第九章異方差性一、異方差的性質(zhì)二、異方差的后果三、異方差的診斷四、補(bǔ)救措施五、案例和實(shí)操對(duì)于模型如果出現(xiàn)即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。

一、異方差的性質(zhì)---異方差概念通常出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)中

一、異方差的性質(zhì)---異方差類型

同方差性假定：i2=常數(shù)f(Xi)

異方差時(shí)：i2=f(Xi)異方差一般可歸結(jié)為三種類型：

(1)單調(diào)遞增型：i2隨X的增大而增大

(2)單調(diào)遞減型：i2隨X的增大而減小

(3)復(fù)雜型：i2與X的變化呈復(fù)雜形式

例圖9-1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

Yi=0+1Xi+iYi:第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額Xi:第i個(gè)家庭的可支配收入

高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化

一、異方差的性質(zhì)---異方差舉例例9-1股票交易所經(jīng)紀(jì)人傭金Y:傭金額；X：交易額；Y對(duì)X的斜率：傭金率結(jié)論：

X越大，對(duì)應(yīng)的方差越??；

X越小，對(duì)應(yīng)的方差越大。解讀：經(jīng)紀(jì)公司對(duì)大機(jī)構(gòu)投資者收取的傭金率差異小對(duì)小機(jī)構(gòu)投資者收取的傭金率差異大例9-2523個(gè)工人的工資等數(shù)據(jù)Y:工資；X1：教育程度；X2：工作年限討論：X1越大，Y的波動(dòng)越大，擾動(dòng)項(xiàng)的方差越大；X2越大，Y的波動(dòng)越大，擾動(dòng)項(xiàng)的方差越大。

二、異方差性的后果1、OLS估計(jì)量線性、無偏，但不具有有效性。3、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義，建立在t分布和F分布之上置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)不再可靠。2、擾動(dòng)項(xiàng)方差的估計(jì)值不再是真實(shí)擾動(dòng)項(xiàng)方差的無偏估計(jì)，因而OLS估計(jì)量的方差通常是有偏的。一些診斷工具：1、問題的性質(zhì)2、殘差的圖形檢驗(yàn)3、帕克檢驗(yàn)（Parktest）4、格萊澤檢驗(yàn)（Glejsertest）5、懷特的一般異方差檢驗(yàn)（WhiteGeneralHeteroscedasticityTest）6、異方差的其他檢驗(yàn)方法

三、異方差性的診斷-如何知道存在異方差問題？

三、異方差性的診斷診斷思路：

由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。

問題在于用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差

一般的處理方法：幾種異方差的檢驗(yàn)方法：

1、圖示法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）看是否形成一斜率為零的直線（3）殘差平方和對(duì)Y的估計(jì)值作圖，則不用對(duì)每個(gè)X作圖2、帕克(Park)檢驗(yàn)與格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)

基本思想:

首先，對(duì)原模型進(jìn)行OLS回歸，得到其然后，嘗試建立方程：或選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。若拒絕原假設(shè)，則說明之間是統(tǒng)計(jì)顯著的，即存在異方差。2、帕克(Park)檢驗(yàn)……拒絕原假設(shè)，說明原模型存在異方差。在此沒有取對(duì)數(shù)，why?若拒絕原假設(shè)，則說明之間是統(tǒng)計(jì)顯著的，即存在異方差。2、格萊澤(Glejser)檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)，說明原模型存在異方差。

3、懷特（White）檢驗(yàn)-懷特檢驗(yàn)適合任何形式的異方差Step2:然后做如下輔助回歸，得到其

n是樣本容量R2為eq02的可決系數(shù)，h為eq02中解釋變量的個(gè)數(shù)Step1:首先，對(duì)原模型進(jìn)行OLS回歸，得到其(eq01)(eq02)Step3:因?yàn)椋梢宰C明，在同方差假設(shè)下：Step4:所以，選擇好顯著性水平，可知卡方分布的臨界值。如果nR2的值大于該臨界值，則拒絕原假設(shè)：不存在異方差。如果nR2的值小于該臨界值，則不拒絕原假設(shè)：不存在異方差。0.046987拒絕原假設(shè)，說明原模型存在異方差。說明

輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。

如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性，這時(shí)往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗(yàn)值較大。當(dāng)然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時(shí)可去掉交叉項(xiàng)。

四、異方差的修正：補(bǔ)救措施1-加權(quán)最小二乘法wls

模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進(jìn)行估計(jì)。

加權(quán)最小二乘法的基本思想：

加權(quán)最小二乘法是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計(jì)其參數(shù)。

在采用OLS方法時(shí):

對(duì)較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)，對(duì)較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。

例如，如果對(duì)一多元模型，新模型中，存在

即滿足同方差性，可用OLS法估計(jì)。經(jīng)檢驗(yàn)知：（一元）

四、異方差的修正：補(bǔ)救措施1-加權(quán)最小二乘法wls加權(quán)最小二乘估計(jì)量

四、異方差的修正：補(bǔ)救措施1-加權(quán)最小二乘法wls在P217中，若已知，則模型兩邊直接除以在P218中，若未知，通常猜測(cè)或加權(quán)最小二乘法wls不拒絕原假設(shè)：不存在異方差

四、異方差的修正：補(bǔ)救措施2-重新設(shè)定模型如果沒有明顯證據(jù)支持選擇哪類模型，如果線性模型中異方差問題比較嚴(yán)重，可以考慮選擇雙對(duì)數(shù)模型，因?yàn)閷?duì)數(shù)變化壓縮了變量的度量單位但是當(dāng)Y或X為0或者有負(fù)數(shù)時(shí)該方法則不適用。

五、采用懷特異方差校正方法校正-僅校正標(biāo)準(zhǔn)誤和t值如前所知，在存在異方差的情況下，OLS估計(jì)量無偏，非有效，估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤有偏，t檢驗(yàn)F檢驗(yàn)不再可靠。懷特建立了一種估計(jì)方法，該方法考慮了異方差的存在，調(diào)整了估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤，在大樣本下，OLS估計(jì)量漸進(jìn)有效。因此，大樣本下，懷特方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)誤的校正，OLS估計(jì)量線性無偏，漸進(jìn)有效。注意：

在實(shí)際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法：

不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法七、案例—例9-2P207

現(xiàn)考慮工人的工資主要由受教育程度和工作年限所影響，現(xiàn)收集了523個(gè)工人的工資、受教育程度、工作年限的數(shù)據(jù)，詳見表9-2。構(gòu)建如下回歸模型：先驗(yàn)預(yù)期，檢驗(yàn)異方差：利用懷特的一般異方差檢驗(yàn)-檢驗(yàn)是否存在異方差。Eq01基礎(chǔ)上操作（9-16）利用懷特方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差和t值的校正。-eq05（9-30）WLS方法修正異方差：利用P213平方根變換進(jìn)行異方差校正。先生成educ的平方根倒數(shù)序列，并以此為權(quán)數(shù)-WLS得到eq02（9-25）-進(jìn)行異方差檢驗(yàn)WLS方法修正異方差：利用P219權(quán)數(shù)進(jìn)行異方差校正。以edcu的倒數(shù)作為權(quán)數(shù)-WLS得到eq03（9-27）重新設(shè)定模型修正異方差：設(shè)定為雙對(duì)數(shù)模型。-eq04（9-29）利用懷特的一般異方差檢驗(yàn)-檢驗(yàn)是否存在異方差。Eq01基礎(chǔ)上操作（9-16）利用懷特的一般異方差檢驗(yàn)-檢驗(yàn)是否存在異方差。Eq01基礎(chǔ)上操作（9-16）如果nR2的值大于該臨界值，即其對(duì)應(yīng)的p值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)：不存在異方差。如果nR2的值小于該臨界值，即其對(duì)應(yīng)的p值大于顯著性水平，則不拒絕原假設(shè)：不存在異方差。因?yàn)?.0246小于5%，所以有：在5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)。即說明原模型存在異方差。利用P213平方根變換進(jìn)行異方差校正。先生成教育水平的平方根序列-eq02（9-25）利用P213平方根變換進(jìn)行異方差校正WLS。先生成教育水平的平方根序列-eq02（9-25）對(duì)eq02進(jìn)行懷特異方差檢驗(yàn)，顯示加權(quán)后的模型不拒絕原假設(shè)，即不拒絕同方差假定。重新設(shè)定模型，設(shè)定為雙對(duì)數(shù)模型。-eq04（9-29）重新設(shè)定模型，設(shè)定為雙對(duì)數(shù)模型。-eq04（9-29）對(duì)eq04進(jìn)行懷特異方差檢驗(yàn)，考察重新設(shè)定的雙對(duì)數(shù)模型是否存在異方差。對(duì)eq04進(jìn)行懷特異方差檢驗(yàn)，顯示重新設(shè)定的雙對(duì)數(shù)模型拒絕原假設(shè)，即拒絕了同方差假定。利用懷特方法進(jìn)行異方差校正。-eq05（9-30）利用懷特方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差和t值的校正。-eq05（9-30）比較eq01和eq05,可以發(fā)現(xiàn)，回歸系數(shù)是一樣的，不同的是回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤和t值。該例說明，異方差并不一定破壞回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性。但是一旦發(fā)現(xiàn)了異方差問題，就要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤進(jìn)行修正。第九章異方差性一、異方差的性質(zhì)二、異方差的后果三、異方差的診斷四、補(bǔ)救措施五、案例和實(shí)操七、案例--中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù)

例4.1.4

中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來決定。農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入(3)工資性收入、(4)財(cái)產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入?？疾鞆氖罗r(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入(X1)和其他收入(X2)對(duì)中國農(nóng)村居民消費(fèi)支出(Y)增長的影響:普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果：

異方差檢驗(yàn)懷特檢驗(yàn)

作輔助回歸:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11) R2=0.4638似乎沒有哪個(gè)參數(shù)的t檢驗(yàn)是顯著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值20.05(5)=11.07，拒絕同方差性

去掉交叉項(xiàng)后的輔助回歸結(jié)果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)