數(shù)學(xué)理解：概念學(xué)習(xí)的核心追求寧波市奉化區(qū)錦溪小學(xué)汪杰

在概念學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)遇到許多困難，如無法從實(shí)物圖完成抽象，無法辨別相似概念，無法建立概念間的聯(lián)系等等。突破這些難點(diǎn)需要加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。那么，什么是數(shù)學(xué)理解?數(shù)學(xué)理解有哪幾個(gè)層級(jí)?教學(xué)中應(yīng)注意什么?本文以四年級(jí)《線段、直線、射線》一課教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵、層級(jí)及教學(xué)策略跟進(jìn)。一、叩問：數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵與層級(jí)？

（一）什么是數(shù)學(xué)理解？

“理解”一詞，被各個(gè)領(lǐng)域的專家進(jìn)行廣泛的研究與解讀。例如巴甫洛夫說：理解是通過舊聯(lián)想形成新聯(lián)想。格式塔派則認(rèn)為：理解是頓悟，是頭腦中知覺“完形”的出現(xiàn)。皮亞杰認(rèn)為理解建立在學(xué)習(xí)者對(duì)信息的傳輸與編碼的基礎(chǔ)上，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行的主動(dòng)建構(gòu)。

在此基礎(chǔ)上哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授柏金斯提出：“數(shù)學(xué)理解是一種綜合能力，它不僅能對(duì)概念構(gòu)建清晰的心智表征，還能利用概念來進(jìn)行解釋、證實(shí)、推斷、聯(lián)系以及以一種超越知識(shí)和常規(guī)技能的方式進(jìn)行應(yīng)用?！?/p>

綜上，數(shù)學(xué)理解是一種心智活動(dòng)過程，它會(huì)在學(xué)習(xí)者內(nèi)部形成具有個(gè)性特征的心智圖像或模型。數(shù)學(xué)理解還是一種學(xué)習(xí)的結(jié)果，學(xué)習(xí)者對(duì)于概念的理解可以通過“解釋、證實(shí)、推斷、聯(lián)結(jié)、應(yīng)用”等行為外顯，是可測量可評(píng)價(jià)的綜合性能力。

（二）數(shù)學(xué)理解有哪些水平層級(jí)？

關(guān)于數(shù)學(xué)理解的層級(jí)劃分有很多不同的標(biāo)準(zhǔn)，本文所采用的是我國學(xué)者呂林海提出的“EFSC”過程模型，即學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會(huì)相繼經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解和觀念化理解四個(gè)階段?！艚?jīng)驗(yàn)化理解（初步理解）：學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念做出最初的簡單化直觀解釋或例舉說明。◆形式化理解（確切理解）：學(xué)習(xí)者對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行一種抽象，整理與概括，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)形式化符號(hào)與語言的意義解釋，能對(duì)概念進(jìn)行證實(shí)或?qū)崿F(xiàn)推理。◆結(jié)構(gòu)化理解（深刻理解）：學(xué)習(xí)者把概念與概念之間的意義、特征、判定方法等進(jìn)行聯(lián)結(jié)，在整體網(wǎng)絡(luò)下把握概念的內(nèi)涵與本質(zhì)。◆觀念化理解（透徹理解）：學(xué)習(xí)者對(duì)概念進(jìn)行重構(gòu)（再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明），了解概念構(gòu)想和發(fā)現(xiàn)的文化背景，以及相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法。

當(dāng)然并不是所有數(shù)學(xué)理解都需要達(dá)到四個(gè)水平層級(jí)，例如兩點(diǎn)間線段距離最短，學(xué)生只需達(dá)到經(jīng)驗(yàn)化理解---直觀解釋即可。（三）小學(xué)四年級(jí)線概念的數(shù)學(xué)理解層級(jí)劃分

那么在四年級(jí)“射線、直線、線段”一課，學(xué)生需要理解那些內(nèi)容？理解需要達(dá)到什么層級(jí)，每一層級(jí)的具體表現(xiàn)是怎樣的呢？筆者根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于本課的具體要求進(jìn)行數(shù)學(xué)理解層級(jí)劃分，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供目標(biāo)導(dǎo)向，為水平測定提供操作依據(jù)。

在實(shí)際操作中，第一課時(shí)的概念學(xué)習(xí)主要讓大部分學(xué)生達(dá)到形式化理解水平，在后續(xù)的復(fù)習(xí)與其它幾何圖形的學(xué)習(xí)過程中，逐步發(fā)展到結(jié)構(gòu)化理解水平，鼓勵(lì)部分優(yōu)秀學(xué)生步入觀念化理解水平。二、思索：基于數(shù)學(xué)理解的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)理解水平劃分如同為教學(xué)確定了將要達(dá)到的目的地，那么教師該創(chuàng)設(shè)怎樣的教學(xué)路徑帶領(lǐng)學(xué)生步入高水平的數(shù)學(xué)理解呢？筆者建議多做以下三個(gè)維度的研究。（一）研讀教材，挖掘隱含的理解內(nèi)容

教材是眾多專家、名師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與智慧形成的范本。在教材中四年級(jí)線概念一課主要內(nèi)容有：“線的圖像，線的定義與特征及符號(hào)表達(dá)，線特征之間的區(qū)別與聯(lián)系”，這些內(nèi)容自然是理解的重點(diǎn)，但還有許多隱含的具有價(jià)值的內(nèi)容需要教師去挖掘。

例如教材中關(guān)于射線的定義“把線段向一端無限延伸，就得到了一條射線。射線可以用端點(diǎn)與射線上的一個(gè)點(diǎn)來表示，如射線AB?！睆闹形覀儾浑y發(fā)現(xiàn)它蘊(yùn)含著兩個(gè)方面的理解。一是線的延伸性。線段向一個(gè)方向無限延伸得到射線，向兩個(gè)方向無限延伸得到直線，而有限延伸得到另一條線段，延伸性是線概念都具備的特征，它們的區(qū)別在于延伸的方向與距離。二是線的符號(hào)表達(dá)。線命名的作用是什么？為什么選用兩個(gè)字母進(jìn)行命名？當(dāng)這些問題解決后，學(xué)生便能理解符號(hào)表達(dá)的優(yōu)勢(shì)---交流便利，還有可能洞察蘊(yùn)含的本質(zhì)---兩點(diǎn)確定一線。

（二）查閱文獻(xiàn)，厘清概念的理解要義

許多概念在教學(xué)中常常連教師自己也講不清楚，這時(shí)我們需要對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行百科檢索，站在高位多視角思辨，有助于發(fā)生聯(lián)想實(shí)現(xiàn)頓悟。

對(duì)于點(diǎn)的詞條解釋中，我們知曉了點(diǎn)是0維的對(duì)象，它沒有長度、更沒有大小，甚至它可以是任意的形狀，例如線段端點(diǎn)可以用“丨”表達(dá)。更巧的是歐幾里得與笛卡爾同時(shí)提出，點(diǎn)是用來占位置的。由此，我們聯(lián)想到作圖時(shí)，線段明明有許多的點(diǎn)卻偏偏只畫兩個(gè)端點(diǎn)？究其本質(zhì)是端點(diǎn)所占的位置決定了線段的方向、距離，決定了這條線段的唯一性。由此頓悟“在什么位置”是理解點(diǎn)最核心的要義。

對(duì)于線的詞條解釋中，都提到了運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，筆者聯(lián)想到在辨析線段AB與射線AB時(shí)，B點(diǎn)一會(huì)兒是端點(diǎn)，一會(huì)兒是線上的點(diǎn)，更何況端點(diǎn)也是線上的點(diǎn)。如果我們用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去解釋，A點(diǎn)便是起點(diǎn)，在B點(diǎn)停下時(shí)其為終點(diǎn)，如果到達(dá)B點(diǎn)繼續(xù)向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，那B點(diǎn)便成為經(jīng)過的點(diǎn)，以運(yùn)動(dòng)為媒介，實(shí)現(xiàn)生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)表達(dá)的對(duì)應(yīng)，意義的解釋就變得清晰明了。

（三）換位思考，了然學(xué)生的理解難點(diǎn)

數(shù)學(xué)理解是一種內(nèi)部心智活動(dòng)，小學(xué)生由于個(gè)體心智不成熟，往往會(huì)產(chǎn)生許多成人難以預(yù)料的理解困難。筆者前測訪談中發(fā)現(xiàn)有幾處普遍性的理解錯(cuò)誤。

1.端點(diǎn)意義缺失。畫線段是本節(jié)課最基礎(chǔ)的技能要求，不少學(xué)生在作業(yè)環(huán)節(jié)把黑板邊畫成了直線，經(jīng)過訪談了解到學(xué)生眼中黑板邊就是直直的，兩端并沒有明顯的點(diǎn)，跟直線圖示一致。其實(shí)生活中的事例、數(shù)學(xué)中的圖形許多時(shí)候端點(diǎn)并不外顯（三角形作圖一般不畫頂點(diǎn)），是我們用數(shù)學(xué)的眼光抽象出來的，因此端點(diǎn)數(shù)學(xué)表達(dá)的意義認(rèn)知缺失，是學(xué)生無法達(dá)到形式化理解的主要障礙。

2.運(yùn)動(dòng)視角缺失。“端點(diǎn)把線段長度固定了，怎么可以延長呢？”不少學(xué)生看到射線的定義時(shí)冒出這樣的觀點(diǎn)。筆者反問：“那生活中有哪些線段呢”，學(xué)生列舉的材料集中指向于“拉緊的線”與“直的物體”，這些材料都是不能拉伸長度。筆者追問“那跑步過程能看成線段嗎？沖過終點(diǎn)還能繼續(xù)跑嗎”，學(xué)生一聽就懂了?？梢?，在教學(xué)線段時(shí)教師提供的原型單一，特別是缺少運(yùn)動(dòng)成線的經(jīng)驗(yàn)積淀，是造成線段無法延伸誤解的主要原因。

3.理性思維缺失。學(xué)生在辨析“射線AB與射線BA”時(shí)常常發(fā)生錯(cuò)誤，認(rèn)為這兩條線方向都是水平，都有兩個(gè)點(diǎn)，長度也一樣，所以是同一條線。學(xué)生的視角很有意思，他們認(rèn)為是所見即真相，其直覺沖動(dòng)與感性思維占據(jù)主導(dǎo)地位，在理解過程中普遍缺乏全面的、慎密的理性思考。

通過上述三個(gè)維度的