4.1平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)考慮到一般的平面線性系統(tǒng)（4.1.1）其中為常數(shù)矩陣

。如果，則是系統(tǒng)這時(shí)的奇點(diǎn)稱為系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)。的惟一的奇點(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)稱為孤立奇點(diǎn).而則稱非為孤立奇點(diǎn),而非孤立奇點(diǎn)充滿一條直線，1（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情況而具有以下幾種形式：因而對(duì)系統(tǒng)（4.1.1）作變換即，其中下邊討論系統(tǒng)（4.1.1）的初等奇點(diǎn)。根據(jù)線性代數(shù)的理論，必定存在非奇異實(shí)矩陣，使得成為的若當(dāng)2是上邊所說(shuō)的實(shí)可逆矩陣，則系統(tǒng)(4.1.1)變?yōu)?(4.1.2)從平面系統(tǒng)（4.1.2）的軌線結(jié)構(gòu)，至于原方程組(4.1.1)的奇點(diǎn)及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換由于變換不改變奇點(diǎn)的位置與類型，因此我們只對(duì)線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)方程組給出討論。返回到就行了。而變換的幾種形式就能容易的得出3記設(shè)則特征方程為，特征根為(4.1.3)由特征根的不同情況分為四種情況來(lái)討論:的特征方程為：41.特征根為不相等的同號(hào)實(shí)根此時(shí)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(4.1.4)容易求出其通解為（4.1.5）其中對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的當(dāng)是任意常數(shù)，對(duì)應(yīng)于零解，軸正負(fù)半軸都是軌線；軸正負(fù)半軸是軌線；時(shí)候，再分兩種情況討論：5這時(shí)消去得（4.1.6）所以軌線均為以頂點(diǎn)的拋物線，且當(dāng)時(shí)由（1），同號(hào)且均為負(fù)數(shù)當(dāng)時(shí)即規(guī)線切軸趨于點(diǎn)。當(dāng)時(shí)即軌線切軸趨于點(diǎn)。6且由于(4.1.6)知此時(shí)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的相圖如下圖所示：圖4.1(a)圖4.1(b)我們把這樣的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。7這時(shí)關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為所以此時(shí)的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，軌線分布如圖4.1類似，僅是圖上的箭頭反向。2.為異號(hào)實(shí)根這時(shí)仍有(4.1.5)和(4.1.6)，所以兩個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)半軸仍為軌線，但是由于，奇點(diǎn)附近（2），同號(hào)均為正數(shù)的軌線成為雙曲型的,且若則當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，8軌線均以軸軸為漸近線，系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的軌線分布如:圖4.2(a)圖4.2(b)這種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)，它是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。93.為重根這時(shí)由Jordan塊的不同分為兩種：(1)標(biāo)準(zhǔn)型為(4.1.7)且當(dāng)時(shí)，即是漸近穩(wěn)定的；反之，當(dāng)時(shí)為不穩(wěn)定的。此時(shí)的奇點(diǎn)稱為臨界結(jié)點(diǎn)（星形結(jié)點(diǎn)）.10臨界結(jié)點(diǎn)（星形結(jié)點(diǎn)）.11(2)若Jordan塊為二階時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型為(4.1.8)其通解為(4.1.9)仍對(duì)應(yīng)的是零件即奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是不再是軌線，軸軸為軌線，但是時(shí)消去得出：12(4.1.10)由上式知：又因?yàn)樗杂幸虼怂熊壘€均切當(dāng)稱為退化結(jié)點(diǎn)。且當(dāng)軸于點(diǎn)，這種奇點(diǎn)時(shí)為穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)，時(shí)為不穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)。13退化結(jié)點(diǎn)144.這時(shí)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(4.1.11)取極坐標(biāo)變換,(4.1.11)即化為:(4.1.12)下邊分兩種情況討論:15其中是任意常數(shù)，消去得這是一族對(duì)數(shù)螺線，這樣的奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)是穩(wěn)定焦點(diǎn)，時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，的正負(fù)決定了增加時(shí)軌線是順時(shí)針還是逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。（1）此時(shí)解(4.1.12)得出16穩(wěn)定焦點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn)17(2)這時(shí)特征值是一對(duì)純虛數(shù),于是系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的通解為：為任意的常數(shù)且為中心的同心圓，這樣的奇點(diǎn)稱為中心，中心是穩(wěn)定奇點(diǎn)但不是漸近穩(wěn)定的。。顯然這是一族以原點(diǎn)18歸納上邊的討論得出，系統(tǒng)(4.1.1)的奇點(diǎn)是初等奇點(diǎn)時(shí)候根據(jù)它的系數(shù)矩陣特征方程(4.1.3)有如下分類：1）當(dāng)2）當(dāng)定的，3)當(dāng)化結(jié)點(diǎn),且的時(shí)，為鞍點(diǎn)；是穩(wěn)且時(shí)是結(jié)點(diǎn)且不穩(wěn)定的；是臨界結(jié)點(diǎn)或退且時(shí)是不穩(wěn)是穩(wěn)定的，定的；19由此知道參數(shù)平面，被軸，正軸別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的鞍點(diǎn)區(qū)，焦點(diǎn)區(qū)，結(jié)點(diǎn)區(qū)，及曲線分成了幾個(gè)區(qū)域，分中心區(qū)，退化和臨界結(jié)點(diǎn)區(qū)等等，點(diǎn)。但是平面的軸對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的高階奇4)當(dāng)時(shí)是焦點(diǎn)且為穩(wěn)定的，為不穩(wěn)定的;5)當(dāng)且時(shí)，是中心。20奇點(diǎn)類型和穩(wěn)定性在參數(shù)p-q平面的分類示意圖21例4.1

判斷下面系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型并作出相圖。解:由定義知，所以奇點(diǎn)(0,0)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，為了確定軌線進(jìn)入原點(diǎn)的方向，令知必滿足

為軌線的切線斜率。由方程22解之得，即軌線切或進(jìn)入奇點(diǎn)。在軸的正半軸上在軸的負(fù)半軸上23所以分析得出軌線切在軸的正半軸上在軸的負(fù)半軸上進(jìn)入(0,0)相圖見(jiàn)圖4.3。24圖4.325例4.1.6畫出下面的線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近相圖