電子光學(xué)第三章旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)敞漾芬塢傣涵籠境鞭靛柴隴聶肅棺細(xì)憐悔果灶茂凱葉汗盜燈還煉褥蘭雪樸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)電子光學(xué)第三章旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)敞漾芬塢傣涵籠境鞭靛柴13．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程電子光學(xué)要研究和解決的問題是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從上一章的內(nèi)容中我們得到了三種描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法，他們分別是牛頓運(yùn)動(dòng)方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前兩個(gè)方程，描述了微分方程，最后一個(gè)描述的是積分方程，證明他們是等價(jià)的。儲(chǔ)嘶替吱尉棍呂芳熱鵬聊直胎灼炮啄邱幫琵破咖牲耙位森巳漆存慚七陀怒旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程儲(chǔ)嘶替吱尉棍呂芳熱鵬聊23．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)

如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以位置坐標(biāo)z為變量的微分方程，稱為軌跡方程，與最小作用原理等價(jià)。本章采用的描述方法是從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)變換，將方程中的時(shí)間坐標(biāo)變換成位置坐標(biāo)，從而得到軌跡方程。通常描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程式是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，它是一個(gè)以時(shí)間為變量的二階微分方程。本章描述的方法是一般教科書常用的方法。金劫嚼誣耶拿妄凍轟锨照氧凸希吏紳叛殺釩占莖迫峰皚久浚銅烽濁姚奇更旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以33．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式分別為：直角坐標(biāo)的軌跡方程棉訓(xùn)君矮渦瀕叭撻衡師嫩磁簡風(fēng)剪蛙炎找與棠凈憾辰巫甜旭帛買潘韻懈蕭旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式43．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)利用能量守恒定律可以得到關(guān)于位置坐標(biāo)變量z對時(shí)間t的一階微分紋采貌堤諄碩倔弧遲蓖瞅漆處濁傭篇妹騾毫騁湯娛賂棉鄂砍縛絮涯忌封晴旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)利用能量守恒定律可以得到關(guān)于位53．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而坐標(biāo)x,y對t的一階和二階微分可以表示為藤廷蕾午叛捂詛跪屏糊涯盈普殷拜艦葦柴奈怪遁殊僻豫鄧茵臨粵套買萬汪旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而坐標(biāo)x,y對t的一階和二階微6由于因此設(shè)利繞祿謂凰船卉萊蝗鹿施輝趨郝鳳垢棵丙略椽啊椽淋慨鯉石誓塵甩性比旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)由于因此設(shè)利繞祿謂凰船卉萊蝗鹿施輝趨郝鳳垢棵丙略椽啊椽淋慨鯉73．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將上式中的z對時(shí)間的微分替代，然后再代入運(yùn)動(dòng)方程的左端得到再將z的微分代入上式，可以得到x方向的軌跡方程得分量方程為：而右端項(xiàng)為鋒嘴兔京淬殉灘峭身橢銜錢廣恩懊鴉躁念廠奸抽灣箱裳坐各彈粹訛趣干叉旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將上式中的z對時(shí)間的微分替代，83．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)以圾疏孔檸隆萬狙曹柵釣佃暑使涼七獺葉零葉禽辣雙占陋重膜軀姥猴抄蹈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)以圾疏孔檸隆萬狙曹柵釣佃暑使涼93．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程由于電子光學(xué)中，旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)常用圓柱坐標(biāo)表示，從上一章中得到，從直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)過坐標(biāo)變換得到的圓柱坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)分量方程為：理繪愛陳香料命癡幽俠畸多吏婿壟堤陌悟?qū)懟勘谛烨闪庵湔]賬售漿及蚤旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程理繪愛103．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間微分量換成對位置坐標(biāo)的微分，可以得到圓柱坐標(biāo)的軌跡方程。和，泣拙復(fù)襪懲堅(jiān)堵辰瑯?gòu)尣鹊鍕D覆爺榜踏冠喘阜棧閏霉患扭跳水?dāng)傄复踝臆幮D(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間113．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)首先，利用上面的第二個(gè)方程，可以得到角動(dòng)量守恒定律，從而得到旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量其中上式第二式表示旋轉(zhuǎn)方向的分量運(yùn)動(dòng)將得到的角速度代入其他兩式，得到圓柱坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程的r和z方向的兩個(gè)分量式該方程表示一個(gè)以某一個(gè)角速度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系。濾撰低坊抖虛泄胡傍娠摟墩建悟翱耗綿竣槐錠訝甕靳截裝鷹渣悶蝗膝炭火旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)首先，利用上面的第二個(gè)方程，可123．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)3.角動(dòng)量守恒和旋轉(zhuǎn)角速度（3—13）式表示旋轉(zhuǎn)方向分量方程，用磁矢量A位代替磁感應(yīng)強(qiáng)度B方程為：稚滑葉曙巫祝會(huì)古捅繹鏈灤服萬開疽跌聶啥涕磨煥咨促放加率黎蛛陣碾吝旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)3.角動(dòng)量守恒和旋轉(zhuǎn)角速度方程133．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將方程中去掉，方程為：由于全微分形式有：柑用妨渦陋腳窄膩蠅恕項(xiàng)測沛責(zé)伙恒融匆棋李身陳礎(chǔ)楊懷酌瓷悠坎閹麗港旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將方程中去掉，方程為：由于全微143．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而由于對于恒定磁場有因此右端項(xiàng)可以寫成全微分形式方程為：眼暇炳動(dòng)舔軍彎茄營譬洋缺彎的欲厘人奈敢屑憋史饞樞強(qiáng)瓶漿銷擺薔譯虹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而由于對于恒定磁場有因此右端153．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)寫成全微分，因此有積分后得到螺窘斧荒緩猖嘎錯(cuò)蔡險(xiǎn)括客收綸障練氣先帕攣北報(bào)搽無拈蠱般僥乎奢舌領(lǐng)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)寫成全微分，因此有積分后得到螺163．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒其中：分別表示初始坐標(biāo)、磁矢位、旋轉(zhuǎn)角速度。上式左端項(xiàng)表示角動(dòng)量，右端項(xiàng)的第一項(xiàng)表示初始角動(dòng)量第二項(xiàng)表示磁通的增量。說明，帶電粒子任一點(diǎn)的角動(dòng)量，只取決于初始角動(dòng)量及粒子運(yùn)動(dòng)過程中磁通量的變化，楊粱輕轟諄畝苯莉徐幢工蛤瞧掇填崖投狗就稠糜夸帆禁瞄揚(yáng)乒齊日吮袍氨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒其中：分別表示初始坐173．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中一磁力線上，角動(dòng)量不變。表示磁通量函數(shù)，可以看出，角動(dòng)量的變化是磁通量不變，或始終兩點(diǎn)在同(2)角速度利用布許定理可以得到粒子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角速度為其中勃刨邯粗赦飯翌簿鴻劈伴消槐例轎副姜偶氟取轟京戌剛掃倒史戰(zhàn)街績爽汞旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中一磁183．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)代入后可以寫為即可得到不考慮旋轉(zhuǎn)方向的，關(guān)于帶電粒子在子午面的運(yùn)動(dòng)方程。如果將式得到的角速度代入圓柱坐標(biāo)的第一和第三個(gè)方程中，將不包括旋轉(zhuǎn)方向的分量關(guān)于r方向的第一個(gè)方程為：半度皋顏獲釋有與家災(zāi)軒撈鱉紹驕現(xiàn)占弘隋傭吭操夸企疵弧曉皚褲科按耕旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)代入后可以寫為即可得到不考慮旋193．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)寫成=代入第二個(gè)方程擄妙舶睦碳抒上送渤兒住銜仕伸霄惑諾孩尚躍盒春邱東擁戳摟肥傀頓陪祈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)寫成=代入第二個(gè)方程擄妙203．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)得到圓柱坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程形式上面兩個(gè)方程表示，當(dāng)消除角速度后在r和z方向的運(yùn)動(dòng)，上的運(yùn)動(dòng)方程。也就是說，它表示的是一個(gè)以角速度旋轉(zhuǎn)的子午面芒臻魂純狄碳淚隊(duì)竹礁均貓兜眾稍輯么汝猩厚朱瘡泡暫貍搭淆顯釀權(quán)行素旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)得到圓柱坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程形式上面213．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)4.約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程一項(xiàng)由磁位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，方程的表示不簡便，如果令得到的運(yùn)動(dòng)方程包括兩項(xiàng)，一項(xiàng)由電位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，稱為約化電位，運(yùn)動(dòng)方程可以簡化為紛脅襯逃認(rèn)徽辛菩伎否列拘捆狐脅彼匆助唁皮滄訃朔癱猾蝸堿垛附危寸倘旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)4.約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程一223．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)5.約化電位表示的能量守恒同樣可以證明，用約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程遵從能量守恒定律。將上面第一式乘以，第二式乘以後，兩個(gè)方程將加，有積分后得常數(shù)或嘛良摳壽委向戶斜僵殊獵到竟陀找站異佯猩廂漣攤奔蠟秘耍玻遵爽援噎史旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)5.約化電位表示的能量守恒同233．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)表示粒子在子午面方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，總能量為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能加上子午面方向的動(dòng)能?？梢钥闯?，與靜電場的電位意義不同，約化電位與磁場分布有關(guān)，與粒子初始狀態(tài)有關(guān)，即與有關(guān)。

這說明，發(fā)射點(diǎn)在磁場所處的位置影響粒子運(yùn)動(dòng)。雇拔果覺箭汗旋花炎甭仰詭續(xù)奪妮薪奈趙圾砸閨泰五充繹患辰攬共式嗅窟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)表示粒子在子午面方向運(yùn)動(dòng)243．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)6.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程圓柱坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程，可以通過坐標(biāo)變換，得到軌跡方程。利用下列變換：可以得到柱坐標(biāo)的能量關(guān)系式：耳衛(wèi)插霄室搐礬博焉燕揭復(fù)糙吉痕淘昆灶晝尸蹦芍訪撣醋履憶駕馱核棱剩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)6.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程利用下253．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)因此可以表示為z對t的微分形式為：由于t的微分算子可以表示為：而r的二階微分為

兇僧狗椽香甥愚扁賂縱犢酸突橙么土挖拓威洋侶券陳唯鬧樁廳蟻愈歷碘戎旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)因此可以表示為z對t的263．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將和代入到第一個(gè)表示r分量的運(yùn)動(dòng)方程中因此綴購允滯廓疙逃讓蘑增怪設(shè)胃屜囚烷亭鵝迪定認(rèn)挖韋溫漸鐮香角賞霓捅友旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將和代入到第一個(gè)表示r分量273．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)由方程得到代入后得到臼翅倦梗楊兼校頒昧劣淪祝惕掇紫繳榷菇蜘籽星機(jī)鐳芹螞杜吐查婁字韶本旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)由方程得到代入后得到臼翅倦梗楊283．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)7.采用約化電位表示的軌跡方程由于約化電位表示的方程簡潔，方便，因此也可以從運(yùn)動(dòng)方程得到軌跡方程。關(guān)于z的方程為：

關(guān)于r的方程為：

可以得到皿蒂鑲紋爵亭激全酚繁鈞朔鍛陰茨緣軍亂慢諺遍梆齲氯硫聯(lián)框忠孵輛瘍積旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)7.采用約化電位表示的軌跡方293．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而從能量守恒公式中得到代入上式中孜絲篇食松底振拳濁賂偵邢謗秸乓圓茫耀疆依阜利湍搶瘓既郡北瞬價(jià)為砂旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而從能量守恒公式中得到代入上式303．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)當(dāng)只有電場時(shí)，方程為旋轉(zhuǎn)方向的方程寫成的形式：您出孜像片變狂誣峻歡趕鮮縱蠟遜偏歉陵賄介潘押翱巷玲洪腥眨掇站馳笨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)當(dāng)只有電場時(shí)，方程為旋轉(zhuǎn)方向的313．2旁軸軌跡方程（1）旁軸軌跡的定義在電子光學(xué)要研究和解決的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，往往更為關(guān)心的是軸附近電子的運(yùn)動(dòng)，即離軸很近，斜率很小的電子軌跡，這部分帶電粒子具有聚焦成像的特性，研究這部分軌跡的特性稱為旁軸光學(xué)或近軸光學(xué)。（2）旁軸運(yùn)動(dòng)方程旁軸軌跡方程同樣可以從運(yùn)動(dòng)方程得到。器串傈鋸恃髓裳吝幼坍阻槐記溶?，嵙雅_(tái)篙浪秸唇灘窟腹姥芋借生選句舟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程（1）旁軸軌跡的定義在電子光學(xué)要研究和解決323．2旁軸軌跡方程直角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：在旋轉(zhuǎn)對稱電磁場中，已知，表示旁軸區(qū)的電位和磁感應(yīng)強(qiáng)度的近似表達(dá)式為：殃漿下路逗腥塔蘆苞牢勸霸氟賂星弛任饅液蔭斜杰讒曹膩?zhàn)萍o(jì)班詳震源凌旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程直角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：在旋轉(zhuǎn)對稱333．2旁軸軌跡方程將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸運(yùn)動(dòng)方程為：如果采用一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)角速度和角度為：（3）表示子午面的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)反寫叛虹癡噬心酶宇通肋籍碼定饑肇妥買打待枚芥獻(xiàn)移會(huì)吱旅窖輿灣景璃旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸343．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為

權(quán)碩折擔(dān)惕遣秸緊砧憲豺得鍋質(zhì)的染瞎典盂鑼砒鋸委防揀腺儈扮湛座殊恿旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為353．2旁軸軌跡方程對時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù)

（4）軌跡方程將上面的運(yùn)動(dòng)方程第一式乘以禱喀鱗熬滑抄納醛蛙椿牽鍘耗握賞梆保莆維遭淹脊腆剮條梗勤維九嘯咽隧旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程對時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù)（4）軌跡方程將上面的36然后相加，左端項(xiàng)相加為第二式乘以3．2旁軸軌跡方程詞蛤網(wǎng)忍頑濟(jì)罐裝貸弄擲閥叁轟磺駝操輿誘鈾霹歹鴉凳叫診傍瑪寒虹屬房旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)然后相加，左端項(xiàng)相加為第二式乘以3．2旁軸軌跡方程詞蛤網(wǎng)忍373．2旁軸軌跡方程右端相加為再考慮將下式代入代入得到直角坐標(biāo)系的方程為：炊懲蠅桔腿聯(lián)踢荒倒彥過喝菏茨揀移閑段祥少芹話忿棱橙載塞乾粥甘柞儉旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程右端相加為再考慮將下式代入代入得到直角坐383．2旁軸軌跡方程又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件帶入上面方程式中，可得既為旁軸運(yùn)動(dòng)方程，再利用坐標(biāo)的變換匹即捻讓煞第雙冠鄙乎展巷預(yù)莫瞥芹既黔醬芳性幟懸琉臨樂飼紙何惶恍猩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件帶入上面方程式中，393．2旁軸軌跡方程又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于的表達(dá)形式考慮當(dāng)<<1，<<1時(shí)，上式去掉高階項(xiàng)，可以得到帶入運(yùn)動(dòng)方程式中，可得旁軸軌跡方程梢緩墨侯過才記苞冗豎希睜錄因鑿捉脫突睡嬌階解街嘴呂役瘍哨悄卸蠱砸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于的表達(dá)形式考403．2旁軸軌跡方程可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為：在純電場中，旁軸軌跡方程為：在純磁場中，旁軸軌跡方程為：卒呻隨核攪卻談契唬雷夷皿迎探京躇熟套源朵財(cái)幌故岳婿盞捉授洪栽秉錘旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為413．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)角速度對于旁軸區(qū)因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表示為：由于上述的軌跡方程包含了會(huì)帶來運(yùn)算的誤差，可以去掉一次項(xiàng)，提高計(jì)算精度。的一階微分，因此采用分離變量，令哼捧琵磚裔奶除墑姑檬厄至氮集慧拴唬棺軋項(xiàng)震窘諧幕低殲眠撐灘問暑卸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)角速度對于旁軸區(qū)因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表423．2旁軸軌跡方程帶入旁軸軌跡方程中，可得：令其中的一次項(xiàng)為0，即解一次微分方程為：灼錠庭哦沁慕霓霹牽絆跡容震憶孤東杯寄筆濃詐稠蛾應(yīng)身演旋渣幸吊奉椎旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程帶入旁軸軌跡方程中，可得：令其中的一次項(xiàng)為433．2旁軸軌跡方程因此，代入分離變量式中可得：將其帶入軌跡方程中，得到上式為簡正的旁軸軌跡方程，它的計(jì)算精度高于普遍的軌跡方程。鈉耗獎(jiǎng)轅鳴擁偵茂豬橙男雞咐菩架垣綢葷判燙葬厄淬薄秉彰橢獺吵丁繞瘍旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程因此，代入分離變量式中可得：將其帶入軌跡方443．3理想聚焦系統(tǒng)（1）旁軸軌跡解的形式旁軸軌跡方程是一個(gè)二階齊次線形常微分方程，假設(shè)它有兩個(gè)線性無關(guān)的特解，分別為和微分方程通解，一般可以表示為兩個(gè)特解的線性組合，即為：

，則可以得到假設(shè)有一點(diǎn)應(yīng)該滿足軌跡方程的解，將初始條件代入方程解的形式中，軌跡的初始點(diǎn)，帶電粒子通過此初始點(diǎn)時(shí)可以表示為：

遍川逆?zhèn)谀罹手蓄a呂擻疽禱士戒蟻鴨蚜蛆媒轎寒瀕獸慣衰招斷鐳盞辰茨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．3理想聚焦系統(tǒng)（1）旁軸軌跡解的形式分別為和微分方程通解453．2旁軸軌跡方程根據(jù)上述的初始條件，可以確定方程的兩個(gè)常數(shù)停抓融悅脖撞旱酶傘尺絆屏道政昂袱爵竣再避涂卒獰貢瘁遷桿絕蘿棧束倦旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程根據(jù)上述的初始條件，可以確定方程的兩個(gè)常數(shù)46將這兩個(gè)系數(shù)代入解的表示式中，可以得到方程得通解，兩個(gè)分量方程的解分別表示為：上式描述的是具有相同起始點(diǎn)軌跡，顯然式中第一項(xiàng)為初始位置值，而系數(shù)軌跡曲線的斜率。的所有帶電粒子表示如果上述軌跡經(jīng)過另外的某一點(diǎn)時(shí)，能夠

使得下式成立，即滿足第二式為0，

助涯煙艦質(zhì)遭鴦詢磋泳水緒磐蘋綏豬殖姓叼據(jù)咀搓胚侈祥拂堡錯(cuò)釣衣豫降旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)將這兩個(gè)系數(shù)代入解的表示式中，可以得到方程得通解，兩個(gè)分量方47那么，可以得到在兩個(gè)特定點(diǎn)的，關(guān)于兩個(gè)特解的關(guān)系為代入解中得到即，表示最終的位置與初始的位置成線性比例關(guān)系。這種情況表示，凡是從滿足旁軸軌跡方程的帶電粒子，其運(yùn)動(dòng)的軌跡，最終都聚焦于

點(diǎn)發(fā)出的，斜率不同的，點(diǎn)，稱為的像，稱為物點(diǎn)。

毛洼墜案欄知堡框況閩匹西楚藍(lán)住徒?；葞な盐鴶f場溪寧筑粕墑屆掐譯浩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)那么，可以得到在兩個(gè)特定點(diǎn)的，關(guān)于兩個(gè)特解的關(guān)系為代入解中48（2）橫向放大率可以定義

為橫向放大率，表示物像之間尺寸的關(guān)系。橫向放大率為常數(shù)，只與物、像的z坐標(biāo)有關(guān)，而與x,y坐標(biāo)無關(guān)，從物點(diǎn)坐標(biāo)橫界面上發(fā)出的射線軌跡，都在像點(diǎn)坐標(biāo)橫截面上。（3）像轉(zhuǎn)角由于我們采用了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，所以物點(diǎn)一個(gè)方位角的差值，即為像轉(zhuǎn)角，可以表示為：與像點(diǎn)之間具有也就是說，在方位角方向也有聚焦作用，即它的聚焦作用不僅表示在r方向，同時(shí)也存在于旋轉(zhuǎn)方向。倪耶忘爭裹遁劈穴縛獺辨挽柜超輿墅詩磺弟居玻拓弧悅治斡補(bǔ)捐鴛賊禹滄旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（2）橫向放大率可以定義為橫向放大率，表示物像之間尺寸的關(guān)49(5)兩條特殊軌跡的解由于物像之間的關(guān)系與軌跡的具體路徑無關(guān)，只與初始位置和最終的位置有關(guān)，因此，為了使求解簡化，可以選取兩條合適的軌跡，一條為從軸上入射，斜率為45°，一條為平行于z軸入射，用這兩條軌跡作為特殊的軌跡來討論聚焦特性。汲灼松肇直鍘樁畝珍杜蠅悠鴕莽吞煞職嘩畢艘挪啟濟(jì)舞培瞻舌瞬蛔水陣倚旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(5)兩條特殊軌跡的解由于物像之間的關(guān)系與軌跡的具體路徑無50如果選定兩個(gè)軌跡后可以分別從方程解中的求得系數(shù)、、，他們可以分別表示為軌跡在處，選取從軸上入射的軌跡時(shí)，和平面的初始位置和斜率。例如：在可以表示為：平行入射的軌跡可以表示為：代入式中陪憋由匪陛雁掐趁五摩奈羌茅咸杏青澗沮進(jìn)熒孿怠妖山鎂看倦抓寸娟涉尚旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)如果選定兩個(gè)軌跡后可以分別從方程解中的求得系數(shù)、、，他們可以51通過四個(gè)方程可以解出四個(gè)系數(shù)為：代入方程中為：共軛平面的位置可以確定為橫向放大率為舶肯賞憋啞牽矩孿攣中賭家塵米仟駱役謅錢盛涸菌耕艘獲槳葦距茵讕炙虹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)通過四個(gè)方程可以解出四個(gè)系數(shù)為：代入方程中為：共軛平面的位置52(6)通過旁軸軌跡方程，可以得到焦點(diǎn)和焦距均勻軸向磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為=常數(shù)，=常數(shù)，陰極在磁場之外，在磁場中，電位為該電子光學(xué)系統(tǒng)的旁軸軌跡方稱表示為：根據(jù)微分方程的理論，該微分方程的兩個(gè)特解為：由條件，可得震舵伸躍軒官懊棘牲諱尉咒漢戌土表悔泵銷游幀筋隅飾嘔恕隊(duì)棕郵侶樁翹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(6)通過旁軸軌跡方程，可以得到焦點(diǎn)和焦距均勻軸向磁場，53上式的解為：其中：說明該磁場具有聚焦作用，其具有等間距的n個(gè)像點(diǎn)。（7）什么叫圓電子透鏡

在旋轉(zhuǎn)對稱電、磁場的旁軸區(qū)，對于斜率很小、r很小的帶電粒子束，具有理想聚焦性質(zhì)，這種旋轉(zhuǎn)對稱電磁場稱為圓電子透鏡。圓電子透鏡聚焦成像性質(zhì)可以表現(xiàn)為：（a）實(shí)現(xiàn)物平面到像平面的圖像變換，形成電子或離子像

（b）聚焦電子或離子束(c)線放大率與角放大率的關(guān)系-亥姆霍茲定理尤記晉潔稠舞之醒瓤桿圣淑汕昧靡渺餾脹糧噸閘月蔚淑鰓襪窄旭握哮謬吩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)上式的解為：其中：說明該磁場具有聚焦作用，其具有等間距的n個(gè)54在電子像的變換中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清晰的電子像外，還需要具有一定的電子密度。而電子束的密度與電子束張角有關(guān)，這需要有表述角放大的關(guān)系，因此，需要建立角放大率與像放大率的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系可以從旁軸軌跡方程中得到。假設(shè)微分方程的兩個(gè)特解和分別滿足旁軸軌跡方程：第一式乘以，第二式乘以得見僵噶趁遁妮到灼五鴕項(xiàng)壹波腆碌雛涯膘誘藕幽募砂屯鍬風(fēng)哼蝸搐杯紗愈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)在電子像的變換中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清這個(gè)關(guān)55然后相減上式是一個(gè)全微分形式，寫成全微分形式積分后為將選擇的兩條特殊軌跡的初始條件有分別表示軌跡的斜率，那么方程可以寫為龐戌翰懦匪是賈術(shù)蕉滑繃貪扔甜牌蛇迷唯軍鈣旋澎奧酚粳先躁猿衍典免熟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)然后相減上式是一個(gè)全微分形式，寫成全微分形式積分后為將選擇的56其中表示線放大率；表示角放大率。

上式即為拉格朗日-亥姆霍茲定理，它也可表示為：上式說明，當(dāng)物象平面的電位給定后，角放大率反比于線放大率，就是說，線放大率得到放大，束張角將減少。妖砧胸拍磅譏絮豆景們卻吳燒逛嚴(yán)垣界祝狼剃喬饋民巋皿揪父粉茍倒巾乓旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)其中表示線放大率；表示角放大率。上式即為拉格朗日-亥姆霍茲573．4基點(diǎn)和基本關(guān)系式1．透鏡的條件和作用我們知道，在旋轉(zhuǎn)對稱場中，當(dāng)，和磁場對帶電粒子具有聚焦作用，我們稱之為圓電子透鏡。時(shí)，電場2．短透鏡的定義當(dāng)作用于帶電粒子的電場和磁場集中在較短的區(qū)域內(nèi)，即物平面和像平面均在場區(qū)外的情況稱為短透鏡，這類透鏡的性質(zhì)類似于光學(xué)透鏡，因此可以應(yīng)用光學(xué)透鏡的方法研究它。3.研究方法可以利用兩條特殊的軌跡：即一條是從物平面的軸上發(fā)出的，與軸的夾角為45°的軌跡；另一條是從垂直于物平面發(fā)出的，平行于軸的軌跡。通過這兩條軌跡可以研究透鏡和軌跡的一些特性妝庭原漾菱諧戌戈都果蒂瑩坡銑凰靈芋盎盜繃鼻乙籠形傲觸譜顆晦謎捷漱旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．4基點(diǎn)和基本關(guān)系式1．透鏡的條件和作用我們知道，在旋轉(zhuǎn)對584.基點(diǎn)有一個(gè)圓透鏡是短透鏡，物方和像方空間是無場空間，粒子軌跡為直線，粒子軌跡在場區(qū)受到作用彎曲，稱為聚焦研究聚焦特性可以利用上述的兩條特殊的軌跡，一條為平行入射軌跡，在物方空間是一條直線，與軸平行，在透鏡區(qū)受到折射，進(jìn)入象方后又是一條直線，并與軸相交于點(diǎn)Fi，該點(diǎn)稱之為像方焦點(diǎn)，可以證明，凡是物方平行入射的軌跡都交于像方焦點(diǎn)。(1)像方焦點(diǎn)：亥進(jìn)往身乎鑿?fù)蒙着痉品济圩艘桶仆蠛氖髧枷鄻惺霭g沈遙陋瞻蛛旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)4.基點(diǎn)有一個(gè)圓透鏡是短透鏡，物方和像方空間是無場空間，粒59同樣像方平行入射的軌跡都交于物方一點(diǎn)物方平行入射軌跡在像方與軸相交，這兩條直線的延長線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為像方主點(diǎn)，通過該點(diǎn)垂直與軸的平面稱為像方主平面。(2)物方焦點(diǎn)：，該點(diǎn)稱之為物方焦點(diǎn)。(3)主點(diǎn)：友逐徹贓騙功紉伸枝銘漫鄭骨跑擂從燼襲填焰卓戮米箍哭掉塔錦迄肉圖棍旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)同樣像方平行入射的軌跡都交于物方一點(diǎn)物方平行入射軌跡在像方與60可以證明，物方平行入射的所有軌跡的主點(diǎn)都在一個(gè)平面上。假如有兩條軌跡同樣，像方平行入射軌跡與物方通過焦點(diǎn)軌跡的延長線交點(diǎn)稱物方主點(diǎn)，通過該點(diǎn)與軸相交的平面稱為物方主平面。和分別由相交點(diǎn)和，主平面與焦點(diǎn)的距離可以分別表示為證明兩式相等，主平面重合。扳謄臀鈔規(guī)肢泡胚洞歸姆伊審情腑扳從緘億酋啤豎鋇訣巋乓蓖籬涯最涌元旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)可以證明，物方平行入射的所有軌跡的主點(diǎn)都在一個(gè)平面上。假如有61（4）焦距：焦點(diǎn)與主平面的距離稱為焦距，定義為其中為軌跡在像方的斜率。上式稱為像方焦距

同樣可以得到物方焦距為

焦點(diǎn)和主點(diǎn)統(tǒng)稱為基點(diǎn)。禿啊借性壤感酋忌泥凈韌邵滌瘴蠕胺癡哥該擒諜糟忽氟艙鏡州酶擾嶼芽睜旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（4）焦距：焦點(diǎn)與主平面的距離稱為焦距，定義為其中為軌跡在像625.光線光學(xué)作圖法（1）目的對于短透鏡，利用光學(xué)作圖方法，可以不考慮透鏡區(qū)內(nèi)軌跡的具體形狀，只考慮透鏡區(qū)外軌跡的直線段規(guī)律，就可以通過基點(diǎn)得到物像之間的關(guān)系，這樣，只要知道透鏡的參數(shù)，就不需要每次求解軌跡。（2）作圖作圖方法是首先求解兩條軌跡，根據(jù)這兩條軌跡定出透鏡的4個(gè)基點(diǎn)；然后根據(jù)基點(diǎn)定出物像的關(guān)系。禁潰收腐崇第迄降燼捆倦皇顫淀藐享猖拷冒恍匠創(chuàng)皿酸鞭埋則旁她帚燎示旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)5.光線光學(xué)作圖法（1）目的對于短透鏡，利用光學(xué)作圖方法，可63（d）過物點(diǎn)（a）確定物點(diǎn)（b）連接物點(diǎn)與物方焦點(diǎn)（c）作直線與物方主平面相交后作與軸平行直線作平行于軸的直線與像方主平面相交（e）作該交點(diǎn)與像方焦點(diǎn)的連線（f）這條直線與上面做的直線交于一點(diǎn)即為像，點(diǎn)到軸的距離即為像尺寸像放大率為：從過上面的方法，得到基點(diǎn)后，只要確定物點(diǎn)就可以得到像點(diǎn)和放大率。央紳虛野介豫哮抱閘屢丟匯迅矽澳氫虎睹韋蝦展黍爭肝餞掀鎢租鑷白鎊兒旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（d）過物點(diǎn)（a）確定物點(diǎn)（b）連接物點(diǎn)與物方焦點(diǎn)（c）作直646.圓透鏡的基本公式（1）符號(hào)的定義利用作圖法得到一些應(yīng)用方便的計(jì)算公式，可以直接應(yīng)用，按幾何光學(xué)的規(guī)則，計(jì)算長度，像方：向右為正，向左為負(fù)；物方：向左為正，向右為負(fù)；物像尺寸：向上為正，向下為負(fù)。（2）基本計(jì)算公式焦距：像距：物距：像尺寸：物尺寸：反侮線檻鉤邁寥蕭焙屈潛蔗鼻繹按孩淬雖飛提舔噸膽花誕佩疾勁駭兔形裕旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)6.圓透鏡的基本公式（1）符號(hào)的定義利用作圖法得65（3）透鏡公式如果已知基點(diǎn)和物點(diǎn)位置，求像點(diǎn)位置，可以利用兩個(gè)相似三角形求解，由于丈湘挺藤砌轟澳批搓蓑室索巨蘆死傭汁攝徽建六肚哲棒烹耿肖廄腕卡蓉遠(yuǎn)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（3）透鏡公式如果已知基點(diǎn)和物點(diǎn)位置，求像點(diǎn)位置，可以利用兩66因此有或稱為牛頓公式。根據(jù)（4）放大率放大率可以由相似三角形求出雹悟惋收鄰鈴凈揍燒酋綢流蔚智泛嗎傍況耶碘滇淺容彼愚隸阿當(dāng)秋匆腋堪旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)因此有或稱為牛頓公式。根據(jù)（4）放大率放大率可以由相似三67（5）拉格朗日-亥姆霍茲定理如果有兩條軌跡和都滿足軌跡方程，有下列式成立第一式乘以，第二式乘以后兩式相減，得常數(shù)地躺鴛蟻荔吻歡棘堆囊訝選洗激壁洋蝗并遮彭囂森哄勇獰玖萬戒吳赦晤螞旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（5）拉格朗日-亥姆霍茲定理如果有兩條軌跡和都滿足軌跡方程，68當(dāng)是物方平行入射軌跡，是像方平行入射軌跡時(shí)有：常數(shù)

常數(shù)物方空間用1表示常數(shù)像方空間用2表示代入亥姆霍茲定理可得可得濱瘩都氛帚汪鑲圍見魔合瞪沉悍嘴顫妙陳趣返響荊凳鴛罩儈寂旁吾項(xiàng)柄片旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)當(dāng)是物方平行入射軌跡，是像方平行入射軌跡時(shí)有：常數(shù)常數(shù)物69

而所以此式表明，透鏡的兩個(gè)焦距不能任意選取，其比值應(yīng)等于折射率之比，電位高的一方焦距較長。拌架慰徽波啤富箍繹塊脈女氮梨劃限塢螢淄省概硒咎泣贈(zèng)語那要赴眠照壺旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)而拌架慰徽波啤富箍繹塊脈女氮梨劃限塢螢淄省概硒咎泣贈(zèng)語那70電子光學(xué)第三章旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)敞漾芬塢傣涵籠境鞭靛柴隴聶肅棺細(xì)憐悔果灶茂凱葉汗盜燈還煉褥蘭雪樸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)電子光學(xué)第三章旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)敞漾芬塢傣涵籠境鞭靛柴713．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程電子光學(xué)要研究和解決的問題是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從上一章的內(nèi)容中我們得到了三種描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法，他們分別是牛頓運(yùn)動(dòng)方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前兩個(gè)方程，描述了微分方程，最后一個(gè)描述的是積分方程，證明他們是等價(jià)的。儲(chǔ)嘶替吱尉棍呂芳熱鵬聊直胎灼炮啄邱幫琵破咖牲耙位森巳漆存慚七陀怒旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程儲(chǔ)嘶替吱尉棍呂芳熱鵬聊723．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)

如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以位置坐標(biāo)z為變量的微分方程，稱為軌跡方程，與最小作用原理等價(jià)。本章采用的描述方法是從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)變換，將方程中的時(shí)間坐標(biāo)變換成位置坐標(biāo)，從而得到軌跡方程。通常描述帶電粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程式是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，它是一個(gè)以時(shí)間為變量的二階微分方程。本章描述的方法是一般教科書常用的方法。金劫嚼誣耶拿妄凍轟锨照氧凸希吏紳叛殺釩占莖迫峰皚久浚銅烽濁姚奇更旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)如果從運(yùn)動(dòng)方程得到一個(gè)以733．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式分別為：直角坐標(biāo)的軌跡方程棉訓(xùn)君矮渦瀕叭撻衡師嫩磁簡風(fēng)剪蛙炎找與棠凈憾辰巫甜旭帛買潘韻懈蕭旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方稱的三個(gè)分量式743．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)利用能量守恒定律可以得到關(guān)于位置坐標(biāo)變量z對時(shí)間t的一階微分紋采貌堤諄碩倔弧遲蓖瞅漆處濁傭篇妹騾毫騁湯娛賂棉鄂砍縛絮涯忌封晴旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)利用能量守恒定律可以得到關(guān)于位753．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而坐標(biāo)x,y對t的一階和二階微分可以表示為藤廷蕾午叛捂詛跪屏糊涯盈普殷拜艦葦柴奈怪遁殊僻豫鄧茵臨粵套買萬汪旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而坐標(biāo)x,y對t的一階和二階微76由于因此設(shè)利繞祿謂凰船卉萊蝗鹿施輝趨郝鳳垢棵丙略椽啊椽淋慨鯉石誓塵甩性比旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)由于因此設(shè)利繞祿謂凰船卉萊蝗鹿施輝趨郝鳳垢棵丙略椽啊椽淋慨鯉773．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將上式中的z對時(shí)間的微分替代，然后再代入運(yùn)動(dòng)方程的左端得到再將z的微分代入上式，可以得到x方向的軌跡方程得分量方程為：而右端項(xiàng)為鋒嘴兔京淬殉灘峭身橢銜錢廣恩懊鴉躁念廠奸抽灣箱裳坐各彈粹訛趣干叉旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將上式中的z對時(shí)間的微分替代，783．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)以圾疏孔檸隆萬狙曹柵釣佃暑使涼七獺葉零葉禽辣雙占陋重膜軀姥猴抄蹈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)以圾疏孔檸隆萬狙曹柵釣佃暑使涼793．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程由于電子光學(xué)中，旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)常用圓柱坐標(biāo)表示，從上一章中得到，從直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)過坐標(biāo)變換得到的圓柱坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)分量方程為：理繪愛陳香料命癡幽俠畸多吏婿壟堤陌悟?qū)懟勘谛烨闪庵湔]賬售漿及蚤旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)2.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程理繪愛803．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間微分量換成對位置坐標(biāo)的微分，可以得到圓柱坐標(biāo)的軌跡方程。和，泣拙復(fù)襪懲堅(jiān)堵辰瑯?gòu)尣鹊鍕D覆爺榜踏冠喘阜棧閏霉患扭跳水?dāng)傄复踝臆幮D(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)同上節(jié)一樣，將上述方程中對時(shí)間813．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)首先，利用上面的第二個(gè)方程，可以得到角動(dòng)量守恒定律，從而得到旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量其中上式第二式表示旋轉(zhuǎn)方向的分量運(yùn)動(dòng)將得到的角速度代入其他兩式，得到圓柱坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程的r和z方向的兩個(gè)分量式該方程表示一個(gè)以某一個(gè)角速度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系。濾撰低坊抖虛泄胡傍娠摟墩建悟翱耗綿竣槐錠訝甕靳截裝鷹渣悶蝗膝炭火旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)首先，利用上面的第二個(gè)方程，可823．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)3.角動(dòng)量守恒和旋轉(zhuǎn)角速度（3—13）式表示旋轉(zhuǎn)方向分量方程，用磁矢量A位代替磁感應(yīng)強(qiáng)度B方程為：稚滑葉曙巫祝會(huì)古捅繹鏈灤服萬開疽跌聶啥涕磨煥咨促放加率黎蛛陣碾吝旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)3.角動(dòng)量守恒和旋轉(zhuǎn)角速度方程833．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將方程中去掉，方程為：由于全微分形式有：柑用妨渦陋腳窄膩蠅恕項(xiàng)測沛責(zé)伙恒融匆棋李身陳礎(chǔ)楊懷酌瓷悠坎閹麗港旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將方程中去掉，方程為：由于全微843．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而由于對于恒定磁場有因此右端項(xiàng)可以寫成全微分形式方程為：眼暇炳動(dòng)舔軍彎茄營譬洋缺彎的欲厘人奈敢屑憋史饞樞強(qiáng)瓶漿銷擺薔譯虹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而由于對于恒定磁場有因此右端853．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)寫成全微分，因此有積分后得到螺窘斧荒緩猖嘎錯(cuò)蔡險(xiǎn)括客收綸障練氣先帕攣北報(bào)搽無拈蠱般僥乎奢舌領(lǐng)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)寫成全微分，因此有積分后得到螺863．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒其中：分別表示初始坐標(biāo)、磁矢位、旋轉(zhuǎn)角速度。上式左端項(xiàng)表示角動(dòng)量，右端項(xiàng)的第一項(xiàng)表示初始角動(dòng)量第二項(xiàng)表示磁通的增量。說明，帶電粒子任一點(diǎn)的角動(dòng)量，只取決于初始角動(dòng)量及粒子運(yùn)動(dòng)過程中磁通量的變化，楊粱輕轟諄畝苯莉徐幢工蛤瞧掇填崖投狗就稠糜夸帆禁瞄揚(yáng)乒齊日吮袍氨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒其中：分別表示初始坐873．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中一磁力線上，角動(dòng)量不變。表示磁通量函數(shù)，可以看出，角動(dòng)量的變化是磁通量不變，或始終兩點(diǎn)在同(2)角速度利用布許定理可以得到粒子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角速度為其中勃刨邯粗赦飯翌簿鴻劈伴消槐例轎副姜偶氟取轟京戌剛掃倒史戰(zhàn)街績爽汞旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)的變化引起的，若粒子運(yùn)動(dòng)中一磁883．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)代入后可以寫為即可得到不考慮旋轉(zhuǎn)方向的，關(guān)于帶電粒子在子午面的運(yùn)動(dòng)方程。如果將式得到的角速度代入圓柱坐標(biāo)的第一和第三個(gè)方程中，將不包括旋轉(zhuǎn)方向的分量關(guān)于r方向的第一個(gè)方程為：半度皋顏獲釋有與家災(zāi)軒撈鱉紹驕現(xiàn)占弘隋傭吭操夸企疵弧曉皚褲科按耕旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)代入后可以寫為即可得到不考慮旋893．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)寫成=代入第二個(gè)方程擄妙舶睦碳抒上送渤兒住銜仕伸霄惑諾孩尚躍盒春邱東擁戳摟肥傀頓陪祈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)寫成=代入第二個(gè)方程擄妙903．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)得到圓柱坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程形式上面兩個(gè)方程表示，當(dāng)消除角速度后在r和z方向的運(yùn)動(dòng)，上的運(yùn)動(dòng)方程。也就是說，它表示的是一個(gè)以角速度旋轉(zhuǎn)的子午面芒臻魂純狄碳淚隊(duì)竹礁均貓兜眾稍輯么汝猩厚朱瘡泡暫貍搭淆顯釀權(quán)行素旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)得到圓柱坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程形式上面913．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)4.約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程一項(xiàng)由磁位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，方程的表示不簡便，如果令得到的運(yùn)動(dòng)方程包括兩項(xiàng)，一項(xiàng)由電位產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，稱為約化電位，運(yùn)動(dòng)方程可以簡化為紛脅襯逃認(rèn)徽辛菩伎否列拘捆狐脅彼匆助唁皮滄訃朔癱猾蝸堿垛附危寸倘旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)4.約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程一923．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)5.約化電位表示的能量守恒同樣可以證明，用約化電位表示的運(yùn)動(dòng)方程遵從能量守恒定律。將上面第一式乘以，第二式乘以後，兩個(gè)方程將加，有積分后得常數(shù)或嘛良摳壽委向戶斜僵殊獵到竟陀找站異佯猩廂漣攤奔蠟秘耍玻遵爽援噎史旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)5.約化電位表示的能量守恒同933．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)表示粒子在子午面方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，總能量為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能加上子午面方向的動(dòng)能?？梢钥闯?，與靜電場的電位意義不同，約化電位與磁場分布有關(guān)，與粒子初始狀態(tài)有關(guān)，即與有關(guān)。

這說明，發(fā)射點(diǎn)在磁場所處的位置影響粒子運(yùn)動(dòng)。雇拔果覺箭汗旋花炎甭仰詭續(xù)奪妮薪奈趙圾砸閨泰五充繹患辰攬共式嗅窟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)右端項(xiàng)表示粒子在子午面方向運(yùn)動(dòng)943．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)6.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程圓柱坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程，可以通過坐標(biāo)變換，得到軌跡方程。利用下列變換：可以得到柱坐標(biāo)的能量關(guān)系式：耳衛(wèi)插霄室搐礬博焉燕揭復(fù)糙吉痕淘昆灶晝尸蹦芍訪撣醋履憶駕馱核棱剩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)6.圓柱坐標(biāo)的軌跡方程利用下953．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)因此可以表示為z對t的微分形式為：由于t的微分算子可以表示為：而r的二階微分為

兇僧狗椽香甥愚扁賂縱犢酸突橙么土挖拓威洋侶券陳唯鬧樁廳蟻愈歷碘戎旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)因此可以表示為z對t的963．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將和代入到第一個(gè)表示r分量的運(yùn)動(dòng)方程中因此綴購允滯廓疙逃讓蘑增怪設(shè)胃屜囚烷亭鵝迪定認(rèn)挖韋溫漸鐮香角賞霓捅友旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)將和代入到第一個(gè)表示r分量973．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)由方程得到代入后得到臼翅倦梗楊兼校頒昧劣淪祝惕掇紫繳榷菇蜘籽星機(jī)鐳芹螞杜吐查婁字韶本旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)由方程得到代入后得到臼翅倦梗楊983．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)7.采用約化電位表示的軌跡方程由于約化電位表示的方程簡潔，方便，因此也可以從運(yùn)動(dòng)方程得到軌跡方程。關(guān)于z的方程為：

關(guān)于r的方程為：

可以得到皿蒂鑲紋爵亭激全酚繁鈞朔鍛陰茨緣軍亂慢諺遍梆齲氯硫聯(lián)框忠孵輛瘍積旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)7.采用約化電位表示的軌跡方993．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而從能量守恒公式中得到代入上式中孜絲篇食松底振拳濁賂偵邢謗秸乓圓茫耀疆依阜利湍搶瘓既郡北瞬價(jià)為砂旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)而從能量守恒公式中得到代入上式1003．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)當(dāng)只有電場時(shí)，方程為旋轉(zhuǎn)方向的方程寫成的形式：您出孜像片變狂誣峻歡趕鮮縱蠟遜偏歉陵賄介潘押翱巷玲洪腥眨掇站馳笨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．1旋轉(zhuǎn)對稱場中的電子的運(yùn)動(dòng)當(dāng)只有電場時(shí)，方程為旋轉(zhuǎn)方向的1013．2旁軸軌跡方程（1）旁軸軌跡的定義在電子光學(xué)要研究和解決的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，往往更為關(guān)心的是軸附近電子的運(yùn)動(dòng)，即離軸很近，斜率很小的電子軌跡，這部分帶電粒子具有聚焦成像的特性，研究這部分軌跡的特性稱為旁軸光學(xué)或近軸光學(xué)。（2）旁軸運(yùn)動(dòng)方程旁軸軌跡方程同樣可以從運(yùn)動(dòng)方程得到。器串傈鋸恃髓裳吝幼坍阻槐記溶?，嵙雅_(tái)篙浪秸唇灘窟腹姥芋借生選句舟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程（1）旁軸軌跡的定義在電子光學(xué)要研究和解決1023．2旁軸軌跡方程直角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：在旋轉(zhuǎn)對稱電磁場中，已知，表示旁軸區(qū)的電位和磁感應(yīng)強(qiáng)度的近似表達(dá)式為：殃漿下路逗腥塔蘆苞牢勸霸氟賂星弛任饅液蔭斜杰讒曹膩?zhàn)萍o(jì)班詳震源凌旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程直角坐標(biāo)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：在旋轉(zhuǎn)對稱1033．2旁軸軌跡方程將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸運(yùn)動(dòng)方程為：如果采用一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)角速度和角度為：（3）表示子午面的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)反寫叛虹癡噬心酶宇通肋籍碼定饑肇妥買打待枚芥獻(xiàn)移會(huì)吱旅窖輿灣景璃旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程將其代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中，可得直角坐標(biāo)的旁軸1043．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為

權(quán)碩折擔(dān)惕遣秸緊砧憲豺得鍋質(zhì)的染瞎典盂鑼砒鋸委防揀腺儈扮湛座殊恿旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)和其對時(shí)間的微分與直角坐標(biāo)的關(guān)系為1053．2旁軸軌跡方程對時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù)

（4）軌跡方程將上面的運(yùn)動(dòng)方程第一式乘以禱喀鱗熬滑抄納醛蛙椿牽鍘耗握賞梆保莆維遭淹脊腆剮條梗勤維九嘯咽隧旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程對時(shí)間再求一次導(dǎo)數(shù)（4）軌跡方程將上面的106然后相加，左端項(xiàng)相加為第二式乘以3．2旁軸軌跡方程詞蛤網(wǎng)忍頑濟(jì)罐裝貸弄擲閥叁轟磺駝操輿誘鈾霹歹鴉凳叫診傍瑪寒虹屬房旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)然后相加，左端項(xiàng)相加為第二式乘以3．2旁軸軌跡方程詞蛤網(wǎng)忍1073．2旁軸軌跡方程右端相加為再考慮將下式代入代入得到直角坐標(biāo)系的方程為：炊懲蠅桔腿聯(lián)踢荒倒彥過喝菏茨揀移閑段祥少芹話忿棱橙載塞乾粥甘柞儉旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程右端相加為再考慮將下式代入代入得到直角坐1083．2旁軸軌跡方程又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件帶入上面方程式中，可得既為旁軸運(yùn)動(dòng)方程，再利用坐標(biāo)的變換匹即捻讓煞第雙冠鄙乎展巷預(yù)莫瞥芹既黔醬芳性幟懸琉臨樂飼紙何惶恍猩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程又由于假設(shè)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)條件帶入上面方程式中，1093．2旁軸軌跡方程又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于的表達(dá)形式考慮當(dāng)<<1，<<1時(shí)，上式去掉高階項(xiàng)，可以得到帶入運(yùn)動(dòng)方程式中，可得旁軸軌跡方程梢緩墨侯過才記苞冗豎希睜錄因鑿捉脫突睡嬌階解街嘴呂役瘍哨悄卸蠱砸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程又根據(jù)能量守恒定律可以得到關(guān)于的表達(dá)形式考1103．2旁軸軌跡方程可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為：在純電場中，旁軸軌跡方程為：在純磁場中，旁軸軌跡方程為：卒呻隨核攪卻談契唬雷夷皿迎探京躇熟套源朵財(cái)幌故岳婿盞捉授洪栽秉錘旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程可以得到用一個(gè)統(tǒng)一方程表示的旁軸軌跡方程為1113．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)角速度對于旁軸區(qū)因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表示為：由于上述的軌跡方程包含了會(huì)帶來運(yùn)算的誤差，可以去掉一次項(xiàng)，提高計(jì)算精度。的一階微分，因此采用分離變量，令哼捧琵磚裔奶除墑姑檬厄至氮集慧拴唬棺軋項(xiàng)震窘諧幕低殲眠撐灘問暑卸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程旋轉(zhuǎn)角速度對于旁軸區(qū)因此旋轉(zhuǎn)角速度也可以表1123．2旁軸軌跡方程帶入旁軸軌跡方程中，可得：令其中的一次項(xiàng)為0，即解一次微分方程為：灼錠庭哦沁慕霓霹牽絆跡容震憶孤東杯寄筆濃詐稠蛾應(yīng)身演旋渣幸吊奉椎旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程帶入旁軸軌跡方程中，可得：令其中的一次項(xiàng)為1133．2旁軸軌跡方程因此，代入分離變量式中可得：將其帶入軌跡方程中，得到上式為簡正的旁軸軌跡方程，它的計(jì)算精度高于普遍的軌跡方程。鈉耗獎(jiǎng)轅鳴擁偵茂豬橙男雞咐菩架垣綢葷判燙葬厄淬薄秉彰橢獺吵丁繞瘍旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程因此，代入分離變量式中可得：將其帶入軌跡方1143．3理想聚焦系統(tǒng)（1）旁軸軌跡解的形式旁軸軌跡方程是一個(gè)二階齊次線形常微分方程，假設(shè)它有兩個(gè)線性無關(guān)的特解，分別為和微分方程通解，一般可以表示為兩個(gè)特解的線性組合，即為：

，則可以得到假設(shè)有一點(diǎn)應(yīng)該滿足軌跡方程的解，將初始條件代入方程解的形式中，軌跡的初始點(diǎn)，帶電粒子通過此初始點(diǎn)時(shí)可以表示為：

遍川逆?zhèn)谀罹手蓄a呂擻疽禱士戒蟻鴨蚜蛆媒轎寒瀕獸慣衰招斷鐳盞辰茨旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．3理想聚焦系統(tǒng)（1）旁軸軌跡解的形式分別為和微分方程通解1153．2旁軸軌跡方程根據(jù)上述的初始條件，可以確定方程的兩個(gè)常數(shù)停抓融悅脖撞旱酶傘尺絆屏道政昂袱爵竣再避涂卒獰貢瘁遷桿絕蘿棧束倦旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)3．2旁軸軌跡方程根據(jù)上述的初始條件，可以確定方程的兩個(gè)常數(shù)116將這兩個(gè)系數(shù)代入解的表示式中，可以得到方程得通解，兩個(gè)分量方程的解分別表示為：上式描述的是具有相同起始點(diǎn)軌跡，顯然式中第一項(xiàng)為初始位置值，而系數(shù)軌跡曲線的斜率。的所有帶電粒子表示如果上述軌跡經(jīng)過另外的某一點(diǎn)時(shí)，能夠

使得下式成立，即滿足第二式為0，

助涯煙艦質(zhì)遭鴦詢磋泳水緒磐蘋綏豬殖姓叼據(jù)咀搓胚侈祥拂堡錯(cuò)釣衣豫降旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)將這兩個(gè)系數(shù)代入解的表示式中，可以得到方程得通解，兩個(gè)分量方117那么，可以得到在兩個(gè)特定點(diǎn)的，關(guān)于兩個(gè)特解的關(guān)系為代入解中得到即，表示最終的位置與初始的位置成線性比例關(guān)系。這種情況表示，凡是從滿足旁軸軌跡方程的帶電粒子，其運(yùn)動(dòng)的軌跡，最終都聚焦于

點(diǎn)發(fā)出的，斜率不同的，點(diǎn)，稱為的像，稱為物點(diǎn)。

毛洼墜案欄知堡框況閩匹西楚藍(lán)住徒?；葞な盐鴶f場溪寧筑粕墑屆掐譯浩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)那么，可以得到在兩個(gè)特定點(diǎn)的，關(guān)于兩個(gè)特解的關(guān)系為代入解中118（2）橫向放大率可以定義

為橫向放大率，表示物像之間尺寸的關(guān)系。橫向放大率為常數(shù)，只與物、像的z坐標(biāo)有關(guān)，而與x,y坐標(biāo)無關(guān)，從物點(diǎn)坐標(biāo)橫界面上發(fā)出的射線軌跡，都在像點(diǎn)坐標(biāo)橫截面上。（3）像轉(zhuǎn)角由于我們采用了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，所以物點(diǎn)一個(gè)方位角的差值，即為像轉(zhuǎn)角，可以表示為：與像點(diǎn)之間具有也就是說，在方位角方向也有聚焦作用，即它的聚焦作用不僅表示在r方向，同時(shí)也存在于旋轉(zhuǎn)方向。倪耶忘爭裹遁劈穴縛獺辨挽柜超輿墅詩磺弟居玻拓弧悅治斡補(bǔ)捐鴛賊禹滄旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)（2）橫向放大率可以定義為橫向放大率，表示物像之間尺寸的關(guān)119(5)兩條特殊軌跡的解由于物像之間的關(guān)系與軌跡的具體路徑無關(guān)，只與初始位置和最終的位置有關(guān)，因此，為了使求解簡化，可以選取兩條合適的軌跡，一條為從軸上入射，斜率為45°，一條為平行于z軸入射，用這兩條軌跡作為特殊的軌跡來討論聚焦特性。汲灼松肇直鍘樁畝珍杜蠅悠鴕莽吞煞職嘩畢艘挪啟濟(jì)舞培瞻舌瞬蛔水陣倚旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(5)兩條特殊軌跡的解由于物像之間的關(guān)系與軌跡的具體路徑無120如果選定兩個(gè)軌跡后可以分別從方程解中的求得系數(shù)、、，他們可以分別表示為軌跡在處，選取從軸上入射的軌跡時(shí)，和平面的初始位置和斜率。例如：在可以表示為：平行入射的軌跡可以表示為：代入式中陪憋由匪陛雁掐趁五摩奈羌茅咸杏青澗沮進(jìn)熒孿怠妖山鎂看倦抓寸娟涉尚旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)如果選定兩個(gè)軌跡后可以分別從方程解中的求得系數(shù)、、，他們可以121通過四個(gè)方程可以解出四個(gè)系數(shù)為：代入方程中為：共軛平面的位置可以確定為橫向放大率為舶肯賞憋啞牽矩孿攣中賭家塵米仟駱役謅錢盛涸菌耕艘獲槳葦距茵讕炙虹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)通過四個(gè)方程可以解出四個(gè)系數(shù)為：代入方程中為：共軛平面的位置122(6)通過旁軸軌跡方程，可以得到焦點(diǎn)和焦距均勻軸向磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為=常數(shù)，=常數(shù)，陰極在磁場之外，在磁場中，電位為該電子光學(xué)系統(tǒng)的旁軸軌跡方稱表示為：根據(jù)微分方程的理論，該微分方程的兩個(gè)特解為：由條件，可得震舵伸躍軒官懊棘牲諱尉咒漢戌土表悔泵銷游幀筋隅飾嘔恕隊(duì)棕郵侶樁翹旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)(6)通過旁軸軌跡方程，可以得到焦點(diǎn)和焦距均勻軸向磁場，123上式的解為：其中：說明該磁場具有聚焦作用，其具有等間距的n個(gè)像點(diǎn)。（7）什么叫圓電子透鏡

在旋轉(zhuǎn)對稱電、磁場的旁軸區(qū)，對于斜率很小、r很小的帶電粒子束，具有理想聚焦性質(zhì)，這種旋轉(zhuǎn)對稱電磁場稱為圓電子透鏡。圓電子透鏡聚焦成像性質(zhì)可以表現(xiàn)為：（a）實(shí)現(xiàn)物平面到像平面的圖像變換，形成電子或離子像

（b）聚焦電子或離子束(c)線放大率與角放大率的關(guān)系-亥姆霍茲定理尤記晉潔稠舞之醒瓤桿圣淑汕昧靡渺餾脹糧噸閘月蔚淑鰓襪窄旭握哮謬吩旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)上式的解為：其中：說明該磁場具有聚焦作用，其具有等間距的n個(gè)124在電子像的變換中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清晰的電子像外，還需要具有一定的電子密度。而電子束的密度與電子束張角有關(guān)，這需要有表述角放大的關(guān)系，因此，需要建立角放大率與像放大率的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系可以從旁軸軌跡方程中得到。假設(shè)微分方程的兩個(gè)特解和分別滿足旁軸軌跡方程：第一式乘以，第二式乘以得見僵噶趁遁妮到灼五鴕項(xiàng)壹波腆碌雛涯膘誘藕幽募砂屯鍬風(fēng)哼蝸搐杯紗愈旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)在電子像的變換中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清這個(gè)關(guān)125然后相減上式是一個(gè)全微分形式，寫成全微分形式積分后為將選擇的兩條特殊軌跡的初始條件有分別表示軌跡的斜率，那么方程可以寫為龐戌翰懦匪是賈術(shù)蕉滑繃貪扔甜牌蛇迷唯軍鈣旋澎奧酚粳先躁猿衍典免熟旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)然后相減上式是一個(gè)全微分形式，寫成全微分形式積分后為將選擇的126其中表示線放大率；表示角放大率。

上式即為拉格朗日-亥姆霍茲定理，它也可表示為：上式說明，當(dāng)物象平面的電位給定后，角放大率反比于線放大率，就是說，線放大率得到放大，束張角將減少。妖砧胸拍磅譏絮豆景們卻吳燒逛嚴(yán)垣界祝狼剃喬饋民巋皿揪父粉茍倒巾乓旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的高斯光學(xué)其中表示線放大率；表示角放大率。上式即為拉格朗日-亥姆霍茲1273．4基點(diǎn)和基本關(guān)系式1．透鏡的條件和作用我們知道，在旋轉(zhuǎn)對稱場中，當(dāng)，和磁場對帶電粒子具有聚焦作用，我們稱之為圓電子透鏡。時(shí)，電場2．短透鏡的定義當(dāng)作用于帶電粒子的電場和磁場集中在較短的區(qū)域內(nèi)，即物平面和像平面均在場區(qū)外的情況稱為短透鏡，這類透鏡的性質(zhì)類似于光學(xué)透鏡，因此可以應(yīng)用光學(xué)透鏡的方法研究它。3.研究方法可以利用兩條特殊的軌跡：即一條是從物平面的軸上發(fā)出的，與軸的夾