第5章頻域分析法5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數(shù)頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.7閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。

一般來說，系統(tǒng)工作性能用時(shí)域特性度量為最好，但高階系統(tǒng)的時(shí)域特性很難用分析法確定故引出了頻率特性法，不用解方程，也不用求特征根，而是利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖以及頻率響應(yīng)與時(shí)間響應(yīng)的某些關(guān)系解決系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析問題，間接的運(yùn)用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)，是一種圖解法，非常形象直觀。頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。②時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

頻率特性分析法的特點(diǎn)③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。

本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。正弦輸入信號下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變，而頻率變化的正弦信號，響應(yīng)如下rm=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=440不結(jié)論線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的情況下，系統(tǒng)的正弦響應(yīng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出與輸入是同頻率，而幅值和相角皆隨ω而變的正弦。5.1頻率特性的基本概念前面的例子看出，當(dāng)輸入：輸出：一、頻率特性的概念：下面以RC網(wǎng)絡(luò)為例來說明頻率特性的概念r(t)c(t)如果系統(tǒng)輸入為正弦信號則系統(tǒng)輸出經(jīng)拉氏反變換穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量輸入：輸出：輸出與輸入相位差為：=-arctanTω輸入信號為ui(t)=Uisint二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號r（t）=sint

時(shí)，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）=Asin（ωt+），如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin（ωt+）tr（t）Css（t）線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率ω有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差僅是ω的函數(shù)，可以分別表示為A（ω）與（ω）。因此，頻率特性可定義為：

線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。

A（ω）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上是放大（A＞1）還是衰減（A＜1）。而（ω）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上是超前（＞0o）還是滯后（＜0o）。

系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強(qiáng)調(diào)頻率ω是一個(gè)變量。2、頻率特性的復(fù)數(shù)表示方法對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個(gè)正弦信號

r（t）=Rsinωt時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+（ω））由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，則輸入輸出之比為

可見，輸出輸入的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。

若用一個(gè)復(fù)數(shù)G（jω）來表示，則有

G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej

指數(shù)表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數(shù)。

當(dāng)ω是一個(gè)特定的值時(shí)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)向量去表示G（jω）。向量的長度為A(ω)，向量與正實(shí)軸之間的夾角為(ω)，并規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，即相角超前；?guī)定順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)，即相角滯后。

另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即G（jω）=R（ω）+jI（ω）R（ω）稱為實(shí)頻特性，I（ω）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：以上函數(shù)都是ω的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律，使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。

并且A(ω)與R（ω）為ω的偶函數(shù)，(ω)與I（ω）是ω的奇函數(shù)。5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性實(shí)際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。

系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對應(yīng)特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實(shí)部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時(shí)間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號。輸出信號的拉氏變換為：對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實(shí)根。輸入信號為r(t)=Rsinωt設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為css(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系數(shù)Kc和K-c由留數(shù)定理確定，可以求出css(t)=A(ω)·R·sin[ωt+(ω)]

A(ω)=|G（s）|s=jω

=|G（jω）|

(ω)=∠G（jω）

輸入信號為r(t)=Rsinωt

A(ω)是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達(dá)式。

(ω)是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。系統(tǒng)的頻率特性為

G（jω）=G（s）|s=jω=A(ω)·ej

線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性可推得一個(gè)十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時(shí)，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時(shí)的G（s）。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用jω代替時(shí)，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。

因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以避開時(shí)域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計(jì)算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。頻率特性的數(shù)學(xué)意義

頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型,與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。

以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。微分方程（以t為變量）傳遞函數(shù)（以s為變量）頻率特性（以ω為變量）控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系5.1.4常用頻率特性曲線

頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐標(biāo)系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點(diǎn)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合。系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：

1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標(biāo)系為極坐標(biāo)。奈氏圖反映A(ω)與(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線，包括：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對數(shù)坐標(biāo)圖或波德圖，坐標(biāo)系為半對數(shù)坐標(biāo)。波德圖反映L(ω)=20lgA(ω)與(ω)隨lgω變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或?qū)?shù)幅相圖，坐標(biāo)系為對數(shù)幅相坐標(biāo)。尼柯爾斯圖反映L(ω)=20lgA(ω)隨(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。

繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合。取極點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn),極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實(shí)軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為G（jω）=A（ω）·ej

對于某一特定頻率ωi下的G（jωi）總可以用復(fù)平面上的一個(gè)向量與之對應(yīng)，該向量的長度為A（ωi），與正實(shí)軸的夾角為（ωi）。5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念由于A()和()是頻率的函數(shù)，當(dāng)ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)極坐標(biāo)圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時(shí)，常把ω作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時(shí)曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。

當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時(shí)，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實(shí)頻特性、虛頻特性的表達(dá)式，再逐點(diǎn)計(jì)算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用jω代替s，求出頻率特性G（jω）2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性（ω）的表達(dá)式，也可求出實(shí)頻特性與虛頻特性，幫助判斷G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范圍內(nèi)選取不同的ω，根據(jù)A(ω)與（ω）表達(dá)式計(jì)算出對應(yīng)值，在坐標(biāo)圖上描出對應(yīng)的向量G（jω），將所有G（jω）的端點(diǎn)連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。一.典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖1.比例(放大)環(huán)節(jié)2.積分環(huán)節(jié)3.慣性環(huán)節(jié)4.振蕩環(huán)節(jié)5.微分環(huán)節(jié)1)理想微分環(huán)節(jié)2)一階微分環(huán)節(jié)3)二階微分環(huán)節(jié)G(s)=K

G(s)=1+Ts

G(s)=sG(s)=1+2ζTs+T2s25.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖

1、比例環(huán)節(jié)用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式為

G(j)=KImRe0K→0→比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性傳遞函數(shù)為：G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性（ω）=0o比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關(guān)。所以當(dāng)由0變到,G(j)始終為實(shí)軸上一點(diǎn)，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為A()=|1/|=1/，與角頻率ω成反比相頻特性為()=-90o→0→0Re積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi),幅頻特性與負(fù)虛軸重合。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。3、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=s頻率特性為

G(j)=j故幅頻特性為:A()=||=，與成正比。相頻特性為：

()=90o。理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi),其奈氏圖與正虛軸重合?？梢姡硐胛⒎汁h(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。4、慣性環(huán)節(jié)根據(jù)實(shí)頻特性與虛頻特性表達(dá)式，可以判斷出實(shí)頻特性恒≥0，而虛頻特性恒≤0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標(biāo)系的第四象限。當(dāng)從0變到時(shí),可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，例如可以繪出三個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴(kuò)大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個(gè)半圓，但圓心為(K/2,0),直徑為K。由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。5、一階微分環(huán)節(jié)可見一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。當(dāng)從0變到時(shí),可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，可以繪出三個(gè)點(diǎn)，見表G(s)=(s+1)()=arctan()由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。6、二階振蕩環(huán)節(jié)

以為參變量,計(jì)算不同頻率時(shí)的幅值和相角,其中幾個(gè)重要的特征點(diǎn)見表?？梢耘袛喑鎏擃l特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。在極坐標(biāo)上畫出由0變到時(shí)的矢量端點(diǎn)的軌跡,便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,如圖所示，且1＞2。且振蕩環(huán)節(jié)與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為=1/T，幅值為1/(2)。由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

1.＞0.707幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中1所對應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)＞1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)有兩個(gè)相異負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，若足夠大，一個(gè)極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，另一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（對瞬態(tài)響應(yīng)影響很?。?，奈氏曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。2.0≤≤0.707當(dāng)增大時(shí)，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個(gè)最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處所對應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對應(yīng)的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強(qiáng)。可得振蕩環(huán)節(jié)的諧振角頻率諧振峰值為可見隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

由幅頻特性A()對頻率求導(dǎo)數(shù),并令其等于零,可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，傳遞函數(shù)：G(s)=1+2ζTs+T2s2頻率特性:幅頻特性：相頻特性：0ReIm二階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖1ω→0ω→∞ω=ωn3)二階微分環(huán)節(jié)二.系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積

極坐標(biāo)形式：求系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性：首先計(jì)算ω=0和ω=∞時(shí)開環(huán)頻率特性的幅值及相角,然后分析或計(jì)算中間過程，繪制極坐標(biāo)圖。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖應(yīng)根據(jù)各組成環(huán)節(jié)的特性，按“幅值相乘除，相角相加減”的原則形成系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。手工繪制時(shí)，只能抓關(guān)鍵特征，繪制概略圖。考察這些關(guān)鍵特征的基本方法是，求A(0)、(0)和A(∞)、(∞)；補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根據(jù)A(ω)、(ω)

的變化趨勢，畫出Nyquist圖的大致形狀。二.系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線020例1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)時(shí)幅值：相角：0當(dāng)時(shí)幅值：相角：例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=,試?yán)L制極坐標(biāo)圖。

－KT當(dāng)時(shí)幅值：相角：例3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

0當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)時(shí)幅值：相角：例4比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：每增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后90°；若增加λ個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后λ90°。例5比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：結(jié)論：每增加一個(gè)一階環(huán)節(jié)，當(dāng)ω→∞時(shí)，相位應(yīng)滯后90°。例6：思考題：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為多個(gè)典型環(huán)節(jié)組合時(shí)，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕?jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達(dá)式描點(diǎn)，在曲線的重要部分修正。幅相圖小結(jié)：(1)低頻段的確定（→0）

Gk（jω）的低頻段表達(dá)式為()=-v90°根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。1.0型系統(tǒng)，v=0：A(0)

=K，(0)=0o低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。2.Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)=∞，(0)=-90o3.Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o(2)高頻段（→∞）不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)。m為分子多項(xiàng)式的階數(shù)，n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)，且一般m＜n

故A()=0,高頻段終止于坐標(biāo)原點(diǎn)；而最終相位為()=-(n-m)90，

由n-m確定特性以什么角度進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。

①(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。②(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。③(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。(3)奈氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)部與虛部。1）曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛部為0求出Im[G(j)]=I()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。2）曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)部為0求出Re[G(j)]=R()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）.ω→0時(shí)的漸近線平行于虛軸的漸近線平行于實(shí)軸的漸近線(5)開環(huán)零點(diǎn)對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0增大到過程中,特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加）,特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0增大到過程中,特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點(diǎn)的時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同,特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢，此時(shí),特性曲線出現(xiàn)凹部。

Nyquist圖的任何復(fù)雜形狀都是由分子上的一階微分環(huán)節(jié)引起的,若開環(huán)傳遞函數(shù)不含一階微分環(huán)節(jié)(m=0),Nyquist圖是一條連續(xù)光滑曲線。若該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)頻率特性表達(dá)式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)→0時(shí)，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。在→時(shí)，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。由于增加了開環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時(shí)，相位先滯后增加，達(dá)到一個(gè)滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸。根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。在０＜＜的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。5.3.1對數(shù)頻率特性曲線基本概念對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數(shù)分度運(yùn)算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)變得十分簡便。

1.伯德（Bode）圖的構(gòu)成對數(shù)幅頻特性圖的橫坐標(biāo)是對取以10為底的對數(shù)進(jìn)行分度的。5.3頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖

標(biāo)注角頻率的真值,以方便讀數(shù)。每變化十倍,橫坐標(biāo)1gω就增加一個(gè)單位長度，記為decade或簡寫dec,稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標(biāo)對于ω是不均勻的，但對1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。

若橫軸上有兩點(diǎn)ω1與ω2，則該兩點(diǎn)的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2與20、10與100之間的距離均為一個(gè)單位長度，即一個(gè)十倍頻程。對數(shù)頻率特性曲線坐標(biāo)系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時(shí)，相當(dāng)于lgω為自變量?？v坐標(biāo)是對幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L()=20lgA(ω)表示。對數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o）,仍用()表示。0.10.212102010002040-20-40dB半對數(shù)坐標(biāo)10倍頻程：橫坐標(biāo)的一個(gè)單位長度，表示頻率變化10倍軸采用對數(shù)刻度，可大幅度地?cái)U(kuò)展橫軸上的頻率范圍。又不降低低頻段的準(zhǔn)確性，=0不可能在橫軸上表現(xiàn)出來但可在感興趣的頻率區(qū)域，選擇任意大于0的頻率值。10°30°50°-10°-30°（）3.采用對數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)-利用頻率特性的疊加性

表示系統(tǒng)可分解成個(gè)各環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的幅頻特性在Bode圖上可由環(huán)節(jié)特性疊加而得到。兩邊取對數(shù)后利用這個(gè)特點(diǎn)對構(gòu)建系統(tǒng)頻率特性至關(guān)重要。同樣，相頻特性也具有這個(gè)特點(diǎn)系統(tǒng)頻率特性表成2．Bode圖法的特點(diǎn)

（1）橫坐標(biāo)按頻率取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20Lg|GH|］后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。5.3.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過0dB線。表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。討論：

1.N個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的幅頻特性如何變化?討論：N個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的相頻特性如何變化?BodeDiagramFrequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-60-40-20020406010-1100101-90-4504590135180-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec3.微分環(huán)節(jié)（s）

1微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過0dB線。

積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號，二者以軸為基準(zhǔn)，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象?？梢?，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。4.慣性環(huán)節(jié)(1)對數(shù)幅頻特性

為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計(jì)階段）。1.低頻段在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為T0,從而有故在頻率很低時(shí),對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為L()為因變量，lg為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T

=1/T，T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。同時(shí)，如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個(gè)十倍頻程范圍內(nèi)對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。漸近線

精確曲線

轉(zhuǎn)折頻率

精確曲線

慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性[漸近線、精確曲線（2）對數(shù)相頻特性精確相頻特性為:()=-arctan(ωT)；

對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及()=-45°這一點(diǎn)斜對稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，()程滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90。當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T改變時(shí)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時(shí)，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。5．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.

低頻段

在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,為低頻漸近線。2.高頻段在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線,斜率為20dB/dec,當(dāng)頻率變化10倍頻時(shí),L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T?？芍?一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對應(yīng)的精確值是L（T）=0+3=3dB。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對數(shù)幅頻特性

1.低頻段T<<1(或<<1/T)時(shí)，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。0≤≤12.高頻段T>>1(或>>1/T)時(shí),并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]？？0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]振蕩環(huán)節(jié)L(ω)的修正方法一個(gè)重要概念：穿越頻率,或截止頻率物理意義是什么？

Bode圖與Nyquist圖之間的對應(yīng)關(guān)系：

截止頻率wc：可見0.4時(shí)，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；ω=1/T時(shí)，()=-90°；ω→∞時(shí)，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對稱。

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對曲線形狀的影響較大。5.3.3開環(huán)對數(shù)頻率特性(Bode圖)的繪制（一）環(huán)節(jié)曲線迭加法（二）順序斜率迭加法（一）環(huán)節(jié)曲線迭加法：繪制對數(shù)頻率特性。例2：解：四個(gè)典型環(huán)節(jié)：jL[-20][-20]L1[-20]L2j2j4[-20]L3j3L4[+20]10.110100ww202Ldb02040j(ω)-90000900j1因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)是由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，而且典型環(huán)節(jié)的對數(shù)曲線均為不同斜率的直線或折線，所以迭加后的開環(huán)對數(shù)頻率特性仍為由不同斜率的線段組成的折線。所以只要確定低頻起始段的位置和斜率，并能確定線段轉(zhuǎn)折頻率以及轉(zhuǎn)折后線段的斜率變化量，就可以從低頻到高頻一氣呵成。（二）順序斜率迭加法1．低頻起始段的確定：0Klg20[]n20-1順序斜率迭加法（續(xù)）2、ω折及線段斜率變化量的確定：繪制開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟:⑴化G(jw)為尾1標(biāo)準(zhǔn)型⑵順序列出轉(zhuǎn)折頻率⑶確定基準(zhǔn)線⑷疊加作圖基準(zhǔn)點(diǎn)斜率一階慣性環(huán)節(jié)-20dB/dec復(fù)合微分+20dB/dec二階振蕩環(huán)節(jié)-40dB/dec復(fù)合微分+40dB/dec第一轉(zhuǎn)折頻率之左的特性及其延長線⑸修正⑹檢查①兩慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率很接近時(shí)②振蕩環(huán)節(jié)x(0.38,0.8)

時(shí)①L(w)最右端曲線斜率=-20(n-m)dB/dec②轉(zhuǎn)折點(diǎn)數(shù)=(慣性)+(一階復(fù)合微分)+(振蕩)+(二階復(fù)合微分)③j(w)-90°(n-m)例解：[-20][-60][-80][-60]0.1101242040Ldb0w-900j(ω)-1800-2700000.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時(shí)為32dbA例10.2慣性環(huán)節(jié)0.5一階復(fù)合微分1振蕩環(huán)節(jié)基準(zhǔn)點(diǎn)斜率w=0.2慣性環(huán)節(jié)-20w=0.5一階復(fù)合微分+20w=1振蕩環(huán)節(jié)-40⑹檢查①L(w)最右端曲線斜率=-20(n-m)dB/dec②轉(zhuǎn)折點(diǎn)數(shù)=(慣性)+(一階復(fù)合微分)+(振蕩)+(二階復(fù)合微分)③j(w)-90°(n-m)基準(zhǔn)點(diǎn)斜率w=0.2慣性環(huán)節(jié)-20w=0.5一階復(fù)合微分+20w=1振蕩環(huán)節(jié)-40(2)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系特點(diǎn):1)低頻段斜率為0dB/十倍頻程;2)低頻段的幅值為20lgKp，可以確定穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。1.0型系統(tǒng)2.Ⅰ型系統(tǒng)特點(diǎn):1)低頻段斜率為-20dB/十倍頻程;2)低頻漸進(jìn)線（或其延長線）與0dB的交點(diǎn)為ω0=Kv；3)低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKv;3.Ⅱ型系統(tǒng)特點(diǎn):1)低頻段斜率為-40dB/十倍頻程;2)低頻漸進(jìn)線（或其延長線）與0dB的交點(diǎn)為ω0=；3)低頻漸進(jìn)線（或其延長線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKa;5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點(diǎn)的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(gè)(或多個(gè))零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱為非最小相位系統(tǒng)；

顯然G1（s）屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)幅值相同，具有同一個(gè)幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個(gè)簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。兩者的對數(shù)幅頻特性是相同的，而相頻特性則有1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT從傳遞函數(shù)看,這二者均有相同的儲能元件數(shù),但是由于G2(s)的零點(diǎn)在右半s平面,它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移,因而G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°）,為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從波德圖上看,最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2、性質(zhì)☆小結(jié)：最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)給出了一個(gè)重要的結(jié)論：

對于最小相位系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)的方法測量并繪制出開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的()，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)。5.3.5由實(shí)測波德圖求傳遞函數(shù)☆由實(shí)測開環(huán)波德圖求開環(huán)傳遞函數(shù)是由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)求開環(huán)波德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內(nèi)，給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號，測量相應(yīng)輸出的穩(wěn)態(tài)幅值與相位，作出對數(shù)幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)；3.根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線，由0、±20、±40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K低頻漸近線的表達(dá)式為L()=20lgK-20vlg。可首先由低頻段的斜率確定v，再由低頻段上的一個(gè)具體點(diǎn)的坐標(biāo)確定K，如可代L(1)=20lgK；5.由漸近線的每個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點(diǎn)斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)；若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環(huán)節(jié)；二階系統(tǒng)的阻尼比ζ可由諧振峰值的大小查表求取如若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)；小結(jié)：☆1低頻段確定K、V

斜率確定積分、微分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)起始段（或延長線）在=1處高度為20lgK，

L()=20lgK-20Vlga.對一型v=0{起始斜率[0]}b.對一型v=1{起始斜率[-20]}c.對二型v=2（起始斜率[-40]）2．轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。

例1根據(jù)Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解.依圖有

Bode圖與Nyquist圖之間的對應(yīng)關(guān)系：轉(zhuǎn)折頻率

截止頻率wc：例2已知Bode圖，確定G(s)。解解法Ⅱ解法Ⅰ解法Ⅲ例3

已知L(w)，寫出G(s)，繪制j(w),G(jw)。解⑴III⑵疊加作圖如右⑶5.3.頻率域穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部，即位于s左半平面。在時(shí)域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時(shí),也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個(gè)自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時(shí)它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有：1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。F(s)的零點(diǎn)=閉環(huán)極點(diǎn)，而系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征根即F(s)的零點(diǎn)都位于s左半平面上。因此，需要檢驗(yàn)F(s)是否具有位于s右半平面的零點(diǎn)。為此，選擇一條包圍整個(gè)右半平面的按順時(shí)針方向運(yùn)動的封閉曲線，稱為奈氏回線.注：時(shí)域中，臨界穩(wěn)定=不穩(wěn)定；頻域中，臨界穩(wěn)定既不屬于穩(wěn)定也不屬于不穩(wěn)定。F(s)=1+G(s)H(s)的幾何意義1+GH[F]平面和[GH]平面關(guān)于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的說明：P=０(即開環(huán)是穩(wěn)定的）,

如果系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的，則Z=0，所以R必為0，也即開環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)不包圍(-1，j0)點(diǎn)；(2)P≠0（即開環(huán)不穩(wěn)定）,若使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定則Z=0

，所以R=P-Z=P，即開環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)P周。

（3）GΗ(jω)通過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

【例】某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ReIm[GH]圖5-41-1ω=0ω=-∞ω=+∞0-2開環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)：P=1反時(shí)針包圍一次：R=1閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)：

Z=P-R=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例試用奈氏判據(jù)分析下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:頻率特性

系統(tǒng)的奈氏曲線如圖：因?yàn)镻=0，R=0，計(jì)算Z=P-R=0，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，

R=0∴Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，R=-2∴Z=P-R=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟：1.作出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏曲線G(jω)H(jω)；2.計(jì)算奈氏曲線G(jω)H(jω)對點(diǎn)(?1,j0)按逆時(shí)針方向的圍繞圈數(shù)R；3.確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若不穩(wěn)定則確定開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)P；4.根據(jù)R=P-Z，確定Z是否為零。如果Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的數(shù)目。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的進(jìn)一步說明奈魁斯特軌跡映射圖s∵P=0，R=-2∴Z=P-R=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)開環(huán)傳函有ν個(gè)s=0的極點(diǎn)時(shí)，起終點(diǎn)為ω=0－、0＋的半徑無窮小半圓，映射到GH平面的頻特是從ω=0－起，以無窮大半徑順時(shí)針繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)過ν*180°后終止于ω=0＋點(diǎn)。時(shí)的奈氏曲線時(shí)的奈氏曲線例解：先畫鏡像曲線，再補(bǔ)大圓弧，不包圍(-1,j0)點(diǎn)，或逆時(shí)針一圈，順時(shí)針一圈,故閉環(huán)穩(wěn)定。

N+表示正穿越（從上向下穿越）的次數(shù)和，（逆時(shí)針）N-表示負(fù)穿越（從下向上穿越）的次數(shù)和，（順時(shí)針）注意:軌跡從負(fù)實(shí)軸出發(fā)或終止于負(fù)實(shí)軸為次穿越。為（-1，j0)點(diǎn)以左的穿越次數(shù)。令：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Ⅲ:(穿越判據(jù))（

由0+）Z=P-2N=0Re[GH平面]圖

G(jω)H(jω)曲線的穿越情況-10正穿越負(fù)穿越【練習(xí)】判斷以下系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性Z=P-2N=0?Z=0-0=0穩(wěn)Z=1-2×(-1)=3不穩(wěn)Z=2-2×(-1)=4不穩(wěn)Z=0-0=0穩(wěn)Z=0-2×(-1)=2不穩(wěn)Z=0-0=0穩(wěn)

由于系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡單、方便，自然使用伯德圖來進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別就更適用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。——奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖上的應(yīng)用

3.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

奈氏圖與伯德圖的對應(yīng)關(guān)系開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性之間存在如下對應(yīng)關(guān)系:（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的單位圓,對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性的0分貝線;單位圓外部如(-,-1)區(qū)段，對應(yīng)L()>0dB，單位圓內(nèi)部對應(yīng)L()<0dB。（2）從對數(shù)相頻特性來看,G(j)平面上的負(fù)實(shí)軸,對應(yīng)于對數(shù)相頻特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)點(diǎn)的向量表達(dá)式為1∠-180°，對應(yīng)于伯德圖上穿過0分貝線，并同時(shí)穿過()=-180°的點(diǎn)?！纠咳鐖D所示的開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范圍內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。已知P=2,在L(ω)≥0的范圍內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?！纠咳鐖D所示的開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。條件穩(wěn)定系統(tǒng)：當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)：相應(yīng)的，無論開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但實(shí)際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，采用了線性化等近似處理方法；或系統(tǒng)參數(shù)測量不準(zhǔn)確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。因此要求系統(tǒng)保有一定的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度），這樣才可以保證不致于分析設(shè)計(jì)過程中的簡化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導(dǎo)致系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標(biāo)。相對穩(wěn)定性是指閉環(huán)系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的程度。5.4穩(wěn)定裕度1.開環(huán)頻率特性圖上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)（線）

(-1，j0)為乃氏圖上使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的開環(huán)臨界點(diǎn)。對應(yīng)Bode圖上為兩條臨界穩(wěn)定線：幅頻臨界線相頻臨界線控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2.定義兩個(gè)重要的頻率：截止頻率ωc：開環(huán)乃氏圖上對應(yīng)于幅值為臨界值1的點(diǎn)的頻率或幅頻Bode圖與臨界線0db線（ω軸）的交點(diǎn)頻率。表達(dá)式為：A(ωc)=1或L(ωc)=0dB。穿越頻率ωx：開環(huán)乃氏圖上對應(yīng)于相位為臨界值-180°的點(diǎn)的頻率或相頻Bode圖與-180°臨界線的交點(diǎn)頻率。表達(dá)式為：

φ(ωx)=-180°

。3.穩(wěn)定裕量定義：在頻率特性圖中，穩(wěn)定裕量是指系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)到臨界穩(wěn)定點(diǎn)（臨界穩(wěn)定線）之間的“距離”。在實(shí)際工程系統(tǒng)中常用相角裕度γ和幅值裕度h表示。相角裕度量(PhaseMargin)γ：相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在=c處，系統(tǒng)的相角如果再滯后（減小）角度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；減小的角度大于后，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。為了使最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的,必須為正值。穩(wěn)定系統(tǒng)γ

>0,γ越大,系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越高。相位裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。幅值裕度(PhaseMargin)h：幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)在相角穿越頻率x處幅值增大h倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定系統(tǒng)h>1,h越大，相對穩(wěn)定性越高。對非最小相位系統(tǒng)，只有γ>0且h>1時(shí)，才能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對最小相位系統(tǒng)，有時(shí)僅需兩者之一即可，一般取γ。乃氏圖上的相角裕度與幅值裕度Bode圖上的相角裕