PAGE2023全國新課標(biāo)卷2理科數(shù)學(xué)第9頁2023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷II)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理1)集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，那么M∩N＝()．A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}2．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2i，那么z＝()．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.S3＝a2＋10a1，a5＝9，那么a1＝()．A．B．C．D．4．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理4)m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，那么()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l5．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理5)(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，那么a＝()．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理6)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N＝10，那么輸出的S＝()．A．B．C．D．7．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理7)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為()．8．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理8)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，那么()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a(chǎn)＞c＞bD．a(chǎn)＞b＞c9．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理9)a＞0，x，y滿足約束條件假設(shè)z＝2x＋y的最小值為1，那么a＝()．A．B．C．1D．210．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理10)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是()．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C．假設(shè)x0是f(x)的極小值點(diǎn)，那么f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減D．假設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，那么f′(x0)＝011．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理11)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，假設(shè)以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，那么C的方程為()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理12)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC分割為面積相等的兩局部，那么b的取值范圍是()．A．(0,1)B．C．D．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理13)正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，那么＝__________.14．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理14)從n個(gè)正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，假設(shè)取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，那么n＝__________.15．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理15)設(shè)θ為第二象限角，假設(shè)，那么sinθ＋cosθ＝__________.16．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理16)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝0，S15＝25，那么nSn的最小值為__________．三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理17)(本小題總分值12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)假設(shè)b＝2，求△ABC面積的最大值．18．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理18)(本小題總分值12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝.(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理19)(本小題總分值12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如下列圖．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：假設(shè)需求量X∈[100,110)，那么取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望．20．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理20)(本小題總分值12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：(a＞b＞0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點(diǎn)，假設(shè)四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．21．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理21)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)＞0.請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．22．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理22)(本小題總分值10分)選修4—1：幾何證明選講如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)假設(shè)DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．23．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理23)(本小題總分值10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程動(dòng)點(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn)．(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．24．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理24)(本小題總分值10分)選修4—5：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2).2023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷II)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，應(yīng)選A.2．答案：A解析：＝＝－1＋i.3．答案：C解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，假設(shè)q＝1，那么由a5＝9，得a1＝9，此時(shí)S3＝27，而a2＋10a1＝99，不滿足題意，因此q≠1.∵q≠1時(shí)，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.4．答案：D解析：因?yàn)閙⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因?yàn)閙，n為異面直線，所以α與β相交，且l平行于它們的交線．應(yīng)選D.5．答案：D解析：因?yàn)?1＋x)5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為(0≤r≤5，r∈Z)，那么含x2的項(xiàng)為＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.6．答案：B解析：由程序框圖知，當(dāng)k＝1，S＝0，T＝1時(shí)，T＝1，S＝1；當(dāng)k＝2時(shí)，，；當(dāng)k＝3時(shí)，，；當(dāng)k＝4時(shí)，，；…；當(dāng)k＝10時(shí)，，，k增加1變?yōu)?1，滿足k＞N，輸出S，所以B正確．7．答案：A解析：如下列圖，該四面體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像為以下列圖：那么它在平面zOx上的投影即正視圖為，應(yīng)選A.8．答案：D解析：根據(jù)公式變形，，，，因?yàn)閘g7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.應(yīng)選D.9．答案：B解析：由題意作出所表示的區(qū)域如圖陰影局部所示，作直線2x＋y＝1，因?yàn)橹本€2x＋y＝1與直線x＝1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，結(jié)合題意知直線y＝a(x－3)過點(diǎn)(1，－1)，代入得，所以.10．答案：C解析：∵x0是f(x)的極小值點(diǎn)，那么y＝f(x)的圖像大致如以下列圖所示，那么在(－∞，x0)上不單調(diào)，故C不正確．11．答案：C解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，那么x0＝5－.又點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)＋(y－y0)y＝0.將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x.應(yīng)選C.12．答案：B第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．答案：2解析：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下列圖，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)，那么＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.14．答案：8解析：從1,2，…，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有種取法，兩數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)2種，所以，即，解得n＝8.15．答案：解析：由，得tanθ＝，即sinθ＝cosθ.將其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因?yàn)棣葹榈诙笙藿牵詂osθ＝，sinθ＝，sinθ＋cosθ＝.16．答案：－49解析：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么S10＝＝10a1＋45d＝0，①S15＝＝15a1＋105d＝25.②聯(lián)立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝.令f(n)＝nSn，那么，.令f′(n)＝0，得n＝0或.當(dāng)時(shí)，f′(n)＞0,時(shí)，f′(n)＜0，所以當(dāng)時(shí)，f(n)取最小值，而n∈N＋，那么f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以當(dāng)n＝7時(shí)，f(n)取最小值－49.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解：(1)由及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以.(2)△ABC的面積.由及余弦定理得4＝a2＋c2－.又a2＋c2≥2ac，故，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．因此△ABC面積的最大值為.18．解：(1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，那么F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，那么BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.設(shè)CA＝2，那么D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，那么即可取n＝(1，－1，－1)．同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，那么可取m＝(2,1，－2)．從而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值為.19．解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65000.所以(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.20．解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，那么，，，由此可得.因?yàn)閤1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|＝.由題意可設(shè)直線CD的方程為y＝，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|＝.由，四邊形ACBD的面積.當(dāng)n＝0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.21．解：(1)f′(x)＝.由x＝0是f(x)的極值點(diǎn)得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域?yàn)?－1，＋∞)，f′(x)＝.函數(shù)f′(x)＝在(－1，＋∞)單調(diào)遞增，且f′(0)＝0.因此當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．(2)當(dāng)m≤2，x∈(－m，＋∞)時(shí)，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＞0.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)f′(x)＝在(－2，＋∞)單調(diào)遞增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一實(shí)根x0，且x0∈(－1,0)．當(dāng)x∈(－2，x0)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值．由f′(x