第十二章隨機時間序列模型一、真回歸和偽回歸二、時間序列平穩(wěn)性的概念三、時間序列的單位根檢驗（DF、ADF檢驗）四、單整的概念五、協整的概念和協整檢驗

六、誤差修正模型七、EViews應用學習要點一、是真回歸還是偽回歸？經典回歸分析的做法是:

首先采用普通最小二乘法（OLS）對回歸模型進行估計，然后根據可決系數或F檢驗統計量值的大小來判定變量之間的相依程度，根據回歸系數估計值的t統計量對系數的顯著性進行判斷，最后在回歸系數顯著不為零的基礎上對回歸系數估計值給予經濟解釋。

從回歸結果來看，R2

可能非常高，X的回歸系數t

統計量也非常大，邊際消費傾向符合經濟假設。憑借經驗判斷，模型的設定是好的，應是非常滿意的結果。準備將這個計量結果用于經濟結構分析和經濟預測。可是有人提出，這個回歸結果可能是虛假的！可能只不過是一種“偽回歸”！

這里用時間序列數據進行的回歸，究竟是真回歸還是偽回歸呢？為什么模型、樣本、數據、檢驗結果都很理想，卻可能得到“偽回歸”的結果呢？

時間序列數據被廣泛地運用于計量經濟研究。經典時間序列分析和回歸分析有許多假定前提，如序列的平穩(wěn)性、正態(tài)性等。直接將經濟變量的時間序列數據用于建模分析，實際上隱含了上述假定，在這些假定成立的條件下，據此而進行的t檢驗、F檢驗等才具有較高的可靠度。越來越多的經驗證據表明，經濟分析中所涉及的大多數時間序列是非平穩(wěn)的。問題：●如果直接將非平穩(wěn)時間序列當作平穩(wěn)時間序列來進行分析，會造成什么不良后果；●如何判斷一個時間序列是否為平穩(wěn)序列；●當我們在計量經濟分析中涉及到非平穩(wěn)時間序列時，應作如何處理？

二、偽回歸問題1.傳統計量經濟學模型的假定條件：序列的平穩(wěn)性、正態(tài)性。

2.所謂“偽回歸”，是指變量間本來不存在相依關系，但回歸結果卻得出存在相依關系的錯誤結論。

20世紀70年代，Grange、Newbold研究發(fā)現，造成“偽回歸”的根本原因在于時序序列變量的非平穩(wěn)性三、時間序列的平穩(wěn)性

1.所謂時間序列的平穩(wěn)性

指時間序列的統計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)生變化。直觀上，一個平穩(wěn)的時間序列可以看作一條圍繞其均值上下波動的曲線。從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴平穩(wěn)，另一是寬平穩(wěn)。

弱平穩(wěn)：指隨機過程{}的期望、方差和協方差不隨時間推移而變化。

嚴平穩(wěn)：是指隨機過程｛｝的聯合分布函數與時間的位移無關。2.時間序列的非平穩(wěn)性指時間序列的統計規(guī)律隨著時間的位移而發(fā)生變化，即生成變量時間序列數據的隨機過程的特征隨時間而變化。在實際中遇到的時間序列數據很可能是非平穩(wěn)序列，而平穩(wěn)性在計量經濟建模中又具有重要地位，因此有必要對觀測值的時間序列數據進行平穩(wěn)性檢驗。四、單位根過程和單整1.以AR(1)說明單位根過程的概念

◆根據平穩(wěn)時間序列分析的理論可知，當時，該序列｛｝是平穩(wěn)的,此模型是經典的Box-Jenkins時間序列AR(1)模型。◆當，則序列的生成過程變?yōu)槿缦码S機游動過程(RandomWalkProcess)：其中{}獨立同分布且均值為零、方差恒定為。隨機游動過程的方差為：

當時，序列的方差趨于無窮大，說明隨機游動過程是非平穩(wěn)的。2.單位根過程◆如果一個序列是隨機游動過程，則稱這個序列是一個“單位根過程”。◆為什么稱為“單位根過程”？將一階自回歸模型表示成如下形式：

其中，是滯后算子，即

◆根據模型的滯后多項式，可以寫出對應的線性方程：（通常稱為特征方程），該方程的根為：?！舢敃r序列是平穩(wěn)的，特征方程的根滿足條件；◆當時，序列的生成過程變?yōu)殡S機游動過程，對應特征方程的根，所以通常稱序列含有單位根，或者說序列的生成過程為“單位根過程”。

◆結論:隨機游動過程是非平穩(wěn)的。因此，檢驗序列的非平穩(wěn)性就變?yōu)闄z驗特征方程是否有單位根，這就是單位根檢驗方法的由來。

◆從單位根過程的定義可以看出，含一個單位根的過程，其一階差分：，是一平穩(wěn)過程，像這種經過一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列稱為一階單整序列(IntegratedProcess)，記為。

3.單整◆如果一個序列經一次差分后可能還是非平穩(wěn)的，如果序列經過二階差分后才變成平穩(wěn)過程，則稱序列為二階單整序列，記為?！?/p>

一般地，如果序列經過d

次差分后平穩(wěn)，那么稱為d

階單整序列，記為。1、Dickey-Fuller檢驗（DF檢驗）

◆大多數經濟變量呈現出強烈的趨勢特征。這些具有趨勢特征的經濟變量，當發(fā)生經濟振蕩或沖擊后，一般會出現兩種情形：（1）受到振蕩或沖擊后，經濟變量逐漸又回它們的長期趨勢軌跡；（2）這些經濟變量沒有回到原有軌跡，而呈現出隨機游走的狀態(tài)。◆若我們研究的經濟變量遵從一個非平穩(wěn)過程，一個變量對其他變量的回歸可能會導致偽回歸結果。這是研究單位根檢驗的重要意義所在。五、單位根檢驗（1）假設數據序列是由下列自回歸模型生成的：其中，獨立同分布，期望為零，方差為，我們要檢驗該序列是否含有單位根。檢驗的原假設為：

（2）回歸系數的OLS估計為：

（3）檢驗所用的統計量為：在成立的條件下，t

統計量為：

Dickey、Fuller通過研究發(fā)現，在原假設成立的情況下，該統計量不服從t分布。所以傳統的t檢驗法失效。但可以證明，上述統計量的極限分布存在，一般稱其為Dickey-Fuller分布。根據這一分布所作的檢驗稱為DF檢驗,為了區(qū)別,t

統計量的值有時也稱為值。Dickey、Fuller得到DF檢驗的臨界值，并編制了DF檢驗臨界值表供查。在進行DF檢驗時，比較t統計量值與DF檢驗臨界值，就可在某個顯著性水平上拒絕或接受原假設。在實際應用中，可按如下檢驗步驟進行：(1)根據觀察數據，用OLS法估計一階自回歸模型，得到回歸系數的OLS估計：(2)提出假設:

檢驗用統計量為常規(guī)t

統計量。(3)計算在原假設成立的條件下t統計量值，查DF檢驗臨界值表得臨界值，然后將t統計量值與DF檢驗臨界值比較：若t統計量值小于DF檢驗臨界值，則拒絕原假設，說明序列不存在單位根：

◆若t統計量值大于或等于DF檢驗臨界值，則接受原假設，說明序列存在單位根。

◆

Dickey、Fuller研究發(fā)現，DF檢驗的臨界值同序列的數據生成過程以及回歸模型的類型有關，因此他們針對如下三種方程編制了臨界值表，后來Mackinnon把臨界值表加以擴充，形成了目前使用廣泛的臨界值表，在EViews軟件中使用的是Mackinnon臨界值表。這三種模型如下：模型I：

模型Ⅱ：

模型Ⅲ：

有常數項、有趨勢項有常數項、無趨勢項無常數項、無趨勢項

◆DF檢驗存在的問題是，在檢驗所設定的模型時，假設隨機擾動項不存在自相關。但大多數的經濟數據序列是不能滿足此項假設的，當隨機擾動項存在自相關時，直接使用DF檢驗法會出現偏誤，為了保證單位根檢驗的有效性，人們對DF檢驗進行拓展，從而形成了擴展的DF檢驗(AugmentedDickey-FullerTest)，簡稱為ADF檢驗。2、AugmentedDickey-Fuller檢驗（ADF檢驗）◆假設基本模型為如下三種類型：模型I：

模型Ⅱ：

模型Ⅲ：

其中為隨機擾動項，它可以是一個一般的平穩(wěn)過程。

◆為了借用DF檢驗的方法，將模型變?yōu)槿缦率剑耗Ｐ虸：

模型Ⅱ：

模型Ⅲ：

可以證明，在上述模型中檢驗原假設的t統計量的極限分布，與DF檢驗的極限分布相同，從而可以使用相同的臨界值表，這種檢驗稱為ADF檢驗。

根據《中國統計年鑒2004》，得到我國1978—2003年的GDP序列，檢驗其是否為平穩(wěn)序列。3.舉例:檢驗序列的平穩(wěn)性GDP時間序列折線圖GDP◆由GDP時序圖可以看出，該序列可能存在趨勢項，因此選擇ADF檢驗的第三種模型進行檢驗。估計結果如下：◆在原假設下，單位根的t檢驗統計量的值為

在1％、5％、10％三個顯著性水平下，單位根檢驗的Mackinnon臨界值分別為-4.4167、-3.6219、-3.2474，顯然，上述

t

檢驗統計量大于相應臨界值，從而不能拒絕，表明GDP序列存在單位根，是非平穩(wěn)序列。六、協整及協整檢驗1.一個貨幣需求分析的例子

◆依照經典理論，一國或一地區(qū)的貨幣需求量主要取決于實際收入、價格水平以及利率。以對數形式的計量經濟模型將貨幣需求函數描述出來，形式為：其中，

為貨幣需求，

為價格水平，

為實際收入總額，

為利率，

為擾動項，

為模型參數?！魡栴}：估計出來的貨幣需求函數是否揭示了貨幣需求的長期均衡關系？（1）如果上述貨幣需求函數是適當的，那么貨幣需求對長期均衡關系的偏離將是暫時的，擾動項序列是平穩(wěn)序列，估計出來的貨幣需求函數就揭示了貨幣需求的長期均衡關系。（2）相反，如果擾動項序列有隨機趨勢而呈現非平穩(wěn)現象，那么模型中的誤差會逐步積聚，使得貨幣需求對長期均衡關系的偏離在長時期內不會消失。

上述貨幣需求模型是否具有實際價值，關鍵在于擾動項序列是否平穩(wěn)。貨幣供給量、實際收入、價格水平以及利率可能是I(1)序列。一般情況下，多個非平穩(wěn)序列的線性組合也是非平穩(wěn)序列。如果貨幣供給量、實際收入、價格水平以及利率的任何線性組合都是非平穩(wěn)的，那么上述貨幣需求模型的擾動項序列就不可能是平穩(wěn)的，從而模型并沒有揭示出貨幣需求的長期穩(wěn)定關系。反過來說，如果上述貨幣需求模型描述了貨幣需求的長期均衡關系，那么擾動項序列必定是平穩(wěn)序列，也就是說，非平穩(wěn)的貨幣供給量、實際收入、價格水平以及利率四變量之間存在平穩(wěn)的線性組合。

上述例子向我們揭示了這樣一個事實：“包含非平穩(wěn)變量的均衡系統，必然意味著這些非平穩(wěn)變量的某種組合是平穩(wěn)的”這正是協整理論的思想。

2.協整

◆所謂協整，是指多個非平穩(wěn)變量的某種線性組合是平穩(wěn)的。例如，收入與消費，工資與價格，政府支出與稅收，出口與進口等，這些經濟時間序列一般是非平穩(wěn)序列，但它們之間卻往往存在長期均衡關系。

對于兩個序列，如果而且存在一組非零常數，使得則稱之間是協整的。

◆協整概念的提出對于用非平穩(wěn)變量建立經濟計量模型，以檢驗這些變量之間的長期均衡關系非常重要。（1）如果多個非平穩(wěn)變量具有協整性，則這些變量可以合成一個平穩(wěn)序列。這個平穩(wěn)序列就可以用來描述原變量之間的均衡關系。（2）當且僅當多個非平穩(wěn)變量之間具有協整性時，由這些變量建立的回歸模型才有意義。所以協整性檢驗也是區(qū)別真實回歸與偽回歸的有效方法。（3）具有協整關系的非平穩(wěn)變量可以用來建立誤差修正模型。由于誤差修正模型把長期關系和短期動態(tài)特征結合在一個模型中，因此既可以克服傳統計量經濟模型忽視偽回歸的問題，又可以克服建立差分模型忽視水平變量信息的弱點。3.協整檢驗協整性的檢驗有兩種方法:◆基于回歸殘差的協整檢驗，這種檢驗也稱為單一方程的協整檢驗；◆基于回歸系數的完全信息協整檢驗。這里我們僅考慮單一方程的情形，而且主要介紹兩變量協整關系的EG兩步法檢驗。EG兩步檢驗法：

第一步：若

Xt

與Yt

是一階單整序列，即是平穩(wěn)的，用OLS法對回歸方程：進行估計，得到殘差序列：

第二步，檢驗的平穩(wěn)性。若為平穩(wěn)的，則Xt

與Yt

是協整的，反之則不是協整的。因為若Xt

與Yt

不是協整的，則它們的任一線性組合都是非平穩(wěn)的．因此殘差將是非平穩(wěn)。換言之，對殘差序列是否具有平穩(wěn)性的檢驗，也就是對Xt

與Yt

是否存在協整的檢驗。◆檢驗為非平穩(wěn)的假設可用兩種方法：一種方法是對殘差序列進行DF檢驗，即進行單位根檢驗，其檢驗方法在前面已介紹，但要注意的是，DF檢驗和ADF檢驗使用的臨界值應該用Engle-Granger編制的專用臨界值表。

1.誤差修正模型(ECM，也稱誤差修正模型)是一種具有特定形式的計量經濟模型建立誤差修正模型一般采用兩步，分別建立區(qū)分數據長期特征和短期待征的計量經濟學模型。

第一步，建立長期關系模型。即通過水平變量和OLS法估計出時間序列變量間的關系。若估計結果形成平穩(wěn)的殘差序列時，那么這些變量間就存在相互協整的關系．長期關系模型的變量選擇是合理的，回歸系數具有經濟意義。

七、誤差修正模型（ErrorCorrectionModel,ECM）

第二步，建立誤差修正模型。將長期關系模型各個變量以一階差分形式重新構造，并將第一步中的殘差引入。在一個從一般到特殊的檢驗過程中，對短期動態(tài)關系進行逐項檢驗，剔除不顯著項，直到得到最適當的模型形式。注意，解釋變量引入的短期關系模型的殘差，代表著在取得長期均衡的過程中各時點上出現“偏誤”的程度，使得第二步可以對這種偏誤的短期調整或誤差修正機制加以估計。

以建立我國貨幣需求函數為例，說明誤差修正模型的建模過程。貨幣需求函數通常在局部調整的結構下加以設定。在這種模型中，當前實際貨幣需求余額是關于實際貨幣需求余額滯后值、實際國民收入(通常用GDP表示)和機會成本等變量的回歸。那么這種依據交易方程設定的模型可作為長期關系模型。2.貨幣需求函數第二階段誤差修正方程的一般形式是：

其中，＝長期關系模型中的殘差。在具體建模中，首先要對長期關系模型的設定是否合理進行單位根檢驗，以保證為平穩(wěn)序列。其次，對短期動態(tài)關系中各變量的滯后項，進行從一般到特殊的檢驗，將不顯著的滯后項逐漸剔除，直到找出了最佳形式為止。通常滯后期在＝0,1,2,3中進行試驗。八、案例分析

—城鎮(zhèn)居民的生活費支出（Y)與可支配收入關系(X)1.用EG兩步法考察X、Y之間是否存在協整關系。(1)檢驗X序列的平穩(wěn)性。打開人均可支配收入（X）序列，點擊EViews出現下拉菜單，選UnitRootTest，出現下列對話框，選擇帶截距項（intercept），滯后差分項（Laggeddifferences）選2階，點擊OK，得到檢驗結果?！魪臋z驗結果看，在1％、5％、10％三個顯著性水平下，單位根檢驗的Mackinnon臨界值分別為-3.5121、-2.8972、-2.5855，t檢驗統計量值-0.862611大于相應臨界值，從而不能拒絕，表明人均可支配收入序列存在單位根，是非平穩(wěn)序列：◆檢驗人均可支配收入X序列的單整階數。在單位根檢驗（UnitRootTest）對話框中，指定對一階差分序列作單位根檢驗，選擇帶截距項（intercept），滯后差分項（Laggeddifferences）選2階，點擊OK，得到估計結果：

從檢驗結果看，在1％、5％、10％三個顯著性水平下，單位根檢驗的Mackinnon臨界值分別為-3.5121、-2.8972、-2.5855，t檢驗統計量值為-8.374339，小于相應臨界值，從而拒絕H0

，表明人均可支配收入的差分序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。即X序列是一階單整的,X～I（1）。YXXY（2）檢驗X、Y之間的協整.

為了分析可支配收入X和生活費支出Y之間是否存在協整關系。

◆作兩變量之間的回歸：◆檢驗回歸殘差的平穩(wěn)性。由于殘差序列res的均值為0，所以選擇無截距項、無趨勢項的DF檢驗，模型設定估計結果見表：resres(-1)在5％的顯著性水平下，t檢驗統計量為-7.430111，小于相應臨界值，從而拒絕H0，表明殘差序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列，說明可支配收入X和