小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法(第一冊(cè))說(shuō)明教材是主要指教材如何編寫，教法是指如何教，當(dāng)然還有學(xué)法，就是如何學(xué)。學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)所必須掌握的整數(shù)、整數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)和量的計(jì)算等根底理論知識(shí)。是小學(xué)一至三年級(jí)或主要是第一學(xué)段的內(nèi)容。不是按小學(xué)的學(xué)習(xí)方式來(lái)學(xué)這些內(nèi)容，是小學(xué)學(xué)的關(guān)于數(shù)的根底理論知識(shí)，也稱算術(shù)理論。根本不涉及如何教的問(wèn)題?！策@在“小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論〞這門課講授〕

看小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的構(gòu)成

我國(guó)傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容

１、認(rèn)數(shù)與計(jì)算２、量與計(jì)量３、幾何初步知識(shí)４、代數(shù)初步知識(shí)５、統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)６、比與比例７、應(yīng)用題

1。數(shù)、算與關(guān)系：認(rèn)數(shù)、寫數(shù)、數(shù)位、位值、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、代數(shù)、比例、＋－×÷、負(fù)數(shù)；比大小、因數(shù)倍數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)2。計(jì)量：時(shí)間、人民幣、長(zhǎng)度面積體積、重量3?？臻g圖形：認(rèn)、觀察、測(cè)量、畫、形、體4。方法：運(yùn)算律、規(guī)律、生活問(wèn)題5。統(tǒng)計(jì)：分類、可能性、大小、統(tǒng)計(jì)表

數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計(jì)與概率實(shí)踐與應(yīng)用新課程的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容數(shù)與代數(shù)

新課程中小學(xué)數(shù)學(xué)的

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

第一學(xué)段〔1～3年級(jí)〕第二學(xué)段〔4～6年級(jí)〕第三學(xué)段〔7～9年級(jí)〕

●數(shù)的認(rèn)識(shí)●數(shù)的認(rèn)識(shí)●數(shù)與式

●數(shù)的運(yùn)算●數(shù)的運(yùn)算●方程與不等式

●常見的量●常見的量●函數(shù)

●探索規(guī)律●探索規(guī)律

在第一學(xué)段中，學(xué)生將學(xué)習(xí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)、簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)、常見的量，體會(huì)數(shù)和運(yùn)算的意義，掌握數(shù)的根本運(yùn)算，探索并理解簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系。在第二學(xué)段中，學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)及其有關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步開展數(shù)感；初步了解負(fù)數(shù)和方程；開始借助計(jì)算器進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題；獲得解決現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力。在第三學(xué)段中，學(xué)生將學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、整式和分式、方程和方程組、不等式和不等式組、函數(shù)等知識(shí)，探索數(shù)、形及實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)涵的關(guān)系和規(guī)律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的工具，開展符號(hào)感，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)知識(shí)與方法解決問(wèn)題的能力。二、教學(xué)內(nèi)容的變化與傳統(tǒng)內(nèi)容相比，“數(shù)與代數(shù)〞局部加強(qiáng)的內(nèi)容：1)強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受理解數(shù)與代數(shù)的意義。2)增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，滲透數(shù)學(xué)建模思想。3)加強(qiáng)學(xué)生的自主活動(dòng)，重視對(duì)數(shù)與代數(shù)規(guī)律和模式的探求。4)重視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用，并提出了加強(qiáng)對(duì)近似計(jì)算和估算的要求?！巴ㄟ^(guò)實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受理解數(shù)與代數(shù)的意義〞第一學(xué)段案例例1對(duì)于50，98，38，10，51這些數(shù)，請(qǐng)用大一些、小一些、大得多、小得多等語(yǔ)言描述它們之間的大小關(guān)系；并用“＞〞或“＜〞表示它們的大小關(guān)系。例21200張紙大約有多厚？1200名學(xué)生大約能組成多少個(gè)班級(jí)？1200步大約有多長(zhǎng)？例3估計(jì)一張報(bào)紙一個(gè)版面的字?jǐn)?shù)。例4請(qǐng)你說(shuō)出與日常生活密切相關(guān)的一些數(shù)及其作用。例1一個(gè)正常人心跳100萬(wàn)次大約需要多長(zhǎng)時(shí)間？100萬(wàn)小時(shí)相當(dāng)于多少年？100萬(wàn)張紙有多厚？例2某學(xué)校為每個(gè)學(xué)生編號(hào)，設(shè)定末尾用1表示男生，用2表示女生；9713321表示“1997年入學(xué)的一年級(jí)三班的32號(hào)同學(xué)，該同學(xué)是男生〞。那么，9532021表示的學(xué)生是哪一年入學(xué)的？幾年級(jí)幾班的？學(xué)號(hào)是多少？是男生還是女生？例3你是否喜歡數(shù)學(xué)？如果用5，4，3，2，1分別代表從最喜歡到最不喜歡之間的5種程度，你選哪個(gè)數(shù)？說(shuō)明理由。如果小明選擇2，說(shuō)明什么？如果小立比較喜歡數(shù)學(xué)，他最可能選幾？“通過(guò)實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受理解數(shù)與代數(shù)的意義〞第二學(xué)段案例例3在某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀叫的次數(shù)與溫度之間有如下的近似關(guān)系：記錄蟋蟀每分叫的次數(shù)，用這個(gè)次數(shù)除以7，然后再加上3，就得到當(dāng)時(shí)的溫度。溫度〔℃〕與蟋蟀每分叫的次數(shù)之間的關(guān)系是：溫度=蟋蟀每分叫的次數(shù)÷7＋3。試用字母表示這一關(guān)系。例5對(duì)代數(shù)式3a作出解釋?！巴ㄟ^(guò)實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受理解數(shù)與代數(shù)的意義〞第三學(xué)段案例“對(duì)數(shù)與代數(shù)規(guī)律和模式的探求〞案例例8在以下橫線上填上適宜的圖形或數(shù)字，并說(shuō)明理由。1，1，2，1，1，2，____，_____，____；例9

完成序列，并說(shuō)明理由。

0.5,1.5,4.5，_____。例10

聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)綠氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你知道第16個(gè)氣球是什么顏色嗎？“對(duì)數(shù)與代數(shù)規(guī)律和模式的探求〞案例例4觀察以下圖形并填表:

梯形個(gè)數(shù)123456...n周長(zhǎng)581114...“運(yùn)用計(jì)算器探索數(shù)學(xué)規(guī)律〞案例1.任意給定四個(gè)互不相同的數(shù)字，組成最大數(shù)和最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)。對(duì)所得結(jié)果的幾個(gè)數(shù)字重復(fù)上述過(guò)程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？2.計(jì)算：9999999999×9999999999+9999999999“近似計(jì)算和估算〞案例例7估計(jì)每分脈搏跳動(dòng)的次數(shù)、閱讀的字?jǐn)?shù)、跳繩的次數(shù)、走路的步數(shù)。例6

估測(cè)一?；ㄉ馁|(zhì)量。說(shuō)明可以通過(guò)稱50?；ㄉ馁|(zhì)量進(jìn)行估測(cè)，也可以通過(guò)數(shù)100克花生的粒數(shù)進(jìn)行估測(cè)。例2估計(jì)與0.5哪個(gè)大。

減弱的方面：1)降低運(yùn)算的復(fù)雜性、技巧性和熟練程度的要求。2)減少公式，降低對(duì)記憶的要求。3)降低了對(duì)于一些概念過(guò)分“形式化〞的要求。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的根底理論第一章整數(shù)的概念及其四那么運(yùn)算一、整數(shù)的概念和計(jì)數(shù)法

〔一〕整數(shù)的概念1．自然數(shù)的產(chǎn)生和概念自然數(shù)是在人類的生產(chǎn)和生活的實(shí)踐中逐漸產(chǎn)生的，具體經(jīng)歷了以下過(guò)程：一一對(duì)應(yīng)→等價(jià)集合→標(biāo)準(zhǔn)集合→使用符號(hào)定義：自然數(shù)是一切等價(jià)有限集合共同特征的標(biāo)記。與小學(xué)數(shù)學(xué)中自然數(shù)的含義一樣。自然數(shù)表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)零是一切空集的標(biāo)記。說(shuō)明：一個(gè)物體也沒有，就有零表示。但數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)大以后，零不僅表示沒有，還可以作為某些數(shù)量的界限。

A與B等價(jià)的概念

任給兩個(gè)集合A和B，如果存在規(guī)那么f，根據(jù)f，對(duì)于每個(gè)a∈A，都對(duì)應(yīng)于唯一確定的b∈B；反之，對(duì)于每一個(gè)b∈B，根據(jù)f，有唯一確定的a∈A與之對(duì)應(yīng)，那么稱集合A與B的元素之間在f之下建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蚍QA與B是等價(jià)集合，簡(jiǎn)稱A與B等價(jià)(等勢(shì))，記為A～B。2。自然數(shù)的大小定義設(shè)自然數(shù)a和b分別表示有限集合A和B的元素的個(gè)數(shù)，那么〔1〕假設(shè)A～B，那么a=b;〔2〕假設(shè)A′是A的真子集，A′～B，那么a﹥b;(3)假設(shè)B′是B的真子集，A～B′，那么a﹤b;3。自然數(shù)列及其性質(zhì)零添上一就得到一，一再添上一就得到二，二再添上一就得到三，等等。所以一是自然數(shù)的單位。從零起，依次添上一個(gè)單位，就得到從小到大順序排列著的一列數(shù)：零、一、二、三……定義：由全體自然數(shù)依次排列的一列數(shù)叫做自然數(shù)列性質(zhì)：〔1〕有始最前面。。?！?〕有序前仆后繼。。?！?〕無(wú)限無(wú)限、大小。。。4．基數(shù)和序數(shù)自然數(shù)作為一類等價(jià)的有限集合的標(biāo)記，可以表示集合中元素的個(gè)數(shù)，通常稱為基數(shù)。另一方面，由于自然數(shù)在自然數(shù)列里是有序的，所以自然數(shù)還可以用來(lái)給集合中的元素編號(hào)，表示某個(gè)有序集合中每個(gè)元素所占的位置，通常稱為序數(shù)。自然數(shù)有兩種意義：一個(gè)數(shù)當(dāng)用來(lái)表示集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，用的是基數(shù)的意義；一個(gè)數(shù)當(dāng)用來(lái)表示集合中元素的排列次序時(shí)，用的是序數(shù)意義。即：基數(shù)意義：用來(lái)表示集合中元素的個(gè)數(shù)。序數(shù)意義：用來(lái)表示集合中的元素排列次序。(二)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法1．十進(jìn)制計(jì)數(shù)法“滿十進(jìn)一〞的計(jì)數(shù)方法，就是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。P41〔2〕按照十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，我國(guó)是這樣給自然數(shù)命名的：(1)自然數(shù)列的前十個(gè)數(shù)中，從第一個(gè)到第十個(gè)各給一個(gè)單獨(dú)的名稱，即零、一、二、……、九。(2)按照“滿十進(jìn)一〞四位一級(jí)規(guī)定計(jì)數(shù)單位，個(gè)級(jí)：個(gè)，十，百，千；萬(wàn)級(jí)：萬(wàn)，十萬(wàn)，百萬(wàn)，千萬(wàn)；億級(jí)：億，十億，百億，千億。(3)其他自然數(shù)的命名，都由十個(gè)有單位名稱的自然數(shù)和計(jì)數(shù)單位組合而成。如：一個(gè)數(shù)含有五個(gè)萬(wàn)，二個(gè)千，四個(gè)百，三個(gè)十，七個(gè)一，就讀做：五萬(wàn)二千四百三十七；對(duì)于個(gè)級(jí)以上的數(shù)，每一級(jí)的級(jí)名只在這一級(jí)的末尾給出。如：一個(gè)數(shù)含有六個(gè)千萬(wàn)，四個(gè)百萬(wàn)，三個(gè)十萬(wàn)，一個(gè)萬(wàn)，就讀做：六千四百三十一萬(wàn)。一個(gè)數(shù)除每一級(jí)末尾有空單位外，中間的幾個(gè)單位如果是空的就稱“零〞。無(wú)論空幾個(gè)都只讀一個(gè)零。如一個(gè)數(shù)含有五個(gè)億，六個(gè)千萬(wàn)，二個(gè)萬(wàn)，三個(gè)十，就讀作五億六千零二萬(wàn)零三十。世界上許多國(guó)家的命數(shù)法不是四級(jí)一位，而是三位一級(jí)。從低到高依次是：個(gè)級(jí)：個(gè)，十，百；千級(jí)：千，十千，百千；密級(jí)：密，十密，百密等等。通俗地說(shuō)：十進(jìn)制計(jì)數(shù)法就是數(shù)數(shù)的方法。2．用書寫符號(hào)表示數(shù)的方法。數(shù)字：用來(lái)記數(shù)的符號(hào)，也稱為數(shù)碼。阿拉伯?dāng)?shù)字共以下十個(gè)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。位值原那么：用阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)是把所用的數(shù)字排成一橫行，每個(gè)數(shù)字所在的位置不同，表示所含的計(jì)數(shù)單位就不同，從右起第一位上的數(shù)字表示幾個(gè)一，這一位叫做個(gè)位；第二位上的數(shù)字表示幾個(gè)十，這一位叫做十位；以下依次是百位、千位、萬(wàn)位--------用這種方法記數(shù)，每個(gè)數(shù)字除了他本身表示的數(shù)值以外，還有位置值，這就是記數(shù)的位置原那么。數(shù)位：應(yīng)用位置原那么記數(shù)時(shí)，數(shù)字所占的位置：個(gè)位、十位、百位……統(tǒng)稱為數(shù)位位數(shù)：用幾個(gè)數(shù)字寫出的自然數(shù)(最左端數(shù)字不是零)就叫做幾位數(shù)。一般地說(shuō)，記數(shù)法就是用阿拉伯?dāng)?shù)字寫數(shù)的方法。除了國(guó)際通用的阿拉伯?dāng)?shù)字外，我們通常見到其他的數(shù)字。如：中國(guó)數(shù)字、羅馬數(shù)字。教材P6根據(jù)十進(jìn)制的記數(shù)法和我國(guó)的命數(shù)法，可以得到如下的讀數(shù)法：教材P7(1)四位和四位以內(nèi)的數(shù)，從最高位起，順著位次一位一位讀出來(lái)，如：483讀作＿＿＿＿2596讀作＿＿＿＿＿＿(2)四位以上的數(shù)，先從右向左四位分級(jí)，再?gòu)淖罡呶黄?，順次讀出各級(jí)里的數(shù)和它們的級(jí)名。如：24543698讀作＿＿＿＿＿＿3572834512讀作＿＿＿＿＿＿〔3〕一個(gè)數(shù)末尾的“0〞不讀出來(lái)，每一級(jí)末尾的零也不讀出來(lái)；其他的數(shù)位上有一個(gè)“0〞或連續(xù)幾個(gè)“零〞，都只讀一個(gè)“零〞，如：350020800040300505040025000分別讀作3。數(shù)的大小比較根據(jù)位值原那么教材P7作業(yè)P101，4，5，6，9二、整數(shù)的四那么運(yùn)算(一)整數(shù)的加法1、加法定義(1)定義：設(shè)A，B是兩個(gè)不相交的有限集合，它們的基數(shù)分別是數(shù)a和數(shù)b，如果集合A與B的并集是C，那么并集C的基數(shù)c就叫做a與b的和，求兩個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算叫做加法，記作：a+b=c。讀作“a加b等于c〞。特別地：a+0=a

0+a=a

0+0=0說(shuō)明：如何加，就是數(shù)集合中元素的個(gè)數(shù)，加法的封閉性，和的唯一性。(2)加法定義的推論：a+b≥aa+b≥b兩個(gè)數(shù)的和不小于每一個(gè)加數(shù)。分析：用加法的定義，并集、數(shù)的大小定義證明：因?yàn)锳∪B包含A，包含B所以a+b≥aa+b≥b(3)幾個(gè)數(shù)的和：求幾個(gè)數(shù)的和，就是先求出第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的和，再求所得的和與第三個(gè)數(shù)的和，等等，如：a+b+c+d=[(a+b)+c]+d這樣可將任意一個(gè)多位數(shù)寫成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的和的形式，如：456=4百+5十+6=3百+15十+6=3百+14十+16等等。2．加法的運(yùn)算性質(zhì)(1)加法交換律：a+b=b+a。(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。證明：用加法的定義、并集的運(yùn)算性質(zhì)即有：假設(shè)干個(gè)數(shù)相加，任意交換加數(shù)的位置，或選取其中的任意幾個(gè)加數(shù)作為一組先加起來(lái)，再與其他加數(shù)相加，它們的和不變。(3)加法交換律和結(jié)合律推廣到假設(shè)干個(gè)數(shù)相加，證明：用數(shù)學(xué)歸納法略例試證a+b+c+d=b+[(c+a)+d]證明：a+b+c+d=[(a+b)+c]+d()=[a+(b+c)]+d()例試證a+b+c+d=b+[(c+a)+d]=[(b+c)+a]+d()=[b+(c+a)]+d()=b+[(c+a)+d]()進(jìn)一步可以得到如下性質(zhì)：

(a1+a2+---+an)+(b1+b2+---+bn)=(a1+b1)+(a2+b2)+---+(an+bn)3.加法的運(yùn)算法那么(1)一位數(shù)的加法：兩個(gè)一位數(shù)相加，可以用數(shù)數(shù)的方法求出和。通常是把兩個(gè)一位數(shù)相加的結(jié)果編成加法表，在計(jì)算時(shí)直接使用這些結(jié)果。(2)多位數(shù)的加法：多位數(shù)加法的豎式運(yùn)算法那么是：數(shù)位對(duì)齊，個(gè)位加起，滿十進(jìn)一。例：456+917---------1373例：456+917---------1373法那么的依據(jù)說(shuō)明如下：456+917=(4百+5十+6)+(9百+1十+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(6+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(1十+3)=(4百+9百)+(5十+1十+1十)+3=(1千+3百)+7十+3=1千+3百+7十+3=1373見教材P14類似的例子由此可看出來(lái)，(1)多位數(shù)加法的法那么是根據(jù)加法交換律和結(jié)合律推出的，而進(jìn)行多位數(shù)加法的根底那么是一位數(shù)加法，(3)豎式是多位數(shù)加法的簡(jiǎn)便形式。(2)多位數(shù)相加時(shí),是分別把相同的計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加,哪一個(gè)計(jì)數(shù)單位上的數(shù)滿十,就向高一級(jí)的計(jì)數(shù)單位進(jìn)一.(二)整數(shù)減法1．減法的定義(1)定義兩個(gè)數(shù)a，b，求一個(gè)數(shù)c，使c與b的和等于a，這種運(yùn)算叫作減法，讀作“a減b等于c〞記作：a-b=c。a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，c叫做a與b的差，符號(hào)〞-〞叫做減號(hào)。集合的觀點(diǎn)看。。。，差集，減法與加法的關(guān)系特別地：當(dāng)b=a時(shí)因?yàn)?+a=a所以a-a=0當(dāng)b=0時(shí)因?yàn)閍+0=a所以a-0=a當(dāng)a=b=0時(shí)因?yàn)?+0=0所以0-0=0從定義可以看出，整數(shù)集對(duì)于減法是不封閉的。(2)減法定義的推論：(a-b)+b=a(c+a)-a=c證明見教材P162．減法的運(yùn)算性質(zhì)(1)a-(b+c)=a-b-c(2)a-(b-c)=a-b+c或a-(b-c)=a+c-b(3)假設(shè)ai≥bi(i=1，2，---n，ai，bi可以是0)那么有(a1+a2+---+an)-(b1+b2+---+bn)=(a1-b1)+(a2-b2)+---+(an-bn)用數(shù)學(xué)歸納法證明見教材P17證明見教材P163．減法的運(yùn)算法那么(1)一位數(shù)或兩位數(shù)減去一位數(shù)且一位數(shù)的減法，一般是根據(jù)減法定義，利用加法來(lái)計(jì)算。如：根據(jù)5+4=9得出9-4=5(2)多位數(shù)減法多位數(shù)豎式運(yùn)算法那么是數(shù)位對(duì)齊，個(gè)位減起，哪一位不夠減向前一位借一再減。例：485-169---------316法那么的依據(jù)說(shuō)明如下：485-169=(4百+8十+5)-(1百+6十9)=(4百+7十+15)-(1百+6十+9)=(4百-1百)+(7十-六十)+(15-9)=3百+1十+6=316由此可見，多位數(shù)減法的法那么是根據(jù)減法運(yùn)算性質(zhì)(3)推出的，一位數(shù)減法是多位數(shù)減法的根底，豎式是多位數(shù)減法的簡(jiǎn)便形式。多位數(shù)相減時(shí),是分別把相同的計(jì)數(shù)單位的數(shù)相減,哪一個(gè)計(jì)數(shù)單位上的數(shù)不夠減,就從高一級(jí)的計(jì)數(shù)單位上的數(shù)退一再減.作業(yè)P201，2，3〔1〕，5〔1〕(三)整數(shù)乘法1．乘法的定義。(1)定義：b(大于1的整數(shù))個(gè)相同加數(shù)a的和c叫做a與b的積，就是：c=a+a+a+---+a(b個(gè)a)求兩個(gè)數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘法，記作：a×b=c或a·b=c也可記作b×a=c或b·a=c讀作“a乘b等于c〞或“b乘a等于c〞說(shuō)明：以前大綱和教材中，有乘數(shù)與被乘數(shù)之分，現(xiàn)在新課程中沒有了，但在初中有“乘以〞和“乘〞的區(qū)別。補(bǔ)充：當(dāng)b=1時(shí)，a×1=a當(dāng)b=0時(shí)，a×0=0(2)幾個(gè)數(shù)的積。abcd=[(ab)c]d

2．乘法的運(yùn)算性質(zhì)(1)乘法交換律：a×b=b×a(2)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc或c(a+b)=ca+cb(4)其他性質(zhì)：乘法交換律，結(jié)合律的推廣；乘法分配律的推廣；假設(shè)干個(gè)數(shù)的和與假設(shè)干個(gè)數(shù)的和相乘的性質(zhì)；(a-b)c=ac-bc或c(a-b)=ca-cb證明見教材P22-P243．乘法的運(yùn)算法那么(1)表內(nèi)乘法兩個(gè)一位數(shù)相乘，可以根據(jù)乘法的定義用同數(shù)連加的方法求出它們的積，通常是把所有兩個(gè)一位數(shù)相乘和它們的結(jié)果編成乘法口訣或乘法表，計(jì)算時(shí)直接利用這些結(jié)果求出結(jié)果。(2)多位數(shù)乘法多位數(shù)乘一位數(shù)的法那么：先用一位數(shù)去乘多位數(shù)每一位上的數(shù)，哪一位上乘得的數(shù)滿幾十，就向它的前一位進(jìn)幾，最后把每次乘得的結(jié)果相加。如：364×2--------728法那么的依據(jù)說(shuō)明如下：364×2=(3百+6十+4)×2=6百+12十+8=6百+(1百+2十)+8=(6百+1百)+2十+8=728由此可知，多位數(shù)乘一位數(shù)的法那么是乘法分配律推廣的應(yīng)用，歸結(jié)為表內(nèi)乘法來(lái)計(jì)算為了簡(jiǎn)便，通常來(lái)用豎式來(lái)計(jì)算。多位數(shù)乘一個(gè)數(shù)字后面帶有假設(shè)干個(gè)零的數(shù)的乘法法那么：先用這個(gè)因數(shù)中零前面的一位數(shù)去乘多位數(shù)，再在所得的積后面填寫因數(shù)末尾所有的零。如：234×300=234×〔3×100〕=〔234×3〕×100=702×100=70200

多位數(shù)乘多位數(shù)：先用其中一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)去乘另一個(gè)因數(shù)的每一位，再把所得的結(jié)果相加。如：532×461=532×〔400+60+1〕=532×400+532×60+532×1=212800+31920+532=245252寫成豎式532461×——————53231922128———————245252(四)整數(shù)除法1．除法的定義(1)定義：兩個(gè)數(shù)a，b，求一個(gè)整數(shù)q，使q與b的積等于a，這種運(yùn)算叫作除法，記作：a÷b=q。讀作“a除以b〔b除a〕等于q〞，a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，q叫做的商，符號(hào)“÷〞叫做除號(hào)。特別地：當(dāng)b=a≠0時(shí)，因?yàn)閍×1=a所以a÷a=1。當(dāng)b=1時(shí)，因?yàn)?×a=a所以a÷1=a。當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，因?yàn)閎×0=0所以0÷b=0。(規(guī)定除數(shù)b不能夠?yàn)?。)(2)除法定義的推論(a÷b)×b=a(a×b)÷b=a。2．有余數(shù)的除法

定義：兩個(gè)數(shù)a，b(b是正整數(shù))，要求兩個(gè)整數(shù)q，r，使q，r滿足以下條件：a=bq+r，且r<b。這樣的運(yùn)算叫作有余數(shù)除法，記作：a÷b=q(余r)或a÷b=q------r。關(guān)于帶余除法的定理，在數(shù)論中已講除法與減法的關(guān)系，可由a=bq+r，得a-bq=r說(shuō)明3．除法的運(yùn)算性質(zhì)(1)a÷(b·c)=a÷b÷c(bc︱a)(2)a÷(b÷c)=(a·c)÷b或a÷(b÷c)=(a÷b)·c(b|a)(3)(a·b)÷c=(a÷c)·b(c|a)或(a·b)÷c=a·(b÷c)(c|b)(4)(a÷b)÷c=(a÷c)÷b(bc|a)(5)假設(shè)b|ai，i=1，2，3,-----n，那么(a1+a2+---+an)÷b=a1÷b+a2÷b+---+an÷b改錯(cuò)：500÷150=500÷(50×3)=500÷50÷3=10÷3=3(余1)4．除法的運(yùn)算法那么(1)表內(nèi)除法被除數(shù)，除數(shù)都是一位數(shù)，或被除數(shù)是兩位數(shù)，除數(shù)和商都是一位數(shù)的除法，可以用乘法口訣直接求出商。例如6÷2，因?yàn)槎昧?，所以?，即6÷2=3；又如32÷8，因?yàn)樗陌巳?，所以?，即32÷8=4。(2)多位數(shù)除法法那么是：從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位，如不夠商1，就多看一位；除到被除數(shù)哪一位，就把商寫在哪一位的上面，如不夠商1，就在這一位上商0，每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小。法那么的依據(jù)說(shuō)明如下：2496÷24=(2千+4百+9十+6)÷24=(24百+96)÷24=24百÷24+96÷24=1百+4=104作業(yè)P361，4，7，10，11〔1〕?！参濉痴麛?shù)四那么應(yīng)用題1.四那么應(yīng)用題的一般概念四那么混合運(yùn)算式題加、減、乘、除四種運(yùn)算，統(tǒng)稱為四那么運(yùn)算。分級(jí)，混合運(yùn)算順序，大中小括號(hào)的應(yīng)用的順序?！?〕根據(jù)日常工作和生產(chǎn)中實(shí)際問(wèn)題，用文字、語(yǔ)言、圖形述出一些數(shù)量和未知數(shù)量，以及它們之間的關(guān)系，運(yùn)用四那么運(yùn)算求出未知數(shù)量的數(shù)學(xué)題，叫做四那么應(yīng)用題?！?〕應(yīng)用題滿足的條件每個(gè)應(yīng)用題都由條件和問(wèn)題兩局部組成。1〕當(dāng)條件是必要且充分的時(shí)候，應(yīng)用題就有一個(gè)確定的答案。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)模型〔四那么混合運(yùn)算式〕轉(zhuǎn)化————2〕當(dāng)條件不充分時(shí)，應(yīng)用題就沒有確定的答案。如：“小紅和田力共做紅花12朵，問(wèn)小紅做紅花幾朵？〞“船上有6頭牛，40只羊，問(wèn)船長(zhǎng)多少歲？〞3〕當(dāng)應(yīng)用題的條件過(guò)剩時(shí)，假設(shè)這些條件不矛盾，就有確定的答案；假設(shè)條件之間有矛盾，就得不到答案。2。解容許用題的過(guò)程小學(xué)生解容許用題的思維過(guò)程，就是先要把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，再由數(shù)學(xué)模型的解得出實(shí)際問(wèn)題的解。例如，“有15條金魚，每個(gè)魚缸里放5條，要用幾個(gè)魚缸?〞解答此題首先要把實(shí)際問(wèn)題“要用幾個(gè)魚缸?〞抽象成為數(shù)學(xué)問(wèn)題：“15里面有幾個(gè)5〞(把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化)，再根據(jù)除法的意義轉(zhuǎn)化成除法算式：“15÷5〞(得到一個(gè)具有一般意義的數(shù)學(xué)模型)。即：“有15條金魚，每個(gè)魚缸里放5條，要用幾個(gè)魚缸?〞————實(shí)際問(wèn)題15里面有幾個(gè)5？—————數(shù)學(xué)化15÷5—————數(shù)學(xué)模型=3〔個(gè)〕—————數(shù)學(xué)模型的解答：要用3個(gè)魚缸—————實(shí)際問(wèn)題的解〔1〕理解題意〔2〕分析〔3〕列式計(jì)算〔4〕檢驗(yàn)作答解應(yīng)用題一般步驟例新興農(nóng)具廠裝配車間要完成690個(gè)噴霧器的裝配任務(wù)，前8天每天裝配45個(gè)。經(jīng)過(guò)技術(shù)改革，剩下的任務(wù)6天就完成了，這6天平均每天裝多少個(gè)？〔1〕理解題意這題講的是農(nóng)具廠裝配噴霧器的事，需要完成的任務(wù)是690個(gè)，前8天已經(jīng)完成了一局部，剩下的6天完成，問(wèn)的這6天平均每天裝多少個(gè)?？梢哉洍l件和問(wèn)題如下：690個(gè){前8天每天45個(gè)后6天完成剩下的每天？個(gè)〔2〕分析要求后6天平均每天裝多少個(gè)，就必須知道這6天一共要裝多少個(gè)。這可以從總?cè)蝿?wù)中去掉前8天已經(jīng)裝的個(gè)數(shù)來(lái)求得。根據(jù)題中給出的條件，可以求出前8天已經(jīng)裝的個(gè)數(shù)。因此，這道題可以從這里開始逐步得到解答?！?〕列式計(jì)算分步列式：1〕前8天裝了多少個(gè)？45×8=360〔個(gè)〕2〕還剩下多少個(gè)沒有裝？690-360=330〔個(gè)〕3〕后6天平均每天裝多少個(gè)？330÷6=55〔個(gè)〕列綜合算式：〔690-45×8〕÷6=〔690-330〕÷6=330÷6=55〔個(gè)〕4〕檢驗(yàn)作答在計(jì)算出結(jié)果之后，可以根據(jù)前面的分析檢查一遍每一步的列式和計(jì)算是否都正確，也可以把求得的結(jié)果作為條件，按照原題給的數(shù)量關(guān)系，倒過(guò)來(lái)計(jì)算，檢查得數(shù)是否和其他條件相符。55×6=330〔個(gè)〕690-330=360〔個(gè)〕360÷8=45〔個(gè)〕答：后6天平均每天裝配55個(gè)。3。簡(jiǎn)單應(yīng)用題〔1〕直接根據(jù)運(yùn)算的意義列式解答的簡(jiǎn)單應(yīng)用題

例1小青有5本圖書，小紅有7本圖書。他們一共有多少本圖書？例2~例5，教材P48說(shuō)明以上是求兩數(shù)的和；兩個(gè)加數(shù)的和與一個(gè)加數(shù)，求另個(gè)加數(shù)；求假設(shè)干個(gè)相同數(shù)量的和；兩個(gè)因數(shù)的積和其中的一個(gè)因數(shù)求另一個(gè)因數(shù)；〔2〕通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)成與四那么運(yùn)算的意義相同的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)運(yùn)算的意義列式解答的簡(jiǎn)單應(yīng)用題。教材P48~494。復(fù)合應(yīng)用題復(fù)合應(yīng)用題是指需要兩步或兩步以上計(jì)算才能得答案的應(yīng)用題。解題的思路概括起來(lái)可分一般和特殊兩種解題思路。教材P50~52例雞兔同籠，頭共有8個(gè)，腳共有26支，問(wèn)雞兔分別有多少只。解析假設(shè)讓全部兔舉起前腳，那么踩在籠底的共有腳2×8=16〔支〕，舉起來(lái)的腳共有26-16=10〔支〕，所以兔共有10÷2=5〔只〕，雞共有8-5=3〔只〕。此題屬特殊的解題思路。如教材P53，例2作業(yè)P563，4，8小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的根底理論第二章分?jǐn)?shù)和小數(shù)的概念及其四那么運(yùn)算一、分?jǐn)?shù)1．分?jǐn)?shù)的定義〔1〕分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生：度量與整數(shù)除法的需要〔2〕分?jǐn)?shù)的定義：形如〔m和n都是正整數(shù)，且n>1〕的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)在度量中的實(shí)際含義是：把B作為單位“1〞平均分成n份，這樣的一份叫做B的n分之一，記作；再用作為新的度量單位去度量A，如果A中恰好含有m個(gè)，度量的結(jié)果就是。我們把叫做分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。如果把度量單位看作單位“1〞，那么分?jǐn)?shù)可以理解成：把單位“1〞平均分成n份，表示m個(gè)這樣的一份的數(shù)。其中，分母n表示把單位“1〞平均分的份數(shù)，分子m表示有這樣的多少份。這與小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于分?jǐn)?shù)的定義是一致的。分?jǐn)?shù)還有另一種含義，就是表示兩個(gè)數(shù)相除的結(jié)果。例如：把3個(gè)同樣的餅平均分給4個(gè)人，求每人分得多少個(gè)。這時(shí)由于每人分不到1整個(gè)，我們可以先把每個(gè)餅平均分成4份，每份是1個(gè)餅的；再依次把每個(gè)餅平均分給4個(gè)人。使得每人每次都得1個(gè)餅的，3次就分得3個(gè)，也就是1個(gè)餅的。這就是說(shuō)分?jǐn)?shù)是3÷4的結(jié)果。因此，分?jǐn)?shù)還可以理解為：把m個(gè)單位平均分成n份，表示這樣一份的數(shù)，也就是說(shuō)可以表示m除以n的結(jié)果。〔3〕分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：=m÷n即：分?jǐn)?shù)中的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)，分?jǐn)?shù)的值相當(dāng)于商，在除法中除數(shù)不能是零，在分?jǐn)?shù)中分母也不能為零。分?jǐn)?shù)與除法既有聯(lián)系又有區(qū)別，除法是一種運(yùn)算，而分?jǐn)?shù)是數(shù)。由此可見，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)系的一次擴(kuò)充，根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原那么(教材P98)，應(yīng)對(duì)分?jǐn)?shù)定義做如下補(bǔ)充：當(dāng)n=1時(shí)，==m；當(dāng)m=0時(shí)，==0。這樣，分?jǐn)?shù)的定義可以擴(kuò)充為：形如〔m和n都是整數(shù)，且n≠0〕的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。2。分?jǐn)?shù)的相等與不等定義見教材P98即有兩個(gè)分?jǐn)?shù)和，如果，那么。定義見教材P99即有兩個(gè)分?jǐn)?shù)和，如果，那么如果，那么。例1比較和，的大小。解3．分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)如果分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘〔或除以〕一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。即：〔1〕=〔m是正整數(shù)〕

〔2〕=(m是正整數(shù)，且m|a，m|b)

證明4。約分和通分〔1〕約分把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母分別除以它們的公約數(shù)〔1除外〕，叫做約分。分子和分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫做既約分?jǐn)?shù)〔或最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)〕。約分時(shí)，通常要約成既約分?jǐn)?shù)。約分有逐次約分法和一次約分法兩種?！?〕通分把幾個(gè)數(shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，而不改變每個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，叫做通分。公分母真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)與小學(xué)教材中的定義一致。通分涉及求最小公倍數(shù)一次約分涉及求最大公約數(shù)。3．分?jǐn)?shù)的四那么運(yùn)算分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算的含義與整數(shù)四那么運(yùn)算相同，整數(shù)四那么運(yùn)算的性質(zhì)可以推廣到分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算，但是需要說(shuō)明的是：〔1〕分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算的定義方式與整數(shù)四那么運(yùn)算不同，在定義里包含了運(yùn)算法那么。例如：分?jǐn)?shù)加法的定義：如果有兩個(gè)分?jǐn)?shù)和，那么+=求兩個(gè)分?jǐn)?shù)和的運(yùn)算叫做分?jǐn)?shù)加法。分?jǐn)?shù)的加法法那么、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的減法及減法法那么見教材P104~110〔2〕分?jǐn)?shù)乘法和除法有其特殊的含義。一個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘可以表示求這個(gè)數(shù)的幾分之幾。

一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，如，就是求一個(gè)數(shù)使得：?=或?=。因此，計(jì)算÷，就是一個(gè)數(shù)的是，求這個(gè)數(shù)；或求是的幾分之幾。自學(xué)教材P110~118作業(yè)P1023，4，8P1231，5，84。分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題通常說(shuō)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是隨著分?jǐn)?shù)乘法的含義而擴(kuò)展產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，而要從分?jǐn)?shù)乘法的含義和乘、除法的關(guān)系入手來(lái)解?！?〕根本的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題這類題，一是知道一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的含義就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾；二是根據(jù)分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算，可以反過(guò)來(lái)用除法解決一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)的問(wèn)題和求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的幾分之幾的問(wèn)題。見教材P127例1，2，3其他再?gòu)?fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題大都是以上為根底開展而來(lái)?！?〕稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題這類題形式上是多了一種或幾種運(yùn)算。在解答這類題時(shí)，最重要的是在每一步計(jì)算中弄清以哪個(gè)數(shù)量作為單位1，以及題中的數(shù)量或要求的數(shù)量是單位1的幾分之幾。見教材P127~129例4，5，6〔3〕特殊的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就是所謂的工程問(wèn)題，把工作量看著單位1見教材P129例1~2作業(yè)P1301，3，7

二、小數(shù)1．小數(shù)的概念〔1〕十進(jìn)分?jǐn)?shù)：分母是10n〔n為自然數(shù)〕的分?jǐn)?shù)，叫做十進(jìn)分?jǐn)?shù)。例如。。。十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)單位自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位1，10，102，103，。。。個(gè)，十，百，千。。。。單位序列。。。，103，102，10，1，〔就是特殊的分?jǐn)?shù)〕十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，可表為不同計(jì)數(shù)單位和的形式。如=32.156(采用十進(jìn)制的位值原那么，可寫成如下)整數(shù)與分?jǐn)?shù)局部之間用“.〞〔2〕小數(shù)的定義：根據(jù)十進(jìn)位制的位值原那么，把十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母的形式的數(shù)叫做小數(shù)。從定義可以看出：

a.小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊形式，即它們是等價(jià)的。

b.定義不包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)。

2．小數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)一：在小數(shù)的未尾添上或去掉幾個(gè)零，小數(shù)的大小不變。

性質(zhì)二：把小數(shù)點(diǎn)向右〔左〕移動(dòng)n位，小數(shù)就擴(kuò)大〔縮小〕10n倍。舉例說(shuō)明教材P138,P139例3．小數(shù)的四那么運(yùn)算由于小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，因此小數(shù)四那么運(yùn)算含義與分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算含義相同，整數(shù)四那么運(yùn)算性質(zhì)也可推廣到小數(shù)四那么運(yùn)算。〔1〕小數(shù)加減法法那么：把加數(shù)〔或被減數(shù)、減數(shù)〕的小數(shù)點(diǎn)上下對(duì)齊，然后按照整數(shù)加〔減〕法的法那么計(jì)算，并在所得的結(jié)果里對(duì)著加數(shù)〔或被減數(shù)、減數(shù)〕的小數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。〔1〕小數(shù)加減法法那么：例教材P141例1~4〔2〕小數(shù)乘法法那么設(shè)兩個(gè)小數(shù)α、β，且α有m位小數(shù)，β有n位小數(shù)，即α=，β=那么α?β=?=由此可知，兩個(gè)小數(shù)相乘，先不管他們的小數(shù)點(diǎn)，按照整數(shù)乘法計(jì)算，然后在所得的積里記上小數(shù)點(diǎn)，使積的小數(shù)局部的位數(shù)等于兩個(gè)因數(shù)里小數(shù)局部的位數(shù)的和。例教材P142例1~3〔3〕小數(shù)除法法那么小數(shù)除法同樣可以仿照整數(shù)除法的法那么進(jìn)行，但仍需解決小數(shù)點(diǎn)的問(wèn)題。a.小數(shù)除以整數(shù)設(shè)有小數(shù)α=(有m位小數(shù))和正整數(shù)B,α除以B，即α÷B=÷B=A÷10m÷B=(A÷B)÷10m

這樣，小數(shù)α除以B，可以把α擴(kuò)大10m倍化成整數(shù)A除法整數(shù)B，再把所得的結(jié)果縮小10m倍，而A÷B的結(jié)果有三種情況，教材P143。如：3.5÷7=〔35÷7〕÷10

3.64÷5=(3640÷5)÷102+1學(xué)習(xí)教材P143例1和最后，體會(huì)除法豎式的本質(zhì)。

b.小數(shù)除以小數(shù)設(shè)有小數(shù)α和β，β=(有n位小數(shù)),用β去除α,α÷β=α÷=α÷(B÷10n)=(α?10n)÷B所以，小數(shù)除以小數(shù)，可以化為小數(shù)除以整數(shù)，就是把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)去掉化成整數(shù)，再把被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)相同的n位，然后按照小數(shù)除以整數(shù)的法那么計(jì)算。教材P144例2~4.作業(yè)P1401(1)(2)，2，9.P146,1,3

三、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的關(guān)系整數(shù)可以表示成分?jǐn)?shù)的形式，即可看作分母為1的分?jǐn)?shù)；有限小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)；分?jǐn)?shù)都可化為小數(shù)，有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)。1?；?jǐn)?shù)為小數(shù)〔1〕化分?jǐn)?shù)為有限小數(shù)1〕分?jǐn)?shù)能夠化成有限小數(shù)的充要條件定理1一個(gè)既約真分?jǐn)?shù)能化為有限小數(shù)的充要條件是，分母b只含有質(zhì)因數(shù)2、5。分析有限小數(shù)就是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，,b只含有質(zhì)因數(shù)2、5，