證明：1數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則1、柯西收斂準(zhǔn)則收斂的充要條件是：n、m

>

N

時(shí),2、單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)下降且有下界的數(shù)列必有極限。2

3、數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則若數(shù)列滿足則數(shù)列的極限存在，且3二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且對(duì)因故存在N1,

從而同理,因故存在N2,

使當(dāng)n>N2時(shí),有1.唯一性：收斂數(shù)列的極限是唯一的.使當(dāng)n>N1時(shí),

假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式42.收斂數(shù)列一定有界。說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列53.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)注意:若數(shù)列從某項(xiàng)起也僅能得到而不能得到64.收斂數(shù)列的任一子列必收斂，且與原數(shù)列收斂于同一極限.若數(shù)列有發(fā)散子列或有兩個(gè)子列收斂于不同的極限，則原數(shù)列一定發(fā)散。例如，

性質(zhì)的作用：說明數(shù)列不收斂7證明：對(duì)數(shù)列如果那么：8課后作業(yè)：習(xí)題1-2：p31：1、3（2、3）、5、69第一章二、自變量趨于某數(shù)時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)的極限

10當(dāng)時(shí),有定義：時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)時(shí),有定義：時(shí)函數(shù)的極限11定義

.若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作A

為函數(shù)自變量時(shí)函數(shù)的極限12求下列函數(shù)的極限：13例.

證明證:取因此就有故欲使只要14結(jié)論：的充要條件是且15討論函數(shù)：1不存在16用ε-M定義證明函數(shù)極限：尋找M。解不等式考察是否有自變量變化（大或小到一定程度）時(shí)，此不等式成立。172.時(shí)函數(shù)的極限也稱函數(shù)在x0處的極限18定義

.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作注意：上述定義中并沒有要求函數(shù)在x0處有定義。19幾何解釋:函數(shù)在x0處有極限函數(shù)在x0局部有界(P36定理2)這表明:

20證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要21用ε-δ定義證明函數(shù)極限：尋找δ。解不等式考察當(dāng)自變量與x0接近到一定程度時(shí)，此不等式是否成立。22求證：證:?。寒?dāng)：時(shí)233.左極限與右極限:單側(cè)極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有24定理.25例：設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:顯然所以不存在.26二、函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性1、時(shí)，函數(shù)的極限為A局部保號(hào)性定理

.若且

A>0,則存在(A<0)局部有界性。（自己證明）27定理：保不等式性若在x0的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有則：282、時(shí)，函數(shù)的極限為A唯一性（自己證明）局部保號(hào)性定理

.若且

A>0,則存在M(A<0)局部有界性29定理：保不等式性若存在M,當(dāng)|x|>M時(shí)，則：30歸結(jié)原則：函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。P37定理4.則如果數(shù)列：1、若時(shí)，函數(shù)的極限為A滿足：那么所對(duì)應(yīng)的函數(shù)列必有極限，且極限為A。31歸結(jié)原則：函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。P37定理4.則如果數(shù)列：2、若時(shí)，函數(shù)的極限為A滿足：那么所對(duì)應(yīng)的函數(shù)列必有極限，且極限為A。32歸結(jié)原則的應(yīng)用：討論函數(shù)在0處極限的存在性。33第一章第四節(jié)無窮小與無窮大34是當(dāng)一、無窮小定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)函數(shù)

時(shí)的無窮小;數(shù)列為時(shí)的無窮小

.是無窮小.若將定義中的換成其他形式，也稱為無窮小。是當(dāng)函數(shù)

時(shí)的無窮小;函數(shù)

是當(dāng)時(shí)的無窮小;注：是一個(gè)特殊的無窮小量。35其中為時(shí)的無窮小量.定理1.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.36二、無窮大定義

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作記作總存在又：函數(shù)時(shí)的無窮大,記作37數(shù)列為無窮大量的定義定義

.

若任給

M>0,總存在N，當(dāng)n>N時(shí)，,則稱數(shù)列為無窮大量。記作：38例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使只要只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以39無窮大與非0常數(shù)的積仍為無窮大；無窮大與常數(shù)的和仍為無窮大；討論：無窮大與無窮大的和是否為無窮大？無窮大的性質(zhì):401、無窮大量一定無界2、無界量未必為無窮大量無窮大量與無界的區(qū)別41三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則定理.

在自變量的同一變化過程中,證明：42第一章第五節(jié)極限運(yùn)算法則43定理1.

有限個(gè)無窮小量的和還是無窮小.無窮小量的性質(zhì)定理2.

有界量(或局部有界）與無窮小量的乘積是無窮小

.

推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.44則有證:因則有(其中為無窮小)于是定理1.

若說明:

定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.極限的四則運(yùn)算法則：和差積商的極限等于極限的和差積商45推論:

若且則(P46

定理5)46定理1（續(xù)）.極限的乘法法則則有說明:

以上結(jié)論可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.若47推論1.(C

為常數(shù)

)推論2.(n

為正整數(shù)

)推論：稱為多項(xiàng)式函數(shù),n為多項(xiàng)式次數(shù)。48且B≠0,則有極限的除法法則49例.

求解:50例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母原式51求極限：為非負(fù)數(shù)

)52定理6：復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則由函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若且存在當(dāng)時(shí)，有53不可缺少.此時(shí)，不相等。注意條件：例：存在54第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限第一章55函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則且56注：在x的其他變化方式下，若有：且則：57求證：證明：由夾逼原則，58求證：59第一類重要的極限下證：60扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，△AOB

的面積＜＜△AOD的面積61總之有若則62而當(dāng)時(shí)由夾逼原則，得再由夾逼原則，得63第二種類型的極限64設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P53～P54)證:利用二項(xiàng)式公式,有65大大正由比較可知66根據(jù)單調(diào)有界定理知記此極限為e