階躍折射率漸變折射率射線光學(xué)波動分析（模式）－章平面介質(zhì)波導(dǎo)－章光纖波導(dǎo)階躍折射率漸變折射率射線光學(xué)波動分析多模單模子午光線偏射光線標(biāo)量近似（模式）覆蓋層導(dǎo)波層襯底層對稱非對稱保護(hù)層包層纖芯階躍折射率射線光學(xué)波動分析（模式）－章平面介質(zhì)波導(dǎo)－章1耦合：外耦合透鏡棱鏡光柵劈形全息外耦合透鏡光柵光纖錐全息波導(dǎo)耦合（耦合波理論）光纖波導(dǎo)焊接耦合：外耦合透鏡棱鏡光柵劈形全息外耦合透鏡光柵光纖錐全息波導(dǎo)2調(diào)制調(diào)制電光聲光磁光強(qiáng)度位相偏振波長頻率調(diào)制內(nèi)調(diào)制外調(diào)制強(qiáng)度位相（干涉）偏振波長頻率（多普勒效應(yīng)）法拉第克爾光彈調(diào)制調(diào)制電光聲光磁光強(qiáng)度位相偏振波長頻率調(diào)制內(nèi)調(diào)制外調(diào)制強(qiáng)度3第五章

普通光纖的基礎(chǔ)理論第五章

普通光纖的基礎(chǔ)理論4內(nèi)容提要

前言§階躍折射率光纖的光線理論§偏射光線的傳播§光纖波導(dǎo)中的模式理論§階躍光纖的標(biāo)量近似分析內(nèi)容提要5

前言.光纖與光纖通信基本情況:占光學(xué)工業(yè)時間產(chǎn)值比例年年年圖光電子技術(shù)主體發(fā)展圖階躍折射率光纖的橫界面圖

6.歷史的回顧年，就認(rèn)識到光纖導(dǎo)光傳播的基本原理—全內(nèi)反射。十九世紀(jì)二十年代，制成了無包層的玻璃光纖；二十世紀(jì)五十年代，用包層可以改善光纖特性，當(dāng)時的主要目的是傳輸圖像。年，，：(，)缺點：損耗大α年，就認(rèn)識到光纖導(dǎo)光傳播的基本原理7七十年代：隨著光纖制造技術(shù)的突破，使損耗降低到（μ附近）僅受瑞利散射損耗限制。年從理論上預(yù)言通過光纖的色散和非線性互作用可以產(chǎn)生光孤子；年從實驗上獲得了光孤子，將超短光脈沖壓縮到了。七十年代：隨著光纖制造技術(shù)的突破，使損耗降低到（μ附近）僅受8

摻鉺光纖放大器

摻雜光纖激光器

受激喇曼散射

受激布里淵散射

光纖群速色散,自相位調(diào)制——

超短光脈沖的產(chǎn)生、壓縮和控制光纖通信領(lǐng)域的革命低損耗光纖非線性光纖光學(xué)新領(lǐng)域誕生

9

.優(yōu)點：良好的傳導(dǎo)性能、巨大信息容量(一條光頻通路上同時可容納幾十億人通話，傳送上千套電視節(jié)目)。與金屬傳輸線相比:()機(jī)械方面:直徑細(xì)(μ)、重量輕()、可繞性好(節(jié)省銅料、價格低廉，一公斤熔融硅棒可拉光纖幾百公里，公里長路同軌電纜需銅噸、鉛噸)。

10

()電氣方面:電氣絕緣性好、無感應(yīng)。本身不輻射電磁場、噪聲信號。()化學(xué)方面:耐火、耐水性好，耐腐蝕性好(安全)。()傳輸特性方面:低損耗(μ，μ，μ)、寬頻帶(·、·)、無串音。

11.光通信系統(tǒng)和光網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：光通信系統(tǒng)：時分復(fù)用系統(tǒng)，波分復(fù)用系統(tǒng)；光網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：遠(yuǎn)程網(wǎng)，城域網(wǎng)和接入網(wǎng)。.光通信系統(tǒng)和光網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：光通信系統(tǒng)：12密集波分復(fù)用系統(tǒng)

(密集波分復(fù)用器：；光波分復(fù)用器：；光解波分復(fù)用器：；光放大器：)間距：頻寬密集波分復(fù)用系統(tǒng)

(密集波分復(fù)用器：；光波分13,,,,,,.,,,,,,.14.光纖的分類 從材料來分：（）高純度石英（），（）（）多組分玻璃，,（）塑料光纖，,（）液芯光纖（）晶體光纖從模式來分：（）單模光纖，芯徑－微米（）多模光纖，芯徑微米.光纖的分類 從材料來分：15從折射率分布來分：（）階躍型光纖（）梯度折射率型光纖從制作方法來分：（）（化學(xué)氣相沉積法）（改進(jìn)化學(xué)氣相沉積法）（）雙坩鍋法（適用于制作多組分玻璃)按傳輸偏振態(tài)來分：（）保偏光纖（）非保偏光纖按結(jié)構(gòu)來分：（）普通光纖（）光子晶體光纖從折射率分布來分：16§階躍折射率光纖的光線理論按照折射率分布:.階躍型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是突變的。其成本低，模間色散高，。階躍型光纖通常稱為普通光纖。.漸變型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是漸變的。子午光線的傳播.子午面:在光纖中，通過光纖中心軸的任何平面。§階躍折射率光纖的光線理論17.子午光線:位于子午面內(nèi)的光線.根據(jù)光的反射定律，入射光線和反射光線始終在同一平面內(nèi)。因此，子午光線經(jīng)過多次全反射后仍在原入射面內(nèi)，子午光線是(平面曲線)。.偏射線:另一種光線不在一個平面里，不經(jīng)過波導(dǎo)的軸，它們碰到邊界時做內(nèi)部全反射，也和點平面邊界一樣，反射角等于入射角，(空間曲線)。如圖所示，，分別是纖芯和包層的折射率，為光纖周圍介質(zhì)折射率。設(shè).子午光線:位于子午面內(nèi)的光線.根據(jù)光的反射定律，入射光線和18

圖光纖的傳光原理光線通過光纖波導(dǎo)端面中心點入射，進(jìn)入波導(dǎo)后按子午光線傳播，根據(jù)折射率定律，則:()當(dāng)入射角大于界面臨界角，即:()光電子技術(shù)課件19光線在波導(dǎo)內(nèi)部作全反射。為了得到波導(dǎo)，外面激發(fā)的角度θ必須滿足關(guān)系式:

().數(shù)值孔徑(.):在一般情況下，＝(空氣)，則子午光線對應(yīng)的最大入射角為:()它決定了子午光線孔徑角的最大值θ，即代表光纖的集光本領(lǐng)。光線在波導(dǎo)內(nèi)部作全反射。為了得到波導(dǎo)，外20.相對折射率差:因為纖芯和包層的折射率通常相差很小，，所以可取。由()式可得:()

作為激光傳輸用的光纖波導(dǎo)，相對折射率差△值通常在％％之內(nèi)。光電子技術(shù)課件21幾何程長和全反射次數(shù).幾何程單位長度光纖內(nèi)光路長度,用來表示，.總路程長度(光線在該光纖中所傳播)再乘上光纖的總長度，。一般來說，光線在光纖中經(jīng)過的光路長度大于光纖的長度。圖光纖長度與路程的關(guān)系幾何程長和全反射次數(shù)22如圖所示，與路程相對應(yīng)的纖維長度是，所以有:()當(dāng)＝時，上式化為:()由()式看出，當(dāng)一定時，只決定于光線的外部激發(fā)角θ而與光纖本身的粗細(xì)無關(guān)。如圖所示，與路程相對應(yīng)的纖維23.全反射次數(shù)η:光纖每單位長度上的反射次數(shù)，.總反射次數(shù):η乘以光纖的長度即可得出。()式中是纖芯的直徑，推導(dǎo)中假定。由()式可以看出η∝，小時η多.全反射次數(shù)η:光纖每單位長度上的反射次數(shù)，24光纖彎曲對子午光線傳播的影響光纖的特點之一是可以彎曲，但是這并不代表光纖就可以隨意彎曲。

聚合物光纖連接線光纖彎曲對子午光線傳播的影響聚合物光纖連接線25

如圖所示，子午光線由光纖直部和彎部的界面上點進(jìn)入彎部，彎部的點在光纖軸線上，為彎部的曲率半徑，為纖維的直徑，、、各為子午光線在直部、彎部外表面和彎部內(nèi)表面的入射角可以考察彎曲部分中子午光線的傳播情況如圖所示，子午光線由光纖直部和彎部的界面上點進(jìn)入彎部，彎部的26彎曲部分的、角不等于角，可以證明，而所以有可能變得小于臨界角，這時光線就要逸出外表面。證明如下:設(shè)點離點的坐標(biāo)為，，在△中應(yīng)用正弦定理:

()在上式中，因為，所以即?！鲝澢糠值摹⒔遣坏扔诮?，可以證△27在△內(nèi)應(yīng)用正弦定理有:

()同樣，因為，所以即。因此，當(dāng)小到一定程度時，原來在直部能產(chǎn)生全反射的子午光線，到了彎部，在△內(nèi)應(yīng)用正弦定理有:28便要從芯線彎曲部分外側(cè)面逸出。的減少還可能產(chǎn)生另外一種情形:子午光線只在外表面反射，而不在內(nèi)表面反射。如圖所示。這時意味著已經(jīng)增大到，在圖子午線在外表面反射便要從芯線彎曲部分外側(cè)面逸出。29式()中，以代入，可解出:()當(dāng)?shù)闹当仁?)中的值還要小時，便會發(fā)生子午光線只在外表面反射而不到內(nèi)表面反射的情形。光纖彎曲后對θ的影響。在式()中，當(dāng)－時，與相差最大，即:式()中，以代入，可解出:30()當(dāng)?shù)扔谂R界角，(恒大于)，這時可以計算相應(yīng)的θ如下:

31()一般情形中，》，上式可化為:()可見光纖彎曲會使θ值減小，即數(shù)值孔徑.減小，從而使光纖的集光本領(lǐng)減弱。越小，減弱越多。一般情況》，因而在不太小，彎曲次數(shù)不太多時，可忽略彎曲的影響

32。但是彎曲總要損失光能，對于長距離使用的通訊傳輸光纖，應(yīng)盡量避免不必要的彎曲，實際光纖在制造時，形成的微彎也會導(dǎo)致光能損失。光纖彎曲時，由于全反射條件不滿足，其透光量會下降，這時既要計算子午光線的全反射條件，又要推導(dǎo)偏射光線全反射條件，才能求出光纖彎曲時透光量和彎曲半徑之間的關(guān)系。

。但是彎曲總要損失光能，對于長距離使用的33實驗表明，當(dāng)<時透光量已經(jīng)開始下降；當(dāng)≈時透光量開始明顯下降。實驗表明，當(dāng)<時34光纖端面傾斜效應(yīng)光纖的端面傾斜對傳播子午光線的影響:)某些光纖束需要把整個光纖束的端面做成某種曲面狀。)實際制造的光纖的端面與光纖軸線有一定的不垂直度。）光纖切割的不垂直度。

光纖端面傾斜效應(yīng)35光纖融接機(jī)和光纖切割機(jī)光纖融接機(jī)和光纖切割機(jī)36

圖端面傾斜的光纖如圖所示，光纖的輸入端面的法線’與軸線’有一個不為零的夾角，并且’在圖面的子午面內(nèi)。如果選取其他的截面，則由于’不在所選的截面之內(nèi)，入射光便成了斜光線；

37光纖端面傾斜時，最大孔徑角θ與數(shù)值孔徑.的關(guān)系。從圖中可以看出:()由折射定律:()光纖端面傾斜時，38當(dāng)角等于臨界角時，有:()()代入式()后可得:

()當(dāng)角等于臨界角時，有:39將式()和式()比較，就看出端面傾斜角時對的影響，當(dāng)時式()便回到式()?，F(xiàn)在討論由法線另一側(cè)入射的子午光線，如圖所示，這時有:()即:()由折射定律得:將式()和式()比較，就看出端面傾斜40圖從傾斜面另一側(cè)入射()于是可以求出:

()光電子技術(shù)課件41把式()和式()合寫成:()當(dāng)＝時，式()變成:()式()說明了θ和.的關(guān)系。在圖中，當(dāng)θ時，如果全反射正好能產(chǎn)生，則相當(dāng)于光纖集光本領(lǐng)最大的情形，根據(jù)式()得到:()把式()和式()合寫成:42這是端面傾斜的光纖能夠收集朗伯光源所發(fā)出的全部光流時，.的最大值，由式()可見數(shù)值孔徑.在數(shù)值上是大于的。光纖出射端面的傾斜引起出射光線角度的變化。從圖中可以看出，原來平行于光纖中心軸的光線不再是以與端面垂直的方向出射，而是偏折了一個角度θ。圖出射端面傾斜時光線的偏折這是端面傾斜的光纖能夠收集朗伯光源所發(fā)出43對于正常的非傾斜出射端面，其出射光線對于光纖中心軸是對稱的。出射端面的傾斜使這種對稱性破壞了如果傾斜角度為，則偏折角θ可寫為:()由于光纖出射端面的傾斜使光線的出射光錐偏折的現(xiàn)象，我們用圖來形象說明。實際上我們也能觀察到這個結(jié)果。有時往往在光纖中心軸附近的一側(cè)觀察不到出射光，而把視線偏一個角度后就能看到出射的光。對于正常的非傾斜出射端面，其出射光線對于光纖中心軸是44圖出射端面傾斜不同角度，出射光線的偏折光電子技術(shù)課件45圓錐形光纖圓錐形光纖:如果直圓柱形光纖兩端的直徑不相等，并且其直徑隨長度線性變化。嚴(yán)格的說，每根光纖兩端的直徑都不可能完全相等，只是差別大小而已，但是這種直徑的差別對光的傳播是有影響的，尤其對于有些特殊應(yīng)用這種影響不能不考慮，因而對直圓柱形光纖的直徑變化有時就規(guī)定了一個范圍，不能超越，否則就不能應(yīng)用。另一方面，一定錐度的錐形光纖有聚光的能力，光線從小端入射，在大端出射光強(qiáng)度會提高。圓錐形光纖46圖表示的是子午光線通過錐形光纖的光路。設(shè)ω為錐形光纖的錐角。由圖可知，在錐形光纖中，光線在纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射次數(shù)增加而逐漸減小。當(dāng)光線以θ角入射

圖錐形光纖θ圖表示的是子午光線通過錐形光纖的θ47于錐形光纖的大端時，折射角為θ，在錐角ω時，纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射如下的數(shù)學(xué)式來表示角°－θ。由于錐角ω>，所以光線在內(nèi)壁上發(fā)生第一次反射后，反射角就減小ω，從第二次反射開始，以后每次反射后，反射角就減小ω。于錐形光纖的大端時，折射角為θ，在錐角48

()又()將式()代入式()可得:光電子技術(shù)課件49

()這個公式說明，當(dāng)光線從錐形光纖的大端入射時，全反射條件很容易被破壞。因為在光纖中發(fā)生全反射的條件是，而錐形光纖的反射角是一直在減小，所以總會在某一次反射后，全反射條件不滿足了。光線也就會從光纖的側(cè)壁逸出去。即使在錐角ω很小的情況下，只要反射次數(shù)足夠多，就會在某一次反

50射后出現(xiàn)，而使全反射條件受到破壞。同時，由于內(nèi)壁上的反射角逐步減小，光線從錐形光纖大端入射時，小端的出射光出現(xiàn)發(fā)散，這是由于此時出射光錐角比入射的大。反之，當(dāng)光線從錐形光纖小端入射時，從纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射角經(jīng)每次反射后就會增加，所以大多數(shù)的光線都會滿足全反射條件，這是和上面情況相反的。同樣此時的出射光錐角比入射的小，因而出射光又會聚作用。圖就表示了這兩種情況。射后出現(xiàn)，而使全反射條件受到破壞。51圖錐形光纖大端與小端進(jìn)光的比較要使光線都能從光纖另一端出射，則應(yīng)滿足:對于大端入射的情況和分別時光纖出光電子技術(shù)課件52射端(小端)和入射端(大端)的半徑，若，則由上式可得:這是一般情況下錐形光纖聚光條件，再利用:射端(小端)和入射端(大端)的半徑，53是光纖長度，可得:上式為使錐形光纖聚光，光纖有最小長度另外，錐形光纖兩端孔徑角不一樣，大端孔徑角小，小端孔徑角大，兩者滿足關(guān)系式:是光纖長度，可得:54式中:由此可見，錐形光纖可以改變孔徑角，因而可用于耦合。式中:55光纖的集光本領(lǐng)數(shù)值孔徑是表征光纖集光能力大小的一個參數(shù)。數(shù)值孔徑越大即孔徑角越大，光纖的集光能力就越強(qiáng)，也就是說能進(jìn)入光纖的光通量就越多。光纖和普通的光學(xué)透鏡相比，它的數(shù)值孔徑大是一個顯著的特點。光纖的集光本領(lǐng)56設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為，焦距為，如圖所示，透鏡數(shù)值孔徑可表示為:圖透鏡的數(shù)值孔徑上式說明了光學(xué)透鏡的數(shù)值孔徑由決定(為數(shù)。稱為相對孔徑)。()設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為，焦距為，如圖所示，透鏡數(shù)值孔徑可表示為:57時，數(shù)與.的關(guān)系如下表所示:可看出在時光學(xué)透鏡要使孔徑角達(dá)到°是很難做到的。但是光纖的數(shù)值孔徑可以做得很大。只要選取合適的芯材料和包層材料，其數(shù)值可以達(dá)到。數(shù).°°°時，數(shù)與.的關(guān)系如下表所示:數(shù).°°°58從式()可知，由于的數(shù)值可以大于，從數(shù)學(xué)上來說，θ的值只可能為°，但從物理意義上來說，表明光纖的集光能力特別強(qiáng)，不但在時θ可以達(dá)到°，而且在>時，θ仍有可能達(dá)到°，這在實際的應(yīng)用中是很有意義的。從式()可知，由于的數(shù)59朗伯光源:發(fā)光強(qiáng)度∝θ,亮度與方向無關(guān)。現(xiàn)在我們來計算光纖對朗伯光源發(fā)出的光的聚集能力。圖朗伯光源的發(fā)光如圖所示，朗伯光源處于半徑為的半球面的球心處，則通過立體角到(圖中環(huán)形陰影區(qū)域)的光通量為:()陰影區(qū)域的面積且于是可得:()由于光纖的可接受角范圍是θ，對于式()積分后有:朗伯光源:發(fā)光強(qiáng)度∝θ,亮度與方向無關(guān)?，F(xiàn)在我們來60由于從面光源點發(fā)出的總光能流為，所以光纖的集光效率為。由上面的討論可以看出，光纖的數(shù)值孔徑和集光本領(lǐng)有密切關(guān)系，當(dāng).≤時，子午光線的集光本領(lǐng)與數(shù)值孔徑.的平方成正比；當(dāng).≥時，集光本領(lǐng)達(dá)到最大值。由于光纖的.可以比光學(xué)鏡頭的大得多，所以與一般光學(xué)鏡頭比較，光纖的集光本領(lǐng)高。()()61§偏射光線的傳播偏射光線:是一些和光纖中心軸即不平行，也不相交的光線，它們和光纖中心軸是異面直線。偏射光線在光纖中進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，在端面上的投影可以是左旋折線，也可以是右旋折線，并且這些螺旋折線和光纖的中心軸是等距的。右旋左旋圖斜光線在光纖端面上的投影§偏射光線的傳播右旋62全反射條件如圖所示，為入射在光纖內(nèi)的斜光線，和光纖中心’是既不平行，又不相交的異面直線。為在橫截面(或端面)上的投影?！鲜切惫饩€和光纖軸之間的夾角，內(nèi)壁上的入射角∠＝，軸傾角∠是斜光線在入射點橫截面上的投影圖斜光線的全反射條件全反射條件63和法線之間的夾角?！停瑒t垂直于平面。這樣，△，△，△均為直角三角形。在△中，＝，在△中，＝，在△中:()上式說明這三個角度之間的關(guān)系。顯然光線在光纖內(nèi)壁發(fā)生全反射時是不變的，由于和法線之間的夾角?！?，則垂直于平面。這樣，△，△，△均為64，而，這樣就可以得到斜光線的全反射條件為:()因此，在光纖中傳播的斜光線必須滿足如下條件:()，而65如果用光線在光纖端面上入射角θ來代替折射角，則上式可以改寫成:()如果入射光線是子午光線，則和相重合，，公式變成:()如果用光線在光纖端面上入射角θ來代替折射66我們從公式()就可以得到斜光線的數(shù)值孔徑為:()由于≤，因而斜光線的數(shù)值孔徑要比子午光線的數(shù)值孔徑大。由于的數(shù)值依賴于入射角θ的取向，所以在斜光線的情況下θ總有可能為°，但此時相應(yīng)的的數(shù)值應(yīng)滿足下式:我們從公式()就可以得到斜光線的數(shù)值67()從式()可以得到軸傾角，令其為即有:()這里的為偏射光線在光纖內(nèi)壁全反射時的臨界角。在全反射的條件下，的取值范圍為。討論偏射光線的傳播，可以使我們理解所

68謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用范圍內(nèi)的平行光線入射于光纖的內(nèi)壁，則角的取值就是至°的范圍，這樣，在光纖端面上就出現(xiàn)黑帶現(xiàn)象。利用公式()還可以求出在全反射時偏射光線到光纖中心軸之間的距離。在圖中，作⊥，又⊥，所以垂直于偏射光線所在的平面，而就是偏射光線至光纖中心軸的距離，為光纖直徑。在△中:謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用69()如果，則即為我們所要求的斜光線到中心軸的最小距離，利用和的關(guān)系，上式可改寫為:光電子技術(shù)課件70化簡后得:()上式說明在發(fā)生全反射時，偏射光線至光纖中心軸有一個最小距離。這個距離和光纖的直徑，纖芯和包層的折射率及所在介質(zhì)的折射率有關(guān)。如果入射光線在光纖上位移時，也發(fā)生變化，在光纖界面內(nèi)壁上的全反射條件卻仍是不變的。化簡后得:71光路長度和全反射次數(shù)現(xiàn)在我們來求偏射光線通過光纖時的幾何程長和全反射次數(shù)。由圖可知，單位長度中的幾何程長為:()比較()和()兩式，可以看出兩者是相同的，即斜。在θ角相等的情況下，斜光線和子午光線在光纖中的光路長度相同。光路長度和全反射次數(shù)72同樣，單位長度內(nèi)的全反射次數(shù)可寫為:()由于()代入式()可得:()同樣，單位長度內(nèi)的全反射次數(shù)可寫為:73比較()和()兩式，可得:()上式說明偏射光線的全反射次數(shù)總是比子午光線多，它是和軸傾角密切相關(guān)的。在時，即在子午光線情況時，公式()和公式()是一致的。比較()和()兩式，可得:74§光纖波導(dǎo)中的模式理論用幾何光學(xué)分析簡單直觀的優(yōu)點，波動理論的初步近似。光纖的直徑減小到和入射光波長同數(shù)量級時，光的干涉和衍射等波動性質(zhì)十分明顯，模:具有確定空間和時間分布的電磁場分量(模)才能在光纖中傳播。這個模和光纖參數(shù)、入射光頻率和包層的性質(zhì)有關(guān)，并且是滿足光纖的一定邊界條件的麥克斯韋方程組的一個解?！旃饫w波導(dǎo)中的模式理論75在光纖波導(dǎo)中導(dǎo)模:位相常數(shù)構(gòu)成有限數(shù)目的分立譜輻射模:位相常數(shù)構(gòu)成無限數(shù)目的連續(xù)譜。

在包層無限厚的普通光纖波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，光纖波導(dǎo)僅由折射率為的芯和折射率為的包層(無限延拓)組成。只要光纖波導(dǎo)的包層厚度遠(yuǎn)大于電磁波的穿透深度，這樣的光纖就可以當(dāng)做包層無限厚的光纖來處理。在光纖波導(dǎo)中76正規(guī)波導(dǎo):光纖波導(dǎo)的折射率分布沿縱向(向)不變，即。橫向分層均勻橫向分層非均勻光場可表示為分離形式:若不涉及光纖中的非線性，為常數(shù)，可正規(guī)波導(dǎo):光纖波導(dǎo)的折射率分布沿縱向(向)不變77略去，得:其中，為橫截面二維分布項，為縱向波動項。β為相移常數(shù)、縱向傳播常數(shù)。、都是復(fù)矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了、沿光纖橫截面的略去，得:78的分布，稱為模式場。上式代入方程，特征解形式:為一個模式。光纖中的光場分布則是這些模式的線性組合:的分布，稱為模式場。79式中的，是分解系數(shù)，表示該模式的相對大小。一系列模式可以看成是一個光波導(dǎo)的場分布的空間譜。式中的，是分解系數(shù)，表示該模式的相對80標(biāo)量波動方程光是一種電磁波，因此，光在介質(zhì)中傳播應(yīng)滿足介質(zhì)中的麥克斯韋方程組，采用麥克斯韋方程組形式為:()()()()標(biāo)量波動方程81這里表示電流密度矢量，是標(biāo)量電荷密度在無源場的情況下，，。對于均勻的、各向同性物質(zhì)，，。是介質(zhì)的相對磁化率，在非磁性材料中，是相對介電常數(shù)。因此，當(dāng)光在內(nèi)部沒有場源、均勻的各向同性介質(zhì)中傳播時，麥克斯韋方程組可簡化為:()這里表示電流密度矢量，是標(biāo)量電荷密度82()()()為了應(yīng)用上的方便，我們將麥克斯韋方程組改寫成另外一種形式，對方程()取旋度后，我們得到:()

83代入矢量等式:()就可以將方程()改寫成:()解此波動方程式，得一復(fù)數(shù)形式的特解:()式中，表示光波的頻率，稱為波矢，它的方向代表了()式所表示的平面波的傳播代入矢量等式:84方向，大小表示位相傳播的速度，，，是介質(zhì)的折射率，是真空中的光速，對光波的磁場，同樣方法得:()由方程式()和()表示的平面波滿足:，()于是，波動方程()可簡化為:方向，大小表示位相傳播的速度85()對于磁場有同樣的結(jié)果:()方程()和()稱為亥姆霍茲方程，是討論光在介質(zhì)中傳播問題的基本方程，在直角坐標(biāo)系(，，)中，和的，，分量均滿足亥姆霍茲方程的標(biāo)量形式:()代表或的各個分量。光在有限大小的介質(zhì)中傳播，或在一個由折射率不同的幾

86種介質(zhì)所組成的物質(zhì)中傳播時，必須考慮不同介質(zhì)組成的界面處電磁場應(yīng)滿足的邊界條件:()()()()上式中的表示界面的法線方向。亥姆霍茲方程和邊界條件以及麥克斯韋方程組是研究光纖波導(dǎo)的基本出發(fā)點。種介質(zhì)所組成的物質(zhì)中傳播時，必須考慮不同87光纖波導(dǎo)中的模式模:具有確定空間和時間分布的電磁場分量是光波導(dǎo)中的一個基本概念，它具有以下特性:()穩(wěn)定性:一個模式沿縱向傳輸時，其場分布形式不變，即沿方向有穩(wěn)定的分布。()有序性:模式是波導(dǎo)方程的一系列特征解，是離散的，可以排序的。排序方法有兩種。一種是以傳播常數(shù)β的大小排序(β越大序號越小)，另一光纖波導(dǎo)中的模式88種是以(，)兩個自變量排序，所以有兩列序號。()迭加性:光波導(dǎo)中總的場分布是這些模式的線性迭加。()正交性:一個正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿足正交關(guān)系。對于圓柱形的光纖，取柱坐標(biāo)比較合適。種是以(，)兩個自變量排序，89圖光波導(dǎo)的坐標(biāo)系如圖所示，光纖的軸向為，纖芯半徑為，折射率為，包層折射率為，且＞。在整個波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，折射率分布均勻,沒有自由電荷及傳導(dǎo)電流，屬各向同性介質(zhì)。光電子技術(shù)課件90()式中下標(biāo)()和()分別代表纖芯和包層區(qū)域。根據(jù)規(guī)則波導(dǎo)理論，只要求出縱向分量、，橫向場分量就可利用、求出。而、滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程:()()因此，能夠沿光波導(dǎo)傳輸?shù)牟ㄐ突蚰Ｊ降膱龇植急仨殱M足齊次亥姆霍茲方程()式和()式，在處滿足的邊界條件因此，能夠沿光波導(dǎo)傳輸?shù)牟ㄐ突蚰Ｊ降膱龇植急仨殱M足齊次亥姆霍91下面我們以為例求解式()，可按同樣方法處理。在圓柱坐標(biāo)中，方程()可寫成:()用分離變量法，令:()將式()代入式()并同除以得到:下面我們以為例求解式()，可按同樣方法處理。在圓柱坐標(biāo)中，92()可見決定()的方程是:()令β＝()光電子技術(shù)課件93則:()式中，β為縱向傳播常數(shù)，為橫向位相常數(shù)。這是一個齊次常微分方程，如果我們只取沿方向傳播的波，則式()的解為:()式()即變成:()則:94可見決定的方程是:()上式也是齊次常微分方程，其解是:()式中，，，…。離散常數(shù)是包含零在內(nèi)的正整數(shù)，是初位相。則式()變成:()可見決定的方程是:95這就是著名的貝賽爾方程。它的解可以是各階貝賽爾函數(shù)。因為它是一個二階微分方程，它必定有兩個相互無關(guān)的解。但任何能在光波導(dǎo)中傳輸?shù)莫毩⒉ㄐ捅仨殱M足條件:＜時，()有限；＞時，()→。根據(jù)貝賽爾函數(shù)的性質(zhì)，所能選取的解只能是:()這就是著名的貝賽爾方程。它的解可以是各階96式中是貝賽爾函數(shù)，是第二類修正貝塞爾函數(shù)。纖芯內(nèi)的橫向位相常數(shù)包層內(nèi)的衰減系數(shù)將式()、式()和式()代入式()，最后我們得到:

(<)()光電子技術(shù)課件97

(>)()

()()式?jīng)Qβ值的上下限,由波動方程沿軸向的解代入亥姆霍茲方程()和()，在圓柱坐標(biāo)中，場的橫向分量按下列關(guān)系求出:光電子技術(shù)課件98()現(xiàn)在我們利用邊界條件()式來確定()光電子技術(shù)課件99式和()式中的常數(shù)，，，，為簡單計算，令，，當(dāng)時，電場切向分量連續(xù)，即:()()式和()式中的常數(shù)，，，，100時，磁場切向分量連續(xù)，即:()()時，磁場切向分量連續(xù)，即:101式中’和’分別為和的一階導(dǎo)數(shù)。方程()()組成四元一次方程組:當(dāng)其系數(shù)行列式:式中’和’分別為和的一階導(dǎo)數(shù)。方102時，方程有無窮多組解。將()()式代入上式并整理后得:()光電子技術(shù)課件103式中:()因式()左邊與角度無關(guān)，故欲使式()成立則必須:()式中:104將式()代入式()得:()方程()和()決定了波導(dǎo)模式的傳播常數(shù)β，式()決定了β值的上、下限，色散關(guān)系():描述了在這個限度之內(nèi)β隨頻率變化的規(guī)律，各模式的截止條件可從(式導(dǎo)出。至此尚沒有求出，，，四個將式()代入式()得:105常數(shù)。實際上，只要不關(guān)心場的絕對值，也就沒有必要求出這些常數(shù)的具體值。相對參量:表示分量的相對值。當(dāng)、均不為零時，將式()、()代入式()并兩邊同除以()，整理后有:()利用此關(guān)系，纖芯(<)中的縱向分量可寫成:常數(shù)。實際上，只要不關(guān)心場的絕對值，也就106()()再利用式()、()及()，則纖芯中的橫場分量可寫成:光電子技術(shù)課件107()光電子技術(shù)課件108式()()表示了光波導(dǎo)中的“混雜”模場量。沿用微波理論中的習(xí)慣，當(dāng)＝時，稱為模；當(dāng)＝時，稱為模。表示貝賽爾函數(shù)的階數(shù)，場在角度方向變化的次數(shù)表示()時的根的序號，場在半徑方向變化的次數(shù)“混雜”模的特點是、均不為零。當(dāng)、分別為零時，則稱為橫電模()和橫磁模()，其場分布分別為:式()()表示了光波導(dǎo)中的“混雜”模場量。沿用微波理論中的習(xí)109模()

()模()110模()

()模()111截止條件以上所討論的各種模式僅是光波導(dǎo)中可能存在的模式，某一模式是否實際存在于光波導(dǎo)中，則要根據(jù)它所特有的截止條件來判斷。對于結(jié)構(gòu)一定的(即、及值一定)光波導(dǎo)，每一可能存在的模式都有自己的截止條件。傳輸模:從式()可知，當(dāng)∞時，()≈()。如果≠是實數(shù)，表明包層中的場隨增大而單調(diào)地減小。截止條件112截止條件:如果當(dāng)≈時，包層中的場不再單調(diào)減小，表明它不再是傳輸模，即傳輸模被截止。這樣，在色散關(guān)系式中令即可求得其截止條件。對?；蚰?，因為，所以式()變成:()對模:截止條件:如果當(dāng)≈時，包層中的113()對模:()顯然，當(dāng)→時，式()和式()都要求()，這就是和模的截止條件。因為()是個振蕩函數(shù)，它有許多根

114時，當(dāng)纖芯半徑的值使≤時，模和模就截止而不復(fù)存在了。時，，當(dāng)值使≤時，模和模就截止而不復(fù)存在。對和模，因為≠，所以情況要復(fù)雜得多。故略去繁瑣的數(shù)學(xué)運算，只給出如下結(jié)論。模()，當(dāng)時，，說明它沒有截止限制，所以稱模為光波導(dǎo)中的優(yōu)勢模(即該?？偸谴嬖?。時，當(dāng)纖芯半徑的值使≤時，模和模就截止115(≥)模()這時模式截止條件與折射率，值有關(guān)。利用公式可將()式化簡為。當(dāng)(≥)模116≈時，即纖芯和包層折射率差很小時，即得到()。對模(≥)，()但≠，這里≠表示時()的第一個根要從≠的根算起。如模:,當(dāng)纖芯半徑值使≤時模就截止而不能存在了。幾個低階模的截止條件列于表。現(xiàn)進(jìn)一步討論上述截止條件的物理意義。從式()可求得:≈時，即纖芯和包層折射率差很小時，即117表低階模的截止條件()

模式表低階模118式中，ω是光波頻率，是光速。截止頻率:當(dāng)時，令ωω。因為，所以:()該式說明了截止頻率與光波導(dǎo)參量之間的關(guān)系。在纖芯半徑，纖芯與包層的折射率和一定時，如果光波頻率ω≤ω，則相應(yīng)的模式就不能在波導(dǎo)中傳播。對(或)模:式中，ω是光波頻率，是光速。119對模，ω此式表明模沒有截止頻率。因此模是光纖波導(dǎo)中的優(yōu)勢模，稱為基模。它的單模工作頻率范圍是:()上式可改寫為:光電子技術(shù)課件120歸一化頻率參量()()單模光纖波導(dǎo):當(dāng)<時，光波導(dǎo)中只有模。多模光纖波導(dǎo):當(dāng)>時其它高階模就出現(xiàn)，值愈大，出現(xiàn)的模式就愈多，對式()求解，可得到各模式傳播常數(shù)β與歸一化頻率參量的關(guān)系曲線，如圖歸一化頻率參量()121所示。圖中曲線明顯反映出，隨著值增大傳輸模式不斷增多的情況。圖歸一化傳播常數(shù)β與參量的關(guān)系曲線所示。圖中曲線明顯反映出，隨著值增122§階躍光纖的標(biāo)量近似在分析光纖時，一般采用的近似方法之一為標(biāo)量近似法:階躍光纖里的橫向電場(，)或橫向磁場(，)的幅度滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程。(實際上，已知只有直角坐標(biāo)系里各分量或圓柱坐標(biāo)系里的、分量才嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。)現(xiàn)在假設(shè)，能夠滿足，就是假設(shè)它們的分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，橫向電場的極化(偏振)方向到處相同(即偏振方向不變)?！祀A躍光纖的標(biāo)量近似123這種近似在弱傳導(dǎo)的情況下，即相對折射率差很小()以及入射角很小(即與光纖軸平行)的光纖里，傳導(dǎo)模的一般理論將大大簡化(①弱導(dǎo)情況:纖芯中電磁波幾乎是橫波；②可不考慮介質(zhì)分界面對電磁波偏振態(tài)的影響)，并能得到好的計算精度。一般模式理論:這種近似在弱傳導(dǎo)的情況下，即相對折射124、——嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。標(biāo)量近似():也滿足亥姆霍茲方程，橫向分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，極化分量方向相同。在弱傳導(dǎo)近似下，普通光纖的數(shù)值孔徑可以近似表示成:()光纖的歸一化頻率是:、——嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。125()式中的是纖芯半徑，為自由空間的波數(shù)。這時纖芯和包層交界處的邊界條件是在兩種介質(zhì)的交界處，標(biāo)量本身連續(xù)，標(biāo)量在與邊界正交的方向上(即法線上)的變化率連續(xù)；就是橫向場的幅度和它的幅度沿方向上的變化(即)連續(xù)。

光電子技術(shù)課件126近似方程可使許多重要問題如:.模式的傳輸系數(shù)、.截止條件、.單模傳輸條件、.多模傳輸時模式數(shù)量、.各模式在纖芯、包層的功率及交界面的功率密度等等，得到簡便的計算公式，這是近似方法的優(yōu)點。近似方程可使許多重要問題如:127波動方程的解及特征方程設(shè)階躍光纖中傳播一平面電磁波，傳播方向與光纖軸線(即軸)方向一致，記為:()式中，ω為角頻率，β為傳播常數(shù)，為橫向場。根據(jù)標(biāo)量近似法的假定，滿足標(biāo)量亥姆霍茲波動方程式()，式()的圓柱坐標(biāo)系表示為:波動方程的解及特征方程128()根據(jù)分離變量法，設(shè)上式的解為:()將式()代入式()，得:()()光電子技術(shù)課件129式()的解為:()式()為橢圓極化(偏振)波，也可取線極化波或來表示。式()在纖芯是一個階的貝塞爾函數(shù)，以()表示，對于包層，考慮到橫向場是由界面起，沿徑向按指數(shù)函數(shù)衰減的，應(yīng)取修正的漢克爾函數(shù)，以()表示。由式()的標(biāo)量解表示為:式()的解為:130()()應(yīng)用邊界條件即可導(dǎo)出特征方程，階躍光纖的邊界條件是在處，橫向場幅度Ψ本身和沿邊界的法線上的變化率連續(xù)。由式()、()有:()光電子技術(shù)課件131()由貝塞爾函數(shù)的遞推公式:()()()式()是階躍光纖波導(dǎo)的一種特征方程。這是一個超越方程，由它可以求解或，β進(jìn)而可定出常數(shù)。

132截止條件和傳輸模由修正的漢克爾函數(shù)性能可知，當(dāng)>時，()將很快衰減到零，適合于描述階躍光纖包層中光的傳輸。這樣射入光纖的光將局限于纖芯中傳播。截止條件表示截止的入射角等于全反射臨界條件(從幾何光學(xué)的觀點看，截止的臨界狀態(tài)即為入射光波的入射角等于全反射臨界角的情況)。當(dāng)時，由式()得:截止條件和傳輸模133()例如:當(dāng)時，便有()，其根為，，，，，…即當(dāng)?shù)扔谏狭兄禃r，導(dǎo)模(正規(guī)模)將截止。對應(yīng)于這一系列截止時的值，是一組標(biāo)量模式，用Ψ表示。第一個角標(biāo)“”代表；第二個角標(biāo)代表第幾根，用表示，如Ψ、Ψ、Ψ、…。Ψ是主模，它的截止值為?？紤]到

134，則歸一化頻率:即:()當(dāng)時，式()成立，這表明Ψ模沒有低頻截止，任何頻率都可以傳輸。當(dāng)時，()，其根的系列值為:，，，，，…，則歸一化頻率:135對應(yīng)的標(biāo)量模式為Ψ模。當(dāng)時，有()，其根系列值為:，，，，，…當(dāng)?shù)扔谏狭兄禃r，導(dǎo)波截止(注意不要取的根)。對應(yīng)的模式為Ψ模。

線極化波:即波的極化不隨時間變化的波型。許多地方采用來表示上述波型，為的英文縮寫，

對應(yīng)的標(biāo)量模式為Ψ模。136一般的波型屬于這一類，角標(biāo)。，，為正整數(shù)，對應(yīng)Ψ，對應(yīng)Ψ，對應(yīng)Ψ，…。一般的波型屬于這一類，角標(biāo)。，，為正整數(shù)，對應(yīng)Ψ，137標(biāo)量模與精細(xì)模的比較用標(biāo)量近似法解得的模式是簡并模。這是因為分析時假設(shè)同一樣都滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程，由于這種近似將本來分離的精簡模式簡并起來了。實際上，精確模式應(yīng)當(dāng)是分離的。一般模式與，模式有線性關(guān)系，即:()例如是一種對稱的模，它其實可能是或標(biāo)量模與精細(xì)模的比較138模，是四重簡并模。這是因為模不存在，表表示了兩種模式對應(yīng)關(guān)系。表模式對照表(見下頁)模，是四重簡并模。139值的范圍近似解的模式精確解的模式模式總數(shù)量→Ψ→Ψ，，→Ψ，Ψ，，，→Ψ，Ψ，，→Ψ，Ψ，，，→Ψ，Ψ，，→Ψ，Ψ，Ψ，，，，值的范圍近似解的模式精確解的模式模式總數(shù)量→Ψ→Ψ，，→Ψ140標(biāo)量模的功率光纖中導(dǎo)模的場不是完全地束縛在纖芯中，而是部分地進(jìn)入包層。當(dāng)光纖工作在遠(yuǎn)離截止條件時，透入包層的導(dǎo)模場將迅速衰減。但光纖工作在鄰近截止條件，或者工作在截止條件時，受導(dǎo)模場幾乎不能在纖芯區(qū)域傳播。這樣，計算各模式在纖芯和包層里的功率是有實際意義的。從計算可知光功率在纖芯的分布。已知標(biāo)量模為()、()，則在纖芯和包層的功率，分別為:標(biāo)量模的功率141

()式中作了變換，()，()()，便于應(yīng)用已有的貝塞爾函數(shù)的積分公式。()光電子技術(shù)課件142總功率為兩者之和:()一般定義纖芯里的功率與總功率之比為波導(dǎo)效率η:()注意，式()、()、()不是真正的功率，但它們的相對關(guān)系是正確的。要求纖芯、包層的真正功率，必須知道真實的總功率，然后乘以效率η才能獲得?？偣β蕿閮烧咧?143光纖的傳輸模數(shù)一般地，光纖中傳播的模式可能很多，除主模和若干低階模外，還有在傳播過程中從有用的主模轉(zhuǎn)換為雜散的高階模，它們傳播路徑不同，有些在包層中損耗掉，有些穿過包層輻射出去。從理論分析得知，如階躍光纖折射率差△<<，>>，大部分模式?jīng)]有截止，光纖中傳輸模式總數(shù)近似于:()光纖的傳輸模數(shù)144式中，為歸一化頻率。例如，△，λμ，μ，則:

這表示，這種階躍光纖為多模光纖，模數(shù)為。

式中，為歸一化頻率。145單模光纖由于單模光纖得歸一化頻率必須小于，()芯徑小、折射率差小纖芯半徑與數(shù)值孔徑的乘積()必須很小。若λμ時，.取，單模光纖的纖芯半徑必須小于μ。這表明，單模光纖必須使用較小的.才能獲得較合理的纖芯尺寸。()色散小與多模光纖相比，沒有模間色散，色散要比多模光纖小數(shù)量級、因而相應(yīng)的傳輸帶寬要大很多單模光纖由于單模光纖得歸一化頻率必須小于，146(3)雙折射雙折射是單模光纖比多模光纖最大區(qū)別，多模光纖傳輸模式極多，不必考慮各種模式的偏振問題，對于單模光纖模式的偏振態(tài)在傳輸過程中變化，則是一個極為重要的問題，光纖本身固有雙折射以及外界因素對光纖雙折射的影響，是光纖光學(xué)中一個活躍的領(lǐng)域，并正形成一個分支-偏振光學(xué)。(3)雙折射147階躍折射率漸變折射率射線光學(xué)波動分析（模式）－章平面介質(zhì)波導(dǎo)－章光纖波導(dǎo)階躍折射率漸變折射率射線光學(xué)波動分析多模單模子午光線偏射光線標(biāo)量近似（模式）覆蓋層導(dǎo)波層襯底層對稱非對稱保護(hù)層包層纖芯階躍折射率射線光學(xué)波動分析（模式）－章平面介質(zhì)波導(dǎo)－章148耦合：外耦合透鏡棱鏡光柵劈形全息外耦合透鏡光柵光纖錐全息波導(dǎo)耦合（耦合波理論）光纖波導(dǎo)焊接耦合：外耦合透鏡棱鏡光柵劈形全息外耦合透鏡光柵光纖錐全息波導(dǎo)149調(diào)制調(diào)制電光聲光磁光強(qiáng)度位相偏振