利用正余弦定理解三角形題型全歸納題型一、利用正、余弦定理求邊長例題1、（2021?迎江區(qū)校級三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且b≠c，若sinB＝2sinA．（1）求b的值；【解題技法】1、必備公式：正弦定理、余弦定理公式、三角函數(shù)和差角公式；2、題型要求：在等式條件中，等號兩邊的每一項都存在角的正弦值、邊或邊與正弦值的積的形式；3、利用“邊化角”，即把a(bǔ),b,c化為sinA,sinB,sinC的形式，或者利用“角化邊”即把sinA,sinB,sinC化為a,b,c的形式。然后再考慮用余弦定理、三角形面積公式、或者三角函數(shù)和差角公式求解即可。變式訓(xùn)練1、（2021?和平區(qū)模擬）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsinA＝2csinB，且b＝3，．（1）求a的長；變式訓(xùn)練2、（2021?上饒三模）已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝．（1）求b的值；變式訓(xùn)練3、（2021?武進(jìn)區(qū)校級模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知（﹣cosA）c＝acosC．（1）求；變式訓(xùn)練4、（2021?泰安模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asinB＝（bsinB﹣bcosB）cosC，b＝3，B≠．（1）若a＝5，求c；題型二、利用正、余弦定理求角度例題2、（2021?四川模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0．（1）求角A的大??；【解題技法】在解三角形中，常用公式：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC；第一步：先考慮用正弦定理，嘗試“角化邊”或者“邊化角”；第二步：再考慮用余弦定理，注意能化為整式計算的盡量化為整式計算；第三步：當(dāng)心“符號”，內(nèi)角為鈍角時，余弦值為負(fù)，內(nèi)角為銳角時，余弦值為正，變式訓(xùn)練1、（2021?孟津縣校級模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2acosA＝bcosC+ccosB．（1）求A；變式訓(xùn)練2、（2021?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；變式訓(xùn)練3、（2021?拉薩二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cosC＝．（1）求角B；變式訓(xùn)練4、（2021?新疆模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大??；題型三、結(jié)合二倍角公式解三角形例題3、（2021?上饒模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c且滿足cos2A﹣5cos（B+C）﹣2＝0．（1）求角A的大?。窘忸}技法】1、必備公式：三角函數(shù)二倍角公式（升冪公式）2、題型要求：條件中有sin2A或者cos2A類型的條件，先考慮用二倍角公式化簡；第一步：把條件中的sin2A或者cos2A用公式展開，再合并化簡；第二步：若化簡后，存在一個未知值且有二次項，則作為一元二次方程求解；第三步：若化簡后，存在兩個未知值，則求其化值另作它用。變式訓(xùn)練1、（2021?香洲區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，已知6sinCcosA＝7sin2A，且5a＝3b．（1）求C；變式訓(xùn)練2、（2021?江西模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2A＝1+3cos（B+C）．（1）求角A的值；變式訓(xùn)練3、（2021?九江三模）△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，A為銳角．（1）求A的大?。焕}4、（2021?雞冠區(qū)校級三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊依次為a，b，c，．（1）求角C；【解題技法】第一步：利用二倍角公式進(jìn)行降冪化簡；第二步：若存在邊角形式，可以考慮正弦定理與余弦定理；第三步：在化簡過程中遵守未知量宜少不宜多，遇切化弦，遇角判斷符號。變式訓(xùn)練1、（2021?金華模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a且．（1）求角C的大?。蛔兪接?xùn)練2、（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ccos2+bsin2＝．（1）求C；變式訓(xùn)練3、（2021?全國Ⅱ卷模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3cosC＝2cos2．（1）求sinC；變式訓(xùn)練4、（2021?聊城三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，（1）求角B的大??；變式訓(xùn)練5、（2021?煙臺三模）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且滿足．（1）求A；變式訓(xùn)練6、（2021春?安徽期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．且．（1）求角A的大?。蛔兪接?xùn)練7、（2017?新課標(biāo)Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；變式訓(xùn)練8、（2020?新課標(biāo)Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2（+A）+cosA＝．（1）求A；題型四、平面四邊形類型例題5、（2021?蘇州模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．∠CBD＝30°，（1）求三角形ABD的面積；【解題技法】第一步：在平面四邊形中，尋找三角形，把已知條件標(biāo)在各個三角形中；第二步：利用三角形內(nèi)角和定理、外角和定理、三角形邊角關(guān)系（直角三角形邊勾股定理、特殊三角形的邊比例關(guān)系）求出邊或角；第三步：在各個三角形中利用正弦定理求解，有未知量的設(shè)出未知數(shù)。變式訓(xùn)練1、（2018?新課標(biāo)Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；變式訓(xùn)練2、（2021?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）證明：BD＝b；變式訓(xùn)練3、（2021?洛陽模擬）在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AD＝2，BD＝4．（1）求cos∠ABD；變式訓(xùn)練4、（2021?諸暨市模擬）如圖，已知平面四邊形ABCD中，AB＝CD＝1．，，（1）求△ABD的面積；例題6、（2021?遼寧模擬）如圖，在△ABC中，D為BC的中點，AB＝4，AD＝，AC＝6．（1）求△ABC的面積；【解題技法】第一步：多審題，熟條件；第二步：標(biāo)條件，找三角形；第三步：在三角形內(nèi)利用余弦定理求解；第四步：根據(jù)題意判斷取值。變式訓(xùn)練1、（2021春?孝感期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠DAB＝∠CBD＝90°，．BD＝2AB＝2，（1）求AC的長；變式訓(xùn)練2、（2021?浙江模擬）如圖，在△ABC中，AB＝6，，點D在BC邊上，AD＝4，∠ADB為銳角．，（1）求DC；變式訓(xùn)練3、（2021?河南模擬）如圖，在△ABC中，B＝60°，D為AB邊上一點，AD＝4，CD＝5，AC＝7．（1）求sin∠ACB的值；變式訓(xùn)練4、（2021?市中區(qū)校級二模）在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC