進(jìn)入學(xué)案2雙曲線名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

1.雙曲線的定義（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（2a<|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做

.這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的

,兩焦點(diǎn)的距離|F1F2|叫做雙曲線的

.（2）第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離的比是常數(shù)(e>1)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做

.其中常數(shù)e叫做

.雙曲線焦點(diǎn)焦距雙曲線離心率名師伴你行SANPINBOOK2.雙曲線的方程焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c,0),F2(c,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

;焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,-c)，F(xiàn)2（0,c），實(shí)軸長(zhǎng)為2a的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.3.雙曲線的幾何性質(zhì)以(a>0,b>0)為例.（1）范圍：

；（2）對(duì)稱(chēng)性：

；（3）頂點(diǎn)：

；實(shí)軸：

虛軸：

；|x|≥a,y∈R對(duì)稱(chēng)軸：x=0,y=0，對(duì)稱(chēng)中心為O（0,0）A(a,0),A′(-a,0),B(0,b)，B′(0,-b)|AA′|=2a|BB′|=2b名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（5）準(zhǔn)線：

；（6）漸近線：

；（7）焦半徑：|PF1|=

，

|PF2|=

.a-ex0,P在左支上ex0-a,P在右支上|a-ex0|=-a-ex0,P在左支上a+ex0,P在右支上|a+ex0|=y=±xx=±（4）離心率：

；e=,e>1名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考點(diǎn)一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，并且焦點(diǎn)都在圓x2+y2=100上，求雙曲線方程.【分析】從圓的對(duì)稱(chēng)性及雙曲線的焦點(diǎn)都在圓上知焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，故應(yīng)分兩種情況討論求解.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為=1（a>0,b>0）.因漸近線方程為y=±x，則.①又由焦點(diǎn)在圓x2+y2=100上知c=10，即有a2+b2=100.②由式①②解得a=6,b=8.∴雙曲線方程為=1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),由題設(shè)得a2+b2=100,解得a=8,b=6.∴另一條雙曲線方程為=1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評(píng)析】雙曲線=1與=1是一對(duì)共軛雙曲線，一般形式是=±1.因而本題有另一種解法，設(shè)雙曲線方程為=λ,于是(3)2+(4)2=100,解得λ=±4.∴所求雙曲線方程為=±4,即=±1.一般而言，若雙曲線的漸近線方程為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則其共軛雙曲線方程形式為f1(x,y)·f2(x,y)=λ(λ≠0).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊根據(jù)下列條件求雙曲線方程：（1）以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的等軸雙曲線兩準(zhǔn)線間的距離為;（2）以橢圓=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)P(,3);（3）與雙曲線=1有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)P(3,).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（1）∵兩準(zhǔn)線間的距離為4,∴,即，即.又等軸雙曲線的離心率e=,∴a=4,b=4.故所求雙曲線方程為x2-y2=16或y2-x2=16.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）∵橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（±5,0）,∴所求雙曲線的兩焦點(diǎn)在x軸上，且c=5，又設(shè)雙曲線的方程為=1(a>0,b>0),∴P(4,3)在雙曲線上，∴=1,又a2+b2=c2=25,聯(lián)立解之得a2=16,b2=9.故所求雙曲線方程為=1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（3）與雙曲線=1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為=m(m≠0),由題意m==-1,故所求的雙曲線方程為=1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)【例2】雙曲線=1(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值范圍.【分析】直接用已知的“距離之和s≥c”這個(gè)條件列出只含有a和c的不等式,再通過(guò)構(gòu)造法,將此不等式變形為一個(gè)只有e=ca的不等式,再解不等式即可得解.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】直線l的方程為=1,即bx+ay-ab=0.由點(diǎn)到直線的距離公式以及a>1,得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1=.同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離d2=.s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e4-25e2+25≤0,解不等式,得≤e2≤5.由于e>1,所以e的取值范圍是≤e≤.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評(píng)析】e2=這一關(guān)系在雙曲線的有關(guān)運(yùn)算中常常用到，同時(shí)要注意三種曲線關(guān)于e的范圍的區(qū)別.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)雙曲線C:=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B.(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且PA=PB,求a的值.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組=1x+y=1(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①1-a2≠04a4+8a2(1-a2)>0，解得0<a<2且a≠1.雙曲線的離心率e=,∵0<a<且a≠1,∴e>且e≠.即離心率e的取值范圍為(,)∪(,+∞).有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,消去y并整理得∴名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵PA=PB,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)，由此得x1=x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,∴.消去x2,得,由于a>0,∴a=.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考點(diǎn)三雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】已知雙曲線C：=1(a>0,b>0)，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列，過(guò)F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.（1）求證：PA·OP=PA·FP;（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D，E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【分析】（1）如圖8-2-1，根據(jù)條件寫(xiě)出l的方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.（2）將直線l的方程代入雙曲線方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相異實(shí)根的條件求解.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】（1）證明：證法一：由題意知直線l的方程為

∵|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列，∴xA·c=a2,∴xA=,∴A(,0)∴PA=(0,),OP=(,),FP=(,).∴PA·OP=,PA·FP=.∴PA·OP=PA·FP.解得P().名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

證法二：由P(),∴PA⊥x軸，∴PA·OP-PA·FP=PA·OF=0.∴PA·OP=PA·FP.

=1b2x2-(x-c)2=a2b2，即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0.∵l與雙曲線左、右兩支分別相交于點(diǎn)D，E，設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),∴x1·x2=<0.∴b4>a4,即b2>a2,∴c2-a2>a2.∴e2>2，即e>.（2）由得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評(píng)析】漸近線是雙曲線的特有性質(zhì)，由焦點(diǎn)向漸近線引垂線，垂足必在準(zhǔn)線上；反之，過(guò)漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)和相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必垂直于該漸近線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn),直線y=x為C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)Ｐ（０，４）的直線l，交雙曲線Ｃ于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，交x軸于Ｑ點(diǎn)（Ｑ點(diǎn)與Ｃ的頂點(diǎn)不重合），ＰＱ=λ1ＱＡ=λ2ＱB，且λ１＋λ２＝－時(shí)，求Ｑ點(diǎn)的坐標(biāo).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(1)設(shè)雙曲線方程為=1（a>0,b>0）.由橢圓方程求得兩焦點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0).∴對(duì)于雙曲線C:c=2.又y=x為雙曲線C的一條漸近線,∴=,解得a2=1,b2=3,∴雙曲線C的方程為x2-=1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(2)解法一:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0),∵PQ=

QA，∴(,-4)=(x1+,y1).=(x1+)x1=-4=y1y1=.∵A(x1,y1)在雙曲線C上,∴,∴16+32+16-k2-k2=0,∴(16-k2)+32+16-k2=0.∴名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

同理有(16-k2)+32λ2+16-k2=0.若16-k2=0,則直線l過(guò)頂點(diǎn),不合題意.∴16-k2≠0,∴λ1,λ２是二次方程（16－k2）x2+32x+16-k2=0的兩根,∴λ1+λ2=∴k2=4,此時(shí)，Δ>0,∴k=±2.∴所求Ｑ的坐標(biāo)為（±2,0）.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

解法二:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0),∵PQ=λ1QA,∴Q分PA的比為λ1,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得=x1=(1+λ1)0=y1=.下同解法一.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

解法三:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0), ∵PQ=λ1QA=λ2QB,∴(,-4)=λ1(x1+),y1=λ2(x2+),y2,∴-4=λ1y1=λ2y2.∴λ1=,λ2=.又λ1+λ2=-,∴+=.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

即3(y1+y2)=2y1y2,將y=kx+4,代入x2-=1得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.∵3-k2≠0（否則l與漸近線平行）,∴y1+y2=,y1y2=.∴3×=2×.∴k=±2,∴Q(±2,0).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

解法四:由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(,0),∵PQ=λ1QA,∴(,-4)=λ1(x1+),y1.∴λ1=,同理λ2=.λ1+λ2=