新課程理念下的課題學(xué)習(xí)上海師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院陸新生一．課題學(xué)習(xí)的概念研究性學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自然、社會(huì)和生活中選擇和確定研究專題，以類似科學(xué)研究的方式主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)．課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí)是將研究性學(xué)習(xí)的思想和方法體現(xiàn)在學(xué)科教學(xué)中，通過(guò)教師對(duì)教材內(nèi)容的處理，把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成課題，以課題為核心，綜合多科教學(xué)內(nèi)容，依靠學(xué)生的自主探索來(lái)完成“課題的學(xué)習(xí)”數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的形式1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3.數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)4.數(shù)學(xué)主題閱讀二．課題學(xué)習(xí)與新課程

1.新課程標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)(1)《全國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2001年6月頒布內(nèi)容目標(biāo)分為四個(gè)部分∶數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合運(yùn)用第一學(xué)段∶實(shí)踐活動(dòng)，第二學(xué)段∶綜合應(yīng)用，第三學(xué)段∶課題學(xué)習(xí)(2)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）2003年4月頒布

數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)探究，數(shù)學(xué)文化(3)《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（試行稿）基礎(chǔ)內(nèi)容，拓展內(nèi)容，專題研究與實(shí)踐三．日本的課題學(xué)習(xí)1989年改訂并頒布的日本《中學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》（數(shù)學(xué)篇）規(guī)定在初中2、3年級(jí)要實(shí)行一種被稱為“課題學(xué)習(xí)”的學(xué)習(xí)．1998年改訂并頒布的新學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)更把課題學(xué)習(xí)提前到了初一.高中階段的課題研究課題學(xué)習(xí)的目的培育學(xué)生積極主動(dòng)地致力于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望與態(tài)度，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，知道數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)越性，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)活用數(shù)學(xué)思想方法的態(tài)度.通過(guò)課題學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的有用性與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性，延展學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題的能力加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解.課題類型∶綜合課題，日常課題，發(fā)展課題日本學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)中課題的條件標(biāo)準(zhǔn)

能夠體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)與成就感，需滿足以下的條件每一個(gè)學(xué)生都能進(jìn)行各種各樣的思考,能在自己解決過(guò)程中加入自己的創(chuàng)意，能積極主動(dòng)地繼續(xù)自己的追求．每一個(gè)學(xué)生都能用自己的方法對(duì)結(jié)果作出預(yù)測(cè).在問(wèn)題解決的過(guò)程中各種各樣的數(shù)學(xué)思想方法能得到體現(xiàn)．不停留于當(dāng)前課題的解決，該問(wèn)題應(yīng)是一般化可能的．能把評(píng)價(jià)的觀點(diǎn)置于解題過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思想方法的活用能力以及感受數(shù)學(xué)思想方法優(yōu)越性的態(tài)度上．川口廷的觀點(diǎn)具有強(qiáng)烈刺激學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的要因與形式具有能誘發(fā)學(xué)生多樣的數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)意的要因與形式感受到課題解決的必要性、累積的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能得到動(dòng)員、由此知識(shí)和技能得到錘煉的課題動(dòng)員起來(lái)的知識(shí)和技能得到綜合、綜合功能得到發(fā)揮的課題能不斷從問(wèn)題產(chǎn)生問(wèn)題、（為追求一般化)學(xué)習(xí)能連續(xù)地展開(kāi)的課題解決的過(guò)程或結(jié)果能引導(dǎo)到問(wèn)題的一般化或概括性規(guī)則發(fā)現(xiàn)的課題急于知道解決的結(jié)果帶來(lái)的魅力能成為吸引學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的牽引力的課題．為此，在目標(biāo)的隱藏性、距離與學(xué)生的能力取得平衡，能品味問(wèn)題解決的達(dá)成感與成熟感的課題四．幾個(gè)課題例（一）折紙問(wèn)題

1.芳賀第一定理設(shè)BA＝BC＝1，BF＝a，則BE＝1/2，EF＝FC=1－a，由勾股定理得解之得a＝3/8，EF＝CF＝5/8利用△AHE、△BEF與△IHG的相似關(guān)系可以求得AH=2/3，EH=5/6，HI=1/6，GI=1/8，HG=5/242.芳賀第一定理的一般化(1)一般化1(中點(diǎn)→任意點(diǎn))1/23/82/35/61/81/31/32/34/95/181/24/55/613/152/91/181/21/51/43/415/327/322/56/717/204/79/321/323/51/71/52/53/54/5

12/2521/508/259/501/34/73/48/913/1529/3517/2041/458/259/502/251/502/33/71/41/91/65/6

35/7211/722/710/1137/4261/6625/721/725/71/11(2)一般化2(正方形→長(zhǎng)方形)①?gòu)?fù)印紙的特征長(zhǎng)邊∶短邊=∶1②兩大系列A系列與B系列A系列與B系列，A系列最大尺寸為A0，其面積為1平方米．容易推得兩邊的長(zhǎng)分別為與米，精確到毫米的話應(yīng)為1189mm與841mm．B系列最大型號(hào)為B0，其面積為1.5平方米．容易推得兩邊的長(zhǎng)分別為與米，精確到毫米的話應(yīng)為1456mm與1030mm，詳細(xì)見(jiàn)下表.A0A1A2A3A4A5A6841×1189594×841420×594297×420210×297148×210105×148B0B1B2B3B4B5B61030×1456728×1030515×728364×515257×364182×257128×182A型、B型復(fù)印紙規(guī)格（單位mm）復(fù)印時(shí)的擴(kuò)大與縮小擴(kuò)大縮小A5→A3，B6→B4200％A3→B4，A4→B587％A4→A3，B5→B4141％B4→A4，B5→A582％A4→B4，A5→B5122％A3→A4，B4→B571％復(fù)印紙中的幾個(gè)關(guān)系③復(fù)印紙的芳賀第一定理折法（橫放)折法∶（略）猜想∶確認(rèn)∶(3)一般化3(一邊中點(diǎn)→正方形內(nèi)任一點(diǎn))EF所在直線的方程為折痕線FG的方程為注∶如果求出Rt△EFH各邊的長(zhǎng)，那么我們還能得到求畢達(dá)哥拉斯數(shù)的一般公式3.對(duì)芳賀定理的進(jìn)一步探索是以C為圓心，過(guò)B,D兩點(diǎn)的圓的切線2)三角形的周長(zhǎng)是正方形的周長(zhǎng)的一半.3)4)△與△的周長(zhǎng)之和等于△的周長(zhǎng).5)△的周長(zhǎng)等于線段的長(zhǎng).6)△的內(nèi)接圓的半徑等于線段的長(zhǎng).

4.芳賀第一定理的應(yīng)用利用芳賀第一定理我們可以折出任意的真分?jǐn)?shù)，并能折得任意精度的角．(1)折分?jǐn)?shù)該怎樣折任一分?jǐn)?shù)?方法1∶利用前述的芳賀定理一般化(1)中得到的y2的公式可知當(dāng)x＝1/n時(shí),y＝2/(n+1)，對(duì)折后可得1/(n+1)，即由1/n可折得1/(n+1)，這樣我們由1/2開(kāi)始可連續(xù)折可折得任一單位分?jǐn)?shù).

方法2∶利用前述的分?jǐn)?shù)表可快速折得任一真分?jǐn)?shù)(2)折任意角利用上面的結(jié)果，我們可以折出任意精度的角．原理∶如右圖所示，若要折的角α的正切值與某分?jǐn)?shù)接近，則我們先想法折出該分?jǐn)?shù)，把表示該分?jǐn)?shù)的點(diǎn)E與點(diǎn)B連接得角α，則α即為所要折的角．例∶由于tg32.00538…°＝5/8，所以只要折出表示5/8的點(diǎn)E，再折一條連接點(diǎn)B、E的折痕線即可得很精確的32°角

利用順藤摸瓜的方式可折出其他一些角32°→16°→8°→4°→＼＼＼＼68°→34°→17°74°→37°82°→41°86°→＼＼＼

＼

66°73°53°49°這樣我們可以折出48種角度的角．通過(guò)其它的一些輔助角，可以得到1～89°的所有角40°角的近似折法因?yàn)樗?，只要我們能折?85/578就能得到相當(dāng)精確的40°角實(shí)際上，只需進(jìn)行三次芳賀第一定理折法，便可得到485/578.具體方法是∶

先取前述的第一定理一般化1中，先取x為1/4得y2＝2/5，由此依次折出3/5、3/10便得7/10．再取x為7/10得y2＝14/17.最后取x為14/17,得y1＝93/578,并由此得485/5785.芳賀第二定理芳賀第三定理（二）臺(tái)球問(wèn)題與星形多邊形(1)原問(wèn)題∶如下圖所示，長(zhǎng)方形的臺(tái)球的四個(gè)角上有四個(gè)孔，從其左下角以45°的方向發(fā)出的球碰到邊框時(shí)以同樣的角度折返，這樣的過(guò)程一直持續(xù)到球進(jìn)入某一角落的孔為止．請(qǐng)就各種各樣的長(zhǎng)方形考慮球停止為止共折反了幾次．123456789101112131415101234567891011121214210315273941151361532305618921112314154431507391115132157175456709101112114151617265213901153615117857678910110131415161718120873911151301571731992198921112314150171852021610941151615717019921103111011121314151617181902122232412115321511735921023112513121314151617181920212223025261413615717819211023112502715141541725202163242526270發(fā)展問(wèn)題與關(guān)聯(lián)問(wèn)題點(diǎn)通過(guò)的正方形數(shù)確定某一固定的停留孔增加孔的個(gè)數(shù)限定在正方形邊框中而改變發(fā)射的角度邊長(zhǎng)推廣到分?jǐn)?shù)的情形考慮圓形邊框的情形圓形邊框的情形五等分時(shí)七等分時(shí)法線(二)斐波那契數(shù)列

1.斐波那契數(shù)列概述

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……

2.作為教材的斐波那契數(shù)列3.對(duì)斐波那契數(shù)列的一般探索(1)作差，即從數(shù)列的第二項(xiàng)起用數(shù)列中的項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)，做成一個(gè)新的數(shù)列．可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)列0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……除去首項(xiàng)0后得到一個(gè)新的Fibonacci數(shù)列(2)作比∶如果我們嘗試著從數(shù)列的第二項(xiàng)起，用數(shù)列中的項(xiàng)除以它的前一項(xiàng)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這一比值慢慢趨于1.618．這個(gè)數(shù)馬上讓我們聯(lián)想到黃金分割的0.618．看下面的表nn11.0000081.6190522.0000091.6176831.50000101.6181841.66667111.6179851.60000121.6180661.62500131.6180371.61539141.61804(3)如果考慮數(shù)列中相鄰兩數(shù)的平方和會(huì)有什么結(jié)果嗎?稍作嘗試我們會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)的平方之和也是數(shù)列中的數(shù)，如稍作歸納可得一般規(guī)律

同樣對(duì)相鄰兩數(shù)的平方差進(jìn)行歸納可得到一般規(guī)律

(4)接下來(lái)看數(shù)列中連續(xù)的三個(gè)數(shù)之間有何規(guī)律性的東西．任取其中的三個(gè)數(shù)比如5，8，13，對(duì)其進(jìn)行各種可能的初等運(yùn)算，這時(shí)會(huì)有多種可能性，其中之一是首尾兩數(shù)之積與中間數(shù)平方的差為1，即5×13－82＝1．這一關(guān)系對(duì)其他數(shù)是否也成立呢．再取三個(gè)數(shù)，比如8，13，21，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)上述關(guān)系不成立，但有132－8×21＝1．對(duì)更多的數(shù)組進(jìn)行檢驗(yàn)后，我們能推測(cè)等比數(shù)列中，一般地有規(guī)律(5)再看數(shù)列中連續(xù)的四個(gè)數(shù)之間有何規(guī)律．任取其中的四個(gè)數(shù)比如3，5，8，13經(jīng)過(guò)各種嘗試我們也能發(fā)現(xiàn)這四個(gè)數(shù)之間有關(guān)系5×8－3×13＝1，而對(duì)于5，8，13，21這四個(gè)數(shù)則有8×13－5×21＝－1，一般地有，nS111×11112211×1＋1×234－122－1321×1＋1×2＋2×39932431×1＋1×2＋2×3＋3×52425－152－1551×1＋1×2＋……＋5×8646482681×1＋1×2＋……＋8×13168169－1132－17131×1＋1×2＋……＋13×21441441212(6)如果作更多的探索，比如考慮數(shù)列前n個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的乘積之和，那么我們又能歸納得到如下的規(guī)律(7)如果我們象擴(kuò)張自然數(shù)到整數(shù)那樣對(duì)Fibonacci數(shù)列進(jìn)行擴(kuò)張的話，即按照將n推廣到負(fù)整數(shù)的情形．容易逐個(gè)推得數(shù)列首項(xiàng)1左邊的項(xiàng)為0，接下來(lái)依次為－1，－1，－2，－3，－5，－8，…….順次將這些數(shù)與Fibonacci數(shù)列聯(lián)合即得新的數(shù)列……，－8，－5，－3，－2，－1，－1，0，1，1，2，3，5，8，13，……可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律4.用whatifnot策略來(lái)探討斐波那契數(shù)列(1)布朗有關(guān)問(wèn)題設(shè)定的whatifnot策略第0水準(zhǔn)∶確定出發(fā)點(diǎn)第1水準(zhǔn)∶屬性列項(xiàng)第2水準(zhǔn)∶屬性否定第3水準(zhǔn)∶提出問(wèn)題第4水準(zhǔn)∶問(wèn)題分析(2)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)定橋本吉彥的觀點(diǎn)∶(2)用whatifnot策略來(lái)探討屬性列項(xiàng)可列以下屬性

a.這個(gè)數(shù)列從兩個(gè)給定的數(shù)出發(fā)

b.這兩個(gè)數(shù)是相同的

c.兩個(gè)相同的數(shù)是1

d.數(shù)列是依次由前兩項(xiàng)作和得出的…………否定屬性

對(duì)每一屬性的否定都會(huì)引起我們對(duì)從斐波那契數(shù)列出發(fā)的討論，例∶否定屬性b，我們看能提出什么問(wèn)題或得出什么結(jié)論

如果取兩個(gè)數(shù)分別為2和1我們能得到的一個(gè)新數(shù)列為

2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，……這被稱為盧卡數(shù)列∶用Ln來(lái)表示這一數(shù)列的任一項(xiàng)，盧卡本人將2用L0來(lái)表示，意為第０項(xiàng)

我們考慮盧卡數(shù)列有什么性質(zhì)，可以仿照前述的一般討論.

特別討論∶三數(shù)之間的關(guān)系與四數(shù)之間的關(guān)系先取三個(gè)數(shù)∶4,7,11，7×7－4×11＝5不是1，再取四個(gè)數(shù)∶3,4,7,11，中間兩項(xiàng)的積與外側(cè)兩項(xiàng)的積之差也不等于1，但等于5．這是巧合嗎.試試其他數(shù)．為什么等于5?如果換了最初的兩個(gè)數(shù)，情況會(huì)是怎樣?

例∶否定屬性a，取三個(gè)數(shù)，按照與斐波那契數(shù)列或盧卡數(shù)列類似的規(guī)則構(gòu)建數(shù)列中的各項(xiàng)，即按照去構(gòu)建，這樣的數(shù)列被稱為托里波那契數(shù)列，最簡(jiǎn)單的情形為首三項(xiàng)分別取0、0、1的情形.（三)球的表面積與體積

1.球的體積與表面積學(xué)習(xí)指導(dǎo)概況現(xiàn)狀∶課程中的地位指導(dǎo)方法∶

問(wèn)題所在∶

設(shè)問(wèn)∶能否用問(wèn)題解決教學(xué)方式進(jìn)行指導(dǎo)→對(duì)球的體積與表面積求積問(wèn)題作歷史探究2.數(shù)學(xué)史上對(duì)球的求積問(wèn)題的探索(1)古希臘數(shù)學(xué)家∶阿基米德結(jié)論∶阿基米德對(duì)球的表面積所作的類推球的面積為大圓面積的4倍數(shù)學(xué)史家阿鮑的評(píng)論∶數(shù)學(xué)史上第一個(gè)大膽類推，且是最美的一個(gè)類推《九章算術(shù)》少?gòu)V章問(wèn)題24提示了球的體積公式公式的由來(lái)，劉輝加注作了說(shuō)明，其中之一圖示如下立方體體積∶圓柱體積＝4∶3圓柱體積∶球體積＝4∶3所以立方體體積∶球體積＝16∶9

(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的探索(3)中世印度數(shù)學(xué)家的工作五世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家天文學(xué)家阿耶波多一世給出了球體積與表面積的一個(gè)計(jì)算方法對(duì)其由來(lái)后人如右圖的推測(cè)對(duì)表面積公式的推導(dǎo)∶用圓形布3;4522533;45191063;4530847;3044937;30209367;30317711;1567141;15226771;1532561589045243175332118;45110548;45258578;45337222;30131552;30272882;30340926;15152056;15285986;153431301719602978903