第四章代數(shù)結構引言方程的根式解和近世代數(shù)的興起問題:方程的根式解1)二次方程的根式解:2)三次方程的根式解:Cardano(1545年)3)四次方程的根式解:Ferrari(1545年)4)高于四次的次方程的根式解問題:

J-L.Lagrange(1736-1813,法國)的工作簡介.

N.H.Abel(1802-1829,挪威)的工作簡介.

E.Galois(1811-1832,法國)的工作簡介.第一節(jié).代數(shù)系統(tǒng)的概念定義4-1.1(集合上的n元運算)給定集合A和B,定義從集合AA...

A(n個A)到集合B的一個映射為集合A上的一個n元運算.定義(運算的封閉性)設＊是集合A上的一個n元運算,如果該運算的象集合BA,則稱運算＊是A上一個封閉的n元運算.例子.(1)集合A上的減法運算:1)A=R;2)A=Z;3)A=N.(2)集合A的冪集(A)上的運算:1)運算;2)運算.(3)集合Z5={0,1,2,3,4}上的以5為模的運算:1)加法運算;2)減法運算;3)乘法運算.+01234-0123401234001234004321000000112340110432101234223401221043202413334012332104303142440123443210404321(4)mn矩陣集合上的運算:1)加法運算;2)減法運算;3)乘法運算.

第二節(jié)二元運算的一般性質定義4-2.1(二元運算的封閉性)設＊是定義在集合A上的二元運算,如果對于任意的x,yA都有x＊yA,則稱二元運算＊在A上是封閉的.例1.討論前面所給出的例子中各個二元運算的封閉性.例2.設A={x|x=2n,nN}.定義＊是其中元素的普通乘法運算,定義+是其中元素的普通加法運算.試討論這些運算的封閉性.解:1)∵2k＊2m=2k+mA,故運算＊在A上封閉.

2)∵2+22=6A,故運算+在A上不封閉.

定義4-2-2(二元運算的交換性)設＊是定義在集合A上的二元運算,如果對任意的x,yA都有x＊y=y＊x,則稱該運算在A上是可交換的.例.討論前面所給出的例子中各個二元運算的交換性.例.設Q是有理數(shù)集合,Δ是Q上的如下定義的二元運算:a,bQ,aΔb=a+b-ab,問運算Δ是否可交換?定義4-2-3(二元運算的結合性)設＊是定義在集合A上的二元運算,如果對任意的x,y,zA都有(x＊y)＊z=x＊(y＊z),則稱該運算在A上是可結合的.例.討論前面所給出的例子中各個二元運算的結合性.例.設A是一個非空集合,是A上如下定義的二元運算:a,bA,ab=b,證明運算滿足結合律.解:∵a,b,cA,(ab)c=bc=c,a(bc)=ac=c,

(ab)c=a(bc),

這就證明了運算滿足結合律.

定義4-2-4(二元運算的可分配性)設＊和Δ是定義在集合A上的兩個二元運算,如果對任意的x,y,zA都有

x＊(

yΔz)=(x＊y)Δ(x＊z),(1)

(

yΔz)＊x=(y＊x)Δ(z＊x),(2)

則稱運算＊關于運算Δ在A上是可分配的.注:(1)式稱為運算＊關于運算Δ滿足左分配律,而(2)式稱為運算＊關于運算Δ滿足右分配律.例.設A={α,β},在集合A上定義兩個二元運算＊和Δ,它們分別如下表(a)和(b)所示.運算＊關于運算Δ是否滿足分配律?運算Δ關于運算＊是否滿足分配律?(a)(b)

＊αβ

Δ

αβααβαααββα

βαβ解:(1)∵β＊(αΔβ)=β＊α=β(β＊α)Δ(β＊β)=βΔα=α

β＊(αΔβ)(β＊α)Δ(β＊β)故而運算＊關于運算Δ不滿足分配律.

(2)∵αΔ

(α＊β)=αΔβ=α(αΔα)＊(αΔβ)=α＊α=α

αΔ(α＊β)=(αΔα)＊(αΔβ).類似可證:對任意的x,y,zA有

xΔ(

y＊z)=(xΔy)＊(xΔz),(1)(y＊z)Δx=(yΔx)＊(zΔx),(2)從而運算Δ關于運算＊滿足分配律.定義4-2-5(兩個二元運算的吸收律)設＊和Δ是定義在集合A上的兩個滿足交換律的二元運算,如果對任意的x,yA都有

x＊(xΔy)=x,

xΔ(x＊y)=x，則稱運算＊和Δ在A上滿足吸收律.例.取自然數(shù)集合N,在N上如下定義兩個二元運算＊和Δ:x,yN,

x＊y=max(x,y),

xΔy=min(x,y).驗證運算＊和Δ在N上滿足吸收律.解:∵x,yN,x＊(xΔy)=max(x,min(x,y))=x,xΔ(x＊y)=min(x,max(x,y))=x,從而運算＊和Δ在N上滿足吸收律.定義4-2-6(二元運算的冪等律)設＊是定義在集合A上的二元運算,如果對任意的xA都有

x＊x=x,則稱該運算在A上滿足冪等律.例.討論前面所給出的例子中各個二元運算是否滿足冪等律.例.設(S)是集合S的冪集,在冪集(S)上定義兩個二元運算和(即集合的并與交).驗證它們在(S)上都滿足冪等律.(結論顯然成立)定義4-2.7(左幺元,右幺元,幺元)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,如果A中存在一個元素el,使得對于A中任意的元素x都有el＊x=x,則稱el是A中關于運算＊的左幺元;如果A中存在一個元素er,使得對于A中任意的元素x都有x＊er=x,則稱er是A中關于運算＊的右幺元;如果A中存在一個元素e,它既是左幺元,又是右幺元,則稱它是A中關于運算＊的幺元(或單位元).例.設給定集合S={α,β,γ,δ},在S上義了兩個二元運算＊和,它們分別如下表(a)和(b)所示.試找出它們對應的左幺元或右幺元來.＊αβγδ

αβγδαδαβγααβδγ

βαβγδ

ββαγδ

γαβγ

γ

γγδ

α

β

δαβγδ

δδδβγ(a)(b)例.試討論整數(shù)集合Z上的加法運算的幺元以及非零整數(shù)集合Z\{0}上乘法運算的幺元.例.試討論n階滿秩方陣集合上乘法以及加法運算的幺元.例.給定集合

A=(其中a,b為任意實數(shù)),定義A上的二元運算為矩陣的乘法運算,試求它的左幺元、右幺元和幺元(如果它們存在的話).解:對任何實數(shù)和A中任意的二階矩陣都有,

故它有無窮多個形如的左幺元.但A中不存在這樣的二階矩陣,使得對于集合A中的任何二階矩陣都有成立,因此它沒有右幺元.定理4-2.1(幺元的唯一性)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,設關于運算＊有左幺元el以及右幺元er存在,那么必有el=er;記它為e,則e就是集合A關于運算＊的幺元.此外,集合A中關于運算＊的幺元e如果存在,就必定唯一.證明:(1)設關于運算＊有左幺元el以及右幺元er存在,那么必有

el=el＊er=er.(2)用反證法.若存在兩個幺元e1和e2,那么必有

e1=e1＊e2=e2.定義4-2.8(左零元,右零元,零元)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,如果A中存在一個元素θl,使得對于A中任意的元素x都有θl＊x=θl,則稱θl是A中關于運算＊的左零元;如果A中存在一個元素θr,使得對于A中任意的元素x都有x＊θr=θr,則稱θr是A中關于運算＊的右零元;如果A中存在一個元素θ,它既是左零元,又是右零元,則稱它是A中關于運算＊的零元.例.討論前面例子中給出的運算是否有左零元、右零元或零元存在.例.給定集合

A=(其中a,b為任意實數(shù)),定義A上的二元運算為矩陣的乘法運算,試求它的左零元、右零元和零元(如果它們存在的話).解:對A中任意二階矩陣都有從而矩陣既是左零元,也是右零元,還是零元.定理4-2.2(零元的唯一性)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,設關于運算＊有左零元θl以及右零元θr存在,那么必有θl=θr;記它為θ,則θ就是集合A關于運算＊的零元.此外,集合A中關于運算＊的零元θ如果存在,就必定唯一.證明:(1)設關于運算＊有左零元θl以及右零元θr存在,那么必有

θl=θl＊θr=θr.(2)用反證法.若存在兩個零元θ1和θ2,那么必有

θ1=θ1＊θ2=θ2.定理4-2.3設<A,＊>是一個代數(shù)系統(tǒng),且集合A中至少有兩個元素.如果在該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ,那么必有eθ.證明:(用反證法)設有e=θ成立,則對A中任意元素x有

x=x＊e=x＊θ=θ,這表明A中所有元素都是相同的,也即A中只有一個元素,這與定理的條件矛盾.定義4-2.9(左逆元,右逆元,逆元)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,設e是A中關于運算＊的幺元.如果對A中的一個元素a,存在一個元素bA,使得b＊a=e,則稱元素b是元素a的一個左逆元;如果使得a＊b=e成立,則稱b是元素a的一個右逆元;如果A中存在一個元b,它既是a的左逆元,又是a的右逆元,則稱它是a的逆元,記為a-1.注:當b是a的左逆元時,a也是b的右逆元;當b是a的右逆元時,a也是b的左逆元;當b是a的逆元時,a也是b的逆元.例.給定集合S={α,β,γ,δ,ζ}和定義在S上的一個二元運算＊(如下表(a)所示).試找出其中的幺元、零元以及每個元素的左逆元、右逆元和逆元(如果它們存在的話).＊

αβγδζ

α

αβγδζ

ββδαγδγγαβαβδδαγδγζζδαγζ(a)定理4-2.4(逆元的唯一性)設給定代數(shù)系統(tǒng)<A,＊>,設A中存在幺元e,且A中每個元素都有左逆元.如果二元運算＊滿足結合律,那么該代數(shù)系統(tǒng)中每個元素的左逆元必也同時是它自己的右逆元,從而每個元素有逆元.此外,每個元素的逆元必定唯一.證明.(1)設b是a的左逆元且二元運算＊滿足結合律,又設c是b的左逆元,則有

a＊b=(e＊a)＊b=((c＊b)＊a)＊b=(c＊(b＊a))＊b=(c＊e)＊b=c＊(e＊b)=c＊b=e.從而b也必為a的右逆元.(2)設b和c都是a的逆元,我們來證明必有b=c.

b=b＊e=b＊(a＊c)=(b＊a)＊c=e＊c=c.這就證明了逆元的唯一性.例.設Z+為全體正整數(shù)組成的集合,取二元運算＊為數(shù)的乘法.易見幺元為數(shù)1,集合Z+中只有幺元才有逆元,且其逆元即為幺元本身;其它任何元素均無逆元存在,也沒有單方逆元存在.定義4-2-10(二元運算的消去律)設＊是定義在集合A上的二元運算,如果對任意的x,y,zA,只要x不是(左)零元,由x＊y=x＊z即可推出有y=z,則稱該運算在A上滿足左消去律.如果對任意的x,y,zA,只要x不是(右)零元,由y＊x=z＊x即可推出有y=z,則稱該運算在A上滿足右消去律.如果運算＊既滿足左消去律,又滿足右消去律,則稱它滿足消去律.例.討論前面所給出的例子中各個二元運算是否滿足消去律.例.在nn階矩陣集合Mn上定義矩陣的乘法運算,討論矩陣的乘法運算是否滿足交換律、結合律和消去律.定義4-2.11(左零因子,右零因子)設＊是定義在集合A上的一個二元運算,θ是A中關于運算＊的零元.如果對A中的一個元素aθ,存在一個元素bA,bθ,使得b＊a=θ,則稱元素b是元素a的一個左零因子;如果使得a＊b=θ成立,則稱b是元素a的一個右零因子.注:如果b是a的一個左零因子,那么顯然a是b的一個右零因子.例.設M2為全體二階實方陣組成的集合,定義二元運算為矩陣的乘法運算.試討論它是否滿足消去律以及它是否有零因子的問題.解:(1)M2中的零元顯然是二階零矩陣,記之為θ.顯然當aθ,bθ時有,,然而,這說明在M2中有零因子存在.(2)對任何非零實數(shù)a,b,c都有,,,這里θ是M2中的零元(零矩陣).容易算出有，但是并不能由此推出有，這表明在集合M2中消去律一般并不成立.第三節(jié).廣群,半群和獨異點定義4-3.1(廣群)設<S,＊>是一個代數(shù)系統(tǒng),其中S是一個非空集合,＊是S上的二元運算.如果運算＊在S上是封閉的,則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,＊>為一個廣群.例.設S={a,b,c},定義S上的兩個二元運算＊和△分別如下表(a)和(b)所示，顯然它們都是廣群.

＊abc

△abcaabcabacbbcabcbaccabcabc(a)(b)定義4-3.2(半群)設<S,＊>是一個代數(shù)系統(tǒng),其中S是一個非空集合,＊是S上的二元運算.如果運算＊在S上是封閉的,且運算＊在S上滿足結合律,則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,＊>為一個半群.例.討論上面例子中的代數(shù)系統(tǒng)是否是一個半群?解:<S,＊>是一個半群,而<S,△>不是半群.

注意:在<S,△>中有（a△b)△c=a△c=c,a△(b△c)=a△a=b,

(a△b)△ca△(b△c),

即△不滿足結合律,從而<S,△>不是半群.定理4-3.1設<S,＊>是一個半群,BS,如果S上的二元運算＊在B上也是封閉的,那么<B,＊>必定也作成一個半群,稱<B,＊>是半群<S,＊>的子半群.證明:因為＊在S上滿足結合律,所以＊顯然在B上必定也滿足結合律.剩下只要證明＊在B上滿足封閉性就行了,而這恰好是定理給出的條件.故<B,＊>必也作成一個半群.注意:有限集合作成的代數(shù)系統(tǒng)往往會有一些特殊的性質,比如:在有限半群中必定存在等冪元.這就是下面要講的定理4-3.2.定理4-3.2設<S,＊>是一個半群,如果S是一個有限集,那么必定存在元素aS,使得有a＊a=a.證明:因為S是有限集,對任何元素bS,必存在兩個不相等的正整數(shù)j和i(j>i),使得bi=bj,記p=j-i,就有

bi=bp＊bi

q≥i,bq=bp＊bq

.取正整數(shù)k使得有kp≥i,則有

bkp=bp＊bkp

bkp=bp＊(bp＊bkp)

bkp=b2p＊bkp

bkp=…...

bkp=bkp＊bkp

.記a=bkp

,顯然a就是我們所要尋找的一個等冪元.定義4-3.3(獨異點)含有幺元的半群稱為獨異點.例.討論前面例子中的代數(shù)系統(tǒng),它們中哪些是獨異點?例.代數(shù)系統(tǒng)<Z+,+>是否是獨異點?例.在集合Z5={0,1,2,3,4}上定義了三個以5為模的運算:1)加法運算;2)減法運算;3)乘法運算.+01234-0123401234001234004321000000112340110432101234223401221043202413334012332104303142440123443210404321.集合Z5在這三個運算下是否分別作成獨異點?定理4-3.3設<S,＊>是一個獨異點,則在它的乘法表中任何兩行或任何兩列都是不相同的.證明:設它的幺元為e,對任意兩個元素a,bS(ab),總有

e＊a=ab=e＊b,a＊e=ab=b＊e,所以在其乘法表中不可能有兩行或兩列是完全相同的.定理4-3.4設<S,＊>是一個獨異點,在S中任取兩個元素a和b,如果a與b都有逆元(分別記為a-1和b-1),那么(1)(a-1)-1=a,(2)a＊b必也有逆元,且(a＊b)-1=b-1＊a-1.證明:(1)∵a-1是a的逆元,故有

a＊a-1=a-1＊a=e

(a-1)-1=a.(2)∵(a＊b)＊(b-1＊a-1)=a＊(b＊b-1)＊a-1=a＊e＊a-1=a＊a-1

=e,

同理可證有

(b-1＊a-1)＊(a＊b)=e,故有

(a＊b)-1=b-1＊a-1.第四節(jié).群定義4-4.1(群)設<G,＊>是一個代數(shù)系統(tǒng),其中G是一個非空集合,＊是G上的二元運算.如果(1)運算＊在G上是封閉的,(2)運算＊在G上滿足結合律,(3)G中存在幺元e,(4)G中每個元素x都有逆元x-1,則稱代數(shù)系統(tǒng)<G,＊>為一個群.例.討論實數(shù)集R在實數(shù)的加法(+)、減法(-)與乘法()運算下是否分別作成群?若將實數(shù)集合R換成整數(shù)集合Z或正整數(shù)集合Z+呢?例.在集合Z5={0,1,2,3,4}上定義了三個以5為模的運算:1)加法運算;2)減法運算;3)乘法運算.+01234-0123401234001234004321000000112340110432101234223401221043202413334012332104303142440123443210404321.(1)它在這三種運算下是否作成群?(2)若將集合Z5改成集合Z4={0,1,2,3}呢?例.(正多邊形的旋轉群)設

R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}是平面上一個正六邊形繞它的中心按照逆時針方向旋轉某個角度后能使得到的圖形仍與原來的正六邊形完全重合所需旋轉的全部可能的角度組成的集合(注意:如果轉動角度為k360°+°,這里R,則認為與轉動角的效果相同),定義R上的乘法運算＊為連續(xù)進行兩次旋轉和,這里,R

,證明R在此乘法運算＊之下作成一個群.證明:(1)驗證封閉性,(2)驗證結合律,(3)驗證有幺元,(4)驗證每個元素都有逆元.定義4-4.2(有限群和無限群)設<G,＊>是一個群,如果G是一個有限集,則稱<G,＊>是一個有限群,如果G是一個無限集,則稱<G,＊>是一個無限群.例.討論上面例子中的各個群,哪些是有限群,哪些是無限群?注:當一個群中只有唯一一個元素時,我們約定:只將這個唯一的元素看成是幺元,而不看成為零元.定理4-4.1任何群中都不可能有零元.證明:設<G,＊>是一個群,如果|G|=1,則結論已經(jīng)證明;不妨設|G|>1.如果G有零元θ,則對任何xG都有x＊θ=θ＊x=θe(參見定理4-2.3),從而零元必無逆元存在,這與G是群的假設矛盾.定理4-4.2設<G,＊>是一個群,則對任意的a,bG,必有唯一的元素xG存在使得方程a＊x=b有解.證明:(1)先證明解的存在性.設a的逆元為a-1,取x=a-1＊b,

就有

a＊x=a＊(a-1＊b)=(a＊a-1)＊b=e＊b=b,從而方程a＊x=b在G中必有解.(2)再證解的唯一性(用反證法).如果還有另外一個

x1G使得a＊x1=b成立,那么a-1＊(a＊x1)=a-1＊b(a-1＊a)＊x1=a-1＊bx1=a-1＊b,即必有x1=x,這就證明了解的唯一性.定理4-4.3設<G,＊>是一個群,對任意的a,b,cG,如果有a＊b=a＊c或者b＊a=c＊a,則必有b=c.即在群中必有消去律成立.證明:設a的逆元為a-1,則由a＊b=a＊c有

a-1＊(a＊b)=a-1＊(a＊c)(a-1＊a)＊b=(a-1＊a)＊c

e＊b=e＊cb=c,當b＊a=c＊a時類似可以得到消去律成立的證明.注:由此定理可知,在一個群的乘法表中沒有兩行或者兩列是相同的;而且,在群的乘法表的任何一行或任何一列中,也沒有兩個元素是相同的.定義4-4.3(映射)設X和Y是兩個非空集合,如果按照某種法則f,對集合X的每個元素x,都有集合Y中一個唯一確定的元素y與之對應,則稱f是從集合X到集合Y的一個(單值)映射或映照,記為f:XY.稱集合X為映射f的定義域,稱集合{f(x):xX}Y為映射f的值域.如果對某對元素xX,yY有f(x)=y,則稱y是x的象,而稱x是y的原象.定義4-4.4(單射、滿射和雙射)設f是從集合X到集合Y的映射.若對任意x1,x2X,x1x2,有f(x1)f(x2),則稱f是X到Y的單射;如果對任何yY,都有xX,使f(x)=y,則稱f是X到Y的滿射;如果f既是單射又是滿射,則稱它是X到Y的一個雙射(或一一映射).例.X={a,b,c},Y={p,q,r,s},f:XY定義如下:

f(a)=p,f(b)=q,f(c)=r,則易見f是單射,但不是滿射,故也不是雙射.例.X={a,b,c,d,e},Y={p,q,r,s},f:XY定義如下:

f(a)=p,f(b)=q,f(c)=r,f(d)=s,f(e)=q,則易見f不是單射,但是滿射,故也不是雙射.例.X={a,b,c,d},Y={p,q,r,s},f:XY定義如下:

f(a)=p,f(b)=q,f(c)=r,f(d)=s,則易見f既是單射,也是滿射,故它也是雙射.定義4-4.5(變換、一一變換與置換)設S是一個非空集合,從集合S到集合S的一個映射稱為集合S的一個變換;從集合S到集合S的一個雙射(即一一映射)稱為S的一個一一變換;如果S是一個有限集合,則S上的一一變換稱為是S的一個置換.例.取整數(shù)集合Z,對任意的xZ,定義映射f:ZZ如下:f(x)=2x,顯然f是集合Z的一個變換,但不是一一變換.例.取整數(shù)集合Z,對任意的xZ,定義映射g:ZZ如下:g(x)=2+x,顯然g是集合Z的一個一一變換,但不是Z的置換.例.取集合S={1,2,3,4,5},定義映射h:SS如下:

h(1)=3,h(2)=5,h(3)=4,h(4)=1,h(5)=2,顯然h是集合S的一個一一變換,也是S的置換.注:如果給定的有限集S有n個元素,但是它的元素不是正整數(shù),我們可以用前n個正整數(shù){1,2,…,n}來代替集合S的所有元素,從而有限集合S上的任何置換總可以用形如的符號來表示,這里是{1,2,…,n}的一個排列.定理4-4.4設<G,＊>是一個群,則它的乘法表中的每一行或者每一列都是G的全體元素的集合的一個一一變換;如果<G,＊>是一個有限群,則它的乘法表中的每一行或者每一列都是G的全體元素的集合的一個置換.證明:我們先來證明它的乘法表中任一行(或列)中不可能有兩個元素相同.我們只對行證明之.用反證法:設某一元素a對應的那一行中有兩個相同的元素r出現(xiàn),則由乘法表的構造知必存在兩個元素b,cG,bc,使得a＊b=a＊c(=r),由消去律即有b=c,而這是不可能的.下面再來證明在乘法表的每一行(列)中,群G中每個元素都會出現(xiàn).這由群中乘法運算的封閉性以及上面的論證立即獲得證明.定義4-4.6(等冪元)設<G,＊>是一個代數(shù)系統(tǒng),如果G中存在元素a,使得a＊a=a,則稱a為一個等冪元.定理4-4.5設<G,＊>是一個群,則它除了幺元e以外,不可能再有其它的等冪元.證明:∵ee=e,所以幺元必為等冪元.假設還有一個元素aG,ae,設是a的逆元,那么

a=e＊a=(a-1＊a)＊a=a-1＊(a＊a)=a-1＊a=e,這與a異于e的假設相矛盾.定義4-4.7(子群)設<G,＊>是一個群,S是G的非空子集,如果<S,＊>也作成一個群,則稱<S,＊>是<G,＊>的子群.例.設<R,+>、<Z,+>和<2Z,+>分別是實數(shù)的加法群、整數(shù)的加法群以及偶數(shù)的加法群,討論它們之間的子群關系.解:<Z,+>和<2Z,+>分別是<R,+>的子群;<2Z,+>是<Z,+>的子群.例.設<R,+>是實數(shù)的加法群,<R-{0},>是非零實數(shù)的乘法群,,<C-{0},>是非零復數(shù)的乘法群,討論它們之間的子群關系.解:除了<R-{0},>是<C-{0},>的子群以外,它們之間不存在其它的子群關系.定理4-4.6設<G,＊>是一個群,<S,＊>是<G,＊>的子群,則<G,＊>的幺元e必也是<S,＊>的幺元.證明:∵e是群<G,＊>的幺元,故對任意的xG有

e＊x=x＊e=x,當然對任意的yS也必有

e＊y=y＊e=y,所以e也必為子群<S,＊>的幺元.為了判斷群的一個有限子集是否是該群的子群,我們給出下面的定理.定理4-4.7設<G,＊>是一個群,B是G的一個有限非空子集,則只要運算＊在集合B上封閉,那么<B,＊>必為<G,＊>的子群.證明:(1)證明B中必有幺元,且它也就是G中的幺元e.任取元素bB,b的正整數(shù)冪不可能全不相同,故必存在兩個正整數(shù)k和r,k>r,使得成立bk=br.記k-r=m,就有br=bmbr=brbm,兩邊用b在G中的逆元左乘(或右乘)r次就得到bm=eB.這就證明了G的幺元e也是B的幺元.(2)證明B中每個元素b必有逆元b-1,且b-1B.由上面的證明知,對G中每個元素b,都有某個正整數(shù)m存在,使得bm=e,從而有

b＊bm-1=bm-1＊b=e.因此,bm-1就是b的逆元.故<B,＊>是<G,＊>的子群.例.設G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}},是G4上如下頁定義的二元運算,其中運算的乘法表如右下表所示.證明<S,>是<G4,>的子群,01

這里001S={<0,0,0,0>,<1,1,1,1>}.110運算定義為:

X=<x1,x2,x3,x4>,Y=<y1,y2,y3,y4>G4,XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>.證明:先證<G4,>是群.(1)證明運算有封閉性;(2)證明運算滿足結合律;(3)易見運算有幺元<0,0,0,0>;(4)易見每個元素均以它自己作為逆元.

再證明<S,>是<G4,>的子群.由于S是G4的一個有限子集,根據(jù)上述定理知:只要證明運算在集合S中也封閉即可,而由運算和的定義顯見這顯然成立.定理4-4.8設<G,＊>是一個群,S是G的一個非空子集,如果對S中任何元素a和b,都有a＊b-1S,那么<S,＊>必為<G,＊>的子群.證明:(1)證明<G,＊>的幺元也就是<S,＊>的幺元.任取aS,由定理條件知必有a＊a-1=eS;顯然對任何元素bS,都有e＊b=b＊e=b.(2)證明S中每個元素都有逆元.任取aS,由定理條件及上證知必有e＊a-1=a-1S.(3)證明運算＊在S上封閉.任取a,bS

a,b-1S

a＊(b-1)-1=a＊bS.

(4)證明運算在S上滿足結合律.例.設<H,＊>和<K,＊>都是群<G,＊>的子群,證明<HK,＊>也是<G,＊>的子群.證明:利用定理4-4.8進行證明.(1)任取兩個元素a,bHK

a,bH

且a,bK.

(2)∵H和K都是群,a,bH且a,bK

a＊b-1H且a＊b-1Ka＊b-1HK.根據(jù)定理4-4.8,<HK,＊>也作成群,且恰為<G,＊>的子群.第五節(jié).置換群,Abel群(阿貝爾群)和循環(huán)群定義4-5.1(置換)設T是一個由n個元素組成的集合.為使用方便,我們把它的元素簡記為

T={1,2,…,n},給定T→T的一個雙射f,它把T的元素k映成f(k),這里1≤k≤n.我們用形如的符號來表示它,稱之為n個元素的一個置換.注:因為n個元素的全排列共有n!個,故n個元素的置換總共有n!個.n個元素的全部n!個置換組成的集合通常用符號Sn表示.例.

S1只有一個元素,簡記為(1);

S2有兩個元素:,

S3有6個元素:.

定義4-5.2(置換的乘法)設s和t是集合Sn中任意兩個置換,我們定義它們的乘法s＊t是連續(xù)作這兩個置換對應的映射,次序是先做置換t,后做置換s.例.在S4中按照上述規(guī)則有＊=＊=由此可見,置換的乘法＊一般不滿足交換律.注:為書寫簡便,置換的乘法符號＊將一律省略.定理4-5.1對每個正整數(shù)n,對于上述定義的置換的乘法運算,n個元素的全部n!個置換組成的集合Sn作成一個群,這個群稱為n次對稱群.證明:(1)乘法的封閉性(略).(2)結合律(略).(3)有幺元(稱之為恒等置換),簡記為(1).

(4)每個元素有逆元.顯然,元素的逆元就是.定義4-5.3(反序)在正整數(shù)集合{1,2,…,n}的任意一個排列(a1,a2,…an)中,如果對某一對下標i<j,出現(xiàn)了ai>aj,就稱這個排列中出現(xiàn)了一個反序.排列π中出現(xiàn)的所有反序的個數(shù)記為σ(π).例.設給出集合{1,2,3,4,5}上的兩個排列

π1=(1,3,5,2,4)和π2=(5,4,3,2,1),

則有σ(π1)=3,σ(π2)=10.定義4-5.4(排列的奇偶性)設π是集合{1,2,…,n}的一個排列.如果σ(π)是奇數(shù),則稱π是一個奇排列;如果σ(π)是偶數(shù),則稱π是一個偶排列.定理4-5.1給定集合{1,2,…,n}上的任意一個置換當這個置換的第一行元素的順序任意變化時,它的第二行元素的順序也會相應產生變化,從而產生出新的排列.因此,其第二行對應的排列π的反序個數(shù)σ(π)也會隨之變化.但是,不論其反序個數(shù)如何變化,該置換所對應的上下兩個排列的反序個數(shù)之和的奇偶性絕不會發(fā)生變化.定義4-5.5(置換的奇偶性)設π是一個置換,將它的第一行的元素按照正整數(shù)從小到大的次序排列.如果其第二行元素作成的排列π的反序個數(shù)σ(π)為奇數(shù),則稱之為奇置換;如果其反序個數(shù)σ(π)為偶數(shù),則稱之為偶置換.例.根據(jù)上面的例子,是奇置換,而是偶置換.定義4-5.6(對換)設π是{1,2,…,n}的一個置換,如果在該置換的第二行元素作成的排列中,只有兩個數(shù)字的位置作了相互調換,而其余的數(shù)字均未發(fā)生變化,則稱這個置換為一個對換.例.置換是一個對換,它可以簡記為;而置換不是對換.定理4-5.2每個對換都是一個奇置換.定義4-5.7(

r-輪換)形如的一個置換稱為一個r-輪換(其中虛線部分的數(shù)字沒有發(fā)生改變),簡記為.例.就是一個4-輪換,簡記為.注意:對換就是一個2-輪換.定理4-5.3任何一個r-輪換都可以表示成為不一定不相交的對換的乘積.例如,r-輪換總可以表示成.注意:輪換表示成對換的乘積時,表法一般不唯一.不同的表法中所含對換的個數(shù)可以不同,但是所含對換個數(shù)的奇偶性必定相同.例如:.定理4-5.4奇置換與偶置換的乘積必為奇置換,偶置換與偶置換的乘積必為偶置換,奇置換和奇置換的乘積必為偶置換.注:由上面的討論不難看出,當r為偶數(shù)時,一個r-輪換必為奇置換;當r為奇數(shù)時,r-輪換必為偶置換.定理4-5.5每個置換都可以表示成若干個不相交的輪換的乘積.例..例.=這是奇置換與奇置換相乘的例子;又有

=這是偶置換與偶置換相乘的例子.定理4-5.6每個置換都可以表示成對換的乘積.偶置換必可表示成偶數(shù)個對換的乘積,奇置換必可表示成奇數(shù)個對換的乘積.例(置換表示成對換的乘積).定理4-5.6當n≥2時,n次對稱群Sn中的所有偶置換與奇置換個數(shù)相等,都有n!個.證明:任取一個奇置換π,用它左乘Sn中每個偶置換,用反證法可以證明,這樣得到的所有奇置換兩兩皆不相同:設有兩個偶置換π1和π2,π1

π2,使得ππ1=ππ2,則由群Sn中消去律成立得到π1=π2,這是不可能的.

任取一個奇置換π,用它左乘Sn中每個奇置換,同樣可證得到的所有偶置換兩兩皆不相同.因此Sn中奇偶置換的個數(shù)必定相同,皆有n!個.定理4-5.7(n次交錯群)當n≥2時,n次對稱群Sn中的所有偶置換(共有n!個)在置換的乘法下也作成一個群,稱為n次交錯群,記為An.顯然An是Sn的子群.當n=1時,我們規(guī)定有A1=S1.例.n=2,3,4時的n次交錯群An.A2:(1)

A3:(1),(123),(132),A4:(1),(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243),(12)(34),(14)(23),(13)(24).定義4-5.8(Abel群)設<G,＊>是一個群,如果群中的運算＊還滿足交換律,即對任何兩個元素x,yG,都有x＊y=y＊x,則稱它是一個Abel群(或交換群).例.(1)正n邊形的旋轉群是Abel群.(2)當n=1或2時,n次對稱群Sn是Abel群,而當n≥3時它不是Abel群.這只要看下面的例子就夠了.(3)當n=1,2或3時,n次交錯群An是Abel群,當n≥3

時它不是Abel群.思考題.請證明A4不是Abel群.(4)全體n階滿秩矩陣組成的集合Mn在矩陣的乘法運算下作成一個群.由于矩陣的乘法一般不滿足交換律,所以這個群一般不是Abel群.注意:全體n階方陣在矩陣的乘法運算下一般不是一個群,因為降秩方陣沒有逆陣(逆元)存在.定義4-5.9(循環(huán)群)設<G,＊>是一個群,如果群G中存在一個元素a,使得G中任何元素都可以表示成元素a的冪,則稱<G,＊>是一個循環(huán)群.元素a稱為該循環(huán)群的一個生成元(生成元一般不唯一).例.正n邊形的旋轉群是一個循環(huán)群.定理4-5.8設<G,＊>是群,那么它是交換群的充分必要條件是:

a,bG(a＊b)＊(a＊b)=(a＊a)＊(b＊b).(1)證明:(1)充分性.設a,bG(a＊b)＊(a＊b)=(a＊a)＊(b＊b).

兩邊分別用a-1左乘,用b-1右乘立即得到b＊a=a＊b.(2)必要性.設<G,＊>是Abel群,則對G中任意兩個元素a和b,顯然有(a＊b)＊(a＊b)=a＊(b＊a)＊b(結合律)=a＊(a＊b)＊b(交換律)

=(a＊a)＊(b＊b).(結合律)定理4-5.9任何循環(huán)群必為Abel群.證明:設<G,＊>是循環(huán)群,a是它的一個生成元.則對任意兩個元素x,yG,必存在非負整數(shù)r和s,使得有x=ar,y=as.于是

x＊y=ar＊as=ar+s=as＊ar=y＊x.注:一般說來,Abel群未必是循環(huán)群.例.(1)3階交錯群A3既是一個Abel群,也是一個循環(huán)群.(123)和(132)都是它的生成元.(2)4階交錯群A4的子群

H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是一個Abel群,但不是循環(huán)群.定義4-5.10(群的階)設<G,＊>是一個群,如果群G中有n個元素,就稱G是一個n階群,記為|G|=n.定理4-5.10設<G,＊>是一個有限階循環(huán)群,|G|=n,a是它的一個生成元.那么,必有an=e,且有

G={a,a2,a3,...,an=e},(*)其中e是群G的幺元,n是使得an=e成立的最小正整數(shù).證明:實際上只要證明集合{a,a2,a3,...,an=e}中沒有兩個元素相同就行了.設有兩個正整數(shù)i和j,1≤i<j≤n,使得aj=ai,則必有正整數(shù)m=j-i存在使am=e.于是元素a的冪最多只能表示出m<n個不同的元素,這與a是群G的生成元的假定矛盾.例.給定集合G={a,b,c,d},在集合G上定義二元運算＊如下表所示,證明<G,＊>是一個循環(huán)群.證明:(1)封閉性.

＊

abcd(2)結合律.aabcd(3)顯然a是幺元.bbadc(4)顯然b,c,d的逆ccdba

元分別是b,d,c.ddcab由上述四條可知<G,＊>是一個群.(5)顯然c和d是生成元.由此可知是<G,＊>循環(huán)群.定理4-5.11設<G,＊>是一個有限階群,|G|=n,那么:(1)對群G中任一元素a,都有an=e成立.(2)設<H,＊>是群<G,＊>的子群,且|H|=m,那么m必為n的因子.(證明略去)定義4-5.11(群的元素的階)設<G,＊>是一個群,a是群G中任一個元素.如果有正整數(shù)r存在使得ar=e成立,對任何小于r的正整數(shù)m,am=e皆不能成立,則稱a是一個有限階元素,并稱該元素的階為r.注:(1)群中可能有無限階元素;(2)有限群的每個元素均是有限階元素;(3)有限群的每個元素的階必為群的階的因子.(3)的證明:由定理4-5.11的(1)知:在任一個n階群中每個元素的n次冪必等于幺元e.于是有限群中每個元素必有有限的階.設元素a的階為r,即r是使得ar=e成立的最小正整數(shù).如果r不能整除n,則必有整數(shù)q和s(1≤s≤r-1)存在使得

n=qr+s,an=e

aqr+s=eas=e,然而1≤s≤r-1,這與數(shù)r的最小性矛盾.思考題:(1)討論階不超過6的有限群的構造.(2)討論素數(shù)階群的構造及其子群的構造.

第六節(jié).環(huán)與域定義4.6-1(環(huán))設<A,+,＊>是一個定義有兩個二元運算+和＊的代數(shù)系統(tǒng),A是一個非空集合,且它還滿足如下諸條件：（1）<A,+>是一個Abel群；（2）<A,＊>是一個半群；（3）運算＊對于運算+滿足兩個分配律，則稱<A,+,＊>是一個環(huán).例.設+是數(shù)的加法運算,＊是數(shù)的乘法運算,那么<2Z,+,＊>,<Z,+,＊>,<Q,+,＊>,<R,+,＊>和<C,+,＊>都作成環(huán).這里2Z,Z,Q,R和C分別代表偶數(shù)集合、整數(shù)集合、有理數(shù)集合、實數(shù)集合以及復數(shù)集合.例.整系數(shù)多項式環(huán)Z[x]、實系數(shù)多項式環(huán)R[x]和復系數(shù)多項式環(huán)C[x].例.n階整數(shù)矩陣環(huán)Mn(Z),n階有理數(shù)矩陣環(huán)Mn(Q),n階實數(shù)矩陣環(huán)Mn(R)和n階復數(shù)矩陣環(huán)Mn(C).例.設K={e,a,b,c},定義K上的兩個二元運算+和＊分別如下面的表所示:+eabc

＊

eabceeabceeeeeaaecbaeaeabbceabebebccbaececec

首先來證明<K,+>作成一個Abel群.(1)封閉性廣群.(2)結合律半群.(3)有幺元獨異點.(4)每個元都有逆元群.(5)滿足交換律

Abel群.注:實際上就是我們前面研究過的Klein四元群.再來證明<K,＊>作成一個半群.(1)封閉性廣群.(2)結合律半群.最后證明運算＊對于運算+滿足分配律.這就證明了<K,+,＊>作成一個環(huán).定理4-6.1設<A,+,＊>是一個環(huán),其中加法運算+的幺元記為θ,元素a關于加法運算+的逆元記為-a,并將a+(-b)記為a-b,則有:(1)a＊θ=θ＊a=θ;(2)a＊(-b)=(-a)＊b=-(ab);(3)(-a)＊(-b)=a＊b;(4)a＊(b-c)=a＊b-a＊c;(5)(b-c)＊a=b＊a-c＊a.證明:(1)∵θ+θ＊a=θ＊a=(θ+θ)＊a=θ＊a+θ＊a

θ＊a=θ(消去律)

同理可證a＊θ=θ.(2)∵a＊b+a＊(-b)=a＊(b+(-b))=a＊θ=θ

a＊(-b)=-(a＊b).

同理可證(-a)＊b=-(a＊b).(3)∵a＊(-b)+(-a)＊(-b)=(a+(-a))＊(-b)=θ＊(-b)=θ又∵

a＊(-b)+a＊b=a＊((-b)+b)=a＊θ=θ

(-a)＊(-b)=a＊b.(4)∵a＊(b-c)=a＊(b+(-c))=a＊b+a＊(-c)=a＊b+(-a＊c)=a＊b-a＊c.(5)∵(b-c)＊a=

(b+(-c))＊a=b＊a+(-c)＊a=b＊a+(-c＊a)=b＊a-c＊a.下面定義一些有特殊性質的環(huán).定義4-6.2(交換環(huán),含幺環(huán))設<A,+,＊>是一個環(huán),如果運算＊還滿足交換律,則稱它是一個交換環(huán);如果環(huán)中關于運算＊有幺元,則稱它是一個含幺環(huán).例.設S是一個集合,(S)是它的冪集.如果在(S)上定義二元運算+和＊如下:對任意的A,B(S)有

A+B={x|(xS)(xAxB)(xAB)}

A＊B=AB.容易證明<(S),+,＊>作成一個環(huán).因為集合運算顯然滿足交換律,且冪集(S)

關于運算＊有幺元S,因此,環(huán)<(S),+,＊>還是一個含幺的交換環(huán).稱之為S的子集環(huán).