2.2行列式的性質(zhì)與計算一、行列式的性質(zhì)二、行列式的計算三、方陣乘積的行列式一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式按任一行展開，其值相等，即例例計算解

同理

推論

若行列式的某一行全為零，則行列式等于零.

性質(zhì)2

n階行列式某兩行對應(yīng)元全相等，則行列式為零.即當(dāng)aik=ajk

，i≠j,k=1,…,n時，detA=0.證

（歸納法）結(jié)論對二階行列式顯然.

由于Mij(l=1,…,n)是n-1階行列式，且其中都有兩行元全相等，所以

設(shè)結(jié)論對n-1階行列式成立，對于n階：按第k(i,j)行展開

性質(zhì)3

證

例觀察：與矩陣加法的區(qū)別？

性質(zhì)4（行列式的初等變換）若把行初等變換施

(1)將A的某一行乘以數(shù)k得到A1，則

detA1=k(detA)；

(2)將A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2,則

detA2=detA；(3)交換A的兩行得到A3,

則

detA3=-detA.證(1)按乘以數(shù)k的那一行展開，即得結(jié)論成立。于n階矩陣A上：（2）例如（3）i行j行例如

推論若行列式某兩行對應(yīng)元成比例，則行列式的值2.初等矩陣的行列式：應(yīng)用：為零.3.初等矩陣與任一方陣A乘積的行列式：

例一般，性質(zhì)5

設(shè)A為n階矩陣，則證

即存在初等矩陣設(shè)又A不可逆AT不可逆所以det

AT

=0當(dāng)A不可逆時：存在初等矩陣當(dāng)A可逆時：說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.由性質(zhì)5，例奇數(shù)階反對稱陣的行列式必為零.證

Ann(n為奇數(shù))滿足：

例解

行列式性質(zhì)小結(jié)：

二、三類初等變換：1.換行反號,2.倍乘,

3.倍加.

三、三種為零：1.有一行全為零,

3.有兩行成比例.

2.有兩行相同,四、一種分解.五、一、按行展開：例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．二、行列式的計算解解練習(xí)例計算解

例計算計算

階行列式解將第

都加到第一列得練習(xí)例練習(xí)連乘號：例證明范德蒙(Vandermonde)行列式

證明用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時,結(jié)論成立.(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立

n-1階范德蒙德行列式

例例證明證明同理2023/1/11例計算特點:“0”多方法:降階找遞推公式.2023/1/11解按第1行展開2023/1/11遞推公式例解求第一行各元素的代數(shù)余子式之和練習(xí)解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成例計算解加邊法(考慮：至少有三種解法？)三、方陣乘積的行列式1.可逆矩陣與行列式；2.矩陣乘積的行列式.定理1

方陣A可逆的充要條件為detA≠0.設(shè)即存在初等矩陣若A不可逆，則R的最后一行的元全為零，則R=I，解決：證

定理2設(shè)A,B為n階方陣，則證即存在初等矩陣若A可逆，則R=I,若A不可逆，則R的最后一行全為零,

RB的最后一行全為零.

推論1設(shè)Ai(i=1,…,t)為n階矩陣，則

推論2設(shè)A,B為n階矩陣，且AB=I(或BA=I),則B=A-1.證