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信心源自于努力2345

結(jié)合近幾年中考試題分析，對(duì)等腰三角形的內(nèi)容考查主要有以下特點(diǎn)：

1.命題方式為對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、判定及三角形全等、線段垂直平分線進(jìn)行綜合考查，題型以解答題為主；

2.命題的熱點(diǎn)為等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.6

1.在復(fù)習(xí)過(guò)程中一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握，明確每個(gè)定理的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用范圍，練習(xí)時(shí)注意挖掘圖形中特殊的角和相等的邊，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形；

2.加強(qiáng)頂角為30°，36°，45°，60°等特殊角的等腰三角形有關(guān)知識(shí)的訓(xùn)練；7

3.重視等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運(yùn)用；

4.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要對(duì)等腰三角形中證明線段相等或角相等的常用方法進(jìn)行總結(jié)，歸納出三角形中常見(jiàn)的添加輔助線的規(guī)律.89101112131415等腰三角形的性質(zhì)與判定1.等腰三角形是一種特殊的三角形，因此它除了具有一般三角形的性質(zhì)以外還有以下特殊的性質(zhì)：等腰三角形的兩條邊相等；等腰三角形的“三線合一”即頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；162.等腰三角形的判定是指在同一三角形中相等的邊所對(duì)的角相等,簡(jiǎn)稱(chēng)等邊對(duì)等角；當(dāng)三角形一邊上的中線和高及頂角的角平分線相互重合時(shí),此三角形為等腰三角形，“三線合一”性質(zhì)的逆用是判定等腰三角形的主要方法，因此在判定時(shí)要注意運(yùn)用；3.等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定常與全等三角形甚至與一元二次方程的有關(guān)知識(shí)結(jié)合考查.17【例1】(2011·德州中考)如圖,AB=AC,CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O.(1)求證:AD=AE；(2)連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系,并說(shuō)明理由.18【思路點(diǎn)撥】19【自主解答】(1)在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AC=AB，∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)OA⊥BC.在Rt△ADO與Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分線，又∵AB=AC，∴OA⊥BC.201.(2010·寧波中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有()(A)5個(gè)(B)4個(gè)(C)3個(gè)(D)2個(gè)21【解析】選A.因?yàn)锳B=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠ACB=72°，由BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，可得∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，所以△ABC、△BCD、△ABD、△BCE、△DCE都為等腰三角形.222.(2011·濟(jì)寧中考)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長(zhǎng)是()(A)15cm(B)16cm(C)17cm(D)16cm或17cm【解析】選D.若以5cm為腰長(zhǎng)，則此三角形的周長(zhǎng)為5+5+6=16(cm)；若以6cm為腰長(zhǎng)，則此三角形的周長(zhǎng)為6+6+5=17(cm).233.(2011·舟山中考)如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，則△ABC的外角∠BCD=_____度.【解析】由AB=AC,∠A=40°，得∠ACB=∠ABC=70°,所以∠BCD=180°-70°=110°.答案：110244.(2010·東陽(yáng)中考)如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將△ABC沿過(guò)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若∠B=50°，則∠BDF=_____度.【解析】根據(jù)題意，△BDF是以D為頂點(diǎn)的等腰三角形，因此∠BDF=180°-50°×2=80°.答案：8025等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形顧名思義其三邊都相等，因?yàn)槠淙呏g有了這種特殊的相等關(guān)系，因此它的三個(gè)角也相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得每個(gè)內(nèi)角都為60°；等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此它不僅具有等腰三角形的一切性質(zhì)，而且還具有一般等腰三角形不具備的特殊性質(zhì)，即等邊三角形的三邊中線、高以及三個(gè)內(nèi)角平分線的交26點(diǎn)重合，且此點(diǎn)到等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等、到三邊的距離相等、到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍；等邊三角形的判定多是在等腰三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.27【例2】(2011·日照中考)如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA.(1)求證：DE平分∠BDC;(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD.28【思路點(diǎn)撥】29【自主解答】(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°,∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC,∴∠DCB=∠DCA=45°.∵∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°,∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°,∴∠BDE=∠EDC,∴DE平分∠BDC.30(2)如圖，連接MC，∵DC=DM,且∠MDC=60°,∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD.又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,31∴∠EMC=∠ADC.又∵CE=CA,∴∠CEM=∠DAC=15°,∴△EMC≌△ADC,∴ME=AD=BD.325.(2010·臨邑中考)如圖，△ABC和△DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長(zhǎng)為()(A)(B)(C)(D)【解析】選D.過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，在Rt△BDF中，DF=，BF=6，所以BD=.336.(2010·茂名中考)如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是()(A)15米(B)20米(C)25米(D)30米34【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，所以BC＝2EF，又因?yàn)镋F＝5米，所以BC＝10米，因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，所以BE=CF＝5米，所以籬笆的長(zhǎng)為25米.357.(2010·銅仁中考)如圖，小紅作出了邊長(zhǎng)為1的第1個(gè)正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面積，然后分別取△A1B1C1三邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，作出了第2個(gè)正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面積，用同樣的方法，作出了第3個(gè)正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面積……，由此可得，第8個(gè)正△A8B8C8的面積是()36(A)(B)(C)(D)【解析】選C.因?yàn)椤鰽1B1C1的邊長(zhǎng)為1，所以△A1B1C1的面積為，又因?yàn)辄c(diǎn)A2，B2，C2分別是△A1B1C1各邊的中點(diǎn)，所以△A2B2C2的面積為，同理，△A3B3C3的面積為，依此類(lèi)推，△A8B8C8的面積為378.(2009·煙臺(tái)中考)如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD＝60°，則CD的長(zhǎng)為

()(A)(B)(C)(D)38【解析】選B.因?yàn)椤螦PD＝60°，所以∠PDC=60°+∠PAD，又因?yàn)椤螧PA＝60°+∠PAD，所以∠PDC=∠BPA，又因?yàn)椤螧＝∠C，所以△ABP∽△PCD，所以,所以39線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用線段的垂直平分線上的點(diǎn)具有到線段的兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，其實(shí)就是線段的對(duì)稱(chēng)軸，因此經(jīng)常用來(lái)證明線段、角相等和作為構(gòu)造等腰三角形、等腰梯形等幾何圖案的關(guān)鍵,并常用作設(shè)計(jì)等距離的實(shí)際問(wèn)題的輔助線.40【例3】(2010·煙臺(tái)中考)如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于()(A)80°(B)70°(C)60°(D)50°41【思路點(diǎn)撥】【自主解答】選C.因?yàn)锳B=AC，∠A=20°，所以∠ABC=(180°-∠A)=80°，因?yàn)镈E垂直平分AB，所以∠ABE=∠A=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.429.(2010·義烏中考)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA=5，則線段PB的長(zhǎng)度為()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】選B.因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，所以PB=PA=5.4310.(2011·紹興中考)如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN,交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD.若△ADC的周長(zhǎng)為10,AB=7，則△ABC的周長(zhǎng)為()(A)7(B)14(C)17(D)20【解析】選C.由中垂線的性質(zhì)可知AD=BD,∴△ABC的周長(zhǎng)為:AB+AC+CD+BD=17.4411.(2011·鹽城中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點(diǎn).若DE=5，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____.45【解析】∵AD⊥DC，AE=CE，∴∴AC=10.又∵AB=AC，∴AB=10.答案：104612.(2011·株洲中考)如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC.(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)若CE=5，求BC長(zhǎng).47【解析】(1)方法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°.方法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°.又∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠ECD=∠A=36°.48(2)方法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°.由(1)知∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.方法二：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.4950等腰三角形中分類(lèi)討論思想的應(yīng)用對(duì)于等腰三角形中的邊、角的有關(guān)計(jì)算與證明，往往運(yùn)用到數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想:涉及到等腰三角形的邊時(shí)，首先看某邊是腰還是底，并且在求出了三邊的長(zhǎng)之后，還要驗(yàn)證是否滿足三角形的三邊關(guān)系；51等腰三角形的頂角可以為銳角、直角、鈍角，而其底角只能為銳角，在沒(méi)有指明等腰三角形的頂角還是底角時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論，以免漏解.52【例】(2010·楚雄中考)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是()(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不對(duì)【思路點(diǎn)撥】53【自主解答】選C.當(dāng)70°的角是頂角時(shí)，另兩個(gè)內(nèi)角都是(180°-70°)÷2=55°.當(dāng)70°的角是底角時(shí)，則另兩個(gè)角中的底角是70°，頂角是180°-70°-70°=40°.因此選C.54(2010·廣安中考)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為4、9，則它的周長(zhǎng)是()(A)17(B)17或22(C)20(D)22【解析】選D.當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為9時(shí)，因?yàn)?＋4＜9，所以此等腰三角形不存在；所以此等腰三角形的腰長(zhǎng)為9，底邊長(zhǎng)為4，因此它的周長(zhǎng)是22.551.(2010·東陽(yáng)中考)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為()(A)40°(B)100°(C)40°或100°(D)70°或50°【解析】選C.40°若是底角，則頂角為180°-40°×2=100°；40°為頂角.562.(2009·云南中考)如圖，等腰△ABC的周長(zhǎng)為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長(zhǎng)為()(A)13(B)14(C)15(D)1657【解析】選A.∵△ABC的周長(zhǎng)等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴BE+EC=AE+EC=AC=8,∴△BEC的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=8+5=13.583.(2010·無(wú)錫中考)如圖