第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)三年12考高考指數(shù):★★★1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較函數(shù)值大小、求定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最值及研究零點(diǎn)、奇偶性等問題，同時(shí)考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.2.常與方程、不等式等知識(shí)交匯命題，多以選擇、填空題的形式考查.3.預(yù)測(cè)2013年高考仍將以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.1.對(duì)數(shù)的定義(1)對(duì)數(shù)的定義①請(qǐng)根據(jù)下圖的提示填寫與對(duì)數(shù)有關(guān)的概念②其中a的取值范圍是：____________.a＞0且a≠1axN=㏒aN=x指數(shù)對(duì)數(shù)冪真數(shù)底數(shù)(2)兩種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)底數(shù)為10底數(shù)為elgNlnN【即時(shí)應(yīng)用】(1)若2x=5,則x=______,若log3x=2,則x=______.(2)將log23用常用對(duì)數(shù)表示為_________；用自然對(duì)數(shù)表示為________.答案：(1)log2532(2)2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)換底公式運(yùn)算性質(zhì)a>0,且a≠1,M>0,N>0結(jié)論條件①㏒a1=0,②㏒aa=1③a㏒aN=N(a>0且a≠1）(a、c均大于零且不等于1，b>0)①㏒a(M·N)=㏒aM+㏒aN,

②③【即時(shí)應(yīng)用】(1)=0，則x=_________.(2)計(jì)算=_________.（3）若a＞0,a≠1,x＞y＞0,n∈N*,判斷下列各式的正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”）①(logax)n=logaxn()②()③()④()⑤()【解析】(1)由

(2)原式=(3)①是錯(cuò)誤的，如(log24)3=8≠log243=log226=6；②是正確的，③是錯(cuò)誤的，如④是正確的，⑤是正確的，設(shè)即答案：(1)(2)4(3)①×②√③×④√⑤√3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義①表達(dá)式：y=______(a＞0,且a≠1).②自變量：__.③定義域：________.logaxx(0,+∞)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)a>10<a<1(1)定義域：（0，+∞）(2)值域：R(3)當(dāng)x=1時(shí)，y=0，即過定點(diǎn)（1,0）(4)在（0，+∞）上為增函數(shù)(4)在（0，+∞）上為減函數(shù)xyo（1,0）x=1y=㏒axy=㏒axxyox=1（1,0）【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù)(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”).①y=log2(x-1)()；②y=log2x+1()；③y=2log3x()；④

()；⑤

()；⑥y=lnx().(2)函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的圖象恒過一定點(diǎn)是_____.(3)設(shè)P=log23,Q=log32,R=log2(log32),則P、Q、R的大小關(guān)系為_________.【解析】(1)由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知⑥是對(duì)數(shù)函數(shù).(2)依題意，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的值為2，所以其圖象恒過定點(diǎn)(2,2).(3)P=log23＞log22=1,即P＞1,0=log31＜Q=log32＜log33=1，即0＜Q＜1.∵0＜log32＜1,∴l(xiāng)og2(log32)＜log21=0,即R＜0,∴R＜Q＜P.答案：(1)①否②否③否④否⑤否⑥是(2)(2，2)(3)R＜Q＜P4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)________(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_____對(duì)稱.y=logaxy=x【即時(shí)應(yīng)用】(1)f(x)=2x的反函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2x的反函數(shù)為y=g(x)，若則a等于___________.【解析】(1)f(x)=2x的反函數(shù)是g(x)=log2x，當(dāng)g(x)=0時(shí)，x=1，所以其反函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).(2)由于f(x)=log2x的反函數(shù)為y=g(x)=2x，又

即：答案：(1)(1,0)(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2)將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.【提醒】在運(yùn)算中要注意對(duì)數(shù)化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.【例1】(1)計(jì)算：(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.【解題指南】(1)按對(duì)數(shù)式運(yùn)算的一般思路進(jìn)行計(jì)算；(2)將已知對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，并將a2m+n轉(zhuǎn)化為(am)2·an，從而計(jì)算求解.【規(guī)范解答】(1)原式=(2)∵loga2=m,∴am=2,又∵loga3=n,∴an=3,a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.【互動(dòng)探究】本例(2)中條件不變，求loga12的值.【解析】∵loga2=m,loga3=n,∴l(xiāng)oga12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n.【反思·感悟】(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，首先對(duì)底數(shù)、真數(shù)進(jìn)行變形，然后再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，若出現(xiàn)不同的“底”，應(yīng)利用換底公式換成相同的“底”.(2)在等比數(shù)列的計(jì)算中常涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算，要正確地用好對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.【變式備選】(1)計(jì)算：

(2)計(jì)算：(log32+log92)·(log43+log83).(3)若數(shù)列{an}為各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，且a12與a2

001為一元二次方程x2+mx+8=0的兩根，求：log2a1+log2a2+…+log2a2

012的值.【解析】(1)(2)原式(3)由已知得a12·a2

001=8，且由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a1a2a3…a2

012=(a1a2

012)1

006=(a12·a2

001)1

006=81

006，∴原式=log2(a1a2a3…a2

012)=log281

006=1006×3=3018.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的問題(1)對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題的求解,常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【例2】(2012·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是()(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)【解題指南】求解本題，需作出函數(shù)f(x)的圖象，不妨設(shè)a＜b＜c，根據(jù)圖象結(jié)合f(a)=f(b)=f(c)，確定出c的大致范圍，再由f(a)=f(b)去絕對(duì)值符號(hào)，確定ab的值，從而得解.【規(guī)范解答】選C.作出f(x)的大致圖象.不妨設(shè)a<b<c，因?yàn)閍、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函數(shù)的圖象可知10<c<12，且|lga|=|lgb|，因?yàn)閍≠b，所以lga=-lgb，可得ab=1，所以abc=c∈(10,12)，故選C.【反思·感悟】數(shù)形結(jié)合思想往往是解決某些對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)型方程、不等式問題、對(duì)數(shù)值大小比較的切入口及有效方法，應(yīng)熟練掌握這種思想方法的解題規(guī)律.【變式訓(xùn)練】(1)函數(shù)y=log2|x+1|的單調(diào)遞減區(qū)間為______，單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【解析】作出函數(shù)y=log2x的圖象，將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y=log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y=log2|x+1|的圖象(如圖所示).由圖知，函數(shù)y=log2|x+1|的遞減區(qū)間為(-∞,-1),遞增區(qū)間為(-1，+∞).答案：(-∞,-1)(-1,+∞)(2)若不等式(x-1)2＜logax對(duì)于x∈(1,2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】設(shè)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2＜logax恒成立，只需f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的圖象在f2(x)=logax圖象的下方即可.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a＞1時(shí)，如圖，要使f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的圖象在f2(x)=logax的圖象下方，只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,∴1＜a≤2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2].對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)數(shù)值大小(1)同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較可直接利用其單調(diào)性進(jìn)行判斷.(2)既不同底數(shù)，又不同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的比較，先引入中間量(如-1，0，1等)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較.2.利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)求解方法與一般函數(shù)性質(zhì)的求解方法一致，但要注意三方面的問題，一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.【例3】(1)(2011·北京高考)如果那么()(A)y＜x＜1(B)x＜y＜1(C)1＜x＜y(D)1＜y＜x(2)函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最小值是______________.(3)已知函數(shù)①求函數(shù)f(x)的定義域；②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，試討論它的奇偶性和單調(diào)性.【解題指南】(1)利用單調(diào)性求解；(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解；(3)①利用真數(shù)大于0構(gòu)建不等式，但要注意分類討論，②先由條件求出a的值，再討論奇偶性和單調(diào)性.【規(guī)范解答】(1)選D.因?yàn)闉?0,+∞)上的減函數(shù)，所以x＞y＞1.(2)令則-1≤t≤-且y=t2-t+5,∴當(dāng)t=-時(shí)，答案：(3)①?[x-(3a-1)][x-(-2a-1)]＞0,所以，當(dāng)3a-1≥-2a-1,即a≥0時(shí)，定義域?yàn)?-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞)；當(dāng)3a-1＜-2a-1,即a＜0時(shí)，定義域?yàn)?-∞,3a-1)∪(-2a-1,+∞).②函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)-2a-1=-(3a-1)?a=2,此時(shí)，對(duì)于定義域D=(-∞,-5)∪(5,+∞)內(nèi)任意x,-x∈D,所以f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)x∈(5,+∞),對(duì)任意5＜x1＜x2,有f(x1)-f(x2)=而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,∴f(x)在(5,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；由于f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(-∞,-5)內(nèi)單調(diào)遞減.【互動(dòng)探究】在本例(3)②的條件下將f(x)的底數(shù)改為m(m＞0且m≠1)，求函數(shù)f(x)在[10,15]上的值域.【解析】由(3)②求解得，當(dāng)m＞1時(shí),函數(shù)在(5，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[10,15]上亦單調(diào)遞減，∴f(15)≤f(x)≤f(10).即：logm2≤f(x)≤logm3,∴值域?yàn)閇logm2,logm3].同理當(dāng)0<m＜1時(shí)，值域?yàn)閇logm3,logm2],綜上所述：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，值域?yàn)閇logm3,logm2].當(dāng)m＞1時(shí)，值域?yàn)閇logm2,logm3].【反思·感悟】利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的注意點(diǎn)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)a∈(0,1)，還是a∈(1,+∞)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.【變式備選】是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù)？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在.設(shè)g(x)=ax2-x，當(dāng)a>1時(shí)，為使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù)，需g(x)=ax2-x在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù)，故應(yīng)滿足又∵a>1，∴a>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，為使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù)，需g(x)=ax2-x在區(qū)間［2,4］上是減函數(shù)，故應(yīng)滿足此不等式組無解；綜上可知：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間［2,4］上是增函數(shù).【易錯(cuò)誤區(qū)】?jī)缰怠?duì)數(shù)值大小比較問題的易錯(cuò)點(diǎn)【典例】(2011·天津高考)已知?jiǎng)t()(A)a＞b＞c(B)b＞a＞c(C)a＞c＞b(D)c＞a＞b【解題指南】首先將a、b、c化成同底數(shù)的冪，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或性質(zhì)比較冪指數(shù)中對(duì)數(shù)值的大小，最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出a、b、c的大小.【規(guī)范解答】選C.方法一：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=log2x,y=log3x,y=log4x的圖象，如圖所示.由圖象知：log23.4＞log3＞log43.6.方法二：∵∴∵∴∴由于y=5x為增函數(shù)，即：故a＞c＞b.【閱卷人點(diǎn)撥】通過對(duì)高考中閱卷的數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們得到以下誤區(qū)警示及備考建議：誤區(qū)警示

本題避開傳統(tǒng)單獨(dú)冪值或?qū)?shù)值的大小比較問題的命題思路，而是將冪值與對(duì)數(shù)值大小比較問題揉合在一起考查.易錯(cuò)誤區(qū)有：(1)不能準(zhǔn)確地作出圖象，利用圖象進(jìn)行大小比較.(2)找不到比較大小的中介值而影響大小的比