專題03不含參數(shù)的極值點偏移問題函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)．例．（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且．證明：．【解析】法一（判定定理）：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，，時，，函數(shù)在處取得極大值，且，如圖所示．由，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立．由，則，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即證．法二：欲證，即證，由法一知，故，又因為在上單調(diào)遞減，故只需證，又因為，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，則等價于證明對恒成立．由，則在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式亦成立．法三：由，得，化簡得…①，不妨設(shè)，由法一知，．令，則，代入①式，得，反解出，則，故要證，即證，又因為，等價于證明：…②，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，即證②式成立，也即原不等式成立．法四：由法三中①式，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得，也即，從而，令，則做證，等價于證明…③，構(gòu)造，則，又令，則，由于對恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證③式成立，也即原不等式成立．【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的．例．（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，．【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，由于，所以；同理，當(dāng)時，．當(dāng)時，不妨設(shè)，由函數(shù)單調(diào)性知．下面證明：，即證：，此不等式等價于．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，從而，即，所以，而，所以，又，從而f．由于，且在上單調(diào)遞增，所以，即證．四、招式演練：1．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的極值點，，證明:.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最大值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，則，即為方程的兩個不同的正根，表示出，將韋達定理代入化簡，并利用構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性和最值的方法證得命題成立．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，當(dāng)時，，即為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，即為上的減函數(shù)，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個不同的正根，故而需滿足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，即為上的增函數(shù)；當(dāng)時，，即為上的減函數(shù)，所以，所以，證畢.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查學(xué)生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．2．已知函數(shù)，若有兩個不同的極值點，，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：；（3）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為為方程的兩個不同實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）知，在上遞減，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明即可得證；（3）先利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在上成立，所以，，令，令為方程，即的兩個實根，根據(jù)，，可得，結(jié)合韋達定理可證不等式成立.【詳解】（1），則為方程，即的兩個不同實根，令，，令，得，令，得，則在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得最大值為，所以，且，（2）要證，因為在上遞減，所以只需證，即，即要證，由（1）知，所以，令，，則，令，，則為上的增函數(shù)，所以，所以為上的增函數(shù)，所以，即在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以.（3）令，，則，，因為為上的增函數(shù)，所以，所以為上的增函數(shù)，所以，所以為上的增函數(shù)，所以，所以不等式在上成立，所以，且在上遞增，上遞減，令為方程，即的兩個實根，，其中.由圖可知，，即，所以，得證.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.3．已知函數(shù)有兩個零點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)、是的兩個零點，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）令可得出，構(gòu)造函數(shù)，可得出直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；（2）依題意，設(shè)，有，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究可得，結(jié)合，即可得證.【詳解】（1），當(dāng)時，令，可得，令，其中，則，令，可得，列表如下：單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的極小值為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）中的圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，且一個交點的橫坐標(biāo)為正、另一個交點的橫坐標(biāo)為負，即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，一個零點為正、另一個零點為負，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，不妨設(shè)，有.由，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.又，所以，即.當(dāng)且時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以，所以.又，所以，所以.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查分類討論思想及推理論證能力，屬于中檔題.4．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，是的兩個不相等的正實數(shù)解，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，令，解出不等式即可；（2）依題意可知，是的兩個不相等的正實數(shù)解，可建立不等式求出的取值范圍，在利用韋達定理將化為關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.【詳解】（1）依題意，，，，令，故，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）依題意，，所以，是的兩個不相等的正實數(shù)解；則，解得，，令，，，則，∴在上單調(diào)遞減.∴，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于較難題.5．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間和極值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，在處取得極小值，無極大值；（2），證明詳見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求得單調(diào)遞增區(qū)間，小于0可求得單調(diào)遞減區(qū)間，從而求得極值.；（2）在（1）和題設(shè)條件使得到極小值小于0得到的范圍，然后再證明在0的兩端都有大于0的函數(shù)值即可，同時也找到了兩個零點的范圍.【詳解】（1）由題意可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)增區(qū)間為，在處取得極小值，無極大值.（2）由（Ⅰ）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，若有兩個零點，必有，即.檢驗當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.由于，，，則根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理知存在唯一，使得；，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因此.又因為，，所以根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理知存在唯一，使得.所以當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.因為，所以，即成立.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及零點的判斷，考查了邏輯推理能力與計算能力.6．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，研究在上解的個數(shù)，由的正負確定的單調(diào)性，確定極值點個數(shù)；（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，，且，．計算并轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，然后求出函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立．【詳解】解：（1），．當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，沒有極值點；當(dāng)時，令，時，或，設(shè)當(dāng)時，方程的兩根為，，且．若，則，注意到，，知的兩根，滿足．當(dāng)，，，單增；當(dāng)，，，單減，所以只有一個極值點；若，則，，即恒成立，在單調(diào)遞增，所以沒有極值點；若，則，注意到，，知的兩根，滿足．當(dāng)，，，單增；當(dāng)，，，單減；當(dāng)，，，單增；所以有兩個極值點．綜上：當(dāng)時，有一個極值點；當(dāng)時，沒有極值點；當(dāng)時，有兩個極值點．（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，，且，．所以，，令，．則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，證明有關(guān)極值點的不等式，證明有關(guān)極值點不等式的關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，利用極值點與題中參數(shù)關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的單調(diào)性．7．已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時，在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若的極值點為，且，求證：.【答案】（1）或；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）在上是單調(diào)函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值恒正或恒負即可求的范圍；（2）由極值點的導(dǎo)函數(shù)為0，有即得，又知，即可證；【詳解】（1）當(dāng)時，，故，，令，則由題意，若有對稱軸，在上恒正或恒負即可，∴或，解得：或；（2）由題意：且，又的極值點為，且，∴，即，故有，而知：，有即知：，∴，即得證.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性恒正或恒負求參數(shù)范圍，以及根據(jù)零點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、已知等量關(guān)系證明不等關(guān)系；8．已知函數(shù).（，，e是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，存在兩個極值點，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將代入，得，再按及討論即可得解；（2）將代入，得，由題意可得，不妨設(shè)，則，運用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合第一小問的結(jié)論即可得證．【詳解】（1）當(dāng)，則，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，不成立，實數(shù)的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時，，函數(shù)存在兩個極值點，，即，由題意知，，為方程的兩根，故，不妨設(shè)，則，，由（1）知，當(dāng)，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），當(dāng)時，恒有，，又，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），從而，綜上可得：．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查恒成立問題及不等式的證明問題，涉及了分類討思想、轉(zhuǎn)化思想及放縮思維，屬于難題．9．已知函數(shù)，(a，b∈R)（1）當(dāng)a=﹣1，b=0時，求曲線y=f(x)﹣g(x)在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)b=0時，若對任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=0，b>0時，若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實數(shù)解x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，然后用一般式寫出切線的方程；（2）對，，都成立，則對，，，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值可得的范圍；（3）由，得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為；（2）當(dāng)時，對，，都成立，則對，，恒成立，令，則．令，則，當(dāng)，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，，，的取值范圍為；（3）當(dāng)，時，由，得，方程有兩個不同的實數(shù)解，，令，則，，令，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，，，又，（1），，，只要證明，就能得到，即只要證明，令，則，在上單調(diào)遞減，則，，，，，即，證畢．【點睛】本題主要考查求曲線的切線方程，不等式恒成立問題和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)思想和分類討論思想，屬難題．10．已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為，，求證：.【答案】（1）2個；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，然后再結(jié)合零點判定理即可求解；（2）結(jié)合極值存在的條件及正弦與正切函數(shù)的性質(zhì)進行分析可證．【詳解】（1），，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，，，，故函數(shù)在，上不存在零點，存在，使得，同理使得綜上，在區(qū)間上的零點有2個.（2），由（1）可得，在區(qū)間，上存在零點，所以在，上存在極值點，，，因為在上單調(diào)遞減，則，

，又因為，即，又，即，，，，，由在上單調(diào)遞增可得．再由在上單調(diào)遞減，得，，所以．【點睛】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值與零點，同時考查了正弦函數(shù)與正切函數(shù)的性質(zhì)，試題具有一定的綜合性，屬于難題．11．已知函數(shù)．（1）若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時，記的兩個零點是①求a的取值范圍；②證明：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)整理得出，結(jié)合研究的區(qū)間，對的范圍進行討論，結(jié)合函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)的條件，即既有增區(qū)間，又有減區(qū)間，即在區(qū)間上存在極值點，得到結(jié)果；（2）①將函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；②結(jié)合①，求得兩個零點所屬的區(qū)間，利用不等式的性質(zhì)證得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，可知在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)時，即時，可知時，單調(diào)減，當(dāng)時，單調(diào)增，所以滿足在上不單調(diào)，所以a的取值范圍是；（2）①令，得，即有兩個解，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，記的兩個零點，a的取值范圍是；②由①知，所以，所以【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.12．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，．且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，對的范圍分類，即可解不等式，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問題得解.（2）由題可得：，由它有兩個極值點，可得：有兩個不同的正根，從而求得及，將恒成立轉(zhuǎn)化成：恒成立，記：，利用導(dǎo)數(shù)即可求得：，問題得解.【詳解】（1）因為，所以，則①當(dāng)時，是常數(shù)函數(shù)，不具備單調(diào)性；②當(dāng)時，由；由．故此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減③當(dāng)時，由；由．故此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）因為所以，由題意可得：有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，則，不等式恒成立等價于恒成立又所以，令（），則，所以在上單調(diào)遞減，所以所以．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值知識，考查了轉(zhuǎn)化能力及函數(shù)思想，還考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值的取值范圍問題，考查計算能力，屬于難題.13．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值；（Ⅲ）若存在，，使得，證明：．【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，再令解得，從而由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論與，的關(guān)系，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值即可；（Ⅲ）可判斷出，，（e），；從而可得，，從而證明．【詳解】解：（Ⅰ）函數(shù)，，令，解得，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時在，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可知，需討論與，的關(guān)系：①當(dāng)，，即，時，在，上的最大值為；②當(dāng)，即，時，由的單調(diào)性可知，在，上的最大值為；③當(dāng)，即時，由的單調(diào)性可知，在，上的最大值為；綜上所述，當(dāng)，時，在，上的最大值為；當(dāng)，時，在，上的最大值為；當(dāng)時，在，上的最大值為；（Ⅲ）證明：，，，；，（e），；，，故．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值的求法，同時考查了零點的判斷與應(yīng)用，屬于難題．14．已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點、，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由韋達定理得出，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，令，可得出要證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出對任意的恒成立即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.令，.①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，即當(dāng)時，方程有兩個不等的實根，設(shè)為、，且，令，解得，.解不等式，可得；解不等式，可得或.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，、是關(guān)于的二次方程的兩個不等的實根，由韋達定理得，，要證，即證，即證，設(shè)，即證，，設(shè)，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即.故原不等式得證.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的單調(diào)性，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查推理能力與計算能力，屬于難題.15．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，，其中，求證：.【答案】（1）；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到在上恒成立，進而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到，兩式作差整理，得到，推出，令，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為冪函數(shù)在顯然單調(diào)遞減，所以，因此只需；（2）當(dāng)時，，因為函數(shù)有兩個零點，，所以，兩式作差可得：，因此，令，則，要證，即證，即證，即證令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因此，即在上恒成立，所以.【點睛】本題主要考查由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式，屬于?？碱}型.16．已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直．（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點坐標(biāo)，進而的解析式和導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得，即可得到與的大??；（2）運用分析法證明，不妨設(shè)，由根的定義可得所以化簡得，．可得，，要證明，．即證明，也就是．求出，即證，令，則，即證．令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．【詳解】解：（1）函數(shù)，，所以，又由切線與直線垂直，可得，即，解得．此時，，令，即，解得；令，即，解得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．所以，即即，即有：．（2）證明：不妨設(shè)，因為，所以化簡得，．可得，，要證明，即證明，也就是．因為，即證，即