第三章分子擴(kuò)散擴(kuò)散：流體中含有物質(zhì)（示蹤劑、擴(kuò)散質(zhì)）從含量多處向含量少處傳輸轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象。擴(kuò)散包括分子擴(kuò)散：分子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生

紊動(dòng)擴(kuò)散：紊流中流體微團(tuán)的紊動(dòng)分子擴(kuò)散慢，除微觀的生化作用外，在環(huán)境問(wèn)題中并不發(fā)生實(shí)質(zhì)性影響。但許多情況下，環(huán)境中的物質(zhì)分散問(wèn)題可以按分子擴(kuò)散來(lái)描述，因?yàn)樗鼈兣c分子擴(kuò)散有強(qiáng)烈的相似之處。分子擴(kuò)散現(xiàn)象兩種不同物質(zhì)通過(guò)分子運(yùn)動(dòng)而互相滲透的現(xiàn)象。物質(zhì)分子擴(kuò)散的原因：濃度擴(kuò)散（存在濃度梯度）溫度擴(kuò)散（存在溫度梯度）壓力擴(kuò)散（存在壓力梯度）強(qiáng)制擴(kuò)散（存在其它作用力梯度）3.1分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律1分子擴(kuò)散基本規(guī)律：Fick第一定律1855年Fick提出：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位面積的擴(kuò)散質(zhì)與其在該面法向的濃度梯度成正比。負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相反，即從濃度高處向濃度低處擴(kuò)散；D為分子擴(kuò)散系數(shù)[L2T-1]隨溶質(zhì)、溶液種類及溫度壓力條件而變化。見(jiàn)表3-1。2分子擴(kuò)散方程：Fick第二定律濃度分布不均勻引起分子擴(kuò)散，建立濃度隨時(shí)空變化的關(guān)系式。dxdydzozxy在靜止流體中取微元六面體空間，中心點(diǎn)濃度c(x,y,z,t)，擴(kuò)散通量(qx,qy,qz)。根據(jù)擴(kuò)散質(zhì)質(zhì)量守恒原理，分析各面的擴(kuò)散質(zhì)通量若擴(kuò)散為各向同性，即三維擴(kuò)散二維擴(kuò)散一維擴(kuò)散3.2靜水?dāng)U散方程的求解分子擴(kuò)散方程中，若擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，方程可線性化。在簡(jiǎn)單的初邊值條件下，可求得解析解。對(duì)復(fù)雜條件下求解只能借助數(shù)值解法。擴(kuò)散方程求解和污染源的存在形式密切相關(guān)：空間上：點(diǎn)源、線源、面源、體積源（空間分布源）時(shí)間上：瞬時(shí)源、時(shí)間連續(xù)源（恒定、非恒定）1一維擴(kuò)散問(wèn)題xco從正交于擴(kuò)散方向的一個(gè)面源均勻集中投入質(zhì)量M的擴(kuò)散質(zhì)，形成細(xì)管中的一維擴(kuò)散。擴(kuò)散方程由量綱分析得解的結(jié)構(gòu)：代入擴(kuò)散方程中求函數(shù)f3.2.1瞬時(shí)點(diǎn)源濃度解的分析濃度分布曲線0xct1<

t2

<t

3隨時(shí)間增長(zhǎng)，擴(kuò)散范圍變寬而峰值濃度降低，濃度分布曲線愈趨扁平。t1t2t3-x濃度分布函數(shù)的p階濃度矩的定義：零階濃度矩一階濃度矩二階濃度矩（表示濃度分布曲線與x軸所包圍的面積，即擴(kuò)散質(zhì)量M，各時(shí)刻為常數(shù)）2濃度分布的統(tǒng)計(jì)矩重心矩的坐標(biāo)0xc例：以源平面為坐標(biāo)原點(diǎn)，則濃度分布曲線以縱軸為對(duì)稱。濃度分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差濃度分布可表示為方差體現(xiàn)了濃度分布曲線的擴(kuò)展寬度，隨時(shí)間的增加而增大。所以各時(shí)刻的濃度分布曲線可用不同的標(biāo)準(zhǔn)差表示。實(shí)測(cè)濃度計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)在不長(zhǎng)的時(shí)間間隔內(nèi)，測(cè)知t1、t2時(shí)刻的濃度分布，求得方差，據(jù)上式可計(jì)算分子擴(kuò)散系數(shù)值。濃度分布曲線的寬度0xc分布寬度σ2σ4σ5σ面積百分比0.3830.68260.95460.9876理論上兩端可延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)。實(shí)用上認(rèn)為其分布寬度為。3二、三維擴(kuò)散問(wèn)題從z方向的一條線源均勻投入質(zhì)量為M的擴(kuò)散質(zhì)，在xy平面上擴(kuò)散。二維擴(kuò)散方程設(shè)平面上任意點(diǎn)濃度代入擴(kuò)散方程上式中兩項(xiàng)分別為零，即c1、c2各自滿足一維擴(kuò)散方程的解。所以二維擴(kuò)散解為二維擴(kuò)散的濃度分布呈鐘形體。源點(diǎn)處濃度最大，隨著離點(diǎn)源距離的增加，濃度以負(fù)指數(shù)衰減。oxyc在坐標(biāo)原點(diǎn)瞬時(shí)投入質(zhì)量為M的擴(kuò)散質(zhì)，在三維空間擴(kuò)散。擴(kuò)散方程：濃度解：當(dāng)Dx=Dy=Dz=D時(shí)，上式可變?yōu)椋?.2.2瞬時(shí)分布源瞬時(shí)投入的污染物質(zhì)不是集中在一點(diǎn)，而是分布在一定的空間范圍之內(nèi)。可考慮為若干集中源的疊加。1一維擴(kuò)散問(wèn)題分布源擴(kuò)散區(qū)xocxξdξp左半部各點(diǎn)初始濃度相同，均為c0，右半部為清水區(qū)（擴(kuò)散區(qū)）。起始無(wú)限分布源微小污染源的質(zhì)量。擴(kuò)散到p點(diǎn)的濃度誤差函數(shù)性質(zhì)：012-1-210.5當(dāng)則故在的部分，濃度幾乎沒(méi)有降低。起始有限分布源0-aax存在初始濃度均勻、分布寬度為2a的有限分布源。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在有限分布源的中心，即與一維無(wú)限分布源的區(qū)別僅在于積分區(qū)間不同。二、三維起始有限分布源的擴(kuò)散xy0-aa-bb2a2b2dxyzo3.2.3時(shí)間連續(xù)源1一維擴(kuò)散問(wèn)題初始條件：邊界條件：由量綱分析得解的結(jié)構(gòu)：erfc(z)為余誤差函數(shù)，和誤差函數(shù)erf(z)的關(guān)系式erfc(z)+erf(z)=1。2.三維擴(kuò)散問(wèn)題瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散解為分子擴(kuò)散各向同性，則將連續(xù)點(diǎn)源看作無(wú)數(shù)瞬時(shí)點(diǎn)源的疊加：設(shè)單位時(shí)間投入擴(kuò)散質(zhì)的質(zhì)量m為常數(shù)，則在任意時(shí)刻τ以后的dτ時(shí)段內(nèi)投入量為mdτ，此即一個(gè)瞬時(shí)源的強(qiáng)度。經(jīng)過(guò)（t-τ)的時(shí)間擴(kuò)散以后，在r處產(chǎn)生的濃度解為從0t時(shí)間的連續(xù)點(diǎn)源產(chǎn)生的濃度為求此積分：令無(wú)量綱變量擴(kuò)散解為：3.2.4有邊界反射情況下的擴(kuò)散上述擴(kuò)散解指無(wú)限空間中的擴(kuò)散，無(wú)固體邊界的影響（或邊界很遠(yuǎn)，其影響可忽略）。但實(shí)際問(wèn)題是有限空間，存在如河岸、河底等固壁的影響。邊界對(duì)污染物質(zhì)的擴(kuò)散影響有三種情況：完全吸收：擴(kuò)散質(zhì)到達(dá)邊界后被邊界吸收或粘附在邊界上；完全反射：擴(kuò)散質(zhì)遇到邊界后全部反射回去；一般是介于二者之間的不完全吸收和不完全反射。吸收和反射與擴(kuò)散質(zhì)及邊界的性質(zhì)有關(guān)。最不利情況是完全反射，以下僅考慮此種情況。1一側(cè)有邊界的一維擴(kuò)散xx=-2Lx=-L0c在x=0處有瞬時(shí)面源沿x方向一維擴(kuò)散，在x=-L處存在全反射的固體邊界，此處擴(kuò)散質(zhì)通量為零。根據(jù)平面鏡像定理，設(shè)想在x=-2L處有一等強(qiáng)度的像源。真源和像源在固壁處的通量大小相等、方向相反，故滿足邊界面凈通量為零的邊界條件。真源邊界像源

按疊加原理，實(shí)際情況等價(jià)于無(wú)邊界影響時(shí)（真源+像源）的解：在邊界x=-L處，濃度為是無(wú)邊界情況下濃度的2倍。2兩側(cè)有邊界的一維擴(kuò)散oL2Lxc-L-2L在處有兩個(gè)像源，像源產(chǎn)生的濃度遇到另一側(cè)邊界時(shí)發(fā)生第二次反射，形成二次像源，逐次反射以至無(wú)窮。最終濃度解為實(shí)際問(wèn)題中L較大，一般只考慮一、二次反射即可。一次反射：n=-1,0,1二次反射：n=-2,-1,0,1,2真源像源像源邊界邊界3.3層流移流擴(kuò)散擴(kuò)散質(zhì)不僅有分子擴(kuò)散，同時(shí)還要隨流體質(zhì)點(diǎn)一起遷移，這種遷移現(xiàn)象稱為遷移輸流。對(duì)于層流而言，流速和濃度都沒(méi)有脈動(dòng)，因此一般假定擴(kuò)散質(zhì)在層流中的擴(kuò)散可按分子擴(kuò)散和移流輸送分別計(jì)算，然后疊加。由于層流流速和分子擴(kuò)散的作用，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)六面體yz平面單位面積的總質(zhì)量通量，等于由x軸方向的流速u(mài)x引起的移流通量（uxC）與同方向的分子擴(kuò)散通量（）之和，即式中，ux為x軸方向的流速；qx為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)六面體yz平面上單位面積的總質(zhì)量通量。寫(xiě)出y軸和z軸的質(zhì)量通量表達(dá)式，代入質(zhì)量守恒式有3.3.1移流擴(kuò)散方程對(duì)于多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，水流具有明顯的主流ux軸方向，可以忽略u(píng)y軸和uz軸方向的移流作用，那么方程式可簡(jiǎn)化為3.3.2移流擴(kuò)散方程的解問(wèn)題：方程：方法：建立動(dòng)坐標(biāo)系，把移流擴(kuò)散問(wèn)題變成純擴(kuò)散問(wèn)題。則在動(dòng)坐標(biāo)系中利用一維擴(kuò)散解得1瞬時(shí)點(diǎn)源

2時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源yxzO設(shè)單位時(shí)間投放擴(kuò)散質(zhì)的質(zhì)量m是常數(shù)，時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源可以作為一系列的瞬時(shí)點(diǎn)