數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出、內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）條件下，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

解析法

依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法

實(shí)驗(yàn)法

人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。第一節(jié)控制系統(tǒng)微分方程的編寫

分析系統(tǒng)工作原理，確定相應(yīng)的輸入量、輸出量和中間變量；

從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換的順序，依據(jù)各變量遵循的物理、化學(xué)規(guī)律，寫出各元、部件的微分方程；

消去中間變量，得到描述控制系統(tǒng)的總的微分方程。

步驟

機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fK(t)fC(t)無源電網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)

有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：

小結(jié)物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的研究。第二節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：t≤0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0。示例

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的微分方程

在初始條件為零時(shí)，其拉氏變換為：六個(gè)術(shù)語

二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明

N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。N(s)中s的最高次數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。K稱為放大系數(shù)或增益的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；的根稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。

零、極點(diǎn)分布圖G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)012312-1-2-3-1-2j傳遞函數(shù)的3種表示方法一般式零極點(diǎn)式時(shí)間常數(shù)式系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

由上式可見，傳遞函數(shù)表達(dá)式中包含七種不同的因子，即：比例環(huán)節(jié)： K一階微分環(huán)節(jié)：s+1二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)： s在實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間，即

xo(t)=xi(t-)一般地，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述八種典型環(huán)節(jié)的組合。z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器

比例環(huán)節(jié)

彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)KC

慣性環(huán)節(jié)

測速發(fā)電機(jī)在無負(fù)載時(shí)：uo(t)i(t)

微分環(huán)節(jié)

如：有源積分網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a

積分環(huán)節(jié)

如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

振蕩環(huán)節(jié)ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量

延遲環(huán)節(jié)一個(gè)環(huán)節(jié)可能由幾個(gè)元件組成；一個(gè)元件可能由幾個(gè)環(huán)節(jié)組成。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、結(jié)構(gòu)圖的基本概念給定信號(hào)電壓功率放大器控制電機(jī)減速器調(diào)壓器恒溫箱(控制對(duì)象)熱電偶u1u2uu3nvu溫度t被控量擾動(dòng)Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)二、結(jié)構(gòu)圖的組成和建立

信號(hào)線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，旁邊標(biāo)記信號(hào)的時(shí)域函數(shù)或復(fù)域函數(shù)。X(s),x(t)

分支點(diǎn)表示信號(hào)引出以及傳遞方向。

同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)

函數(shù)方框G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。

求和點(diǎn)信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“”及相應(yīng)的信號(hào)線表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。

X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的圖形來表示。求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出點(diǎn)Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)信號(hào)線結(jié)構(gòu)圖的建立步驟

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào)的輸入/輸出關(guān)系。

對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各元部件的結(jié)構(gòu)圖。

按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，得到系統(tǒng)總的結(jié)構(gòu)圖。

示例RCui(t)uo(t)i(t)拉氏變換得：從而可得系統(tǒng)各單元的結(jié)構(gòu)圖：

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)Uo(s)I(s)Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換

串聯(lián)連接

G1(s)G2(s)Xi(s)X1(s)Xo(s)Xi(s)Xo(s)G(s)=G1(s)G2(s)

并聯(lián)連接

Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)Xo(s)G1(s)+Xi(s)+G2(s)X1(s)X2(s)

反饋連接

G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)

求和點(diǎn)的移動(dòng)

G(s)ABC±CG(s)ABG(s)±G(s)ABC±G(s)ABC±

引出點(diǎn)的移動(dòng)

G(s)ACCG(s)ACG(s)CG(s)ACAG(s)ACA結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式2相鄰綜合點(diǎn)可互換位置3相鄰引出點(diǎn)可互換位置4不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式5引出點(diǎn)綜合點(diǎn)相鄰，不可互換位置引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG41G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動(dòng)G1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1式中，P—系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)Pk—第k條前向通路的傳遞函數(shù)四、梅遜公式

—所有回路的傳遞函數(shù)之和；—每兩個(gè)互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和—每三個(gè)互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和k—對(duì)于，將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的即為k。

在黑板上舉例G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++第四節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時(shí)反饋信號(hào)B(s)和偏差信號(hào)

(s)之間的傳遞函數(shù)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。記為GK(s)。

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時(shí)在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)H(s)Xi(s)Xoi(s)B(s)

(s)G2(s)

n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時(shí)在擾動(dòng)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

G1(s)H(s)N(s)Xon(s)G2(s)

系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理：

Xi(t)作用下系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)1H(s)Xi(s)G1(s)G2