中原工學(xué)院機(jī)械工程控制基礎(chǔ)王振成制作：華中科技大學(xué)第四章頻率特性分析時域分析：重點(diǎn)研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)時間響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率ω的諧波（正弦）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。制作：華中科技大學(xué)一、頻率特性概述（1）頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

頻率響應(yīng)與頻率特性例設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為若輸入信號為xi(t)=Xisint

即則穩(wěn)態(tài)輸出（響應(yīng)）與輸入同頻率與輸入信號的幅值成正比制作：華中科技大學(xué)輸入:xi(t)=Xisinωt

穩(wěn)態(tài)輸出（頻率響應(yīng)）:xo(t)=XiA()sin[ωt+(ω)]同頻率幅值比A()

相位差()ω的非線性函數(shù)(揭示了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性)制作：華中科技大學(xué)（2）頻率特性：對系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的描述幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入諧波的幅值比，即相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入諧波的相位差()

頻率特性頻率特性是ω的復(fù)變函數(shù)，其幅值為A()，相位為()。記為:A()·()或A()·ej()

幅角形式（或極坐標(biāo)形式）指數(shù)形式制作：華中科技大學(xué)2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:輸入信號為

xi(t)=Xisint

即則若無重極點(diǎn),則有故若系統(tǒng)穩(wěn)定,則有其中同理所以即故G(j)=G(j)ejG(j)就是系統(tǒng)的頻率特性制作：華中科技大學(xué)3.頻率特性的求法

(1)頻率響應(yīng)→頻率特性

穩(wěn)態(tài)輸出（頻率響應(yīng)）如前例系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所以所以系統(tǒng)的頻率特性為或(2)傳遞函數(shù)→頻率特性

如上例即頻率響應(yīng)(3)實(shí)驗(yàn)方法

制作：華中科技大學(xué)4.頻率特性的表示法

(1)解析表示

(2)圖示方法

幅頻—相頻幅頻特性相頻特性實(shí)頻—虛頻實(shí)頻特性虛頻特性Nyquist圖（極坐標(biāo)圖，幅相頻率特性圖）Bode圖（對數(shù)坐標(biāo)圖，對數(shù)頻率特性圖）制作：華中科技大學(xué)5.頻率特性的特點(diǎn)

(1)頻率特性是頻域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型由Xo(s)=G(s)Xi(s)有

Xo(jω)=G(j)Xi(jω)而當(dāng)xi(t)=(t)時，xo(t)=ω(t),且

Xi(jω)=F[(t)]=1故

Xo(jω)=G(jω)即

F[ω(t)]=G(jω)

(3)分析簡便(4)易于實(shí)驗(yàn)求取(2)頻率特性是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)(t)的Fourier變換制作：華中科技大學(xué)2014.11.12制作：華中科技大學(xué)二、頻率特性的極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)G(j)：的復(fù)變函數(shù)給定，G(j)是復(fù)平面上的一矢量 幅值：A()=G(j) 相角(與正實(shí)軸的夾角，逆時針為正）：()=∠G(j) 實(shí)部:

U()=A()cos()

虛部：V()=A()sin()從0∞時， G(j)端點(diǎn)的軌跡：頻率特性的極坐標(biāo)圖

（Nyquist圖）制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(1)比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=K

頻率特性：G(j)=K

幅頻：G(j)＝Ｋ相頻：G(j)=0o

實(shí)頻：

U()=K

虛頻：V()=0

實(shí)軸上的一定點(diǎn)，其坐標(biāo)為(K,j0)

制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(2)積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=1/s頻率特性：G(j)=1/j

幅頻：G(j)＝1/

相頻：G(j)=－90o

實(shí)頻：

U()=0

虛頻：V()=－1/

虛軸的下半軸，由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)指向原點(diǎn)制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(3)微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=s頻率特性：G(j)=j

幅頻：G(j)＝

相頻：G(j)=90o

實(shí)頻：

U()=0

虛頻：V()=

虛軸的上半軸，由原點(diǎn)指向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(4)慣性環(huán)節(jié)

當(dāng)＝0時，G(j)=K，G(j)=0o當(dāng)=1/T時，G(j)=0.727K，

G(j)=-45o當(dāng)＝時，G(j)=0，G(j)=-90o傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻：相頻：G(j)=－arctgT實(shí)頻：虛頻：當(dāng)ω從0時，其Nyquist圖為正實(shí)軸下的一個半圓，圓心為(K/2,j0)，半徑為K/2。制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(5)一階微分環(huán)節(jié)(導(dǎo)前環(huán)節(jié)）

傳遞函數(shù)：G(s)=1+Ts始于點(diǎn)(1,j0)，平行于虛軸頻率特性：G(j)=1+jT

幅頻：相頻：G(j)=arctgT

實(shí)頻：

U()=1

虛頻：V()=T

制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻：相頻：實(shí)頻：虛頻：當(dāng)=0，即＝0時，G(j)=1，G(j)=0o；當(dāng)=1，即＝n時，G(j)=1/(2ξ)，G(j)=－90o；當(dāng)=，即＝時，G(j)=0，G(j)=－180o；

（令λ=

/n），制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

當(dāng)ω從0(即由0)時，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist圖始于點(diǎn)(1,j0)，而終于點(diǎn)(0,j0)。曲線與虛軸的交點(diǎn)的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時的幅值為1/(2ξ)

ξ<0.707時，G(j)在頻率為r處出現(xiàn)峰值(諧振峰值，r－諧振頻率)由有顯然

r<d<n（有阻尼固有頻率）制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

阻尼比ξ的影響ξ≥0.707， 無諧振ξ≥1， 兩個一階環(huán)節(jié)的組合制作：華中科技大學(xué)1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(7)延時環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=es

頻率特性：G(j)=ej=cos－jsin

幅頻：G(j)＝1

相頻：G(j)=－

實(shí)頻：

U()=cos

虛頻：V()=－sin

Nyquist圖：單位圓

制作：華中科技大學(xué)2.繪制Nyquist圖的一般方法

由G(j)求出其實(shí)頻特性Re[G(j)]、虛頻特性Im[G(j)]和幅頻特性G(j)、相頻特性G(j)的表達(dá)式；求出若干特征點(diǎn)，如起點(diǎn)(=0)、終點(diǎn)(=)、與實(shí)軸的交點(diǎn)(Im[G(j)]=0)、與虛軸的交點(diǎn)(Re[G(j)]=0)等，并標(biāo)注在極坐標(biāo)圖上；補(bǔ)充必要的幾點(diǎn)，根據(jù)G(j)、G(j)和Re[G(j)]、Im[G(j)]的變化趨勢以及G(j)所處的象限，作出Nyquist曲線的大致圖形。

制作：華中科技大學(xué)例1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性＝0，U()=－KT，V()=－， G(j)=，G(j)=－90ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ幅頻：相頻：G(j)=－90ｏ－arctgT實(shí)頻：虛頻：積分環(huán)節(jié)改變了起始點(diǎn)（低頻段）制作：華中科技大學(xué)＝0，U()=－，V()=， G(j)=，G(j)=－180ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ例2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性幅頻：相頻：G(j)=－180ｏ－arctgT1－arctgT2

實(shí)頻：虛頻：U()=0制作：華中科技大學(xué)制作：華中科技大學(xué)3.

Nyquist圖的一般形狀

當(dāng)ω＝０時： 對0型(v=0)系統(tǒng)，G(j)=K，G(j)=0ｏ，Nyquist曲線的起始點(diǎn)是一個在正實(shí)軸上有有限值的點(diǎn)； 對Ⅰ型(v=1)系統(tǒng)，G(j)=∞，G(j)=－90ｏ，在低頻段，Nyquist曲線漸近于與負(fù)虛軸平行的直線； 對Ⅱ型(v=2)系統(tǒng)，G(j)=∞，G(j)=－180ｏ，在低頻段，G(j)負(fù)實(shí)部是比虛部階數(shù)更高的無窮大。當(dāng)ω＝∞時，G(j)=0，G(j)=(m-n)×90ｏ。當(dāng)G(s)包含有導(dǎo)前環(huán)節(jié)時，若由于相位非單調(diào)下降，則Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”。

制作：華中科技大學(xué)三、頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖)Bode圖分別表示幅頻和相頻①對數(shù)幅頻特性圖橫坐標(biāo)：ω，對數(shù)分度，標(biāo)注真值；幾何上的等分→真值的等比dec(10倍頻程）②對數(shù)相頻特性圖橫坐標(biāo)：同上縱坐標(biāo)：∠G(j)

，線性分度；特別：0dB，G(j)=1，輸出幅值=輸入幅值dB>0，G(j)>1，輸出幅值>輸入幅值(放大）dB<0，G(j)<1，輸出幅值<輸入幅值(衰減）縱坐標(biāo)：G(j)的分貝值（dB)，dB=20lgG(j)；線性分度；制作：華中科技大學(xué)Bode圖優(yōu)點(diǎn)

作圖簡單：①化乘除為加減，系統(tǒng)的Bode圖為各環(huán)節(jié)的Bode圖的線性疊加；②可通過近似方法作圖；便于細(xì)化感興趣的頻段；物理意義明顯；環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響明顯；制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(1)比例環(huán)節(jié)

G(s)=KG(j)=K

20lgG(j)＝20lgＫ；G(j)=0o(2)積分環(huán)節(jié)G(s)=1/sG(j)=1/j

20lgG(j)＝20lg1/=－20lg

G(j)=－90o

對數(shù)幅頻特性：過點(diǎn)（1，0）斜率－20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點(diǎn)（0，－90o

）平行于橫軸的直線制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(3)微分環(huán)節(jié)G(s)=sG(j)=j

20lgG(j)＝20lgG(j)=90o

對數(shù)幅頻特性：過點(diǎn)（1，0）斜率20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點(diǎn)（0，90o

）平行于橫軸的直線制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點(diǎn)（ωT，0)，斜率－20dB/dec的直線(4)慣性環(huán)節(jié)令：故：對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lgG(j)20lgT－20lgωT:轉(zhuǎn)角頻率制作：華中科技大學(xué)低頻段漸近線：20lgG(j)0dB

誤差：高頻段漸近線：20lgG(j)20lgT－20lg誤差：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=－45°；=，G(j)=－90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(diǎn)(T，－45°)≤0.1T時，G(j)0°≥10T時，G(j)90°

對數(shù)相頻特性：由：制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點(diǎn)（ωT，0)，斜率20dB/dec的直線對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lgG(j)20lg－20lgT故：ωT:轉(zhuǎn)角頻率(5)一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=45°；=，G(j)=90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(diǎn)(T，45°)制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖低頻段（ω<<ωn；λ≈0），20lgG(j)0dB

（0dB線）

高頻段（ω>>ωn；λ>>1），20lgG(j)－40lgλ=－40lg＋40lgn（始于點(diǎn)（ωn，0)，斜率－40dB/dec的直線）(6)振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性：ωn:轉(zhuǎn)角頻率制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(6)振蕩環(huán)節(jié)誤差：低頻段高頻段對數(shù)相頻特性：=0，G(j)=0°；=n，G(j)=－90°；=，G(j)=－180°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(diǎn)(n，－90°)制作：華中科技大學(xué)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(7)二階微分環(huán)節(jié)

與二階振蕩系統(tǒng)Bode圖對稱于頻率軸。(8)延時環(huán)節(jié)G(s)=esG(j)=ejG(j)＝1G(j)=－

20lgG(j)＝0dB因?qū)?shù)分度，直線→曲線制作：華中科技大學(xué)制作：華中科技大學(xué)3.系統(tǒng)Bode圖的繪制G(s)→標(biāo)準(zhǔn)形（常數(shù)項(xiàng)為1）→G(j)

求典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率（慣性、一階微分、振蕩和二階微分環(huán)節(jié)）作出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線誤差修正（必要時）將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加(不包括系統(tǒng)總的增益K)將疊加后的曲線垂直移動20lgK，得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性作各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后疊加而得到系統(tǒng)總的對數(shù)相頻特性有延時環(huán)節(jié)時，對數(shù)幅頻特性不變，對數(shù)相頻特性則應(yīng)加上－(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法制作：華中科技大學(xué)3.系統(tǒng)Bode圖的繪制例(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法G(s)→標(biāo)準(zhǔn)形→G(j)轉(zhuǎn)角頻率ωT1=0.4ωT2=40ωT3=2各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線，疊加，平移各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，疊加制作：華中科技大學(xué)3.系統(tǒng)Bode圖的繪制(2)順序斜率法在各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率處，系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線的