)解：可以設(shè)計(jì)如下圖四種方案：(1)(3)(2)(4)典型例題方程的思想16.如圖,殘破的輪片上,弓形的弦為480㎜,高為70㎜,求原輪片的直徑.(精確到1㎜)解:∵OC⊥AB,OC是半徑,∴2BD=AB=480㎜.設(shè)OB=R,在直角△OBD中,解得:R≈446∴原輪片的直徑為2R≈446×2=892㎜在解決此類問題時(shí),往往在直角三角形的基礎(chǔ)上,建立方程,應(yīng)用勾股定理求解.感悟圓中的數(shù)學(xué)思想OCADB典型例題方程的思想16.如圖,殘破的輪片上,弓形的弦為4典型例題轉(zhuǎn)化的思想17.如圖①,為一圓錐形糧堆,從正面看是邊長為6米的正三角形ABC,糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食,此時(shí),小貓正在B處,它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠,則小貓所經(jīng)過的最短路線是＿＿＿＿米.(結(jié)果保留根號(hào))解析:此類問