傳感器與測試技術(shù)第2章測試系統(tǒng)的特性2.1概述2.2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性2.3測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性2.1概述典型的測試系統(tǒng)主要由傳感器、信號(hào)調(diào)理電路、數(shù)據(jù)處理設(shè)備以及顯示儀表等部分組成。需要指出的是，當(dāng)測試目的、要求不同時(shí)，測試系統(tǒng)的差別很大。2.1.1測試系統(tǒng)的基本要求通常的工程測試問題總是處理輸入量x（t）、系統(tǒng)的傳輸或轉(zhuǎn)換特性h（t）和輸出量y（t）三者之間的關(guān)系，如圖所示。系統(tǒng)、輸入和輸出的關(guān)系理想的測試系統(tǒng)應(yīng)該具有單值的、確定的輸入輸出關(guān)系。對于每一個(gè)輸入量，系統(tǒng)都有一個(gè)單一的輸出量與之一一對應(yīng)，知道其中一個(gè)量就可以確定另一個(gè)量，并且以輸出和輸入呈線性關(guān)系為最佳。在靜態(tài)測量中，測試系統(tǒng)的這種線性關(guān)系雖然總是所希望的，但不是必須的，因?yàn)橛们€校正或用輸出補(bǔ)償技術(shù)作非線性校正并不困難。在動(dòng)態(tài)測量中，測試系統(tǒng)本身應(yīng)該力求是線性系統(tǒng)，這不僅因?yàn)槟壳皩€性系統(tǒng)能作比較完善的數(shù)學(xué)處理與分析，而且也因?yàn)樵趧?dòng)態(tài)測試中作非線性校正還相當(dāng)困難或不經(jīng)濟(jì)。由于相當(dāng)多的實(shí)際測試系統(tǒng)不可能在較大的工作范圍內(nèi)完全保持線性，因而只能限制在一定的工作范圍內(nèi)和一定的誤差允許范圍內(nèi)，近似地作為線性系統(tǒng)處理。2.1.2線性系統(tǒng)及其主要性質(zhì)線性系統(tǒng)的輸入x（t）和輸出y（t）之間可用下列微分方程來描述：

若系數(shù)

和

均為常數(shù)，該方程就是常系數(shù)線性微分方程，所描述的是時(shí)不變（常系數(shù)）線性系統(tǒng)。若系數(shù)是時(shí)變的，即

均為時(shí)間t的函數(shù)，則稱為時(shí)變系統(tǒng)。若以

表示測試系統(tǒng)中輸入與輸出的對應(yīng)關(guān)系，則時(shí)不變線性系統(tǒng)具有以下主要性質(zhì)：線性系統(tǒng)性質(zhì)疊加性比例性微分性積分性頻率保持性2.2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性在靜態(tài)測量中，輸入和輸出都不隨時(shí)間而變化或變化極慢（在所觀察的時(shí)間內(nèi)可忽略其變化），公式將變?yōu)橛纱丝梢?，靜態(tài)特性是動(dòng)態(tài)特性的一個(gè)特例。輸入不隨時(shí)間變化，即輸入頻率為零。因此，在描述測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性時(shí)，必須和系統(tǒng)的頻率特性聯(lián)系起來。2.2.1測試系統(tǒng)的誤差與精度1．測試系統(tǒng)的誤差測試結(jié)果與被測量的真值總是不一致的，它們之間的差值稱為誤差。所謂真值是一個(gè)理想的概念，一般是不知道的，通常用高一等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)裝置所測得的量值或多次測量的算術(shù)平均值來代替。誤差的種類較多，根據(jù)其表示方法可分為絕對誤差、相對誤差和引用誤差；根據(jù)其特點(diǎn)、性質(zhì)和產(chǎn)生原因又可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差。誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差過失誤差系統(tǒng)誤差是指在相同的條件下，多次重復(fù)測量同一個(gè)量時(shí)，其絕對值和符號(hào)固定不變，或改變條件（如環(huán)境條件、測量條件）后按一定規(guī)律變化的誤差。這類誤差的出現(xiàn)是有規(guī)律的，容易被人們所掌握，并可采取適當(dāng)?shù)拇胧┘右孕拚蛳ｋS機(jī)誤差是指在相同的條件下，多次重復(fù)測量同一個(gè)量時(shí)，其絕對值和符號(hào)變化無常，但隨著測量次數(shù)的增加又符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的誤差。這類誤差的特點(diǎn)是隨機(jī)分布的，并且是不可避免的，只有用統(tǒng)計(jì)的方法找出它的規(guī)律，才能使之控制在最小。

過失誤差是一種明顯歪曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差。主要是由于操作不當(dāng)、疏忽大意、環(huán)境條件突然變化所造成的。含有過失誤差的數(shù)據(jù)稱為異常數(shù)據(jù)，在誤差分析時(shí)應(yīng)將其剔除。2．測試系統(tǒng)的精度測試系統(tǒng)的精度反映測試結(jié)果與真值的接近程度。它與誤差的大小相對應(yīng)，因此可用誤差的大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，反之誤差大則精度低。測試系統(tǒng)精度精密度正確度準(zhǔn)確度精密度表示多次重復(fù)測量中，測量值彼此之間的重復(fù)性或分散性大小的程度。它反映隨機(jī)誤差的大小，隨機(jī)誤差愈小，測量值就愈密集，重復(fù)性愈好，精密度愈高。正確度表示多次重復(fù)測量中，測量平均值與真值接近的程度。它反映系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差愈小，測量平均值就愈接近真值，正確度愈高。準(zhǔn)確度（精確度）表示在多次重復(fù)測量中，測量值與真值一致的程度。它反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差綜合的大小，只有當(dāng)隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小時(shí)，準(zhǔn)確度才高。準(zhǔn)確度也簡稱為精度。對于具體的測量，精密度高而正確度不一定高，正確度高而精密度也不一定高，但準(zhǔn)確度高，則精密度和正確度都高。在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，精密度與準(zhǔn)確度才是一致的?，F(xiàn)以下圖所示的打靶結(jié)果——子彈落在靶心周圍的三種情況來說明精度的高低。（a）

（b）

（c）精度衡量精度的性能指標(biāo)常用相對誤差和引用誤差來表示。相對誤差引用誤差我國測試儀表的精度等級(jí)仍多用引用誤差的百分?jǐn)?shù)值來表示，即在選用測試系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)在合理選用量程的條件下再選擇合適的精度等級(jí)，一般應(yīng)盡量避免在全量程的1/3以下范圍內(nèi)工作，以免產(chǎn)生較大的相對誤差。對于被測量不隨時(shí)間變化或變化甚緩的靜態(tài)測量中，上述術(shù)語和誤差計(jì)算、表達(dá)方法都很明確。但對于動(dòng)態(tài)測量，誤差的度量就比較復(fù)雜。如果輸入是由多個(gè)頻率組成，則實(shí)際系統(tǒng)總會(huì)導(dǎo)致一定的輸出失真，如何度量失真，如何定量表示失真的大小，則是一個(gè)復(fù)雜的問題。對于時(shí)不變線性系統(tǒng)，由于頻率保持性，系統(tǒng)輸入單一頻率的正弦信號(hào)，其穩(wěn)態(tài)輸出也只能有該單一頻率，無所謂失真問題，任何畸變都是系統(tǒng)偏離理想線性系統(tǒng)的結(jié)果。但即使系統(tǒng)是理想線性的，由于系統(tǒng)的頻率特性，對具有多種頻率成分的輸入波形，仍會(huì)引起輸出波形畸變。在選擇測試系統(tǒng)時(shí)應(yīng)根據(jù)被測信號(hào)的頻率范圍，按不失真的要求，選用頻率特性合適的系統(tǒng)。在信號(hào)頻率范圍內(nèi)幅值的變化一般希望限制在5%~10%以內(nèi)，相應(yīng)的相位偏移不超過3°～6°。2.2.2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性參數(shù)1．線性度線性度是指測試系統(tǒng)的輸出與輸入之間能否像理想系統(tǒng)那樣保持常值比例關(guān)系（線性關(guān)系）的一種度量。在靜態(tài)測量中，通常用實(shí)驗(yàn)的方法求取系統(tǒng)的輸出與輸入關(guān)系曲線，稱為標(biāo)定曲線。標(biāo)定曲線與擬合直線的接近程度稱為線性度。如圖所示，線性度用標(biāo)定曲線與擬合直線的最大偏差B與滿量程輸出值A(chǔ)的百分比表示，即線性度（1）平均法平均法確定擬合直線的實(shí)質(zhì)是選擇合適的系數(shù)，使標(biāo)定曲線與擬合直線偏差的代數(shù)和為零，即擬合直線方程有兩個(gè)待定系數(shù)a與b，為了求它們，首先把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按輸入

由小到大依次排列，然后分成個(gè)數(shù)近似相等的兩組。第一組為

，第二組為

，建立相應(yīng)的兩組方程，并將兩組方程分別相加得解此聯(lián)立方程便可求出待定系數(shù)a與b，從而確定擬合直線方程。（2）最小二乘法最小二乘法確定擬合直線的實(shí)質(zhì)是選擇合適的系數(shù)，使標(biāo)定曲線與擬合直線偏差的平方和為最小，即為最小。由于偏差的平方均為正值，故若偏差的平方和為最小，即意味著擬合直線與整個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離程度最小。按最小二乘法確定待定系數(shù)，就是要求出能使Q取最小的a與b值。為此，將Q分別對a和b求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得由此解得式中

，

。得到待定系數(shù)a與b后，就可確定擬合直線方程。值得注意的是，將

代入擬合直線方程，得該式表明擬合直線通過（

,）點(diǎn)，這對作擬合直線是很有幫助的。用不同方法得到的擬合直線是不同的，計(jì)算的線性度也有所不同。平均法計(jì)算簡單，但對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律考慮得不夠深入，僅能作粗略估計(jì)之用。一般較為重要的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)選用最小二乘法確定擬合直線方程。在動(dòng)態(tài)測量中，系統(tǒng)的線性度在標(biāo)定時(shí)，應(yīng)在其全量程范圍內(nèi)進(jìn)行。線性度所描述的是在某一頻率點(diǎn)上輸出與輸入是否呈線性比例關(guān)系的一種度量。因?yàn)閯?dòng)態(tài)測量的輸入一般為周期性的變化，其量值經(jīng)歷正、負(fù)和零，所以測試系統(tǒng)的非線性必然引起波形的畸變，導(dǎo)致輸出失真。即使輸入為單一頻率的正弦波，由于波形畸變使輸出中必然含有高次諧波。所以在標(biāo)定時(shí)如果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)有比較明顯的非線性，則說明該系統(tǒng)已不能作為線性系統(tǒng)處理，線性系統(tǒng)的疊加性、頻率保持性都不復(fù)存在，更談不上不失真問題，因此線性度是表述測試系統(tǒng)的重要參數(shù)。2．靈敏度靈敏度是測試系統(tǒng)對被測量變化的反應(yīng)能力，是反映系統(tǒng)特性的一個(gè)基本參數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)輸入x有一個(gè)變化量，引起輸出y也發(fā)生相應(yīng)的變化量

，則輸出變化量與輸入變化量之比稱為靈敏度，用S表示，即在靜態(tài)測量中，對于呈直線關(guān)系的線性系統(tǒng)，由公式得在動(dòng)態(tài)測量中，由于系統(tǒng)的頻率特性影響，即使在適用的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的靈敏度也不相同。在實(shí)際工作中，常對適用頻率范圍內(nèi)特性最為平坦、具有代表性的頻率點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定。3．滯后量（回程誤差）當(dāng)輸入x由小增大，而后又由大減小時(shí)，同一個(gè)輸入量系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不同的輸出量。在全量程范圍內(nèi)，同一個(gè)輸入量的前后兩個(gè)輸出量的最大差值稱為滯后量H，如圖所示。滯后量也可用最大輸出差值H與滿量程輸出值A(chǔ)的百分比表示，即滯后量實(shí)際上滯后量包括了一般的滯后現(xiàn)象和儀器的不工作區(qū)（或稱死區(qū)）。4．重復(fù)性重復(fù)性表示輸入量按同一方向變化時(shí)，在全量程范圍內(nèi)重復(fù)進(jìn)行測量時(shí)所得到各特性曲線的重復(fù)程度，如圖所示。一般采用輸出最大不重復(fù)誤差Δ與滿量程輸出值A(chǔ)的百分比來表示重復(fù)性，即重復(fù)性重復(fù)性可反映測試系統(tǒng)的隨機(jī)誤差大小。為了確保測量結(jié)果的準(zhǔn)確可靠，要求測試系統(tǒng)的線性度好、靈敏度高、滯后量和重復(fù)性誤差小。實(shí)際上，線性度是一項(xiàng)綜合性參數(shù)，滯后量和重復(fù)性也都能反映在線性度上。因此，有關(guān)滯后量和重復(fù)性在動(dòng)態(tài)測量中的頻率特性就不再作詳細(xì)分析。為了確定上述靜態(tài)特性參數(shù)，通常用靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)量作為輸入，用實(shí)驗(yàn)方法測出對應(yīng)的輸出量，這一過程稱為靜態(tài)標(biāo)定。然后根據(jù)靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出擬合直線方程，并計(jì)算出各測得值與理論估計(jì)值（由擬合直線方程計(jì)算得到）之間的偏差，由此即可求出靜態(tài)特性參數(shù)值。2.3測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性2.3.1傳遞函數(shù)對于時(shí)不變線性系統(tǒng)，如果x（t）是時(shí)間變量t的函數(shù)，并且在初始條件t≤0時(shí)x（t）=0，則它的拉氏變換定義為由此可得x（t）的n階微分的拉氏變換為若系統(tǒng)的初始條件為零，即在考察時(shí)刻以前（t=0－），其輸出量與輸入量以及各階微分都為零，可得線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比，即傳遞函數(shù)為復(fù)變量s的函數(shù)，一般為有理真分式，即

n＞m。分母中s的最高階數(shù)等于輸出量微分的最高階數(shù)，如果s的最高階數(shù)為n，則該系統(tǒng)稱為n階測試系統(tǒng)。1．傳遞函數(shù)的特點(diǎn)傳遞函數(shù)與輸入無關(guān)，即不因x（t）的不同而異。它只反映測試系統(tǒng)的特性，所描述的測試系統(tǒng)對任一具體的輸入x（t）都確定地給出了相應(yīng)的輸出y（t）。傳遞函數(shù)是把實(shí)際物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型。它只反映測試系統(tǒng)的傳輸、轉(zhuǎn)換和響應(yīng)特性，而與具體的物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。同一形式的傳遞函數(shù)可能表征著完全不同的物理系統(tǒng)，它們具有相似的傳遞特性。由于在實(shí)際的物理系統(tǒng)中，輸入x（t）和輸出y（t）常具有不同的量綱，所以用傳遞函數(shù)描述測試系統(tǒng)的傳輸、轉(zhuǎn)換特性也應(yīng)該真實(shí)地反映這種量綱變換。前面談到不同的物理系統(tǒng)可能有相似的傳遞函數(shù)，但是系數(shù)a0和b0的量綱將因具體物理系統(tǒng)的輸入量和輸出量的量綱而異。傳遞函數(shù)的分母通常取決于測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，分子則和輸入方式、所測變量以及測點(diǎn)布置情況有關(guān)。2．復(fù)雜測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)實(shí)際的測試系統(tǒng)往往由若干個(gè)環(huán)節(jié)通過串聯(lián)或反饋的方式組成，如圖所示。復(fù)雜測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖a所示為兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的測試系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為類似地，對

個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的測試系統(tǒng)圖b所示為閉環(huán)反饋測試系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

式中，負(fù)反饋取“+”號(hào)，正反饋取“-”號(hào)。2.3.2頻率特性測試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是系統(tǒng)對正弦信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，當(dāng)由低到高改變正弦輸入信號(hào)的頻率時(shí)，輸出與輸入的幅值比及相位差的變化情況稱為測試系統(tǒng)的頻率特性。若將s=jw代入拉氏變換就可得到實(shí)際上這是單邊傅里葉變換（簡稱傅氏變換），系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比將變?yōu)榫褪菧y試系統(tǒng)的頻率特性。很顯然，頻率特性是傳遞函數(shù)的一個(gè)特例。在推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)，曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)了測試系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。但是，即使測試系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，從t=0+所施加的輸入也是正弦信號(hào)，而測試系統(tǒng)的響應(yīng)也將有瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)取決于測試系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映測試系統(tǒng)固有特性的“自然響應(yīng)”，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的形式。因?yàn)闇y試系統(tǒng)中存在阻尼，瞬態(tài)響應(yīng)部分經(jīng)過一段過渡過程而趨于零。頻率特性僅反映測試系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)輸入同一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，在時(shí)間坐標(biāo)上，前可推溯至t=－∞，后將延續(xù)至t=+∞，因此在觀察時(shí)刻，瞬態(tài)響應(yīng)早就衰減為零。由此可見，頻率特性不能反映過渡過程，傳遞函數(shù)才能反映全過程。頻率特性只是傳遞函數(shù)在特定輸入下的描述，這一點(diǎn)在

就已充分反映了。對于穩(wěn)定的常系數(shù)線性系統(tǒng)，若輸入為正弦信號(hào)，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與輸入同一頻率的正弦信號(hào)。輸出的幅值和相位通常不等于輸入的幅值和相位，輸出與輸入的幅值比和相位差是輸入信號(hào)頻率的函數(shù)，這將反映在頻率特性的模和相角上。若將頻率特性的虛部和實(shí)部分開，記作則

和

都是

的實(shí)函數(shù)。若將頻率特性寫成模和相角的形式，即則稱

為測試系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)，

為測試系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)，即輸入不同頻率的正弦信號(hào)時(shí)，輸出與輸入的幅值比和相位差。據(jù)此畫出的

曲線和

曲線分別稱為測試系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。1．一階測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性右圖所示為典型的一階測試系統(tǒng)。其中左上圖是由彈簧、阻尼器組成一階機(jī)械系統(tǒng)，圖中x（t）為輸入位移量，y（t）為輸出位移量。通常阻尼力Fb與運(yùn)動(dòng)速度成正比，作用力Fa與彈簧剛度及位移成正比，即典型的一階測試系統(tǒng)根據(jù)力的平衡條件

，可得左下圖是一個(gè)常見的RC低通濾波器電路。輸出電壓yu（t）與輸入電壓xu（t）之間的關(guān)系為對于右圖所示的液柱式溫度計(jì)，若用Ti（t）表示溫度計(jì)的被測溫度，T0（t）表示溫度計(jì)的示值溫度，c表示溫度計(jì)的熱容量，α表示傳熱系數(shù)，則根據(jù)熱力學(xué)定律，它們之間的關(guān)系為上述所列舉的三個(gè)測試系統(tǒng)，雖然分別屬于力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)范疇，但其輸出與輸入的關(guān)系都可以用一階微分方程描述，均屬于一階測試系統(tǒng)?？蓪懗扇缦聵?biāo)準(zhǔn)形式對于時(shí)不變線性系統(tǒng)，靜態(tài)靈敏度S=b0/a0為常數(shù)，在動(dòng)態(tài)特性分析中，靈敏度只起著使輸出量增加倍數(shù)的作用。因此為了方便起見，本章討論的測試系統(tǒng)都采用靜態(tài)靈敏度S=b0/a0=1。這樣，可得一階測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為一階測試系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)分別為以無量綱系數(shù)

為橫坐標(biāo)，

和

為縱坐標(biāo)，可得一階測試系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如下圖所示。一階測試系統(tǒng)的頻率特性一個(gè)理想的測試系統(tǒng)，其輸出波形應(yīng)該是無滯后地按比例地再現(xiàn)被測信號(hào)的波形，即（常數(shù)）由此可得一階測試系統(tǒng)的幅值誤差和相位誤差分別為2．二階測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性下圖所示為典型的二階測試系統(tǒng)。其中圖a為動(dòng)圈式測試儀表，動(dòng)圈中流過的電流

為輸入信號(hào)，指針偏轉(zhuǎn)角度

為輸出信號(hào)。當(dāng)動(dòng)圈中流過電流時(shí)，線圈在磁場中受到電磁轉(zhuǎn)矩Mi的作用，Mi的大小與電流成正比，即（a）

（b）

（c）典型的二階測試系統(tǒng)在電磁轉(zhuǎn)矩作用下，測試儀表的可動(dòng)部分發(fā)生偏轉(zhuǎn)，同時(shí)產(chǎn)生慣性力矩MJ、阻尼力矩Mc、彈簧剛度力矩MG與電磁轉(zhuǎn)矩Mi相平衡，即圖b所示的測力彈簧可簡化為彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)。當(dāng)被測力xf（t）=0時(shí)，可調(diào)整初始值使輸出位移y（t）=0。根據(jù)力平衡方程，不計(jì)系統(tǒng)質(zhì)量的影響，可得圖c為

振蕩回路，輸入電壓xu（t）和輸出電壓yu（t）

之間的關(guān)系為可歸一化為標(biāo)準(zhǔn)形式若取靜態(tài)靈敏度S=b0/a0=1，則二階測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為二階測試系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)分別為以相對角頻率

為橫坐標(biāo)，

和

為縱坐標(biāo)，可得二階測試系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖所示。（a）

（b）

二階測試系統(tǒng)的頻率特性二階測試系統(tǒng)的幅值誤差和相位誤差分別為2.3.3瞬態(tài)響應(yīng)前面所討論的都是測試系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)的響應(yīng)。頻率特性充分描述了在穩(wěn)態(tài)輸出輸入情況下測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它反應(yīng)對不同頻率成分的正弦激勵(lì)，測試系統(tǒng)輸出與輸入的幅值比和相位滯后的變化。在討論過程中也曾指出，在正弦激勵(lì)剛施加上去的一段時(shí)間內(nèi)，測試系統(tǒng)的輸出中含有自然響應(yīng)。自然響應(yīng)是一種瞬態(tài)響應(yīng)，它隨時(shí)間的增大逐漸衰減為零。自然響應(yīng)反映測試系統(tǒng)的固有特性，它和激勵(lì)的初始施加方式有關(guān)，而和激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)頻率無關(guān)。自然響應(yīng)的存在說明測試系統(tǒng)的響應(yīng)有一個(gè)過渡過程。在控制理論中指出，利用拉氏變換可以以代數(shù)方法解微分方程，所得到的解不僅包括穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且包括瞬態(tài)響應(yīng)。因此，如果測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）已知，輸入（激勵(lì)）也可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式x（t）描述，那么就可以對激勵(lì)函數(shù)求拉氏變換得X（s），由公式得到響應(yīng)的拉氏變換Y（s），即對Y（s）再求拉氏逆變換就可得到響應(yīng)的時(shí)域描述，即

，所得到的解包括過渡過程。為了求出Y（s），需要確定傳遞函數(shù)H（s）的數(shù)學(xué)表達(dá)式，所以要用參數(shù)擬合的方法估計(jì)傳遞函數(shù)表達(dá)式中的各項(xiàng)系數(shù)。如果測試系統(tǒng)已建立了足夠準(zhǔn)確的模型，能用數(shù)學(xué)方法直接描述該模型，寫出其運(yùn)動(dòng)的微分方程，那么就可以直接求得傳遞函數(shù)H（s）。此外，運(yùn)用以上公式還可能遇到另一個(gè)問題，那就是工程中的很多實(shí)際激勵(lì)（輸入）也難以用解析式表達(dá)，因此也難以直接獲得X（s）的表達(dá)式。這樣要研究測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，就只有用測試系統(tǒng)對典型瞬變輸入信號(hào)的響應(yīng)來描述。1．典型輸入函數(shù)通常采用的典型輸入函數(shù)有單位斜坡函數(shù)r（t）、單位階躍函數(shù)u（t）和單位脈沖函數(shù)δ（t），如圖所示，系統(tǒng)對這些典型輸入函數(shù)的響應(yīng)稱為測試系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。典型輸入函數(shù)圖a所示的是單位斜坡函數(shù)，其表達(dá)式為t≥0t<0圖b所示的是單位階躍函數(shù)，其表達(dá)式為t≥0t<0圖c所示的是單位脈沖函數(shù)（又稱為δ函數(shù)），其表達(dá)式為且

。它實(shí)際上是一個(gè)寬度為零、幅值為無限大、面積為1的脈沖。由圖可以看出，三種典型輸入函數(shù)之間有如下微積分關(guān)系：根據(jù)線性系統(tǒng)的微分性和積分性，三種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)之間也同樣存在相應(yīng)的微積分關(guān)系。因此，只要知道測試系統(tǒng)對其中一種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用上述微積分關(guān)系求出另外兩種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)。2．單位脈沖響應(yīng)——權(quán)函數(shù)

單位脈沖函數(shù)也可以從原點(diǎn)移到任意點(diǎn)t0，這時(shí)

滿足

δ（t－t0）滿足和單位脈沖函數(shù)最有用的性質(zhì)之一是所謂的采樣性質(zhì)。即若任意函數(shù)f（t）在t0處連續(xù)，則乘積f（t）δ（t－t0）除了在t=t0點(diǎn)有值外，其他各點(diǎn)均為零，因此有利用這個(gè)性質(zhì)，不難求出單位脈沖函數(shù)δ（t）的拉氏變換為因此，傳遞函數(shù)H（s）的拉氏逆變換就是單位脈沖響應(yīng)（或權(quán)函數(shù)），即反之，單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即這是一對拉氏變換對。對于任意輸入函數(shù)x（t），可以用無限多個(gè)出現(xiàn)在不同時(shí)刻的脈沖來逼近，如下圖所示。根據(jù)疊加原理，總輸入x（t）所引起的響應(yīng)y（t）為任意輸入函數(shù)式中，當(dāng)t＜0時(shí)，

h（t）=x（t）=0。該式也可簡寫為（1）一階測試系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

對于一階測試系統(tǒng)，傳遞函數(shù)

，則單位脈沖響應(yīng)為

（2）二階測試系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)對于二階測試系統(tǒng)，傳遞函數(shù)

不同阻尼度的單位脈沖響應(yīng)一階測試系統(tǒng)和二階測試系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖所示。（a）

（b）單位脈沖響應(yīng)曲線t＜0t≥03．單位階躍響應(yīng)（1）一階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)繪出的階躍響應(yīng)曲線如圖所示。（a）

（b）一階測試系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線（2）二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)將單位階躍輸入的拉氏變換和二階測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)代入公式得不同阻尼度的單位脈沖響應(yīng)二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。

二階測試系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線4．單位斜坡響應(yīng)一階測試系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為二階測試系統(tǒng)對于不同阻尼度的單位斜坡響應(yīng)為：不同阻尼度的單位脈沖響應(yīng)一階測試系統(tǒng)和二階測試系統(tǒng)對單位斜坡輸入的響應(yīng)都包括三項(xiàng)。其中第一項(xiàng)等于輸入，因此第二項(xiàng)和第三項(xiàng)即為動(dòng)態(tài)誤差。第二項(xiàng)只與測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)

或

、

有關(guān)，而與時(shí)間t無關(guān)，此項(xiàng)誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。第三項(xiàng)誤差與時(shí)間有關(guān)，都含有

（其中b為正數(shù)）因子，因此當(dāng)

時(shí)，此項(xiàng)誤差趨于零。由此可見，用一階測試系統(tǒng)和二階測試系統(tǒng)來測量單位斜坡函數(shù)時(shí)，都存在著穩(wěn)態(tài)誤差，一階測試系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間常數(shù)

的增大而增大，二階測試系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差隨固有角頻率

的減小、阻尼度

的增大而增大。用一階測試系統(tǒng)和二階測試系統(tǒng)來測量單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)時(shí)，它們的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)的誤差項(xiàng)都包含因子

，因而當(dāng)時(shí)間

時(shí)，動(dòng)態(tài)誤差都趨于零，而且它們都沒有穩(wěn)態(tài)誤差。但是，一階測試系統(tǒng)和二階測試系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)之間有很大差別。其中最重要的差別是在欠阻尼（

）情況下，二階測試系統(tǒng)的三種瞬態(tài)響應(yīng)表達(dá)式都包含一個(gè)以

為角頻率的衰減正弦振蕩，而一階測試系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)振蕩。2.3.4動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的測定要使測量結(jié)果準(zhǔn)確可靠，不僅測試系統(tǒng)的標(biāo)定應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確，而且應(yīng)當(dāng)定期校準(zhǔn)。標(biāo)定和校準(zhǔn)就其實(shí)驗(yàn)內(nèi)容來說，都是為了測定測試系統(tǒng)的特性參數(shù)。在測定測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性參數(shù)時(shí)，以靜態(tài)標(biāo)準(zhǔn)量作為輸入，測出輸入與輸出的關(guān)系曲線，從中整理確定擬合直線，然后求出線性度、靈敏度、滯后量和重復(fù)性。同樣在測定測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)時(shí)，應(yīng)以經(jīng)過校準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)標(biāo)準(zhǔn)量作為輸入，從而測出輸入與輸出的關(guān)系曲線，然后確定一階測試系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)

和二階測試系統(tǒng)的阻尼度

、固有角頻率

。所采用的標(biāo)準(zhǔn)輸入量誤差應(yīng)當(dāng)為所要求測量結(jié)果誤差的1/3~1/5或更小。1．用頻率響應(yīng)法測定動(dòng)態(tài)特性參數(shù)（1）一階測試系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的測定當(dāng)靜態(tài)靈敏度S=1、幅頻特性

、相頻特性

時(shí)，所對應(yīng)的橫坐標(biāo)，查出該點(diǎn)對應(yīng)輸入信號(hào)的角頻率

，就可得到時(shí)間常數(shù)，即（2）二階測試系統(tǒng)阻尼度和固有角頻率的測定由二階測試系統(tǒng)的幅頻特性曲線可知，在阻尼度

的情況下，幅頻特性的共振點(diǎn)在稍微偏離固有角頻率

的

處，且此時(shí)，共振點(diǎn)幅頻特性

的峰值為由此可估計(jì)出固有角頻率

和阻尼度

的值，由共振點(diǎn)估計(jì)

和

的方法也稱為共振法。由二階測試系統(tǒng)的相頻特性曲線可知，在

處，相頻特性

，該點(diǎn)斜率即為阻尼度

的值。工程中相頻特性的測定比較困難，所以常用幅頻特性曲線估計(jì)二階測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。不同阻尼度的二階測試系統(tǒng)，其幅頻特性曲線的形狀各不相同，但只要該系統(tǒng)確實(shí)是二階測試系統(tǒng)，將測得的某一阻尼度的幅頻特性曲線與二階測試系統(tǒng)的典型曲線比較，很快就可以確定阻尼度

的范圍和估計(jì)值。2．用階躍響應(yīng)法測定動(dòng)態(tài)特性參數(shù)（1）一階測試系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的測定一階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式可改寫為令，則上式表明，Z與t呈線性關(guān)系。因此，可根據(jù)測得的單位階躍響應(yīng)

yu（t）值，作出Z與t的關(guān)系曲線如圖所示。一階測試系統(tǒng)的階躍判斷曲線的斜率在數(shù)值上等于

，量取Δt所對應(yīng)的ΔZ值，便可計(jì)算得這種方法充分考慮了瞬態(tài)響應(yīng)的全過程。若測試系統(tǒng)是一個(gè)典型的一階測試系統(tǒng)，則Z與t的關(guān)系曲線是一條嚴(yán)格的直線。當(dāng)測得單位階躍響應(yīng)后，取若干組

、

的值，計(jì)算出相應(yīng)的

并依次在圖上描點(diǎn)，如果所有各點(diǎn)均勻分布在一條直線上，說明該系統(tǒng)是一階測試系統(tǒng)，否則就不是一階測試系統(tǒng)。（2）二階測試系統(tǒng)阻尼度和固有角頻率的測定從測試不失真的角度講，二階測試系統(tǒng)均應(yīng)為欠阻尼系統(tǒng)。典型的欠阻尼二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)公式表明，瞬態(tài)響應(yīng)是以

的角頻率作自由衰減振蕩，

稱為響應(yīng)的阻尼振蕩角頻率，其周期為欠阻尼二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。欠阻尼二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線上測得最大過沖量M1，將其代入公式即可求出阻尼度。如果不僅能測取最大過沖量M1，而且還能測得階躍響應(yīng)的整個(gè)瞬變過程，那么就可利用任意兩個(gè)過沖量Mi和Mi+n來求取阻尼度。其公式為其中當(dāng)阻尼度時(shí)，

（其誤差小于0.6%），則若測試系統(tǒng)是典型的二階測試系統(tǒng)，用n=1，2，3…和對應(yīng)的過沖量Mi、Mi+n分別求出的阻尼度值均應(yīng)相等。若分別求出的阻尼度

值都不相等，則說明該系統(tǒng)不是二階測試系統(tǒng)。阻尼度

值之間的差別越大，說明該系統(tǒng)與二階測試系統(tǒng)的差別也越大。固有角頻率為測定計(jì)算固有角頻率

時(shí)，先在二階測試系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線上測取周期

的值，然后將周期

及計(jì)算出的阻尼度

值代入公式即可求出固有角頻率

的值。2.3.5實(shí)現(xiàn)不失真測試的條件輸入信號(hào)經(jīng)過測試系統(tǒng)后，一般來說輸出信號(hào)必然與輸入信號(hào)之間存在差異，這就是說，信號(hào)在傳輸過程中將產(chǎn)生失真。線性測試系統(tǒng)產(chǎn)生失真一般由兩種因素造成：一種是系統(tǒng)對輸入信號(hào)中各頻率分量的幅值將產(chǎn)生不同程度的放大或衰減，從而使各頻率分量的相對幅值發(fā)生變化而引起失真，稱為幅值失真；另一種是系統(tǒng)對各頻率分量的相對相位發(fā)生變化而引起失真，稱為相位失真。測試系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)不失真測試的條件為：（1）各頻率分量的幅值輸出比輸入應(yīng)放大（或衰減）同樣的倍數(shù)，反映在幅頻特性曲線上應(yīng)是一條平坦的直線，即在整個(gè)頻率范圍內(nèi)是一常數(shù)（

常數(shù)）。（2）各頻率分量的滯后相位與各自的角頻率必須成正比，反映在相頻特性曲線上應(yīng)是一條過原點(diǎn)的斜線，即相位差與角頻率成正比（

）。但是，如果測試結(jié)果用來作為反饋控制信號(hào)，那么輸出對輸入的滯后時(shí)間有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這時(shí)只有滯后相位為零才是理想的，即

。實(shí)際測試系統(tǒng)不可能在非常寬的頻率范圍內(nèi)都能滿足上述兩個(gè)條件，所以一般既有幅值失真，也有相位失真。但在允許的誤差范圍條件下，在一定的工作頻帶范圍內(nèi)，可以使測試系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性滿足不失真測試的條件。從實(shí)現(xiàn)測試波形不失真條件看，對一階測試系統(tǒng)而言，如果時(shí)間常數(shù)

愈小，則系統(tǒng)的響應(yīng)愈快，頻帶愈寬。所以一階測試系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)

原則上愈小愈好。二階測試系統(tǒng)特性曲線輸出波形失真較小。輸出波形失真太大。二階測試系統(tǒng)常采用阻尼度

，工作角頻率與固有角頻率之比小于0.5，相頻特性

也接近于線性關(guān)系，產(chǎn)生的相位失真也很小。2.3.6負(fù)載效應(yīng)在測試工作中，為了完成測試任務(wù)，測試系統(tǒng)往往由若干個(gè)環(huán)節(jié)通過串聯(lián)或反饋方式組成。當(dāng)一個(gè)測量環(huán)節(jié)接到另一個(gè)被測環(huán)節(jié)上時(shí)，必然對測量結(jié)果產(chǎn)生影響，即所謂的負(fù)載效應(yīng)。以電壓表測量電壓為例來說明負(fù)載效應(yīng)對測量結(jié)果的影響，如圖所示。被測環(huán)節(jié)用電壓為ui、阻抗為Zi的信號(hào)源來等效，測量環(huán)節(jié)電壓表的輸入阻抗（內(nèi)阻）為ZL，在未接此負(fù)載時(shí)，a、b兩端的電壓就是被測環(huán)節(jié)等效的開路電壓ui。在接入電壓表后，有一電流流過ZL，此時(shí)電壓表的指示電壓為