第4章TransientnumericalmethodNumericalmethodoranalyticalmethod?tt0twx123x1x2x3精確度高分析法解析解連續(xù)性微分方程分析法：

（1）分析傳熱現(xiàn)象，確定傳熱方式，建立簡化的物理模型。

（2）建立數(shù)學模型，包括導熱微分方程和單值性條件；

（3）利用數(shù)學物理方法求溫度與空間和時間的函數(shù)關系式

求解困難1/13/20231Numericalmethod近似解數(shù)值法數(shù)值解離散性代數(shù)方程求解容易求各種數(shù)學問題近似解的方法和理論數(shù)值分析數(shù)學模型實際問題計算機近似解數(shù)值計算法是求解穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導熱問題的十分有效的方法。數(shù)值傳熱學發(fā)展較快。1/13/20232分析問題數(shù)學描述：導熱微分方程式與單值性條件方程離散化連續(xù)性變?yōu)殡x散點微分變?yōu)榇鷶?shù)聯(lián)立代數(shù)方程求解借助計算機編程求出離散點溫度求熱流場討論分析結果BasicstepsforNumericalmethodinheatconduction1/13/202332、finitedifferencemethod：有限差分法比較成熟，應用廣泛。下面主要介紹有限差分法的基本原理。離散方法有限差分法（FDM）有限容積法（FVM）有限元法（FEM）邊界元法（BEM）譜分析方法（SM）數(shù)值積分變換法（ITM）格子-Boltzmann方法（LBM）控制容積有限元法(CVFEM)。1、微分方程、邊界條件及初始條件的離散方法主要有：1/13/20234區(qū)域離散化（for2-Dsteady-state）網(wǎng)格線的交點為節(jié)點i,j表示x，y方向節(jié)點的序列號；Δx,Δy表示相鄰節(jié)點之間的距離；即步長；陰影面積為節(jié)點所代表的微元體，網(wǎng)格線節(jié)點1/13/20235k表示時間節(jié)點時間的離散化（for1-Dtransent）時間的離散為：在時間上劃分為若干個時間間隔

Δ1/13/202364.1

建立離散方程用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導數(shù)）eg:xdx，導熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度差分代數(shù)方程。

1.求解域的離散化

1)子區(qū)域的劃分選擇網(wǎng)格寬度x、y（步長），劃分子區(qū)域。

2)節(jié)點的選擇網(wǎng)線交點為節(jié)點，用i,j表示。常物性、無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱：

1/13/20237

兩種方法：泰勒級數(shù)展開法與控制容積熱平衡法。

1)泰勒級數(shù)展開法對節(jié)點（i+1,j）和（i-1,j）分別寫出溫度在(i,j)節(jié)點的泰勒級數(shù)展開式：將上兩式相加，得截斷誤差中心差分格式2.

節(jié)點溫度差分方程的建立1/13/20238同樣可得y方向得二階偏導數(shù)對于無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱，導熱微分方程為將以上兩式代入，并忽略截斷誤差，得取x=y，得1/13/20239一階導數(shù)的有限差分上述兩式相減得：1/13/202310根據(jù)節(jié)點所代表的元體在導熱過程中的能量守恒來建立節(jié)點溫度差分方程。(1)

內(nèi)部節(jié)點溫度差分方程無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱:內(nèi)部節(jié)點(i,j

)所代表的元體在導熱過程中的熱平衡對于垂直于畫面方向單位寬度，選擇x=y

2)元體熱平衡法1/13/202311上式可整理為可見，物體內(nèi)每一個節(jié)點溫度都等于相鄰4個節(jié)點溫度的算術平均值。

(2)

邊界節(jié)點溫度差分方程

對于具有第三類邊界條件的邊界節(jié)點(i,j)所代表的元體，根據(jù)其熱平衡，

選擇步長x=y

，將上式簡化1/13/202312令稱為網(wǎng)格畢渥數(shù)。上式可整理為第三類邊界條件下的外拐角邊界節(jié)點：第三類邊界條件下的內(nèi)拐角邊界節(jié)點：1/13/202313絕熱邊界節(jié)點：

運用有限差分方法可以建立導熱物體所有內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度的差分方程。求解這些差分方程構成一個線性代數(shù)方程組就可以得節(jié)點溫度的數(shù)值。1/13/2023144.2

節(jié)點溫度差分方程組的求解方法

線性代數(shù)方程組的求解方法有消元法、矩陣求逆法、迭代法等，這里僅簡單介紹在導熱的數(shù)值計算中常用的迭代法中的兩種：1.簡單迭代法

2.高斯-塞德爾迭代法1/13/202315其中aij、bi為常數(shù)，且aij0。改寫為顯函數(shù)形式：

假設1.簡單迭代法1/13/2023162.

高斯-塞德爾迭代法

高斯-塞德爾迭代法是在簡單迭代法的基礎上加以改進的迭代運算方法。它與簡單迭代法的主要區(qū)別是在迭代運算過程中總使用最新算出的數(shù)據(jù)。

高斯-塞德爾迭代法比簡單迭代法收斂速度快。1/13/2023171/13/202318

4.3

非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導熱數(shù)值解法的特點：（1）非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程多了非穩(wěn)態(tài)項，因此單值性條件中增加了初始條件；（2）除了對空間域進行離散外，還需要對時間進行域離散；（3）利用熱平衡法導出節(jié)點溫度方程時需要考慮控制容積的熱力學能隨時間的變化；（4）由于時間和空間同時離散，在有些情況下空間步長和時間步長不能任意選擇，否則會帶來節(jié)點溫度方程求解的穩(wěn)定性問題。1/13/202319以第三類邊界條件下常物性、無內(nèi)熱源大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例。

1.求解域的離散

2.節(jié)點溫度差分方程的建立

運用熱平衡法可以建立非穩(wěn)態(tài)導熱物體內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度差分方程?？臻g步長為x，時間步長為

,表示空間節(jié)點i在k時刻（簡稱k時刻）的節(jié)點溫度。4.3.1

一維非穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值求解：1/13/202320

（1）內(nèi)部節(jié)點溫度差分方程

內(nèi)部節(jié)點i所代表的控制容積在k時刻的熱平衡：

如果節(jié)點i的溫度對時間的變化率采用向前差分，熱平衡方程式可寫成令網(wǎng)格付里葉數(shù)

內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式

1/13/202321

Twopoints：

(a)

任意一個內(nèi)部節(jié)點i在(k+1)時刻的溫度都可以由該節(jié)點及其相鄰節(jié)點在k

時刻的溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求解方程組，這是顯式差分格式的優(yōu)點。這樣就可以從初始溫度出發(fā)依次求出各時刻的節(jié)點溫度；

(b)

必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即

穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長x或時間步長的數(shù)值確定之后，另一個步長的數(shù)值的就不能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。1/13/202322隱式差分格式：如果節(jié)點i的溫度對時間的變化率采用向后差分，內(nèi)部節(jié)點i所代表的控制容積的熱平衡方程式可寫成令網(wǎng)格付里葉數(shù)

1/13/202323內(nèi)部節(jié)點溫度方程的隱式差分格式

隱式格式與顯式格式的區(qū)別：節(jié)點i的下一時刻溫度是用自身節(jié)點的當前時刻以及相鄰節(jié)點的下一時刻溫度來表示的，因此必須一次列出全部節(jié)點的差分方程并聯(lián)立求解。隱式格式的計算工作量大，但不受上述穩(wěn)定性條件的限制，即可以任意選擇時間與空間步長。1/13/202324

(2)邊界節(jié)點溫度差分方程

邊界節(jié)點0所代表的控制容積在k時刻的熱平衡：

如果節(jié)點0的溫度對時間的變化率采用向前差分，熱平衡方程式可寫成引進網(wǎng)格付里葉數(shù)

和網(wǎng)格畢渥數(shù)上式寫成顯函數(shù)的形式邊界節(jié)點溫度方程的顯式差分格式

1/13/202325同內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式的道理一樣，上式必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即

因為，所以只要滿足上式，自然滿足內(nèi)部節(jié)點溫度方程顯式差分格式的穩(wěn)定性條件。因此上式是第三類邊界條件下一維非穩(wěn)態(tài)導熱所有節(jié)點溫度方程顯式差分格式的穩(wěn)定性條件。對比1/13/202326如果節(jié)點0的溫度對時間的變化率采用向后差分，熱平衡方程式可寫成引進網(wǎng)格付里葉數(shù)

和網(wǎng)格畢渥數(shù)邊界節(jié)點溫度方程的隱式差分格式

邊界節(jié)點溫度方程的隱式差分格式

1/13/202327

（1）付里葉定律表達式及其適用條件;

重點掌握以下內(nèi)容：（3）導熱問題的數(shù)學描述（數(shù)學模型）;

（2）物體導熱系數(shù)