§4.1導(dǎo)數(shù)的定求導(dǎo)法高階導(dǎo)14.1.1導(dǎo)數(shù)的引瞬時速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,運(yùn)動規(guī)ss(tvstst0tlimstst0 tt

t,2yQyf(TPO 切線的斜率如圖所示,需要尋找yfyQyf(TPO —Q作曲線的PQ_條割線的k

f(x)f(x0)x當(dāng)動點(diǎn)Q沿此曲線無限接近點(diǎn)P時，則這 klimf(x)f(x0

x

x3定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有義，如果

x

f(x)f(x0x

存在稱函fx0可導(dǎo)極限稱fx0的導(dǎo)數(shù)fx0).如果xxx0,yf(x0xf(x0),導(dǎo)數(shù)可以寫f)limy

f(x0x)f(x0)

x0 x 4f(x)limy

f(x0x)f(x0)

x0 x 的極限fx0f(x)xx0處的變化率.如果(3)或(4)式的極限不存在fx)在點(diǎn)x0不可導(dǎo).5例常量函f(xc在任何x的導(dǎo)數(shù)零這是因y0，所以fx例證明函f(x|x|x0處不可證因f(x)f(0)

x0,x x0,當(dāng)x0f(xx處不可6例3證明函xsin1 xf(x) x0處不可導(dǎo)因為x0時

xf(x)f(0)sinx 不存在極fx0處不可導(dǎo)7有限增量公式f(xx0可導(dǎo)f(x) 是當(dāng)x0時的無窮小量，xo(這樣,f(x的增量可以Δyf(x0Δxox). 式稱f(xx0個公式對x0仍然成立.根據(jù)有限增量公式即可得到下面定理8定理定理 若函數(shù)f在點(diǎn)x0可導(dǎo),則f在點(diǎn)x0連續(xù)例2f(x|x|x0處不可導(dǎo)xsin1 x例 f(x)

x

x0處不可導(dǎo)9 證明函數(shù)f(x)x2D(x)僅在x0處可導(dǎo),其中D(x)是熟知的 當(dāng)x00時,用歸結(jié)原理容易f(x不連續(xù)由定1,f(xx0不可導(dǎo).x0=0時,因為Dx)1，所以有f(0)limf(x)f(0)limxD(x)0x

x

x單側(cè)導(dǎo)定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn) 的某個右鄰x0x0上有定 yx0

x

f(x0x)f(x0fx0 , f(x)

f(x0Δx)f(x0)

f(xΔx)f(x

右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)類比左、右極限與極限的關(guān)系，我們有 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，則f(x0)存在的充要條件是f(x0)f(x0) 例5

f(x)1cos

x0,x0.試討f(xx0處的左、右導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)容易看f(xx0處連續(xù)f(0x)f

1cosx x0,

1, x0,所

lim1cosx0 Δx 1x0Δ x由于f(0f(0)，f(xx0處不可導(dǎo)導(dǎo)函如果函f在區(qū)I上的每一點(diǎn)都可(對于區(qū)間端點(diǎn)考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù),如左端點(diǎn)考慮右導(dǎo)數(shù),f為區(qū)I上的可導(dǎo)函數(shù).此時,I上的任意一xf的一個導(dǎo)f(x0)與之對應(yīng),這 f(x)limf(xx)f(x),xI x0 xdy僅為一個 相應(yīng)地，fx0)也可表示df(x)dx

x

yx

ddxxx0例6求函yxn的導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)由于yxx)n nxn1n(n1)xn2xxn12因ylim(nxn1n(n1)xn2xxn1)nxn1 例7證明(sinx)cosx,(cosx)sin

x)1x

e(a0,a0,x0)a(lnx)1ax(iii)(ax)axlna我們只證i的第二式iii.(i)(sinx)cosx,(cosx)sinicos(xx)cos

2sin(xx)sin sin 2sin(xx) 2sinx是(,)上的連續(xù)函數(shù)，所sin (cosx)

limsin(x

2)sin2(iii)(ax)axlna 由axxax xax xexlna a

exlna1ln xln

exlna1 因此 ) lna

xln

lna 特別(ex)exlneex在用幾何問題引出導(dǎo)數(shù)概念時fx0)是曲線yfxPx0fx0處切線的斜率所以該yf(x0)f(x0)(xx0為xf(x0)=tan

由此可知,f(x00f(x00行

fx00說明0xyyyy0yyf(Ox特別要注fx0連續(xù)limΔy

f(x0Δx)f(x0)x Δx 則曲yf(xP的切線x軸，此yx1y(x1O1xyfyx1y(x1O1x1線yx

在點(diǎn)(1,0處的切線為x1例8求曲ylnx在其上任P(x0lnx0處由例8的(ii)yx

x

1yln 1(xx)x x0ylnx0x0(xx0)3x例9求曲y3x方程

P(0,0)解由于y x在x0處連續(xù),Δx

3Δx3Δx

3xy3x

P0,0處的切線、法線方程x0和y極值的必要條 Fermat定定義3如果函fx0的某個U(x0對一切xU(x0)fx)fx0 或fx)fx0則稱函fx0處取得極大(或極小)值,稱x0值,極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).如圖，函yfx在x1x2

處取極小yyf(○·a x4bxx3x5處取極大值由于極值是一yyf(○·a x4bx外,在x6處切線,但它不是極值點(diǎn) 證明：若f(x0)0,則存在0,使對任何x(x0,x0),有f(x)f(x0)

f(x0)0x0

f(x)f(x0x

0與極限保號性，推知存0 fxfx00,x(x,x) xxx0,得fxfx00(9)式成立類似地，若fx00,則存0f(x)f(x0),x(x0,x0)根據(jù)例10，可得如下重要定3(Fermat定理設(shè)函fx0的某鄰域內(nèi)有定義,且在x0可x0是f的極值點(diǎn)，則必有f(x0)上述定理的幾何意義：如f在極xx0處可導(dǎo)，則該點(diǎn)處的切線平x軸.稱滿足方f(x0的點(diǎn)f的駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn)).注駐點(diǎn)不一定都是極值x0是yx3的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).反之,極值點(diǎn)也不一定都是駐點(diǎn),如x=0是y|x|的極小,但不是駐(因為x=0處不可).定理 (Darboux)定理f在[ab上可導(dǎo)fafb,k是介于f(a)與f(b)之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)c(ab),使得fc證F(x)=f(x)－kx,則F(x)=f(x)－k.根據(jù)費(fèi)馬定理,只要證F(x在(ab上有極值點(diǎn)即可.由于F(aF(bf